DEVOIR SURVEILLÉ N 3 1S 1 1 heure

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1 DEVOIR SURVEILLÉ N 3 S heure Eercice (5 points) Soit ƒ la fonction définie sur \ {} par : ƒ() = 5. Étudier les limites suivantes : lim ƒ() lim ƒ() >. Calculer la dérivée ƒ' de ƒ. Quel est son signe? Eercice (5 points) Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ() = 3 3 On note C ƒ sa représentation graphique.. Calculer la dérivée ƒ' de ƒ, puis résoudre l'équation ƒ'() = 0.. En déduire les coordonnées des deu points A et B en lesquels C ƒ admet une tangente horizontale. 3. Déterminer les coordonnées des trois points P, Q et R d'intersection entre C ƒ et l'ae des abscisses. (On notera P celui qui a une abscisse strictement positive) 4. En déduire une équation de la tangente T à C ƒ en P. Eercice 3 (5 points) Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et est le barycentre de (A, )(B, )(C, 8).. Eprimer E comme barycentre de A et B.. Démontrer que, C et E sont alignés. 3. C est-il le milieu de [E]? Eercice 4 (5 points) ABCD est un carré de centre et de côté 4cm.. Calculer la longueur A.. Réduire la somme MA (à l'aide du point ). 3. Déterminer et représenter l'ensemble Γ des points M tels que : MA = 8 4. Déterminer et représenter l'ensemble Γ des points M tels que : MA soit colinéaire à AD DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page. COSTANTINI

2 DEVOIR SURVEILLÉ N 3 S CORRIÉ Eercice (5 points) Soit ƒ la fonction définie sur \ {} par : ƒ() = 5. Limite de ƒ en + : On a un quotient indéterminé du type " / ". Pour lever l'indétermination, on écrit : 5 = 5 = 5 On a : lim lim 5 = car lim = car lim 5 = 0 = 0 Donc, par quotient, lim 5 =. D'où : lim ƒ() =. Limite de ƒ en "à droite" : On a : lim ( 5) = > lim ( ) = 0 avec ( ) > 0 puisque >. > Donc, par quotient, lim ƒ() =. >. La fonction ƒ est de la forme ƒ = u v avec u ( ) = 5 v ( ) = On a donc ƒ' = uv ' uv '. Ce qui donne : v ƒ'() = ( ) ( 5 ) ( ) = ( ) Comme le carré ( ) est strictement positif pour tout \ {}, la dérivée ƒ'est strictement positive sur \ {} DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page. COSTANTINI

3 Eercice (5 points) Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ() = 3 3 On note C ƒ sa représentation graphique.. On a : ƒ'() = 3 3 = 3( ). Résolvons l'équation ƒ'() = 0. En factorisant : 3( )( + ) = 0 = ou = S = { ; } La dérivée s'annule donc lorsque = et lorsque =.. Le coefficient directeur de la tangente à C ƒ au point d'abscisse est ƒ'(). La tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire lorsque ƒ'() = 0. D'après la question, cela se produit au abscisses = puis =. Les abscisses de A et B sont donc et. Calculons leurs ordonnées respectives : ƒ( ) = ( ) 3 3 ( ) = + 3 = ƒ() = 3 3 = Donc : A( ; ) et B( ; ) 3. C ƒ et l'ae des abscisses se coupent au abscisses tels que : ƒ() = = 0 ( 3) = 0 ( 3 )( + 3 ) = 0 = 0 ou = 3 ou = 3 Les trois points d'intersection de C ƒ avec l'ae des abscisses sont : P( 3 ; 0) ; Q(0 ; 0) et R( 3 ; 0) 4. Une équation de la tangente T à C ƒ en P est : y = a + b avec a = ƒ'( 3 ) = 3 (3 ) = 6. Donc : T : y = 6 + b Par ailleurs, la droite T passe le point P donc :y P = 6 P + b 0 = b b = 6 3 Conclusion : une équation de la tangente T à C ƒ en P est : y = DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page 3. COSTANTINI

4 Eercice 3 (5 points) Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et est le barycentre de (A, )(B, )(C, 8).. Puisque E est le milieu de [AB], c'est l'isobarycentre de A et B : E = A B Ce qui s'écrit encore, d'après l'homogénéité des coefficients : E 4 = A B. Comme 4 = A B C 8 et E 4 = A B, on a, d'après l'associativité : 4 = E C 4 8 Ce qui s'écrit plus simplement (par homogénéité des coefficients) : = E C Le barycentre de deu points E et C (distincts) étant toujours situé sur la droite constituée de ces points, on en déduit :, E et C sont alignés. 3. D'après la question, on a : = E C. Ce qui s'écrit vectoriellement : E + C = 0. Décomposons le premier vecteur avec la relation de Chasles : ( C + CE ) + C = 0. D'où : C'est-à-dire Ce qui signifie que C est le milieu de [E]. Remarque : CE C = 0 CE + C = 0 On peut retrouver ce résultat en combinant les tableau suivants : = E C. et E On obtient E = E C E = C C est donc l'isobarycentre de et E, c'est-à-dire le milieu de [E]. DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page 4. COSTANTINI

