Aires. Oral 1 du CAPES externe. Dany-Jack Mercier

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1 ires Oral 1 du PES externe Dany-Jack Mercier

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3 Table des matiäres Introduction 7 1 Plan Introduction DÄÅnitions et premiçres propriätäs Figures classiques du collçge ire déun triangle ire sous une courbe Un outil pour les dämonstrations ThalÇs par les aires Pythagore par les aires Une caractärisation du centre de gravitä déun triangle onclusion DÅveloppement 21 3 Questions du jury 25 4 omplåments Que disent les programmes? Parties quarrables du plan DÄÅnition Remarques Un triangle est quarrable Deux caractärisations déune partie quarrable PropriÄtÄs Une däånition de léintägrale en terminale MÄthode dérchimçde de calcul de Ä DÄrivÄes des fonctions sinus et cosinus DÉautres preuves de Pythagore par les aires Glissements de parallälogrammes

4 4 TLE DES MTIÄRES Preuve déeuclide Preuve chinoise Preuve de GarÅeld Preuve de LÄonard de Vinci Sur un exercice du rallye délsace omparaison déaires de triangles Somme des cubes des Å premiers entiers ire déun quadrilatçre simple Lemme du chevron arycentre et aires nnexe

5 TLE DES MTIÄRES 5 Document proposä Ñ titre personnel par Dany-Jack Mercier dany-jack.mercier@hotmail.fr MÄgaMaths http ://megamaths.perso.neuf.fr/ Le plan proposä dans les pages qui suivent est un extrait dåun document complet publiä sur http ://stores.lulu.com/megamaths en 2011, appelä Ç Étre intägrä dans un recueil que je proposerai Ç mon Äditeur Publibook. LÅextrait qui suit vous est proposä Ç titre personnel. Il ne doit pas Étre distribuä Ç un tiers ou replacä sur internet ou sur un intranet. Merci de tenir compte de cette limitation pour que je puisse continuer Ç oñrir ce type de travaux aux usagers de MÄgaMaths :)

6 6 TLE DES MTIÄRES

7 Introduction 7 Introduction Je viens enån de terminer cette Ätude sur les aires que je méätais donnäe Ñ faire pour mes Ätudiants de Master 2 qui doivent passer les oraux du PES dans quelques semaines. En cette Ån déannäe universitaire , ceux-ci recevront ce document sous la forme déun polycopiä, mais je däsire le partager avec tous, tout de suite, en le proposant dans la collection "Oral 1 du PES externe" däbutäe sur lulu.com. e texte, qui doit faire partie déun livre déoral du PES sur lequel je travaille, prend une forme däjñ suösamment acheväe pour oürir une aide Ñ la cräation déune leáon personnelle sur les aires. On trouvera ici un plan et un däveloppement concernant la leáon n Ä 66 de la liste des leáons déoral 1 pour la session 2011, ainsi que des questions du jury et des compläments. es derniers permettent déapprofondir les notions abordäes et déorganiser rapidement ses connaissances, tout en proposant aussi déautres pistes et déautres idäes que léon peut utiliser si on le däsire. Il est bon de rappeler : - quéil néexiste pas une unique faáon déexposer une leáon donnäe, mais plusieurs qui toutes permettent de räussir un oral ; - quéil convient que chacun travaille personnellement sa leáon en faisant des choix qui tiennent compte de son caractçre, de ses aönitäs et de la faáon dont on se sent capable déexposer räellement au tableau. Un exposä-type fait gagner un temps präcieux en donnant, en quelques pages, des idäes präcises sur ce que léon attend et que léon peut placer dans sa leáon, tout en mettant en garde sur les passages dälicats susceptibles déun questionnement du jury pendant léentretien. La partie "Questions du jury" a déailleurs ÄtÄ crääe pour präparer le candidat Ñ räpondre Ñ des questions quéil néa pas forcäment en tàte au moment oâ il rääächit sur sa leáon. Éest en approfondissant les thçmes des oraux que léon obtiendra un recul suösant pour proposer un plan convenable et disposer des connaissances näcessaires pour räussir son entretien. e travail aiguise ses capacitäs et permet de mieux concevoir des thçmes mathämatiques fondamentaux. Il en vaut la peine. Dany-Jack Mercier, le 28 mai oral1aires v1.01 cä 2011, Dany-Jack Mercier. Tous droits räserväs.

