Deux modèles de bruit de microstructure et leur inférence statistique

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1 et leur CMAP-X, Paris 7, ENSAE-CREST et CNRS 17 Septembre, 2009

2 Plan

3 Representation du prix d un actif en dimension 1 prix traité = drift + fluctuations + sauts prix = drift + σ BM + PPP Dans une échelle macroscopique = semimartingale d Itô Rupture du comportement diffusif (bruit de ).

4 Bund Time Figure: 10Y German Bund (FGBL) avec = 1 jour (traded price), du 04 Apr tau 06 Dec

5 Figure: Marche aléatoire simple, = 1 jour, 04 Avr au 06 Dec

6 En dimension 1 : le signature plot 0 < δ := échelle microscopique physique (échantillonnage choisi). Si alors VH (t) := 1 t k=1 d(log)s t = µ t dt + σ t db t ( ) t 2 Sk S (k 1) S t = σs 2 ds, lorsque 0 avec précision de l ordre. Choisir δ! Mais effect. 0

7 Bund Signature plot Oct05 Nov05 Feb Dyadic subsampling (calendar time) Figure: Volatilité historique (sur incréments), FGBL

8 Bund Signature plot 1 e 04 2 e 04 3 e 04 4 e 04 5 e Dyadic subsampling (calendar time) Oct05 Nov05 Feb06 Figure: Idem (sur log-rendements).

9 Bund Signature plot Oct06 Nov06 Feb Dyadic subsampling (calendar time) Figure: Volatilité historique (sur accroissements), FGBL

10 Bund Signature plot 1 e 04 2 e 04 3 e 04 4 e 04 Oct06 Nov06 Feb Dyadic subsampling (calendar time) Figure: Idem (sur log-rendements).

11 Eurodollar Signature plot Dyadic subsampling (calendar time) Figure: Volatilité historique, tau de change Euro-Dollar (sur accroissements).

12 value time Figure: FGBL, du 05 Feb 2007 au 09 Feb 2007, = 1 min.

13 value Figure: FGBL, 06 Feb 2007, 08:30 17:00 (UTC) 1 donnée par seconde. time

14 value time Figure: FGBL, 06 Feb 2007, 09:00 10:00 (UTC) 1 donée par seconde.

15 En dimension 2 : structure de dépendance Analyse de 5 jours (du 18 Feb au 22 Feb 2008) de données historiques FGBL/FGBM Calcul de la corrélation empirique pour differentes d échantillonnage. 1 heure 1 mn 30 s 20 s 10 s 5 s 2 s cc Effet de Epps!

16 Price Bund and Bobl Bund Bobl 13:00 13:48 14:36 15:24 16:12 17:00 17:48 Time

17 Corrélation macroscopique pleine Situation standard (sur flux FX): actifs ultra-corrélés (5 bonds sur le secteur Allemagne). Maturités 04/07/14, 04/01/15, 04/07/15, 04/01/16, 04/01/14. Matrice de corrélation empirique (observations journalières du 02 Jan au 20 Jul. 2007)

18 Figure: 5 bonds du secteur allemand, 02 Jan au 20 Jul

19 Approche prix latent (efficient) perturbé Ce que l on peut observer = ( Y 1,..., Y T δ 1), où K δ (s, dx) noyau markovien. Loi ( Y k (St ) t ) = Kδ (S kδ, dx) Conditionnellement au prix latent, (S t ) t, les Y i sont indépendants.

20 Vers une représentation () asymptotique δ 0, T 1, Loi ( Y k (St ) t ) = pδ (S kδ, x)dx { ϑ pδ (ϑ, x) } modèle paramétrique régulier Exemple prototype : bruit additif d intensité a δ > 0 p δ (s, x) = a 1 δ g ( (x s)/a δ ), avec xg(x)dx = 0, x 2 g(x)dx = 1.

21 Vers une représentation () asymptotique Coarse graining Z j := MLE ( Y k, k Λ j ), j = 1,..., Mδ. Z j S jm 1 δ + approximation gaussienne: S jm 1 δ + Λ j 1/2 ( ) 1/2ξj I aδ SjM 1 δ S (j 1)M 1 δ M 1/2 δ σ jm 1 δ où les ξ j et ξ j sont des gaussiennes standard indépendantes. ξ j,

22 Le cas additif Dans le cas additif pour a δ constant : I aδ = K d où M 1/2 δ for j = 1,..., M δ. (Z j Z j 1 ) [ σ 2 + KM jδ 1/2 δ Λ 1 j ] 1/2 ξ j Λ j δ 1 /M δ + non-explosion impose M δ M δ δ 1 1 M δ δ 1/2. La vitesse de conergence est δ 1/4. Cohérent avec la littérature (Gloter-Jacod etc.) mais pas précis...

