AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices -

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1 AL Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices - GI FA 0 Test calcul et rotation GI FC 05 - Test cube GI FC8/6 0 Test - Complexes et géométrie GI FA 0 Test inversion de cercle 5 5 GI FC 0 Test complexe de fonctions 7 6 GI FA 0 Test - Linéarisation 9 7 GI FA 0 Test Euler et équation trigonométrique 9 8 GI FA 0 Test Polynôme, formes, rotation 0 9 GI FA 0 Test polynôme de degré 0 GIN FA 0 Test trinôme à coefficients complexes Page sur

2 GI FA 0 Test calcul et rotation On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( ; u, v) Soient les points A et B d affixes respectives : z A = et zb = i. On considère la fonction f de C dans C définie par : f ( z ) = iz + i Pour alléger les écritures, on notera z = f ( z ) On associe au vecteur MM l'affixe z z. O, direct. ) Placer A et B sur une figure que l on complètera au fur et à mesure de l exercice. ) Dans cette question, on considère un point M, différent de A, donc d affixe z. z a. Déterminer le complexe Z = z. z iz i i ( z ) Z = = = = i z z z b. Déterminer le module Z et un argument arg(z) de Z. Z = i = ; arg ( Z ) = arg ( i) = c. Exprimer l'affixe de AM en fonction de celle deam z = z z = iz i et z = z z = z AM A AM i Donc z = i. z = e z d'où ( AM, AM AM AM AM ) = d. En déduire la nature de la fonction f. A. En déduire l angle ( AM, AM ) La fonction f est la rotation de centre A et d angle (donc de sens direct).. Page sur

3 ) a. Calculer f ( z A ). Remarque? f z = i + i = = z. On voit effectivement que le point A est invariant par cette rotation, A puisqu il en est le centre. b. Calculer f ( zb ) et placer sur la figure le point B' d'affixe ( B ) f ( z ) = i ( i) + i = + i B A f z. ) Soit C le point dont l image par la fonction f est le point C d affixe zc = i. Déterminer, par le calcul, l affixe z C du point C. Placer C et C' sur la figure. Deux façons de faire : * avec les écritures cartésiennes et la définition de f :. z = f z = iz + i En multipliant les deux membres par i : izc = zc + i +, d où C C C zc = izc + i + = i i + i + = + i * en utilisant la rotation : C est l image de C par la rotation de centre A et d angle, d où i C A ( C A ) C C z z = e z z z = i i = + i z = + i GI FC 05 - Test cube On souhaite étudier les conditions sur un nombre complexe z pour lesquelles z est réel. ) Utiliser exclusivement la forme cartésienne de z pour cette étude. ( a + ib) = a ab + i ( a b b ) = a ab + ib( a b ). La partie imaginaire doit être nulle, donc b = 0 ou a² = b², soit b = ±a. Ainsi, nous avons trois groupes de solutions : * z peut être un nombre réel quelconque, * z est de la forme a( + i ) * z est de la forme a ( i ), avec a réel quelconque,, avec a réel quelconque. ) Utiliser exclusivement la forme exponentielle de z pour cette étude. iθ ( ρ ) iθ e = ρ e, qui est réel si son argument est congru à 0 modulo. k θ = 0 + k θ = ( k Z ). En mesure principale, entre 0 et, six valeurs de k sont à exploiter (de 0 à 5) : 5 θ = 0, θ =, θ =, θ =, θ =, θ = Les solutions n et renvoient au premier point de la réponse à la question, les solutions et 5 au second point et les solutions et 6 au troisième. Page sur

