La dérivation dans R

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1 S La dérivation dans R Introduction Activité sur la cute libre d un corps. 2 Nombre dérivé Définition du nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et soit a un réel de l intervalle I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si la fonction f(a+) f(a) a une limite finie l en 0. Le nombre l est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f (a). Autrement dit : f f(a+) f(a) (a) = lim 0 Remarques :. En posant x = a+, on a alors = x a et lorque tend vers (se rapproce de) 0, x tend vers a. Par conséquent : f (a) = lim x a f(x) f(a) x a 2. Le nombre : f(a+) f(a) est appelé taux d accroissement (ou accroissement moyen ou taux de variation) de la fonction f entre a et a+. Donc f est dérivable en a si et seulement si le taux d accroissement de f entre a et a+ admet une limite finie en 0. Celle limite est f (a). Exemples :. À l aide de la définition, montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 +3 est dérivable en tout point a de R. Pour tout a R et pour tout réel, on écrit le taux d accroissement de f entre a et a+ : Par conséquent, τ() = f(a+) f(a) = (a+)2 +3 a 2 3 lim 0 = a2 +2a+ 2 a 2 τ() = lim(2a+) = 2a 0 2a R pour tout réel a, donc f est dérivable en a et f (a) = 2a. = 2a+2 = 2a+ 2. À l aide de la définition, montrer que la fonction racine carré est dérivable en tout point de l intervalle ]0; + [ mais n est pas dérivable en 0. On appelle f la fonction définie sur [0;+ [ par f(x) = x. Pour tout a [0;+ [ et pour tout réel tel que a+ [0;+ [, le taux d accroissement de f entre a et a+ est : τ() = f(a+) f(a) = a+ a On calcule alors lim 0 ( a++ a) = a+ a = 2 a. = ( a+ a)( a++ a) ( a++ a) Si a > 0 alors lim = 0 a++ a 2 R donc f est dérivable en a et a f (a) = 2 a = a+ a ( a++ a) = a++ a Si a = 0 alors lim( a+ + a) = 2 a = 0. Or, quand se rapproce de 0, 2 a se rapproce de 0 et 0 prend des valeurs de plus en plus grandes. On écrit : f(0+) f(0) lim τ() = lim = lim = n est pas un réel, donc la fonction racine carré n est pas dérivable en 0. 2 a

2 S 3 Interprétations du nombre dérivé. Voir l activité d introduction. 2. Soit C la courbe représentative d une fonction f dérivable en a. f(a) f(x)=f(x+) M A x=a+ a C Soient A(a;f(a)) et M(a+;f(a+)) deux points de C. La droite (AM) a pour coefficient directeur : f(a+) f(a) a+ a = f(a+) f(a) Le coefficient directeur de (AM) est donc le taux d accroissementdef entreaeta+.lorsquetendvers0,cecoefficient directeur tend vers le nombre f (a). Lorsque tend vers 0, le point M se rapproce du point A. La droite (AM) devient alors tangente à la courbe C au point d abscisse a. Par conséquent : Si f est dérivable en a, la courbe représentative C de f admet une tangente au point d abscisse a. Le coefficient directeur de cette tangente est f (a). On peut alors de plus trouver une équation de cette tangente. En effet, la tangente T à C au point d abscisse a a pour coefficient directeur f (a). Son équation est donc : y = f (a)x+b où b est l ordonnée à l origine. On sait de plus que le point A(a;f(a)) appartient à (T). Par conséquent : y A = f (a) x A +b soit f(a) = f (a) a+b Donc b = f(a) f (a)a Si f est dérivable en a, la tangente à sa courbe C au point d abscisse a admet pour équation y = f (a)(x a)+f(a) Remarques : (a) Si f (a) = 0 la tangente au point d abscisse a est alors orizontale. f(x) f(a) (b) Si lim = + ou, alorsf n est pas dérivableen a, mais la droite d équationx = a est tangente x a x a verticale à la courbe représentative de f au point d abscisse a. 3. Approximation affine C f(a+) f (a)+f(a) f(a) A (T) Quand on se place au voisinage du point A d abscisse a (proce du point A), la courbe représentative C de f et la tangente (T) semblent proces. La tangente est la représentation grapique de la fonction x f(a)+f (a) (x a). La fonction x f(a) + f (a) (x a) est donc une approximation affine de f. Lorsque x est proce de a, c est la meilleure approximation affine de f. On dit que la tangente est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a. a a+ 2