23 Vers une représentation pls précise (et rigoureuse) Modèle de régression non-paramétrique pour le paramètre (infini dimensionnel) (σ s, s [0, T ]), T = 1. On cherche une représentation (asymptotiquement équivalente) U i,δ = Φ ( σ(i δ) ) + ξ i,δ où les ξ i,δ sont i.i.d. standard normaux. La forme du design i δ est suggérée par les résultats précédents. Recherche de Φ( ) (si une telle fonction existe).

24 Comparaison d expérience s E N = ( P ϑ, ϑ Θ ), F N = ( Q ϑ, ϑ Θ ). Déficience entre E N et F N : δ ( E N, F N) := inf K Distance Delta de Le Cam: sup KP θ Q θ TV, ϑ Θ ( E N, F N) := max{δ ( E N, F N), δ ( F N, E N) }.

25 Modèle limite pour le bruit de additif Gloter-Jacod montrent que si σ(s) = ϑ, ϑ > 0, a δ = 1: ϑ EMV = ϑ + δ 1/4 2ϑ ξ δ, ξ δ d N (0, 1). l EMV est une exhaustive. Pour toute Φ( ) régulière, Φ( ϑ EMV ) Φ(ϑ) + δ 1/4 2ϑ Φ (ϑ)ξ δ. Prendre Φ(x) = 2x de sorte que Φ (ϑ) = 1/ 2ϑ. Alors 2 ϑ EMV = 2ϑ + δ 1/4 ξ δ.

26 Expérience limite Admettons que l on puisse raisonner localement en espace. Les résultats précédents suggèrent l expérience limite suivante: on observe Y (dt) = 2σ t + δ 1/4 ξ(dt) où ξ(dt) est un bruit blanc (gaussien). Dans sa forme discrète (Brown-Low) on a équivalence avec U i,δ = 2σ(i δ) + ξ i,δ où les ξ i,δ sont i.i.d. standard normaux. Donc φ(x) = 2x.

27 Price Bid Ask Bid Ask spread 08:00 08:12 08:24 08:36 08:48 09:00 Time Figure: Bund (FGBL) Bid-Ask over 1 hour.

28 Price Bid Ask Last traded Bid Ask spread and last traded 08:00 08:12 08:24 08:36 08:48 09:00 Time Figure: Idem with transactions.

29 Price Bid Ask Efficient price Last traded Bid Ask spread, last traded and efficient price 08:00 08:12 08:24 08:36 08:48 09:00 Time Figure: Efficient price enhancement.

30 Price Bid Ask spread Bid Ask 08:24 08:48 09:12 09:36 10:00 10:24 10:48 Time Figure: Bund (FGBL) Bid-Ask over 3 hours.

31 Price Bid Ask spread and last traded Bid Ask Last trade 08:24 08:48 09:12 09:36 10:00 10:24 10:48 Time Figure: Idem with transactions.

32 Price Bid Ask spread, last traded and efficient price Bid Ask Efficient pric Last traded 08:24 08:48 09:12 09:36 10:00 10:24 10:48 Time Figure: Efficient price enhancement.

33 Approche alternative Recherche d un modèle multivarié ayant les propriétés suivantes: Etre défini en temps continu dans une échelle microscopique. Incorporer le bruit de ET l effet de Epps. Diffuser grandes.

34 Approche alternative 1 Processus de prix = ponctuel. Marques : sauts haut/bas de 1 tick, Temps de sauts: temps enregistrés de changements de prix. 2 Le de prix est la résultante (somme) d un changement de prix vers le haut et d un changements de prix vers le bas. Processus avec intensités aléatoires couplées bruit de. 3 Le prix de deux actifs est obtenu en couplant les intensités des de changements vers le haut et changements vers le bas respectifs structure de dépendance.

35 Processus de Poisson standard T 0 = 0 < T 1 < T 2 <... < T n <... (T n T n 1 ) n 1 suite de v.a. i.i.d. exponentielles de paramètre λ. N t := n 0 1 Tn t de Poisson homogène d intensité λ > 0.

