I) AXIOMES ET DEFINITIONS

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1 I) AXIOMES ET DEFINITIONS 1) Rappelles 1.1 La représentation plane d un objet dans l espace La représentation dans l espace ne respecte pas la nature des formes, cela varie suivant l angle de vision de l observateur. Dans les images ci-dessous on peut voir la même figure sous différents angles. 1.2 Notions de base pour la représentation des figures dans l espace. Pour représenter les figures et les formes dans l espace on utilise les conventions suivantes : les lignes visibles en réalité on les représente par des lignes continues sur le dessin. les lignes invisibles en réalité on les représente par des lignes discontinues sur le dessin. Les droites parallèles en réalité on les représente par des droites parallèles sur le dessin. les points alignés en réalité on les représente par des points alignés sur le dessin. Le milieu d un segment en réalité on les représente par le milieu d un segment sur le dessin. Exemples de quelques figures dans l espace Un cube Nombre de sommet 8 N 12 Nombre de faces 6 Un tétraèdre Nombre de sommet 4 6 Nombre de faces 4 2) Axiomes et définitions Un axiome est une propriété qu on admet qu elle est vraie sans pouvoir le démontrer. Les axiomes sont la base de toutes les théories mathématique. 1

2 2.1 Axiomes L espace est un ensemble et ses éléments s appelles des points ; on le note par (E). Les droites et les plans sont des parties effectives فعلية) ) de l espace. Toutes les propriétés qu on vue dans le plan, reste vraie dans un plan dans l espace. Axiome 1 : Deux points distincts A et B détermine une seule droite dans l espace, on la note par (AB) Définition : Plusieurs points sont dit alignés s ils se trouvent sur la même droite. Axiome 2 : Trois points A, B et C non alignés déterminent un seul plan dans l espace, on le note par (ABC) Définition : Plusieurs points sont dit coplanaires s ils se trouvent sur le même plan. Des droites sont coplanaires s elles sont incluses dans le même plan. (D) et (D ) sont coplanaires (D) et ( ) ne sont pas coplanaires Axiome 3 : Si deux point A et B d une droite (D) appartiennet à un plan (P) alors la droite (D) est incluse dans le plan (P). Axiome 4 : Si deux plans distincts ont un point A en commun alors ils se coupent suivant une droite qui passe par A 2

3 2.2 Résultats Propriété 1 : Preuve Une droite (D) et un point A qui n appartient pas à (D) définissent un plan unique dans l espace (E) Il suffit de prendre deux points B et C distincts de la droite (D) et on aura trois points A, B et C non alignés et ils définiront un plan unique Propriété 2 : Deux droites sécantes définissent un plan unique dans l espace (E) 3) Positions relatives d une droite et d un plan. Soient (D) une droite dans l espace (E) et (P) un plan ; on a trois positions de (D) et (P) : (D) est inclus dans (P) (D) (P) (D) et (P) sont disjoints (D) (P) = (D) traverse (P) en un point (D) (P) = {M} 4) Positions relatives de deux plans. Soient (P) et (Q) deux plans ; on a trois positions de (P) et (Q) : (P) et (Q) sont confondus (D) = (P) (P) et (Q) sont disjoints (P) (Q) = (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D) 3

4 5) Positions relatives de deux droites. Soient (D) et (Δ) deux droites ; on a trois positions de (D) et (Δ) (D) et (Δ) se coupent en un point (D) et (Δ) sont coplanaires et disjoints (D) et (Δ) ne sont pas coplanaire Exemple : Dans le cube ci-face : les droites (AD) et (BF) ne sont pas coplanaires les droites (BC) et (AD) sont coplanaires et disjoints. les droites (BC) et (EH) sont coplanaires et disjoints. Exercice Soit EFGH un tétraèdre ; I un point de ]FG[ ; J un point de ]EG[ et K un point de ]EH[. Montrer que les droites (EI) et (JK) ne sont pas concourantes Indication : Vous pouvez procéder comme suite : vous supposez que les droites (EI) et (JK) sont concourantes et conclure que les points E, F G et H sont coplanaires d où la contradiction (ce type de raisonnement s appelle raisonnement par absurde). II) PARALLELISME DANS L ESPACE 1) Parallélisme de deux droites. 1.1 Définition Définition : On dit que deux droites (D) et (Δ) sont parallèles si les deux conditions suivantes sont vérifiées : (D) et (Δ) sont coplanaires (D) et (Δ) sont confondues ou disjointes. ((D) = (Δ) ou (D) (Δ) = ) On écrit : (D) (Δ) 4