4 GI FC8/6 0 Test - Complexes et géométrie On considère deux barres de même longueur L, attachées ensemble en un point A. La barre [OA] est liée au point O, fixe, origine de notre repère, et peut tourner librement autour de ce point (angle α ). La seconde barre, [AB], est liée à la première au point A et peut tourner librement autour de celui-ci (angle β ). On considérera, pour simplifier nos raisonnements à venir, que α B β A est pris entre 0 et. ) Questions diverses a. Que remarque-t-on si β = α? b. Que remarque-t-on si β = α? c. Si α est fixé, quelle est la zone que peut parcourir B? ) Exemple numérique Prenons, uniquement pour cette question, L =, α = et β =. 6 O α a. Donner les coordonnées cartésiennes du point A. b. O étant l image de B par rotation de centre A et d angle β, déterminer une relation entre les affixes z A et z B des points A et B. c. En déduire les coordonnées cartésiennes exactes du point B. ) Vérification de la réponse b Reprenons ici le cas général : longueur L, angles α et β. a. Donner l écriture exponentielle du complexe z A affixe du point A. b. O étant l image de B par rotation de centre A et d angle β, déterminer une relation entre les affixes z A et z B des points A et B et donc une expression de z B en fonction de z A. c. Montrer alors que si β = α, alors z B est imaginaire pur. ) a. Si α = β, alors [AB] est parallèle à l axe des abscisses. b. Si β = α, alors [AB] fait avec l axe (Ox) le même angle que [OA] et B se trouve sur l axe des ordonnées. Plus rigoureusement : le triangle OAB est isocèle en A, avec un angle AOB égal à qui vaut donc α ici. Ainsi, l angle xob vaut xoa + AOB = : B est sur la demi-droite [Oy). c. Si α est fixé, le point B parcourt le cercle de centre A et de rayon L (donc contenant O). β, ) L =, α = 6 et β =. a. x A = cos 6 = et ya = sin 6 =. iβ iβ iβ iβ b. z = z za = ( zb za ) za = zb za zb = za ( ) AO AB e e e e. Page sur

5 zb = za e zb = + i e = + i i = + i + i i iβ c. zb = + i + B ; + ) Vérification de la réponse b a. za Le i α =. b. ( e i β zb za ) =. iα iα iα iα c. z i sin B = Le e = L e e = L α (formule d Euler). Effectivement, c est un imaginaire pur (le point B est sur l axe des ordonnées). GI FA 0 Test inversion de cercle Les questions,, et sont largement indépendantes. * C des complexes z non nuls, on définit la fonction f par : f ( z) = Dans l ensemble z. On désigne par z le conjugué de z, par z le module de z, et enfin par i le complexe de partie imaginaire positive tel que i² = -. On nomme P le plan complexe associé à l ensemble des nombres complexes. ) a. Déterminer tous les complexes z vérifiant f(z) = z. iarg( z) = z z = z e = z = et Arg ( z) = k z = ± z b. Déterminer tous les complexes z vérifiant f(z) = z. = z zz = z = z = z = e i z c. Déterminer le module et un argument de f(z) en fonction de ceux de z. Soit z = ρ e iθ. e i z ρ z z z θ =. = et Arg = Arg ( z) d. Déterminer les parties réelle et imaginaire de f(z) en fonction de celles de z. Soit z = a + ib. z a ib. Re a = = z = et Im( z) = b z z a + b a + b a + b ) a. Montrer que f(z) = ( z) θ. En déduire que si z =, alors f(z) = f(z). z z = = ( z) z z z f z = = z et si z =, alors z = = f ( z) z z z z Donc. Page 5 sur