8 8 Introduction

9 hapitre 1 Plan PrÄrequis : - Mesure déune longueur de segment (systçme mätrique). - Figures planes usuelles, rudiments de gäomätrie plane. - DÄterminant, produit vectoriel. - Fonctions de R dans R, courbe repräsentative, continuitä Introduction Une surface est une Ågure gäomätrique, autrement dit une partie déun plan aöne euclidien P. LÉaire déune surface est le nombre qui mesure cette surface, qui indique la grandeur de celle-ci, son Ätendue. Dans le systçme mätrique, léaire est exprimäe en mçtres carräs (symbole : Ç 2 ). 1.2 DÅÇnitions et premiäres propriåtås PavÄ droit ã hoisissons un repçre orthonormal R = (ÉÑÖÜÑÖá) du plan, ce qui permet déidentiåer un point du plan Ñ son couple de coordonnäes (àñ â) dans ce repçre, et déäcrire P = R 2. On appelle pavå droit (ou pavå fermå bornå) toute partie de P de la forme : ä = [ãñ å] Ä [çñ é] oâ ã, å, ç, é sont des räels tels que ã Å å et ç Å é ( 1 ). 1 utrement dit Ä = få(çé Ñ) 2 P Ö Ü Å Ç Å á et à Å Ñ Å âg, oâ léäcriture Å(ÇÉ Ñ) signiåe que Å est le point de coordonnäes Ç, Ñ dans le repçrer 9

10 10 HPITRE 1. PLN ä est un rectangle dont les cåtäs sont parallçles aux axes de coordonnäes. Par däånition, léaire de ä est le nombre : (ä) = (å Ç ã) Ä (é Ç ç) è ela revient Ñ attribuer léaire 1 au carrä ê = [0Ñ1] Ä [0Ñ 1], puis mesurer léätendue de ä en utilisant ce carrä comme unitä. Éest ainsi que léon präsente les aires dçs le primaire 2. Par exemple, un rectangle de longueur 4 unitäs et de largeur 3 unitäs contient 4 Ä 3 = 12 carräs de cåtäs une unitä. Son aire est donc de 12 carräs. Si le cåtä du carrä ê mesure 1 çç, léaire du rectangle est 6 çç 2 (fig. 1.1). Fig. 1.1 ç Un rectangle déaire 6 unitäs Partie pavable ã On appelle partie pavable du plan toute räunion déun nombre Åni de paväs droits. On admet quéune partie pavable ä séäcrit toujours comme la räunion ä = S Ä Å=1 ä Å "presque disjointe" de paväs droits, en ce sens que les ä Å sont disjoints entre eux ou ne séinterceptent que suivant un segment. On dit alors que léaire de ä est la somme des aires des ä Å : (ä) = ÄX (ä Å )è Å=1 On admet que cette däånition a un sens 3. 2 ttention! Le jury peut ici poser une question. Voir Question 3.15 p Pour que cette däånition ait un sens, il faut et il suöt que la somme Ä Ä Å=1 (ÄÅ) soit indäpendante du choix de la "presque partition" fä Åg 1ÄÅÄÄ de Ä. Il est raisonnable déadmettre ici ce räsultat qui correspond Ñ notre intuition. Une idäe de la dämonstration est proposäe en [18] é Å. Quoi quéil en soit, il séagit déexpliquer cela au jury si celui-ci demande des präcisions au sujet de la validitä de la däånition de(ä).