5 Eercice 4 (5 points) ABCD est un carré de centre et de côté 4 cm.. La longueur A est la demi-diagonale du carré ABCD. La diagonale d'un carré de côté a est a. (Vous pouvez retrouver ce résultat à l'aide du théorème de Pythagore). D'où : A = 4 =. Montrons, tout d'abord, un résultat presque évident : est l'isobarycentre des points A, B, C et D. Pour cela, il suffit de considérer la somme A coupent en leur milieu, on a A + B + C + D. En utilisant le fait que les diagonales se + C = 0 d'une part, et B + D d'autre part. Il en résulte : A + B + C + D Le centre d'un carré est donc bien l'isobarycentre des sommets. Réduisons maintenant la somme MA MA 3. La relation : MA : = 0 = 4 M + A + B + C + D = 4 M = 8 peut encore s'écrire : 4 M = 8 C'est-à-dire : M = Et d'après la question : M = A Les points M sont donc à une distance fie du point. (Cette distance fie étant ici A) Donc Γ est le cercle de centre et de rayon A. Autrement dit, Γ est le cercle circonscrit au carré ABCD. 4. Toujours d'après la question, Γ est l'ensemble des points M tels que : 4 M soit colinéaire à AD Les points M sont donc situés sur la droite passant par et parallèle à (AD). Γ est donc cette droite. Γ A B Γ D C DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page 5. COSTANTINI

6 NOM : FICHE DE NOTATION DU DEVOIR SURVEILLÉ N 3 EXERCICE Critères de notations Barème Points Question Limite en + Factorisation par au numérateur et au dénominateur afin de lever l'indétermination (Compter seulement si on a oublié de simplifier par ) Détermination correcte de la limite (limite égale à ) Limite en "à droite" Limite du numérateur correcte ( ) Limite du dénominateur correcte (0) Argument justifiant que le signe du dénominateur est positif Limite du quotient correcte ( ) Question Calcul de la dérivée Toute phrase précisant que ƒ est de la forme "u/v" avec u et v précisées. Détermination correcte de la dérivée (/( ) ) Signe de la dérivée Justification du signe + (un carré est positif) EXERCICE Question Dérivée correcte (factorisée ou non) (ƒ'() =3 3 3) Solutions de ƒ'() = 0 trouvées ( et ) (Compter 0 point si la solution a été oubliée) Question Argumentation du type "le coefficient directeur de la tangente correspond au nombre dérivé" Argumentation du type "la tangente horizontale correspond à un coefficient directeur nul" Coordonnées de A et B (A( ; ) ; B( ; ) ou inversement) Question 3 Équation ƒ() = 0 posée Résolution de l'équation ƒ() = 0 (0 ; 3 et 3 ) (Compter 0 point s'il manque une ou plusieurs solutions) Question 4 Coefficient directeur correct (a = ƒ'( 3 )) Le point P appartient à la tangente T (argument indispensable pour déterminer l'ordonnée à l'origine b) Ordonnée à l'origine correct (b = 6 3 ) DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page 6. COSTANTINI

7 EXERCICE 3 Question Question Question 3 E est l'isobarycentre de A et B ou formulation équivalente sous quelque forme que ce soit. Utilisation de l'homogénéité des coefficients pour écrire que (E, 4) est barycentre de (A, ) et (B, ) (Compter les points si cela a été fait à la question ) Règle d'associativité précisée Utilisation correcte de l'associativité pour arriver à (, 4) barycentre de (E, 4) et (C, 8) (ou autres coefficients à un facteur près) Propriété "le barycentre de deu points A et B est sur la droite portée par ces deu points" Tout calcul vectoriel aboutissant à une relation eprimant,5 que C est le milieu de [E] ou que C est l'isobarycentre de E et OU manipulation des tableau aboutissant à "C est l'isobarycentre de E et " EXERCICE 4 Question Utilisation de la formule donnant la longueur de la diagonale dans un carré (côté ) ou utilisation du théorème de Question Question 3 Pythagore pour arriver à A =. Utilisation du théorème du cours (concernant la réduction d'une somme de vecteurs) ou démonstration aboutissant à : MA = 4 M Transformation de MA 4 M = 8 = 8 Transformation de 4 M = 8 en M = en Utilisation de la question pour arriver à M = A Γ est le cercle de centre et de rayon A (ou ) Question 4 Pas de points pour la représentation! Transformation de " MA AD " en "4 M colinéaire à AD " colinéaire à Γ est la droite parallèle à (AD) passant par RAND TOTAL ET NOTE SUR 0 0 DS 3 - S - Fonctions - Barycentres Page 7. COSTANTINI