MATHEMATIQUES. Exercice 1. Fonctions et continuité. Lycée Louise Michel

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1 Lcée Louise Michel TES/L MATHEMATIQUES Fonctions et continuité Exercice Déterminer graphiquement les coefficients directeurs m des droites de la figure : x x

2 Exercice Dans le repère ci-dessous, représenter les droites suivantes : D passant par le point A (0 ; ) et de coefficient directeur m = ; D passant par le point B ( ; 0) et de coefficient directeur m = ; D passant par le point C ( ; ) et de coefficient directeur m = ; D passant par le point D ( ; ) et de coefficient directeur m = ; D passant par le point E ( ; ) et de coefficient directeur m = ; D 6 passant par le point F (0 ; ) et de coefficient directeur m = 0 ; x Exercice On donne la courbe représentative d une fonction f définie sur [ ; ] ainsi que les tangentes à cette courbe en certains points.. Donner le nombre de solutions de l équation f(x) = 0. Justifier. +. Donner le nombre de solutions de l équation f (x) = 0. Justifier C. Donner f( ), f(0), f() et f().. Donner f ( ), f ( ), f ( ) et f (). + A + B. Déterminer une équation des tangentes aux points A, B et C. 6

3 Exercice Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :. f(x) = x x + x. f(x) = (x + )(x 7). f(x) = x x +. f(x) = + x. f(x) = x + + x 6. f(x) = x x + Exercice Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :. f(x) = x + 6. f(x) = x. f(x) = 6x. f(x) = x + x +. f(x) = x x 6. f(x) = x + x Exercice 6 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :. f(x) = x(x ). f(x) = (x + )(x + ). f(x) = x + x. f(x) = x x +. f(x) = 7 x x 6. f(x) = x x Exercice 7 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x x + x +.. Calculer f (x).. Étudier le signe de f (x).. Donner le tableau des variations de f.. Montrer que l équation f(x) = 7, admet une solution unique α dans l intervalle [ ; ]. Donner, à l aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au dixième près. Exercice 8 Une entreprise produit de la farine de blé. On note q le nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0 < q < 80. On appelle C(q) le coût total de fabrication, R(q) la recette obtenue par la vente et B(q) le bénéfice obtenu par la vente de q tonnes de farine.. Sachant que chaque tonne est vendue 0e, exprimer R(q) en fonction de q.. Sachant que C(q) = q + 0q : a. tracer sur une calculatrice la courbe représentant le bénéfice ; quelle est sa nature? b. déterminer graphiquement puis par le calcul la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable ; c. déterminer graphiquement puis par le calcul la production correspondant au bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice.

4 Exercice 9 - Partie A - Étude d une fonction auxiliaire Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x x 6. On note f la dérivée de la fonction f.. a. Calculer f (x). b. Étudier le signe de f (x). c. Donner le tableau complet des variations de f.. Montrer que l équation f(x) = 0 admet une solution unique α. À l aide de la calculatrice, déterminer la valeur de α arrondie au centième près. - Partie B - Étude d un coût moen Soit C T la fonction définie pour tout réel x élément de l intervalle ]0; 0] par : C T (x) = x 0x + x + La fonction C T modélise sur l intervalle ]0; 0] le coût total de production exprimé en milliers d euros, où x désigne le nombre de milliers d articles fabriqués chaque jour. La courbe représentative de la fonction coût total, notée (Γ), est donnée ci-dessous : 0 (Γ) A a x On considère la fonction C M définie sur l intervalle ]0; 0] par C M (x) = C T (x). La fonction C M mesure le coût moen x de production, exprimé en euros, par article fabriqué.. Dans le cas où la production est de 700 articles par jour, calculer le coût moen d un article.. Soit A le point d abscisse a de la courbe (Γ). a. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moen C M (a) b. Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction C M. On désigne par C la dérivée de la fonction C M. a. Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle ]0; 0] on a C (x) = ( x x 6 ) b. En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction C M. x. c. En déduire la production, arrondie à la dizaine d articles près, pour que le coût moen soit minimal. Quel doit être alors le prix de vente minimal, arrondi à l euro près, d un article pour que l entreprise ne travaille pas à perte?

5 Exercice 0 Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Sa courbe représentative C f est tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère. Les tangentes à la courbe C f aux points A B et C sont parallèles à l axe des abscisses. ( La tangente à la courbe C f au point D ( ; ) coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées 0 ; ). C f B C x - D - A -. Donner les valeurs de : f(), f (), f ().. Dresser le tableau de variation de la fonction f.. Parmi les courbes suivantes, quelle est celle de la fonction f? a) la courbe C b) la courbe C c) la courbe C x x x On considère la fonction g définie sur R par g(x) = [f(x)]. On note g sa dérivée. On rappelle que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, (u ) = u u. Déterminer g ().