11 1.3. FIGURES LSSIQUES DU OLLÄGE 11 Partie quarrable ã partir de lñ, on devrait däånir ce que léon entend par partie quarrable du plan, mais une däånition präcise sortirait du cadre de cet exposä 4. On se contentera de dire quéune partie quarrable est une partie pour laquelle on peut däånir une aire en utilisant des encadrements, comme on le fait pour un disque quand on encadre son aire en utilisant des polygones inscrits et exinscrits 5. Finalement, on admettra quéil existe une famille Q de parties du plan, appeläes parties quarrables, et une application : : Q! R + ä 7! (ä) de Q dans R +, qui Ñ une partie quarrable ä associe son aire (ä), et qui väriåe : (1) LÉaire déun segment est nulle, (2) La räunion, léintersection et la diüärence de deux parties quarrables est quarrable. (3) (dditivitä 6 ) LÉaire déune räunion disjointe de parties quarrables est la somme des aires de ces parties : 8äÑ ê 2 Q (ä [ ê) = (ä) + (ê) è (4) (Invariance par isomätrie) Les isomätries conservent les aires. utrement dit, si Is (P) däsigne le groupe des isomätries de P, 8ä 2 Q 8ë 2 Is (P) 1.3 Figures classiques du colläge (ë(ä)) = (ä)è u terme de sa scolaritä en collçge, un ÄlÇve doit connaètre les formules donnant les aires déun certain nombre de Ågures classiques (tableau p. 15). Donnons rapidement un petit panorama de ce que léon fait en collçge. 4 Dans le secondaire, la plupart des travaux sur les aires portent sur des parties pavables du plan, avec deux exceptions notables : léaire déun disque et léaire sous la courbe repräsentative déune fonction continue. 5 Un däveloppement sur les surfaces quarrables est proposä dans les compläments, Ñ la Section 4.2 p On peut parler déadditivitä forte en ce sens que léon peut permettre aux intersections de contenir des segments.

12 12 HPITRE 1. PLN SIXIEME Rectangle ã La formule = íäì peut àtre introduite en prenant des valeurs entiçres de í et ì, et en remplissant le rectangle avec des carräs de cåtäs léunitä. De nombreuses activitäs de sixiçme concernant les aires consistent Ñ compter le nombre de carräs ou de demi-carräs präsents dans une Ågure, comparer des aires entre elles, utiliser des puzzles et diüärencier le pärimçtre et léaire déune Ågure. Triangle ã On complçte un triangle pour obtenir un rectangle déaire le double de celle du triangle. U V Disque ã La formule donnant léaire déun disque est admise en collçge. On obtient une approximation de cette aire par la mäthode dérchimçde. Si D est le disque de frontiçre, la mäthode consiste Ñ encadrer léaire de D par les aires des polygones räguliers convexes inscrits dans le cercle et par celles des polygones räguliers convexes circonscrits au cercle 7. INQUIEME ParallÄlogramme ã On se ramçne Ñ un rectangle par däcoupage et translation 8. D D U V En cinquiçme, il est demandä de faire calculer des aires de surfaces planes en les däcomposant en surfaces dont les aires sont connues. Il semble donc raisonnable déätudier aussi les surfaces suivantes : 7 La mäthode est dätailläe Ñ la Section 4.4 p On peut utiliser la symätrie centrale par rapport au milieu ä déune diagonale du parallälogramme. elle-ci conserve les aires, donc léaire du parallälogramme ãåçé vaut deux fois celle du triangle ãåç. La symätrie centrale est au programme de cinquiçme.

13 1.3. FIGURES LSSIQUES DU OLLÄGE 13 TrapÖze ã On peut däcouper le trapçze en un rectangle et deux triangles rectangles, et additionner toutes les aires (calcul littäral). On peut aussi construire le symätrique du trapçze par rapport au milieu de léun de ses cåtäs non parallçles, pour voir apparaètre un parallälogramme dont léaire est le double de celle du trapçze. La mäthode que je retiendrai, et qui est proposäe dans la Ågure ci-dessous, consiste Ñ partager le trapçze en un parallälogramme et un triangle, et faire un calcul littäral Ñ portäe déun bon ÄlÇve de cinquiçme. D D U Losange ã On se ramçne facilement Ñ un rectangle de cåtäs les longueurs î et é des diagonales, de sorte que léaire du losange soit Ägale Ñ la moitiä de léaire î Ä é de ce rectangle. D D Polygone convexe et autres Ügures composäes ã On ramçne le calcul de léaire déun polygone Ñ celui des aires de triangles qui le recouvrent. On procçde ainsi par triangulation. Les exercices proposäs en cinquiçme permettent de räinvestir toutes les connaissances sur les aires des Ågures-clÄs pour calculer des aires de surfaces dont un pavage est facile Ñ obtenir. TROISIEME LÉaire de la sphçre est au programme de troisiçme.