6 b. Dans le plan P (figure page suivante), tracer l ensemble C des points représentant les complexes z qui vérifient z = (justifier brièvement). z est la distance entre le point M d affixe z et le point d affixe, c est à dire le point (,0). Dire que cette distance vaut, c est dire que M est sur le cercle de centre (, 0) et de rayon. C est ce cercle. i ) Soit A le point d affixe α = + i et B le point d affixe β = + e. a. Placer les points A et B dans le plan P. b. Vérifier par le calcul que α et β sont éléments de l ensemble C défini en question. α = i =, donc A est élément de C. β = i e =, donc B est élément de C. c. Déterminer les écritures cartésiennes des complexes f(α) et f(β) puis placer leurs points images A et B dans le plan P. i f ( α ) = = = i + i f ( β ) ( i ) = = = = = = i i cos sin i 6 e i i ) Soit M un point parcourant le cercle C de centre G(, 0) et de rayon, hormis l origine du repère. On admet que son affixe z M peut s écrire + e iθ, où θ parcourt l intervalle ]- ; [. sinθ a. Montrer que f(z M ) = i. + cosθ + cosθ i sinθ + cosθ i sinθ sinθ f ( zm ) = = = = = i iθ + e + cosθ + i sinθ + cosθ + cosθ ( + cosθ ) + sin θ sinθ b. Etudier la parité de et en déduire un domaine d étude de cette fonction de θ. + cosθ sin ( θ ) sinθ =. Cette forme est donc impaire et peut être étudiée sur [0 ; [. + cos θ + cosθ sinθ c. Etudier les variations de puis en dresser un tableau de variation sur ]- ; [. + cosθ sinθ On admettra, pour compléter ce tableau, que lim = ±. θ ± + cosθ sinθ cosθ ( + cosθ ) sinθ ( sinθ ) + cosθ = 0 = = >. Cette forme est + cosθ + cosθ + cosθ + cosθ donc strictement croissante sur [0 ; [ (et on admet que sa limite en est + ). Le fait que cette forme soit impaire nous autorise à dresser le tableau suivant : θ - 0 dérivée positive positive + forme 0 - Page 6 sur

7 d. Conclusion : lorsque M parcourt le cercle C, déterminer et tracer l ensemble décrit par les points M, images des complexes f(z M ). sinθ Rappelons que f ( zm ) = = i. Ces nombres complexes ont une partie réelle iθ + e + cosθ constante égale à 0,5 et une partie imaginaire qui parcourt R tout entier. Les points correspondants forment donc toute la droite d équation x =. y 5 GI FC 0 Test complexe de fonctions Soit deux fonctions f et g d expressions f(x) = cos(x) et g(x) = sin(x + ), pour lesquelles la variable x parcourt l intervalle [0 ; ]. ) Donner les valeurs exactes de f(x) et g(x) pour x = 0, puis x = et enfin x =. f (0) = cos(0) = ; f ( ) = cos( ) = 0 ; f () = cos() = - 5 g(0) = sin = ; g = sin = ; g() = sin = - ) Justifier que f est maximale pour x = 0 et que g est maximale pour x =. (on utilisera les résultats connus sur le sinus et le cosinus, ou alors on pourra dériver f et g et étudier leurs variations sur [0 ; ]). Avec les propriétés du sinus et du cosinus : Un cosinus est maximal si l argument cité vaut 0. Pour la fonction f, il faut donc que x = 0. Un sinus est maximal si l argument vaut. Pour la fonction g, il faut que x + =, soit x =. En étudiant les fonctions : f (x) = -sin(x), négatif sur [0 ; ]. Donc f est maximale pour x = 0. g (x) = cos(x + ), positif sur [0 ; ] et négatif sur [ ; ]. Donc g est maximale pour x =. Page 7 sur

8 ) On crée le nombre complexe z = f (x) + i.g(x). Lorsque x parcourt l intervalle [0 ; ], les points images de z dans le plan complexe forment la courbe ci-dessous. g maxi M M (x = /) f maxi M (x = 0) M 5 a. Sur cette figure, repérer les résultats demandés ou annoncés aux questions et. b. Montrer que la dérivée par rapport à x de z ² (carré du module de z) est : z = 9cos ( x) + 6sin x +. d z dx 9sin ( x) + 6sin x +. = -8 sin ( x) cos( x) + sin x + cos x + = -9 sin ( x) + 6sin x + c. Sachant que sin(a + ) = cos a, dire pour quelle(s) valeur(s) de x cette dérivée s annule. d z x = sin 0 ssi d cos ( x) M (x = ) 6 tan ( x) x = = 9 ssi x =,058 rad [] ssi x = 0,59 rad [ ]. Dans l intervalle [0 ; ], seules deux solutions sont possibles : 0,59 rad et, rad. d. Repérer sur la figure le(s) point(s) correspondant(s), expliquer. Le module de z est la distance OM. Positif, il varie dans le même sens que son carré. Les deux valeurs de x trouvées précédemment correspondent ici à un maximum ou un minimum de OM. Pour x = 0,59 rad, on définit le point M (f(x), g(x)) = (,59,,87). Pour x =, rad, on définit le point M 5 (f(x), g(x)) = (-,5,,0). Page 8 sur