36 Interprétation N t est une variable de Poisson de paramètre λt. (N t ) t 0 PAIH. N t N s = L N t s N t N s indépendant de F s = σ(n u, u s). P [ il y a un saut entre t and t + dt ] = λdt E [ nombre de sauts entre s and t ] = λ(t s) E [ temps entre deux sauts ] = 1 λ.

37 Processus de Poisson composé Pour λ, µ > 0, soit N λ t et N µ t deux de Poisson indépendants d intensité λ et µ. Alors M λ,µ t := N λ t N µ t = ε n 1 Tn t, n=0 est une de Poisson composé avec ( T n T n 1 ) n 1 exponentielles indépendantes de paramètre λ + µ. Loi de sauts: P [ ε n = +1 ] = 1 P [ ε n = 1 ] = λ λ + µ.

38 Principe d invariance macroscopique prendre λ = µ = λ 0 δ 1 avec δ 0 (donne la limte continue en espace). M λ t = Nt λ,λ Renormalisation spatiale 0 ε i, ε i i.i.d. standard Bernoulli ± 1. δm λ t [δ 1 t] δ ε i B 2λ0 t, où (B t ) t [0,1] est un mouvement brownien standard. Par scaling B 2λ0 t = L 2λ0 B t et 2λ 0 est la volatilité macroscopique 1/2. 0

39 Processus de Poisson inhomogène Propriété martingale d un de Poisson standard d intensité λ E [ N t+h N t F t ] = λh donne E [ N t λt F s ] = Ns λs. Plus généralement, si N t est un ponctuel (regulier), il existe un croissant Λ t = t 0 λ(s)ds (prévisible) t.q. N t Λ t est une martingale (locale). Intensité de N t : λ(t) = lim h 0 1 h E[ N t+s N t F t ]

40 Le cas inhomogène Si λ(t) est déterministe, N t N s = L Poisson ( t λ(u)du ). Que devient le principe d invariance? λ( ) δ 1 λ 0 ( ) donne t λ( ),λ( ) δm t 2λ0 (s)db s Etape suivante: λ( ) λ(, ω), ω aléatoire. 0 s

41 Processus de Hawkes : le cas de la dimension 1 Le N t est construit via son intensité stochastique t λ(t) = µ + h(t s)dn s 0 où h( ) est une fonction de couplage. Choix standard h(x) = αe βx. Interpretation des paramètres: µ: intensité exogène α: (ou plutôt α/β): intensité locale. β: fenêtre temporelle. (On a t 0 h(t s)dn s = T n<t h(t T n).) Contrainte essentielle: + 0 h < 1.

42 Estimation de paramètre, likelihood method La vraisemblance est explicite, étant donnée l observation d une trajectoire sur un intervalle de temps [0, T ] (Asymptotique T ). Si ϑ = (µ, α, β) log l(ϑ) = T 0 T log(λ ϑ (s))dn s λ ϑ (s)ds. 0 Mais: maximisation de la log-vraisemblance coûteuse numériquement.

43 Modèle de prix en dimension 1 Soit M t = N t + Nt, avec N t ± de Hawkes d intensités respectives λ ± t données par λ ± (t) := µ ± + α e β(t s) dns [0,t) µ ± : intensités exogènes (analogue à λ dans le cas simple). α et β: excitation de sauts provoquant un retour à la moyenne de M t. αe βx φ(x).

44 Modèle de prix en dimension 2 1 Partir de deux de prix X et Y construits comme précédemment. 2 Introduire un couplage supplémentaire sur les intensités des deux respectifs et créer ainsi une dépendance haut X -haut Y et bas X -bas Y. 3 (On ignore les couplages possibles haut X -bas Y et bas X -haut Y entre les deux prix X et Y.)

45 Représentation des intensités de X et Y On pose X (t) = N + X (t) N X (t) et Y (t) = N+ Y (t) N Y (t), avec λ ± X (t) = µ± X + Φ X,X (t s)dn X (s)+ Φ X,Y (t s)dn ± Y (s) et λ ± Y (t) = µ± Y + [0,t) [0,t) Φ Y,Y (t s)dn ± X (s)+ [0,t) [0,t) Φ Y,X (t s)dn ± X (s).