14 14 HPITRE 1. PLN Quelques conseils en voix oñ Nous devons präsenter un plan en 15 minutes. e panorama des Ügures de gäomätrie classiques ÄtudiÄes au collöge sera donc präsentä uniquement Ç låoral, en faisant de petits dessins Ç main leväe tout en expliquant sobrement låidäe du calcul des aires qui nous intäressent. Dans les propositions de plans de ce recueil, on trouve bien Ävidemment des paragraphes entiörement rädigäs car je ne peux pas faire autrement que de donner låidäe dåun exposä oral en utilisant uniquement un support Äcrit. Un surplus dåinformation permet au lecteur de mieux comprendre une idäe. Mais cela signiüe quåil faudra faire le tri entre ce que låon Äcrira au tableau et ce que låon se contentera de dire Ç låoral en se tournant autant que possible vers le jury. ette remarque est aussi pertinente quand on Änonce des thäorömes ou des exercices : ceux-ci sont rädigäs dans ce recueil á et parfois de faàon trös dätailläe á mais devront Étre souvent präsentäs en deux mots et un dessin dans le cadre de la väritable Äpreuve orale. e nåest quåç certains moments cruciaux, pendant låexposä, que låon devra såaccorder du temps pour Äcrire une däünition ou un thäoröme avec präcision, pour montrer au jury que låon est tout Ç fait capable de le faire. Le tableau präsentä sur la page ci-contre nåest pas Ç proposer au jury : il est placä ici pour que låon puisse rapidement visualiser toutes les formules dåaires que låon peut utiliser en collöge, ce qui permettra trös certainement de räpondre Ç des questions sur ce sujet. LÅobjectif pädagogique et la näcessitä dåeâcacitä priment donc sur låexposä sec dåun plan tel quåil sera donnä Ç låoral, ce qui me paraät Étre le bon choix pour ce recueil. Les notes de bas de page, ainsi que les renvois Ç la Section de Questions du jury ou Ç celle de ompläments partent du méme principe quåun exposä nåest pas entiörement contenu dans ce que låon dit, mais aussi dans ce que låon sous-entend connaätre. es connaissances nous accompagnent en "tãche de fond" (background) et prärequis quåil såagit dåapprofondir autant que possible. ette tãche, ce travail de fond, lägitime les compläments que je me sens obligä de placer aprös les Sections consacräes au plan et Ç son däveloppement.

15 1.3. FIGURES LSSIQUES DU OLLÄGE 15 l L = l x L h x h = 2 O+ R = Ä R 2 SixiÄme inquiäme h = x h h b (+b) h = 2 = D x d d Triangulation D TroisiÄme ire de la sphäre de rayon R = 4 Ä R 2 Les aires au collçge

16 16 HPITRE 1. PLN 1.4 ire déun triangle Voici deux expressions pratiques de léaire déun triangle utilisant le däterminant ou le produit vectoriel : ThÅorÄme 1.1 LÅaire dåun triangle ïñó såäcrit indiñäremment : ÇÉÑ = 1 Ç! Ç! jj ïñ ^ ïójj ou ÇÉÑ = jdet Ö( Ç! Ç! ïññ ïó)j oå le däterminant est pris dans une base orthonormale ò = ( Ç! ò 1 Ñ Ç! ò 2 ) du plan. La premiçre formule est utilisable quand les points ï, ñ, ó appartiennent Ñ léespace aöne euclidien de dimension 3, mais on peut aussi léäcrire si léon travaille en gäomätrie plane moyennant une convention simple (voir Question 3.11). La seconde formule suppose que léon travaille dans un plan. 1.5 ire sous une courbe omment präsenter raisonnablement léintägrale déune fonction numärique de la variable numärique ë au lycäe sans avoir recours aux sommes de Riemann ou de Darboux? Simplement en däånissant léintägrale déune fonction comme une aire sous la courbe de cette fonction. Il suöt ensuite de väriåer que, sous de bonnes hypothçses, cette "fonction aire sous la courbe" est därivable, de däriväe ë. ela peut facilement se montrer quand ë est continue positive et monotone, et on peut léadmettre pour toute fonction continue. Les aires peuvent donc servir déoutil pour introduire léintägrale et les primitives déune fonction en terminale Un outil pour les dåmonstrations Depuis les ElÄments dåeuclide, les aires ont ÄtÄ utilisäes comme un outil permettant de dämontrer de nouveaux ÄnoncÄs, et certains ÄnoncÄs gagnent toujours Ñ àtre prouväs de cette faáon. Les aires permettent en outre de dämontrer des ÄnoncÄs comme le ThÄorÇme de ThalÇs quéil serait impossible de prouver en utilisant seulement des connaissances de collçge. Il est important de remarquer les points suivants : 9 NÉoublions pas que nous exposons un plan succinct de leáon. SÉil le däsire, le jury pourra toujours demander, pendant léentretien, des präcisions sur ce que léon a voulu dire ici. Le lecteur pourra lire la Question 3.13 p. 31 et la mise au point de la Section 4.3 p. 48.

