Métropole - Juin 2012 BAC S Correction

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1 Métropole - Juin 0 BAC S Correction / 7 Eercice. La courbe C est sous l ae des abscisses pour [-3 ;-]. Affirmation vraie. Sur [- ;], f () 0. Donc f est croissante sur cet intervalle. Affirmation vraie 3. f est croissante sur [- ;]. f(0) -. Donc pour tout [- ;0], f() -. Affirmation fausse 4. L équation de la tangente à la courbe en 0 est : y f (0) + f(0). Donc le point de coordonnées ( ;0) appartient à la tangente. Affirmation vraie. Eercice. a. b. p(e ) p(d E ) 0,4 0,7 0,8 c. p(f) p( ) + p(d ) + p(d E ) 0,6 + 0,4 0,3 + 0,4 0,7 0,7 0,93. Les études sont faites indépendamment les unes des autres. Il y a candidats. Chaque candidat peut être recruté ou non. p(f) 0,93. a. X suit donc une loi binomiale de paramètres n et p 0,07 b. On cherche p(x) 0,07 0,93 3 0,039 à 0-3 près.

2 Métropole - Juin 0 BAC S Correction / 7 n 3. p(x ) p(x 0) - 0 0,93n 0,93 n On veut donc que 0,93 n 0,999 c est-à-dire que -0,93 n -0,00 soit 0,93 n 0,00 par conséquent e nln 0,93 ln 0,00 0,00 n ln 0,93 ln 0,00 n ln 0,93 9,9 Le cabinet devrait donc traiter au moins 96 dossiers pour que la probabilité d embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 Eercice 3 Partie A + 0 Par conséquent lim +. lim + + donc f() 0 lim + lim + ln + 0. Pour tout, 0 < + <. La fonction ln est dérivable sur ]0 ;[. f est donc une somme de fonctions dérivables sur [ ;+ [ ; elle est donc également dérivable sur cet intervalle. - f () ( + )² ( + )² - ( + )² + ( + )² + - ( + )² + + ( + )² + f () ( + )² donc f () 0 pour tout + 0 f 0, ln 3. Par conséquent pour tout, f() 0. f est donc négative sur [ ;+ [

3 Métropole - Juin 0 BAC S Correction 3 / 7 Partie B. Lorsque n 3, l algorithme affiche Variables : Entrée : Initialisation : Traitement : Sortie : i et n sont des entiers naturels u est un réel Demander à l utilisateur la valeur de n Affecter à u la valeur 0 Pour i variant de à n Affecter à u la valeur u + i Fin Pour Affecter à u la valeur u ln n Afficher u 3. La suite (u n ) semble être décroissante et converger vers 0,7 Partie C. u n+ u n n + - ln (n + ) n - ln (n ) n + ln(n + ) + ln n n + + ln n n + f(n) Or f est négative sur [ ;+ [. Donc u n+ u n 0 la suite (u n ) est donc décroissante.. a. si + alors + soit - 0 On intègre donc sur [ ; + ], une fonction continue positive. L intégrale est donc positive. Par conséquent + + d - d 0 + Soit - Or + d 0 d [ ] et donc + + ln ln ( + ) ln Par conséquent ln ( + ) ln b. On a donc : ln ln d ln 3 ln

4 Métropole - Juin 0 BAC S Correction 4 / 7 ln 4 ln 3... ln (n + ) ln n n En additionnant les membres de gauche, tous les termes disparaissent à l eception de ln(n + ) et ln ( 0) Par conséquent ln (n + ) n c. Or, pour tout entier strictement positif n, ln n ln (n + ) n Donc u n 0 3. La suite (u n ) est donc décroissante et minorée. Elle converge. Eercice 4 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité.. a. b. f(-0,) -0, + f(-0, + i) - i + i i - 4i

5 Métropole - Juin 0 BAC S Correction / 7 +i f(-0, 0,i) - i + i c. L affie de est : - 4i i L affie de est : + i i Les vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points A, B et C ne sont pas alignés.. a. g est donc la translation de vecteur c. L ensemble E des points tels que z z est la médiatrice du segment [OE] où E est le point d affie. Donc E est la droite d équation. Or D est l image de D par la translation de vecteur. C est donc la droite d équation. Par conséquent E D. 3. a. L affie de A est. Donc h z A L affie de B est + i. Donc h + i - i i z B L affie de C est - i. Donc h - i + i + i z C b. z - - z z - z z z z c. Par conséquent l image de D par h est incluse dans le cercle de centre E() et de rayon. 4. f hog Donc l image de D par f est l image de D par hog. C est donc l image de D par h c'est-à-dire le cercle de centre E() de rayon privé de O. Eercice 4 Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. - + donc A appartient à D 0 + donc B appartient à D + 3 donc C appartient à.

6 Métropole - Juin 0 BAC S Correction 6 / 7. ( + i)z + 3 i 0 ( + i)z -3 + i z -3 + i + i (-3 + i)( - i) z - + i La solution est donc - + i - + donc le point d affie (-+i) n appartient pas à D. 3. a. L écriture complee de g est z ( + i)z + 3 i i + i + C est donc une similitude directe de rapport + i et d angle π 4 L affie de son centre est solution de l équation ω ( + i)ω + 3 i Donc iω 3 i. C est-à-dire ω -3 + i i + 3i b. g(- + i) i - i z A i g(i) i + 3 i + i z B + i g( + 3i) + 3i i + 3i z C + 3i c. L image d une droite par une similitude est une droite. D passe par A et B. Donc son equation est. 4. a. Affie de h(a ) : h( i) - i + i Affie de h(b ) : h( + i) + i - i

7 Métropole - Juin 0 BAC S Correction 7 / 7 Affie de h(c ) : h( + 3i) + 3i - 3i 0 b. z - - z z - z z z z c. L ensemble des points E vérifiant z z est la médiatrice de [OE] où E est le point d affie. Cette droite a donc pour équation. C est D. Par conséquent l image de D par h est incluse dans le cercle de centre F d affie et de rayon. d. Soit M un point du cercle C privé de 0. Son affie est donc de la forme z + eiθ. Donc z + + cos θ e-iθ - i sin θ z ² + cos θ ² + 4 sin² θ + cos θ - i sin θ 4 + cos θ + 4 cos² θ+ 4 sin² θ + cos θ - i sin θ + - cos θ i sin θ + cos θ Donc h (M) appartient à D. La fonction inverse étant son propre inverse, tout point de C privé de O est donc l image d un point de D.. f hog Donc l image de D par f est l image de D par hog. C est donc l image de D par h c'est-à-dire le cercle C privé de O.