5 Remarques : Contrairement à ce qu on a vu dans la géométrie plane ; le faite que (D) (Δ) = ne nous permet pas de conclure que (D) (Δ). Dans la figure ci-contre on a (D) (Δ) = mais (D) et (Δ) ne sont pas parallèles. car la condition que (D) et (Δ) soient coplanaires n est pas vérifiée. Si (D) (Δ) et (D) (Δ) on dit que (D)et (Δ) sont strictement parallèles 1.2 Propriétés Propriété 1 : Preuve : Par un point A extérieur à un droite (D), passe une parallèle et une seule Puisque A (D), alors A et (D) définissent un seul plan (P), et d après l axiome d Euclide dans le plan (P), il passe une parallèle à (D) et une seule et elle est incluse dans (P). Propriété 2 : Deux droites strictement parallèles définissent un seul plan Il suffit de prendre un point sue l une des deux droites et deux points distincts sur l autre ; et on aura trois point non alignés donc ils définissent un seul plan. Théorème : (Théorème du toit) Si deux plans concourants en (Δ) contient deux droits parallèles, (D) et (D ) alors (D) et (D ) sont parallèles à (Δ) Remarque : Ce théorème admis est très important dans la géométrie dans l espace. Exemple : SABCD une pyramide à base rectangulaire les plan (SBC) et (SAD) se coupent suivant une droite (Δ) qui passe par S et qui est parallèle à (BC). car : les plan (SBC) et (SAD) sont sécants et contiennent deux droites parallèles qui sont : (AD) et (BC) Propriété 3 : Deux droites parallèles à une troisième droite sont parallèles. Propriété 4 : 5

6 Si deux droites sont parallèles alors toute droite qui parallèle à l une est parallèle à l autre. Remarque : Dans le plan on a : Si deux droites sont parallèles alors toute droite qui coupe l une coupe l autre. Cette propriété n est pas vraie dans l espace. Dans le cube ci-contre on a : (BC)// (FG) et (AB) coupe (BC) mais (AB) ne coupe (FG). 2) parallélisme d une droite et d un plan Définition : On dit qu une droite (D) est parallèle à un plan (P) si (D) (P) ou (D) (P) = et on écrit (D) // (P) Une droite (D) est parallèle à un plan (P) si et seulement s il existe dans (P) un droite (Δ) parallèle à (D) Exemple : Sur la pyramide SABCD on a : (BC) //(SAD) car le plan (SAD) contient la droite (AD) qui est parallèle à (BC). Exercice : ABCDEFGH un cube ; I et J les milieux respectifs de [AD] ;[AB] Montrer que (IJ) // (EGH) Remarques Par un point passe une infinité de droites parallèles un plan donné Par un point passe une infinité de plans parallèles une droite donnée 3) Parallélisme de deux plans Définition On dit que deux plans (P) et (Q) sont parallèles si (P) = (Q) ou (P) (Q) = ; on écrit (P)//(Q) 6

7 Si deux plans sont parallèles ; toute droite incluse dans l un est parallèle à l autre. Théorème : Deux plans sont parallèles si et seulement s il existe dans l un deux droites parallèles à l autre Si deux plans (P) et (P ) sont parallèles à un plan (Q) alors ils sont parallèles Par un point A passe un seul plan parallèle à un plan donné (P) Preuve : Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes dans (P) Par A passe une seule droite (D ) parallèle à (D) et passe une seule droite (Δ ) parallèle à (Δ). Les droites (Δ ) et (D ) sont sécantes, donc ils définissent un seul plan (Q) parallèle à (P). Propriétés : Soient (P) et (Q) deux plans parallèles. Toute droite parallèle à l un est parallèle à l autre. Toute droite qui coupe l un coupe l autre. Tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre. 7

