1 Cercle trigonométrique

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1 Cercle trigonométrique. Définition n appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon. y M + n appelle sens direct, ou sens trigonométrique le sens inverse des aiguilles d une montre (indiqué + sur la figure. α Lesquelles de ces points appartiennent au cercle trigonométrique? A(, B (, ( C, E (,. Repérage d un point sur le cercle trigonométrique Un point M du cercle peut être repéré par l angle ÎM = α. Un angle est souvent mesuré en degrés, mais on va choisir une autre unité de mesure : L angle α aura la même mesure que M, orienté dans le sens positif. Activité n en déduit cette correspondance entre les angles en degrés et la nouvelle unité : le radian. M = α(rad 0 6 α en degrés Enroulement de la droite des réels Une droite des réels est une droite quelconque permettant de représenter graphiquement l ensemble des nombres réels. Cette droite est dotée d un repère (;, étant l origine et donnant le sens et l échelle. 0 M 4, 5 ci, dire que le point M représente la valeur 4, 5 revient à dire que M = 4, 5, compté positivement dans le sens de. Page /8

2 Activité Enrouler cette droite sur le cercle trigonométrique c est faire le même travail sur le cercle trigonométrique : n prend le cercle trigonométrique, l échelle est donnée par son rayon, le sens est le sens trigonométrique. Alors dire que le point M représente 4, 5 revient à dire que M = 4, 5. M( y 4, 5rad M C A droite, la représentation d un tel enroulement. M( est l image du réel sur le cercle trigonométrique : M( =. D 4 et 5 p5 : Placer sur le cercle des points dont on donne les angles en radians. et p5 : même chose dans l autre sens. SF p 4 ( n voit que M(0 = et M =. Mais M( = aussi! En effet, correspond à un tour complet. Après un tour, M revient en. n pourrait dire également que = M(0 = M( = M(4 = M(6 =. Pour tous R et k Z, on a M( + k = M(. Autrement dit, M( = M( = k avec k Z. En effet, un arc de longueur k correspond à eactement k tours complets du cercles Eemple : Les réels 9 7 et ont la même image sur le cercle trigonométrique. En effet, 9 ( 7 = 6 =. Donnez une autre mesure de ÎM = 4. Quel est la mesure de ÎM si M est symétrique de M par rapport à? Page /8

3 .4 Mesure en angle orienté Dans ( l eemple précédent, plutôt que de noter α = ÎM, on va préférer la notation ; α = M. Plus généralement, entre deu vecteurs non-nuls u et v, on appellera angle orienté le couple ( u, v. Comme on l a vu, deu angles séparés de k sont identiques. n dira donc que ( u, v est connu à k près. 8 à 0 p54 : Placer des points sur le cercle trigonométrique et même chose dans l autre sens..5 Mesure principale Propriété : Soit( M un point du cercle trigonométrique. l eiste une unique ; mesure orientée de M dans l intervalle ] ; ]. C est la mesure principale ( ; de M. Eemple : 0.5 ( ; n peut dire que l angle M = 4 ( ; ou encore M =. Cette seconde mesure est la mesure principale de l angle. M à 6 p55 : Trouver la mesure principale 7 p55 Trouver ceu qui ne sont pas des mesures principales Page /8

4 Fonctions cosinus et sinus. Définition géométrique Soit un triangle ABC rectangle en B. n appelle α l angle BAC. Le rapport AB ne dépend que de l angle AC α et on a le Cosinus : Cos(α = AB AC De la même façon on a le Sinus : Sin(α = BC α AC A B C. Valeurs remarquables n peut déterminer de façon eacte ces rapports pour certains angles particuliers. α (deg α (rad 0 /6 /4 / / Cos(α Sin(α 0 0 Page 4/8

5 . Cosinus et sinus d un nombre réel n rappelle que sur le cercle trigonométrique, le point M( est le point tel que M =, en tenant compte du sens positif qui est le sens trigonométrique. Définition : Dans le repère orthonormal (; ;, le point M( a pour coordonnées (cos( ; sin(. Cette définition est naturelle si on utilise les radians. En effet, dans le triangle Ma, M = est l hypoténuse et a est le côté adjacent de l angle α. n a donc cos(α = a M = M. De même, sin(α = y M. sin( M( r, dire que M est l image du réel sur le cercle trigonométrique, c est dire que M( =, ou encore que α =, si α est eprimé en radians. α cos( n donne ci-dessous quelques valeurs remarquables. α / α en rad 0 cos(α /4 /6 sin(α 0 Remarque : n n est pas limités à des angles positifs et aigus! Avec cette nouvelle définition, on peut calculer les cosinus et sinus d angles négatifs et plus grands qu un angle droit. 4 6 Ci-contre, eemple d un angle de 4 (soit 5 et un autre de 6 (soit 0. n peut utiliser les symétries pour trouver les cosinus et sinus des angles autres que ceu connus. Page 5/8

6 Eemples page 45 Eercices 7 à 7p56 et 57 Eercices 8 à 40p57 (répondre graphiquement 4 à 4 p57(nverse, on donne les cos et sin et il faut trouver 44 à 47 p57 (on donne cos ou sin et un intervalle pour, il faut trouver.4 Propriétés des fonctions sinus et cosinus Propriété : Pour tout réel : (cos( + (sin( =. n préfère généralement la notation : cos( sin( cos ( + sin ( = Démonstration : Soit un réel. M( est l image de sur le cercle trigonométrique et ses coordonnées sont (cos( ; sin(. n a M = cos ( + sin ( et comme M est sur le cercle trigonométrique, M =. Notons X = cos( et Y = sin(y. X + Y = donc Y = X. Comme X 0 alors Y et donc Y. n raisonne de même pour X. Eemple : Pour = 6, cos ( + sin ( = ( + ( = + 4 = Page 6/8

7 .5 Angles associés M, M cos( + k = cos( + sin( + k = sin( Les points M et M sont confondus. M cos( = cos( sin( = sin( M Les points M et M sont symétriques par rapport à l ae des abscisses. M M cos( = cos( sin( = sin( Les points M et M sont symétriques par rapport à l ae des ordonnées. M + M cos( + = cos( sin( + = sin( Les points M et M sont symétriques par rapport à l origine. Page 7/8

8 M / + M M ( sin = cos( Les points M et M sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. / ( cos + = sin( ( sin + = cos( ( cos = sin( Les points M et M sont symétriques par rapport à l ae des ordonnées. eos 5 à 55 p57, 59 (cos( et sin( sont données, en déduire les sin et cos pour les angles associés.6 Représentations graphiques.7 Fonctions associées Page 8/8