1 + x et C est sa courbe représentative dans un repère 1 - x. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.
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- Aline Corinne Jolicoeur
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1 A Etude d une fonction f f est la fonction définie sur I = [-1 ;1[ par f(x) = x orthonormal (O; i ; j )(unité graphique : 4 cm). et C est sa courbe représentative dans un repère 1) a) La fonction f est-elle dérivable en -1? b) Calculer f (x) pour tout réel x dans ]-1;1[. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations. ) a) Tracer la courbe C. b) Sur la même figure que C, tracer la courbe C symétrique de C par rapport à l axe des abscisses. c) On pose Γ = C C. Démontrer que Γ a pour équation cartésienne y²(1 x) x²() = 0. B Une construction de Γ point par point On note B le point de coordonnées (-1 ;0), γ le cercle de centre B et de rayon 1, d la droite d équation x = - 1 et une droite passant par O et de coefficient directeur t, t. La droite recoupe γ en Q, la courbe Γ en M et coupe la droite d en P. 1) Déterminer en fonction de t les coordonnées des points Q, M et P. ) a) Démontrer que OM = PQ b) En déduire une construction point par point de la courbe Γ. C Un lieu géométrique On suppose que le repère (O; i ; j ) est un repère orthonormal direct du plan orienté et on note γ le cercle de centre O et de rayon 1. A et B sont les points de coordonnées (1; 0) et (-1;0). A tout point M de γ distinct de A et B, on associe l orthocentre du triangle OMB. On se propose de trouver le lieu de H lorsque M décrit le cercle γ privé de A et B. A l aide d un logiciel tel que Geogebra ou Cabri-géomètre, on peut tracer la figure et faire afficher le lieu de H lorsque M se déplace sur γ. 1) On pose ( OA, OM) = θ avec θ dans l intervalle ]0;π[ privé de π. Calculer en fonction de θ les coordonnées du point H. ) a) Vérifier que H est un point de Γ. b) Réciproquement, tout point H de Γ est-il l orthocentre d un triangle OMB? 1
2 CORRECTION A Etude d une fonction f 1) a) lim x 1 f(x) f(-1) = x x + 1 x x + 1 = x = x = - car lim x 1 ² = 0 Donc f n est pas dérivable en -1. b) On utilise les formules : (uv) = u v + uv u ( u) = u ( u u v uv ) = v v² f (x) = f (x) = f (x) = + x 1 x + (1 x)² + x (1 x)² ( ) = -x² + x + 1 Sur ]-1 ;1[, f (x) est du signe de x² + x x² + x + 1 est un trinôme du second degré de discriminant = = 5. Il s annule en x 1 = = Seul x 1 est compris entre -1 et 1. Tableau de variations de f : et x = -1 5 = x f' f(x) m m = f( 1 5 ) = =
3 ) a) b) c) M(x ;y) Γ y = ± x y² = x² y²(1 x) x²() = 0 3
4 B Une construction de Γ point par point 1) Les coordonnées de Q vérifient le système : y = tx (x + 1)² + y² = 1 On a donc (x + 1)² + t²x² = 1 - On en tire : x = 1 + t² et y = -t 1 + t² - Q( 1 + t² ; -t 1 + t² ) Les coordonnées de M vérifient le système : y = tx y²() - x²() = 0 On en déduit : x = t² - 1 t(t² - 1) et y = t² + 1 t² + 1 M( t² - 1 t(t² - 1) ; t² + 1 t² + 1 ) Les coordonnées de P vérifient le système : 4
5 P(-1 ;-t) x = -1 y = tx ) a) OM PQ t² - 1 t² + 1 t(t² - 1) t² t² + 1 = t² - 1 t² + 1 -t t(t² - 1) +t = 1 + t² t² + 1 On a bien OM = PQ b) Dans le repère (O; i ; j ) on trace γ et la droite d. Une droite coupe d en P et γ en Q. On construit M tel que OM = PQ. Pour construire d autres points M, on trace une autre droite (avec une pente différente) et on réitère le procédé décrit ci-dessus (constructions des points P, Q et M tel que OM = PQ). C Un lieu géométrique 1) M a pour coordonnées M(cos θ ; sin θ) 5
6 H a pour abscisse cos θ et pour ordonnée y : H(cos θ ;y). (BH) étant la hauteur issue de B dans le triangle BOM, on a : BH. OM = 0 (cos θ + 1) cos θ + y sin θ = 0 D où : y = - cos θ + 1 tan θ H(cos θ ; - cos θ + 1 tan θ ) ) a) Pour l abscisse de H x = cos θ, on a : x² 1 + cos θ (1 + cos² θ) = cos² θ = cos² θ 1 cos θ 1 cos² θ = 1 + cos² θ tan ² θ = y² Les coordonnées (x;y) du point H vérifient y² = x² ; donc H est bien un point de Γ. b) Réciproquement soit H un point de Γ différent de O et B. Par exemple, prenons H situé dans le quart de plan tel que x < 0 et y > 0. H(x ; -x )(avec x < 0) (On pourrait faire le même raisonnement pour H situé dans les 3 autres quarts de plan). Soit M le point de γ de même abscisse que H. M(x ; ) Vérifions qu alors H est bien l orthocentre du triangle OMB. x OH. BM = -x. x + 1 = x² + x x() = 0 Donc l orthocentre de OBM appartient à (OH). x + 1 BH. OM = -x. x = 0 Donc l orthocentre de OBM appartient à (BH). Donc l orthocentre de OBM est le point d intersection des droites (OH) et (BH); c'est-àdire le point H. Conclusion : Tout point H de Γ différent de O et B est l orthocentre d un triangle OMB. 6
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