Terminale S le Jeudi 06/12/2018. Devoir surveillé 4. et C sa courbe représentative.

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1 Terminale S le Jeudi 6/1/18 Durée : heures Devoir surveillé 4 Exercice 1 : 1 points Soit f la fonction définie sur I = ]1 ; + [ par f(x) = et C sa courbe représentative Partie A : propriétés de C 1) a) Déterminer la limite de f en 1 b) En déduire l existence d une asymptote D à C et tracer D sur le graphique donné ci-dessous ) a) Démontrer que pour tout réel x I, f(x) = x () () b) En déduire la limite de f en + ) a) Dans le repère donné ci-dessous tracer la droite Δ d équation y = x + 1 en justifiant la démarche b) Conjecturer les positions relatives de C et de Δ sur I puis démontrer la conjecture Partie B : étude d une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x x 4 1) Etudier le sens de variation de g sur R ) Montrer qu il existe un unique réel α tel que g(α) = et que α [ ; ] ) Donner un encadrement de α d amplitude,1 4) Déduire des questions précédentes le tableau le signe de g(x) sur R Partie C : valeur minimale prise par f 1) a) Montrer que pour tout x I, f (x) = () ( ) b) En déduire que f admet un minimum en α ) a) Démontrer que f(α) = b) A l aide de la partie B donner un encadrement de f(α) c) L encadrement précédent est-il d amplitude inférieure ou égale à,1? Sinon, comment obtenir un tel encadrement?

2 Exercice : 1) On considère la fonction f définie sur; par f (x) x x 4 a) Justifier que la fonction f est bien définie sur ; b) Montrer que, pour tout x ; on a : f (x) c) Calculer lim f (x) x d) Dresser le tableau de variation de la fonction f ) On considère la courbe C d équation y x x x x 4 pour x ; Etudier son signe On place A( ; ) Soit M un point quelconque de C, on note x son abscisse On veut déterminer la position du point M sur C qui rend minimale la distance AM a) Démontrer que la distance AM est donnée par pour x ; AM x x 4 b) En réinvestissant les résultats obtenus dans la question 1), déterminer la position du point M pour laquelle la distance AM est minimale On précisera les coordonnées de ce point M et la valeur exacte de cette distance minimale Exercice : Dans un repère orthonormé de l espace, on considère les points A5; 5;, B1;1; ; C;1; et D6;6; 1 1) Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire ) a) Montrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan (BCD) 1 b) Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD) ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite d orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A 4) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite d et du plan (BCD) 5) Déterminer le volume du tétraèdre ABCD 1 On rappelle que le volume d un tétraèdre est donné par la formule V b h où b est l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante 6) On admet que AB 76 et AC 61 Donner une valeur approchée au dixième de degré près de l angle BAC ;

3 Terminale S Correction du devoir surveillé 4 du 6/1/18 Exercice 1 : 1 points Soit f la fonction définie sur I = ]1 ; + [ par f(x) = et C sa courbe représentative Partie A : propriétés de C 1) a) lim x x 1 et lim x 1 On inverse un zéro donc la limite sera infinie Il faut faire une étude de signe du x1 dénominateur x1 x 1 x 1 ou x 1 x x^-1 lim x 1 x1 x1 donc par quotient, lim f (x) x1 x1 b) D après la question précédente C admet une asymptote verticale d équation x = 1 On trace cette droite sur le graphique ) a) Soit x > 1, x + 1 ( ) = b) lim x 1 ; x = f(x) + = () ()() () () () () ()() 1 lim et lim x x 1 x x 1 donc par somme, lim f (x) x ) a) Il faut placer points de cette droite pour la construire Si x = alors y = 1 Si x = 4 alors y = 5 = () ( ) = ( ) = b) D après le graphique obtenu dans la question précédente, il semble que C soit au-dessus de Δ sur I Pour le démontrer, on montre que pour tout x I, f(x) (x + 1) Soit x I, f(x) (x + 1) a 1 = x + 1 (x + 1) + (x 1) (x + 1) = 1 (x + 1) + (x 1) (x 1) + (x + 1) x + 4 = = (x + 1)(x 1) (x + 1)(x 1) = x + (x + 1)(x 1) = x + x 1 Signe de sur ()() Sur 1;, > ()() 1; : Sur 1;, x + > et x 1 (Voir le tableau de signes précédents) On en déduit que pour tout x I, f(x) (x + 1) >, ce qui démontre la courbe de f est au-dessus de la droite Δ