8 Soient (P) et (Q) deux plans parallèles ; si (R) est un plan qui coupe l un suivant une droite (D) alors il coupe l autre suivant une droite (Δ) et on aura : (D)//(Δ) Preuve : Si (P) = (Q) la propriété est évidente On suppose que (P) (Q) = puisque (D) (Q) et (Δ) (P) alors (D) (Δ) (Q) (P) = et donc (D) et (Δ) sont coplanaires et disjointes d où (D)//(Δ) II) ORTHOGONALITE DANS L ESPACE 1) Orthogonalité de deux droites dans l espace Définition On dit que deux droites (D) et (Δ) sont perpendiculaires dans l espace si leurs parallèles passantes par un points A dans l espace sont perpendiculaires ; on écrit (D) (Δ) Exemple : Dans le cube ABCDEFGH on a : (AD) (BF) et (CF) (AH) Remarques : Par un point donné passe une infinité de droites perpendiculaire à une droite donnée. Deux droites perpendiculaires ne sont pas nécessairement coplanaires. 1.1 Propriétés Propriété 1 : Si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre Propriété 2 : Si deux droites sont perpendiculaires toute parallèle à l une est perpendiculaire à l autre 8

9 Remarques Deux droites perpendiculaires à la même droite ne sont pas nécessairement parallèles. Dans le cube ABCDEFGH on a : (AB) (AE) et (AB) (AD) et (AE) (AD) 2) Orthogonalité d un plan et une droite 2.1 Théorème principal et définition Théorème : Si une droite (Δ) est perpendiculaire à deux droites (D) et (D ) sécantes dans un plan (P) alors (Δ) est perpendiculaire à toutes les droites incluses dans le plan (P) Définition : On dit qu une droite (Δ) est perpendiculaire à un plan (P) si elle perpendiculaire à toutes les droites incluses dans le plan (P) on écrit : (Δ) (P) Pour qu une droite (Δ) soit perpendiculaire à un plan (P) il faut et il suffit qu elle soit perpendiculaire à deux droites sécantes dans le plan (P). Exemple : Dans le cube ABCDEFGH on a : (AB) (AE) et (AB) (AD) et (AD) et (AE) se coupe en A donc (AB) (ADE) Exercice : ABCD un tétraèdre régulier (Toutes les arrêtes ont la même longueur) I et J sont les molieu respectifs de [BC] et [AD] ; on se propose de démontrer que (BC) (IJ) 1. Montrer que (BC) (AI) 2. Montrer que (BC) (DI) 3. En déduire que (BC) (AID) 4. Conclure que (BC) (IJ) 2.2 Propriétés Propriété 1 : Si deux plans sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre Propriété 2 : 9

10 Si deux droites sont parallèles alors tout plan perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre Propriété 3 : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si l une est perpendiculaire à un plan qui contient l autre Propriété 4 : Deux plans sont parallèles si et seulement si sont perpendiculaire à la même droite Exercice : Soit ABCDEFGH un cube. 1. Montrer que (EB) (DF) 2. En déduire que (DF) (EDG) 3. La droite (DF) est-elle perpendiculaire à (ACF). Propriété 5 : Par un point passe une droite et une seule, perpendiculaire à un plan donné Propriété 6 : Par un point passe un plan et un seul, perpendiculaire à une droite donnée 3) Orthogonalité de deux plans Définition : Deux plans (P) et (Q) sont perpendiculaire si l un d eux contient une droite (D) perpendiculaire à l autre ; on écrit : (P) (Q). 10

11 Exemple : Soit ABCDEFGH un cube. Montrons : (ADC) (ABE) (ADF) (CHG). Preuve : Montrons que (ADC) (ADE) ; (AD) (AB) On a : { (AD) (AE) (AB) et (AE) se coupe en A (AD) (ABE) et puisque (AD) (ADC) alors (ADC) (ABE) Montrons que (ADF) (CHG) ; (AD) (DC) On a : { (AD) (DH) (DC) et (DC) se coupe en D (AD) (DCH) = (CGH) et puisque (AD) (ADF) alors (ADF) (CGH) Remarques : Si deux plans sont perpendiculaires on ne peut pas dire que toute droite dans l un d eux est perpendiculaire à l autre : Dans le cube on a : (ADB) (BFG) et (FG) (BFG) mais (FG) n est pas perpendiculaire à (ADB) dans cet exemple (FG)//(ADB). Si deux plans (P) et (P ) sont perpendiculaires et (Q) est perpendiculaire à (P) on ne peut pas dire que (Q)//(P ) autrement dit : Deux plans perpendiculaires sur le même plan ne sont pas nécessairement parallèles. Sur le cube voir les plans (ABC), (ABE) et (ADE) Si deux plans sont parallèles tout plan perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre 11