46 et signature plot En dimension 1 : calcul analytique du signature plot moyen lorsque Φ(x) = αe βx (via calcul explicite du spectre de Bartlett). En dimension 1 : limite (après renormalisation spatiale). En dimension 2 : limite (après renormalisation spatiale, avec Φ X,Y = Φ Y,X et Φ X,X = Φ Y,Y ).

47 Signature plot moyen Renormalisation Volatilité historique X (δ) (t) := δx (δ 1 t), t [0, 1]. { V X (δ) } 1 := (X (δ) (i ) X (δ)( (i 1) )) 2 Signature plot moyen i=1 en moyenne 1 δ 1 ( X ( δ 1 ) X (0) ) 2 V(t) := 1 t E[( X (t) X (0) ) 2] Interprétation V( δ 1 ) V { X (δ) }.

48 Signature plot moyen Si Φ X,X (x) = Φ Y,Y (x) = αe βx, Φ X,Y = Φ Y,X = 0 et µ + = µ = µ 0 on a (via spectre de Bartlett) pour X (ou Y) V(t) = 2µ [ α/β (1 + α/β) 2 + +(1 1 exp )1 (1 + α/β) 2 (α + β)t ( ) (α + β)t ]

49 Courbe théorique (estimée par EMV) vs. vol. historique Figure: Signature Plot (Theoretical vs. fitted).

50 en dimension 1 Etape 1 : compensation du prix δ 1/2( N + δ 1 t N δ 1 t + δ 1 t ( δ λ + (s) λ (s) ) ds 0 =: M (δ) t + C δ (t). ) δ 1 t ( δ 1/2 λ + (s) λ (s) ) ds Etape 2 : convergence du compensateur prévisible C (δ) (t) =δ 1/2 δ 1 t 0 Φ L 1 Φ L 1X (0) t. s 0 [0,t) 0 Φ(s u)d(n u + Nu ) t u dx (δ) (u) δ 1 Φ(δ 1 s)ds 0

51 en dimension 1 (cont.) A la limite X (0) (t) = Φ L 1X (0) (t) + M (0) t Convergence de la partie martingale (bornée de saut pur) M (δ) (t) δ 0 σb t, où B mouvement brownien standard et 2µ 0 σ =. 1 Φ L 1 Résultat final: X (δ) 2µ 0 1 (t) 1 Φ L1 (1 + Φ ) 2 B t

52 en dimension 2 Si Φ X,X = Φ Y,Y = φ et Φ X,Y = Φ Y,X = ψ et µ ± = µ 0, on a, à la limite, X (0) (t) = ψ Y (0) (t) φ X (0) 2µ 0 (t) + 1 ( φ + ψ ) B(1) t et (par symétrie) Y (0) (t) = ψ X (0) (t) φ Y (0) 2µ 0 (t) + 1 ( φ + ψ ) B(2) t où (B (1), B (2) ) est un mouvement brownien plan standard.

53 Résultat final en dimension 2 X (0) (t) = 2µ0 et (par symétrie) Y (t) = 2µ0 1 ( φ + ψ ) 1 ( φ + ψ ) Corrélation macroscopique 1 1 φ 2 (1+ ψ ) φ 2 (1+ ψ ) 2 Corr(X, Y ) = [ φ 1 + ψ B(1) t + B (2) ] t [ (1) B t + φ ] 1 + ψ B(2) t. 2 ψ 1 + ψ 2.

54 Vers une conclusion? Approche prix latent : Observer Y iδ = X iδ + ρu i, i = 1,..., δ 1, E[U i ] = 0, E[Ui 2 ] = 1. est asymptotiquement équivalent à l expérience Y (dt) = 2σ(t) + ρ 1/2 δ 1/4 Ḃ(dt). Approche Hawkes : Observer X (δ) (t), t [0, 1] est asymptotiquement équivalent à l expérience Y (dt) = 2 log [ σ(t) 1 ] + δ 1/2 1 φ (1 + φ ) 2 Ḃ(dt), (avec 2µ(t) = σ(t), cas limite φ = 0). C est raté!

55 Sauf si... Autre normalisation de l expérience latente : Y iδ = X iδ + ρ δu i, i = 1,..., δ 1. Dans ce cas, l expérience limite devient Y (dt) = c(ρ) log σ(t) + δ 1/2 Ḃ(dt), (avec c(ρ) = (2 + ρ 1 )( ρ(4 + ρ 2 ) 3 ) 1.) Les deux expériences sont asymptotiquement équivalentes si 1 c(ρ) = log (1 φ )(1 + φ ) 2