4 Partie B : 1) Pour étudier le sens de variation de g sur R on y étudie le signe de g g est dérivable sur R (fonction polynôme) et, pour tout x R, g (x) = x = (x 1) = (x 1)(x + 1) On en déduit que g (x) x ] ; 1] [1 ; + [ (le coefficient du monôme d ordre est > ) De plus comme De même, lim x x alors lim g x x 4 g x x 1 x x lim x alors x 4 et lim 1 1 x x x (par produit) ; 4 et lim 1 1 x alors lim g x x x x (par produit) ; Ensuite, g( 1) = ; g(1) = 6 ; On peut alors 6 dresser le tableau suivant : ) Sur ] ; 1] : le maximum de g est donc l équation g(x) = n admet pas de solution sur cet intervalle Sur [1 ; + [ : g est continue (car dérivable) et strictement croissante de [1 ; + [ vers [ 6 ; + [ Comme [ 6 ; + [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique α [1 ; + [ tel que g(α) = De plus, on a g() = < et g() = 14 > donc α [ ; ] ) D après la calculatrice : g(,19),7 < et g(,),5 donc,19 < α <, 4) D après les questions 1) et ) : - le maximum de g sur ] ; α] est g(α) = donc g est négative sur cet intervalle ; x α + - le minimum de g sur [α ; + [ est g(α) = donc g est positive sur cet intervalle g(x) + Partie C : 1) a) f est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son domaine de définition, avec, pour tout x I, f (x) = (x + x)(x 1) x(x + x + 1) (x 1) = x x + x x x x x (x 1) = x x 4x (x 1) = x(x x 4) (x 1) = xg(x) (x 1) b) Puisque pour tout x I, > alors le signe de f (x) sur I est ( ) entièrement déterminé par celui de g(x) Alors, d après les résultats obtenus en parties A et B, on peut dresser le tableau suivant et f admet un minimum en 4 ) a) Méthode 1 : g 4 4 et Donc f ( ) Factorisons le numérateur donne x1 et x Donc 8 4 Alors f ( ) Méthode : f(α) α 4 = α + α + 1 α α = (α + α + 1) (α )(α 1) 1 (α = α + α + α + α + α 1) (α 1) = α + α + 4α (α 1) = α (α α 4) (α 1) = α g(α) (α 1) = b) D après B, puisque,19 < α <, et que la fonction x R Avec, est croissante sur R alors, = 4,5 à,1 près par défaut et, = 4, à,1 près par excès on a 4,5 < f(α) < 4, c) L amplitude de l encadrement précédent vaut,, < α <, =,7 à,1 près Donc l encadrement trouvé a une amplitude supérieure à,1 Pour obtenir un encadrement d amplitude inférieure ou égale à,1 il faut obtenir un encadrement de α plus fin que celui obtenu en question B D après la calculatrice on a g(,195) < < g(,196) donc α [,195 ;,196] De plus,,1 près donc l encadrement, < f(α) <, x g (x) g convient x 1 α + g(x) f f(α), =,7 à

5 Exercice : 1) On considère la fonction f définie sur; par f (x) x x 4 a) La fonction est définie ssi x x 4 D où Ce qui fait que ce trinôme est du signe de a = 1 pour tout réel En particulier, ce trinôme est strictement positif pour tout réel appartenant à ; Donc f est bien définie sur ; b) Cette fonction est dérivable sur ; comme racine carrée d une fonction dérivable strictement positive et en utilisant la formule u u avec u x x 4 et u x u Comme x x 4, le signe de f (x) est celui de x x x On en déduit le tableau de signes : x f (x) alors pour tout x ; + on a : f (x) x x x 4 c) x x 4 x 1 x x Comme X lim 4 4 lim x et lim 1 1 x x donc par produit x x X alors par composition, lim f (x) lim x x 4 x x lim x x 4 x d) f Voici le tableau complet de f : x + f'(x) + sqr(x^-*x+4) ) a) M est un point de la courbe C donc pour tout x ;, les coordonnées de M sont Mx; x M A M A AM x x y y x x x 4x 4 x x x 4 Alors b) Pour tout x ; 7, AM = f(x) Selon la question 1, f admet un minimum pour x donc la distance AM est minimale 7 pour le point M d abscisse x Le point M est de coordonnées M ; et la distance minimale est AM

6 Exercice : ) BC ; CD 5 et BD 5 1 BC CD Alors BC CD donc BCD est un triangle rectangle en C BC 1 5 ; CD ; BC CD Aire BCD unités d aires ) a) Comme BC CD alors BC et CD ne sont pas colinéaires donc (BCD) est un plan n BC 1 1 donc BC n n CD donc CD n BD Il n est pas isocèle n est normal à deux vecteurs non colinéaires de (BCD) donc n est normal à (BCD) b) Une équation du plan (BCD) est de la forme ax + by + cz + d = avec n vecteur normal au plan donc nous avons : 1 -x + y + z + d = Le point B appartient au plan d où Alors (BCD) : x y z 5 x y z d 1 1 d d 5 B B B ) d est dirigée par n et passe par A donc un système d équations paramétriques est donné par : x 5 k y 5 k k z k x 5 k y 5 k 4) On résout : On injecte les équations de la droites dans celle du plan : z k x y z 5 5 k 5 k k 5 1 4k 15 9k k 5 14k 8 k x 5 1 Remplaçons k dans le système de la droite d : y 5 1 La droite d et le plan (BCD) se coupent en H 1;1; 4 z 4 5) On prend comme base le triangle BCD rectangle en C et comme hauteur le segment [AH] car H est le projeté orthogonal de A sur (BCD) AH V 1 AireBCD AH unités de volume 6) On calcule le produit scalaire AB AC de deux manières 6 5 Dans un repère : AB 6 et AC 6 AB AC donc Avec la formule du cosinus : AB AC AB AC cos BAC cos BAC alors cos BAC Avec la calculatrice, BAC 14,