12 Exercice 1 : EXERCICES 2- Montrer que (DE)//(B C ) Soit ABCDEFGH un cube ; déterminer l intersection des plans (BDG) et (ACG). Exercice 2 : Soient (D) et (D ) deux droites non coplanaires dans l espace A et B sont deux points distincts de (D) ; A et B sont deux points distincts de (D ). 1- Montrer que (AA ) et (BB ) sont non coplanaires. 2- Soient (P) est le plan déterminé par (D) et A et (P ) le plan déterminé par (D ) et A Déterminer l intersection de (P) et (P ). Exercice 3 : Soit ABCD un tétraèdre, P, Q et R sont des points respectifs de [AB], [AC] et [AD] tels que : (PR) (BD) = {J}, (PQ) (BC) = {K} et (QR) (CD) = {I} Prouver que les points I, J et K sont alignés. Exercice 4 : Soit (P) un plan dans l espace, et (D) une droite qui le coupe en I, Soient A et B deux points distincts de (D) et M un point dans l espace qui n appartient pas à (D), les droites (MA) et (MB) coupent respectivement le plan (P) en A et (B ). Montrer que les point A, B et I sont alignés. Exercice 5 : Soit ABCDE une pyramide de base le parallélogramme BCDE et B et C sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. 1- Construire la figure. 3- Soit (Δ) la droite intersection des plans (ABC) et (ADE) ; Montrer que (Δ)//(B C ) Exercice 6 : Soient (P) et (Q) deux plans strictement parallèles, A (P), BCD un triangle inclus dans (Q), I, J et K sont les milieux respectifs de [AB], [AC] et [AD], la droite (CK) coupe le plan (P) en R. 1- Construire une figure. 2- Montrer que les plans (P) et (IJK) sont parallèles. 3- Prouver que (CD)//(AR) Exercice 7 : ( متوازي المستطيالت) Soit ABCDEFGH un parallélépipède I milieu de [GH], 1- les droites (EI) et (FM) se coupe en M ; Montrer que les pans (AEI) et (AFH) se coupe suivant la droite (AM) 2-a) Montrer que les points E, F, D et C sont coplanaires. b)montrer que (CF)//(DE) 3- Montrer que (CFh)//(BDE) 4- Montrer que la droite (CI) traverse le plan (ADH). Exercice 8 : Soient ABCD et ABEF deux carrées tels que (AD) (AF) et dont les centres respectifs sont I et J ; le plan qui passe par I et qui est perpendiculaire à (AB) coupe (AB) en H 1-a) Montrer que (AD) (ADE) b) En déduire que (HI) (ADE). 2- Déterminer l intersection (ACE) et (BDF). 3- Montrer que (BCE)//(IJH) 12

13 4- Sachant que AD = 4 déterminer le volume du tétraèdre IAJB. Exercice 9 : Soit ABCD un trapèze ; I l intersection de ses diagonales ; S un point de l espace tel que : S (ABC) et (SI) (ABC). 1-a) Déterminer l intersection de (SAC) et (SBD) b) Déterminer l intersection de (SAB) et (SDC) 2-a) Vérifier (SI) (AB) b) Montrer que (SAC) (ABC) 3- On suppose due le triangle (ABC) est triangle en B et que SI = 3cm ; AB = 2cm et BC = 4cm ; déterminer le volume du tétraèdre SABC.(voir le complément à la fin de ce cours) Exercice 10 : Soit ABCDEFGH un cube ; AB = a ; 1-Montrer que (BDE) et (CFH) sont perpendiculaires à (AG). 2- Calculer les volumes des connes de sommet respectifs A et G et de bases le cercle circonscrit au triangle BDE COMPLEMENT 13