6 Exercice - Partie A - Soit f la fonction définie pour tout réel x de l intervalle ] 8; + [ par :. On note f la dérivée de la fonction f.. Calculer f (x).. Étudier le signe de f (x).. Donner le tableau des variations de f. f(x) = x, 7x + 6, 8 x Partie B - L offre et la demande désignent respectivement la quantité d un bien ou d un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d établir que : la fonction d offre est modélisée par la fonction f définie sur l intervalle [; ] par : f(q) = q, 7q + 6, 8 q + 8 la fonction demande est modélisée par la fonction g définie sur l intervalle [; ] par : g(q) = 78 6q q + 8 où f(q) et g(q) sont les prix d un article en euros, pour une quantité q comprise entre et millions d unités. Les courbes représentatives des fonctions d offre et de demande sont tracées ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal. Prix (ene) 8 Courbe de demande du marché 7 Courbe d offre du marché 6 E Quantité (en millions). On suppose dans cette question que le prix de vente d un article est de 6e. a. Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de la quantité d articles offerte sur le marché. b. Calculer la quantité d articles demandée sur le marché à ce prix. c. Quel problème cela pose-t-il?. On dit que le marché est à l équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée. Calculer les quantités échangées au prix d équilibre et en déduire le prix d équilibre du marché.

7 Exercice Le gérant d une salle de cinéma de 00 places constate que le nombre x de spectateurs à une séance est une fonction affine du prix p du billet. Plus précisément on a : x = 00 p.. Sachant que les charges fixes pour chaque séance s élèvent à 88 e, montrer que le bénéfice b(p) de chaque séance est égal à b(p) = p + 00p 88.. En déduire graphiquement puis par le calcul pour quelles valeurs de p le séance est rentable.. Déterminer graphiquement puis par le calcul le prix du billet pour que le bénéfice soit maximum. Quel est alors le nombre de spectateurs et le bénéfice réalisé? Exercice Soient f et g deux fonctions définies sur R par, respectivement :. Étudier les variations de la fonction g.. a. Calculer g(0) et g(). f(x) = x + x x + x + et g(x) = x + x 6x + b. Montrer que l équation g(x) = 0 admet une unique solution α [0 ; ]. c. Déterminer un encadrement de α d amplitude 0. d. Déduire de ce qui précède le signe de g(x) selon les valeurs de x.. Étudier les variations de f. Exercice On a représenté ci-contre la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d une fonction f définie sur R. La courbe Γ passe par les points A (0 ; ) et D (, ; 0) et la droite (AB), où B ( ; 0), est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son point C d abscisse est parallèle à l axe des abscisses. B D 0 x A C Γ. a. Sans justifier, déterminer la valeur de f(0). b. En justifiant, déterminer les valeurs de f (0) et de f (). c. Déterminer l équation de la tangente T 0 à Γ en A.. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l une représente la fonction dérivée f de f. Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l une représente une fonction h telle que h = f. Déterminer laquelle en justifiant sa réponse. Courbe Courbe Courbe 0 0 0

8 Exercice Soit f la fonction définie sur R\{} par : f(x) = x x + 7 x On appelle f sa fonction dérivée et C sa représentation graphique.. Résoudre l équation f(x) = 0.. a. Montrer que, pour tout x, f (x) = x 6x + 8 (x ). b. Étudier le signe de f (x) selon les valeurs de x et établir le tableau des variations de f en indiquant les extremums locaux.. a. Déterminer, s il en a, les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l axe des abscisses. b. Soit T la tangente à C au point d abscisse 0. Déterminer une équation de T. Exercice 6 La fonction f est définie sur [0 ; 6] par f(x) = x + x x 9. Partie A : Étude mathématique. Étudier les variations de f sur [0 ; 6] et dresser son tableau de variations. ( ). a. Calculer f. b. Montrer que f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [, ; 6]. c. Déterminer un encadrement de α d amplitude 0. d. Déduire des deux questions précédentes le signe de f(x) selon les valeurs de x. Partie B : Application économique Pour une production comprise entre 0 et 600 objets, le bénéfice d une entreprise, en milliers d euros, en fonction de la quantité x d objets vendus, en centaines d unités, est modélisé par f(x). Les réponses aux questions ci-dessous seront arrondies, si besoin, à l unité pour les productions et à l euro pour les bénéfices. a. Déterminer pour quelle production l entreprise est rentable. b. Déterminer pour quelle production l entreprise réalise un bénéfice maximum et déterminer ce bénéfice maximum.