17 1.6. UN OUTIL POUR LES DÅMONSTRTIONS 17 - Deux triangles de méme base et de méme hauteur ont la méme aire. Sur la fig. 1.2 (a) les triangles ïñó et ïñî ont màme aire puisque les sommets ó et î appartiennent Ñ la màme parallçle Ñ la base (ïñ) ( 10 ). De màme, sur la fig. 1.2 (b), les triangles ôö õ et úùû ont màme aire car ô, ö, ú, ù sont alignäs sur une màme parallçle Ñ (õû), avec ïö = úù. Fig. 1.2 ç Des Ågures fondamentales - Plus gänäralement, Euclide Änonce, au III e siçcle av. J.-, que les aires de triangles de méme hauteur sont proportionnelles Ç leurs bases. - Les aires des parallälogrammes dont deux cçtäs parallöles sont inclus dans deux droites parallöles donnäes Ç låavance, sont proportionnelles aux longueurs de ces cçtäs ThalÄs par les aires Les deux dessins de la fig. 1.3 permettent de dämontrer le ThÄorÇme de ThalÇs en utilisant des aires (solution p. 21) Pythagore par les aires En collçge, la fig. 1.4 permet de dämontrer le ThÄorÇme de Pythagore en utilisant des aires. LÉÄtude des angles qui apparaissent montre que le losange ìü ä est un carrä 12, déoâ : (å + ç) 2 = 4 Ä åç 2 + ã2 Ñ 10 ette conåguration Ätait appeläe conüguration du bonnet dåãne, bonnet qui jouait somme toute un råle assez important dans la pädagogie de däbut du XX e siçcle. 11 On pourrait parler ici du Lemme du chevron, et si on ne le fait pas, le jury pourrait le faire. Voir Question 3.14 p Les quatre triangles rectangles sont isomätriques. LÉangle \ÄèÅ vaut 180 Å moins la somme des angles [ãèä et \åèå, qui vaut un droit puisquéil séagit des angles aigus déun màme triangle rectangle. Donc \Ä èå =90 Å et le losange èåêä est un carrä.

18 18 HPITRE 1. PLN N N M M Fig. 1.3 ç ThalÇs par les aires puis å 2 + ç 2 = ã 2 en däveloppant. b L c c a P b M c c N Fig. 1.4 ç Pythagore par les aires Exercice 1.1 omment conclure Ç låägalitä å 2 + ç 2 = ã 2 en utilisant la méme Ügure, mais sans Äcrire de calcul littäral? Une caractårisation du centre de gravitå déun triangle Exercice 1.2 En utilisant des aires, dämontrer que le centre de gravitä dåun triangle ïñó est låunique point intärieur au triangle qui divise låaire du triangle en trois aires Ägales, autrement dit väriüe : ÜÇÉ = ÜÉÑ = ÜÑÇ = ÇÉÑ è 3

19 1.7. ONLUSION onclusion Il y a beaucoup Ñ dire sur les aires qui interviennent däcidäment un peu partout et Ñ tous les niveaux déenseignement. Les applications sont riches, variäes et nombreuses, et je néen ai präsentäes que quelques-unes parmi celles qui me semblent les plus importantes. Il méen vient encore plusieurs Ñ léesprit, que je néai pas eu le temps de dävelopper. Par exemple, léutilisation des aires : - pour calculer les fonctions däriväes des fonctions sinus et cosinus (p. 51). - pour rechercher les coordonnäes barycentriques du centre du cercle inscrit Ñ un triangle (Exercice 4.2 p.63 ). Ou encore le räsultat präcieux suivant lequel les coordonnäes barycentriques déun point ü quelconque du plan dans un repçre aöne (ïñ ññ ó) sont Ägales aux aires algäbriques des triangles üñó, üóï et üïñ, Ñ un coeöcient multiplicatif non nul prçs (Exercice 4.3 p. 65). LE DOUMENT OMPLET INTITULE : "ires - Oral 1 du PES externe" peut Ñtre tålåchargå en eook sur : http ://stores.lulu.com/megamaths