9 6 GI FA 0 Test - Linéarisation ) A l aide d une formule d Euler, linéariser sin x. sin ix ix e e x = = e + e e e e e + 6e e i 6 i x i x i x ix ix i x i x i x i x i x ix ix e + e e + e = + = cosx cosx GI FA 0 Test Euler et équation trigonométrique ) Linéariser, c'est-à-dire, à l'aide de la formule d'euler, exprimer en fonction de cosx et cosx, l'expression : cos x + sin x A l'aide de la formule d'euler, on écrit : ix ix e + e ix ix i x i x i x i x ( e e ) ( e e 6 e e ) cos x = = + = i x i x ix ix i x i x ix ix 6 e + e e + e cos x = ( e + e ) + ( e + e ) + = cos x = cosx + cosx De la même façon : sin ix ix e e ix ix i x i x i x i x ( e e ) ( e e 6 e e ) x = = = + + i 6 6 i x i x ix ix i x i x ix ix 6 e + e e + e sin x = ( e + e ) ( e + e ) + = sin x = cosx cosx Donc : cos x + sin x = cosx + cosx + + cosx cosx cos x + sin x = cosx + ) En déduire les solutions de l'équation cos x + sin x =. 5 5 cos x + sin x = cosx + = cosx = 5 Deux familles de solutions : x = + k. x = + k. 6 ( valeurs) ou x = + k. x = + k. 6 ( valeurs) Page 9 sur

10 ) Représenter sur un cercle trigonométrique les différentes familles de solutions. 8 GI FA 0 Test Polynôme, formes, rotation Dans cet exercice, les trois questions sont indépendantes ) Déterminer, dans l'ensemble C, les racines du polynôme : Calcul du discriminant : ( i ) P ( z) = z i + iz + e i = = i, de forme exponentielle : =, i d où une racine carrée : = e = i = i Racines du polynôme : i ( i) i + ( i) i z = = et z = = = i ) Ecrire + i et i sous forme exponentielle, puis simplifier l'expression : On donnera le résultat sous forme exponentielle et sous forme cartésienne. + i i + i = + i où l'on reconnait facilement le module,, et l'argument, d'où l'écriture exponentielle de ce nombre : + i = e i i = i, qui nous donne le module,, et l'argument, d où : e i i = En utilisant les écritures exponentielles, on a : 0 0 i i i i = = e e e = = i + i e i e i i i i i = e = e = e = e = 0 e On peut repasser en écriture cartésienne : 0 + i = = = i i 0 e 0 i 5 5i 0 Page 0 sur

11 ) On se place dans le plan (x, y). En utilisant les nombres complexes, déterminer les coordonnées cartésiennes du point C, image du point B( ; 5) par la rotation de centre A( ; ) et d'angle. Notons z = x + iy l'affixe du point C(x ; y). Les points A et B ont pour affixes respectives : za = + i et zb = + 5i La rotation se traduit par la relation : e i z = z ( AC) ( AB), soit i + z ( + i) = e + 5i ( + i ) = + i ( + i ) = i + 7 D'où z = i + + i = + i 7 Donc le point C a pour coordonnées : C ; 9 GI FA 0 Test polynôme de degré On considère l'application f définie dans l'ensemble des nombres complexes par : z f z = z z + z + Dans ce problème, on aura avantage à utiliser la formule de Moivre. ) Montrer que, si l'équation () : f ( z ) = 0 admet pour racine le nombre complexe α, alors elle admet aussi pour racine le nombre α (complexe conjugué de α ). Soit α, solution de l'équation () : f ( z ) = 0. On peut écrire α sous forme trigonométrique : α = ρ ( cosθ + i sinθ ) L'équation () s'écrit donc : ( cos i sin ) ( cos i sin ) ( cos isin ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En utilisant la formule de Moivre, on obtient : ( cos isin ) ( cos isin ) ( cos i sin ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En regroupant les termes réels et imaginaires, on a donc : ρ cosθ ρ cosθ + ρ cosθ + + i ρ sinθ ρ sinθ + ρ sinθ = 0 Par identification des termes réels et imaginaires à 0, on a donc les deux relations : ρ cosθ ρ cosθ + ρ cosθ + = 0 et ρ sinθ ρ sinθ + ρ sinθ = 0 Considérons le même travail avec le conjugué de α, dont l argument vaut θ. Par rapport aux écritures cidessus, les cosinus sont inchangés et les sinus prennent des valeurs opposées, ce qui fait que les égalités «= 0» sont encore respectées et donc α est solution de l'équation (). Page sur

