Partie A. 1) Montrer que le nombre complexe est solution de l équation.

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1 BAC BLANC série S Mathématiques. Février 015 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée : 4h La calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Exercice 1 (4,5 points) Partie A On considère le polynôme défini sur C par : 1) Montrer que le nombre complexe est solution de l équation. ) a) Déterminer les réels a et b tels que b) En déduire les solutions dans C de l équation Partie B Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct. On prendra cm comme unité graphique. On considère les points A, B, J d affixes respectives : ; ; et K le point d affixe tel que et arg(z K ) = 3 4 1) Placer les points A,B, J et K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l exercice. ) Soit L, le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l affixe de L est égale à. 3) Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 4) Soit D, le symétrique de B par rapport à O. Quelle est la nature du triangle BLD? 5) Soit E le point d intersection du cercle défini en 3. avec l axe des abscisses et dont l abscisse est positive. Quelle est la nature du quadrilatère BLDE? 1

2 Exercice (6 points) Partie A Soit f définie sur IR par f ( x) ( x ax b) e x x avec a et b deux réels Déterminer les réels a et b sachant que : le point A( 0 ; 3) appartient à la courbe C f représentative de la fonction f La tangente à la courbe C f au point A est parallèle à la droite (d) d équation y = x + 4 Partie B On admet le résultat suivant : pour tout n IN, lim x ( ) x n e x = 0 Soit h la fonction définie sur IR par : h x x x e ( ) ( 1) x 1 1) Étudier les limites de h en + et en. En déduire l existence éventuelle d asymptotes à la courbe représentative de la fonction h. ) Calculer h (x) sur son ensemble de définition. 3) Dresser le tableau de variation de h. On arrondira les valeurs extrêmes au centième. 4) a) Montrer que l équation h(x) = 0 admet une unique solution dans IR. On note cette solution. b) Donner un encadrement de à 10 - près. 5) En déduire le signe de h(x) sur IR. Partie C On considère la fonction f définie sur IR par : f ( x) ( x 4x 3) e x x 1) a) Montrer que, pour tout réel x, f (x) et h(x) sont de même signe, où h est la fonction définie dans la partie B. b) Dresser le tableau de variation de la fonction f (on ne demande pas le calcul des limites). ) Déterminer l équation réduite de la tangente ( T ) à C f au point d abscisse 1. 3) Étudier la position relative de la courbe C f et de la droite (D) d équation y = x.

3 Exercice 3 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n est pas pénalisée. On considère le cube ABCDEFGH ci-contre. Le point I est le milieu du segment [CG]. 1) Affirmation N 1 : L'intersection des plans (ADF) et (ACH) est la droite (AM) où M est le point d'intersection des droites (DF) et (CH). ) Affirmation N : La droite (BD) est orthogonale au plan (AIG). 3) Une fabrique de desserts glacés dispose d une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace. Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de 000 pour la vente en gros. On considère que la probabilité qu un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à 0,003. On nomme X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres. Si un client reçoit un lot contenant au moins 1 cônes défectueux, l entreprise procède alors à un échange de celui-ci. Affirmation N 3: La probabilité qu un lot ne soit pas échangé est supérieure à 0,99. 4) Soit la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u n = ( 1)n. n Affirmation N 4 : la suite (u n ) est divergente. 5) Soit f la fonction définie sur [0 ; ] par f (t) = cos(t). Affirmation N 5 : Le tableau de variations de la fonction f est : t f 1 3

4 Exercice 4 (4,5 points) Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : la probabilité qu il gagne la première partie est de 0,1 s il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 s il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6 On note pour tout entier naturel n non nul : G n l évènement «le joueur gagne la n-ième partie» p n la probabilité de l évènement G n On a donc p 1 = 0,1. 1) a) Montrer que p = 0,6 b) Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu il ait perdu la première partie. (arrondir au millième) c) Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. ) a) Recopier et compléter l arbre pondéré suivant : p n G n G n b) Montrer que pour tout entier naturel n non nul : p n+1 = 1 5 p n + 0,6 c) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, p n = 0,75 3,5 1 5 n 3) Restitution organisée des connaissances : On supposera connu le résultat suivant : Pour tout réel a strictement positif et tout entier naturel n, (1 + a) n 1 + na a) Démontrer que si q est un réel strictement supérieur à 1, lim n + qn = + b) En déduire la limite de la suite (p n ) quand n tend vers +. Interpréter le résultat obtenu. 4

5 4) Un ami du joueur a écrit l algorithme suivant : Variables : N est un entier naturel non nul p est un nombre réel Initialisation : On affecte à N la valeur 1 On affecte à p la valeur 0,1 Traitement : Tant que p < 0,74 p prend la valeur 0, p + 0,6 N prend la valeur N+1 Fin de Tant que Sortie : Afficher N a) Que s affiche-t-il si on exécute cet algorithme? b) Interpréter le résultat obtenu. 5