12 ) Montrer que les nombres + i et + i sont racines de l'équation (). Ecrivons les nombres donnés sous forme trigonométrique. z i i cos i sin 0 = + = + = +. Remplaçons z 0 dans l'expression de f ( z ) : f ( + i) = cos + i sin cos + i sin + cos + i sin + = ( cos + i sin ) cos + isin + cos + i sin + = ( ) + i + i + = + i + i + = 0 Donc z0 = + i est racine de l'équation (). Soit z i cos = + = + isin. Remplaçons z dans l'expression de f ( z ) : f ( z ) = cos + isin cos + i sin + cos + isin = cos + isin ( cos + isin ) + cos + i sin + = + i + i + = 0 Donc z = + i est racine de l'équation (). ) Donner l'ensemble des solutions de l'équation (). En déduire une factorisation de f ( z ). On a vu (question ) que, si α est racine de l'équation (), alors α l'est également. Par conséquent, d'après la question, l'équation () admet comme racines les nombres : z0 = + i ; z0 = i ; z = + i On factorise donc f ( z ) : ( )( ) ; z = i f z = z i z + i z + i z + + i ) Ecrire f ( z ) comme un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels. Dans l'expression de f ( z ) ci-dessus, on peut développer les facteurs par comme suit : z i z + i = z i = z z + + = z z + z + i z + + i = z + i Finalement, f z peut s'écrire : f ( z) = ( z z + )( z + z + ) = z + z + + = z + z + Page sur

13 0 GIN FA 0 Test trinôme à coefficients complexes. Résoudre, dans C, l équation d inconnue z : z + (8 i)z 8i = 0. On pourra vérifier que cette équation admet une racine imaginaire pure. * Première méthode : sans tenir compte de la remarque de l énoncé = (8 i)² + i = 6 + 6i On peut remarquer que = (8 + i)². Si on ne le voit pas tout de suite, il faut chercher la racine carrée de par la méthode classique. 8 + i i 8 + i 8 i Les deux racines de l équation sont : = i et = 8. * Deuxième méthode : l équation admet une solution imaginaire pure Notons ai cette solution, avec a R, puis reportons-la dans l équation : a²i²+ (8 i)ai 8i = 0 -a² + a + 8i(a ) = 0 a² = a et a = a =. La solution imaginaire pure est donc z = i. On peut ainsi factoriser le polynôme z + (8 i)z 8i par (z i), ce qui conduit facilement à z + (8 i)z 8i = (z i)(z + 8) où l on voit que sa seconde racine vaut -8.. Utiliser le résultat précédent pour résoudre, dans C, l équation d inconnue z : z 6 + (8 i)z 8i = 0 Exprimer toutes les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. En posant Z = z, cette équation revient à celle de la question, avec pour inconnue Z. Ainsi, on sait que l on a deux cas à traiter : z = i et z = -8, soit sous forme exponentielle : i re α = e i i et ( re α ) = 8e La première égalité donne : r = r = 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = i i i 6 6 z = e = + i ; z = e = + i ; z = e = i i, ce qui donne : La deuxième égalité donne : r = 8 r = 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = 5 i i i 5 6 z = e = + i ; z = e = ; z = e = i, ce qui donne : Page sur