3 S Applications : (a) Calculer, sans calculatrice, une valeur approcée de 4,0. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x. Pour tout réel a non nul, le nombre dérivé de f en a est f (a) = 2. Pour proce de 0, la meilleure approximation affine de f est donc : a f(a+) = a+ f(a)+f (a) a+ 2 a Par conséquent, 4,0 = f(4+0,0) 4+ 0,0 2 0,0 2+ 2, (b) Approximation de fonction par la métode d Euler : voir exercices. 4. Si f représente la loi oraire d un mobile en déplacement,la vitesse moyenne du mobile entre les instants t 0 et t 0 + est : variation de la distance variation du temps = f(t 0 +) f(t 0 ) La vitesse instantannée du mobile est alors obtenue en faisant tendre vers 0. Cette vitesse instantannée est donc : f(t 0 +) f(t 0 ) lim = f (t 0 ) 0 Donc si f est la loi oraire d un mouvement, f (t 0 ) représente la vitesse instantannée du mobile à l instant t 0. 4 Fonction dérivée Dasn le paragrape précédent, nous avons vu que la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 +3 est dérivable pour tout réel a et que f (a) = 2a. On peut alors considérer la fonction qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x : x f (x). Cette fonction est la fonction dérivée de f. On la note f. Dans notre exemple, la fonction dérivée de la fonction f : x x 2 +3 est la fonction f : x 2x. Définition de la fonction dérivée La fonction f est dite dérivable sur l intervalle I si elle est dérivable en tout poit de I, c est-à-dire si pour tout réel x de I, le nombre f (x) existe. La fonction dérivée de f sur I est alors la fonction, notée f, qui à tout réel x de I associe le réel f (x). L ensemble de dérivabilité de f est le plus grand ensemble sur lequel la fonction f existe. Cet ensemble est toujours inclus dans l ensemble de définition de f. Dérivée de queslques fonctions de référence f est une fonction définie sur un intervalle I; f est la fonction dérivée de f sur son ensemble de dérivabilité. f(x) f (x) Ensemble de dérivabilité f(x) = k (k est un réel) f (x) = 0 R f(x) = mx+p (m et p sont des réels) f (x) = m R f(x) = x 2 f (x) = 2x R f(x) = x f (x) = 2 x ]0; + [ Démonstration : Nous avons déjà démontré les formules pour les fonctions carrée et racine carré. 3

4 S. Soit f(x) = k, où k est une constante réelle. Soit a un réel. Pour tout réel non nul, le taux d accroissement de f entre a et a+ est Donc τ() = f(a+) f(a) lim τ() = 0 R 0 = k k f est donc dérivable en a et f (a) = 0. On aurait aussi pu considérer la courbe représentative de f : c est une droite, de coefficient directeur nul. Or, la tangente à une droite est cette droite elle-même. Donc la tangente à la courbe représentative de f en tout point est une droite de coefficient directeur nul. Le coefficient directeur de la tangente étant le nombre dérivé, on en déduit que f est dérivable sur R et que pour tout réel x, f (x) = Soit f(x) = mx+p une fonction affine. Soit a un réel. Pour tout réel non nul, le taux d accroissement de f entre a et a+ est Donc τ() = f(a+) f(a) = 0 = m(a+)+p (ma+p) lim τ() = m R 0 = m = m f est donc dérivable en a et f (a) = m. Comme précédemment, on aurait pu considérer la courbe représentative de f : c est une droite, de coefficient directeur m. Donc la tangente à la courbe représentative de f en tout point est une droite de coefficient directeur m. Donc f est dérivable sur R et pour tout réel x, f (x) = m. Opérations sur les fonctions dérivables Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. Alors :. Pour tout réel k, la fonction ku est dérivable sur I et (ku) = ku. 2. u+v est dérivable sur I et (u+v) = u +v. 3. uv est dérivable sur I et (uv) = u v +uv. 4. Si v ne s annule pas sur I, v est dérivable sur I et ( v ) = v v Si v ne s annule par sur I, u v est dérivable sur I et (u v ) = u v uv Exemples :. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 5x 2. Alors f = 5u avec u(x) = x 2. La fonction u est dérivable sur R donc la fonction f l est aussi. Pour tout réel x, u (x) = 2x. Donc pour tout réel x, f (x) = 5 2x = 0x. 2. Soit g la fonction définie sur [0;+ [ par g(x) = x+3x. Alors g = u+v avec u(x) = x et v(x) = 3x. u est dérivable sur ]0;+ [ et v est dérivable sur R; donc g = u+v est dérivable sur ]0;+ [. Pour tout x > 0, u (x) = 2 x et v (x) = 3. Donc pour tout x > 0, g (x) = 2 x Soit la fonction définie sur R par (x) = x 3. Alors = u v avec u(x) = x 2 et v(x) = x. Les fonctions u et v sont dérivables sur R donc l est aussi et = u v +uv. Pour tout réel x, u (x) = 2x et v (x) =. Donc pour tout réel x, (x) = 2x x+x 2 = 2x 2 +x 2 = 3x 2 4. Soit i la fonction définie sur R par i(x) = x. Alors i = avec v(x) = x. v La fonction v est dérivable sur R et ne s annule pas sur ] ;0[ ]0;+ [. Par conséquent, i est dérivable sur ] ;0[ et sur ]0;+ [ et i = v Pour tout réel x, v (x) =. Donc pour tout réel x non nul, i (x) = x 2 4

5 S 5. Soit k la fonction définie sur R par k(x) = 4x+3 x 2 +. Alors k = u v avec u(x) = 4x+3 et v(x) = x2 + > 0. u et v sont dérivables sur R et v ne s annule pas sur R, donc k l est aussi et k = u v uv Pour tout réel x, u (x) = 4 et v (x) = 2x. Donc pour tout réel x, Démonstration : k (x) = 4 (x2 +) ( 4x+3) 2x (x 2 +) 2 = 4x2 4+8x 2 6x (x 2 +) 2 = 4x2 6x 4 (x 2 +) 2. Soit k un réel. Soit x 0 I. Pour tout réel x x 0 de l intervalle I, le taux d accroissement de ku entre x et x 0 est : τ(x) = (ku(x)) (ku(x 0)) = k(u(x) u(x 0)) = k (x) u(x 0) La fonction u est dérivable sur I donc en x 0. Par cosnéquent, Et donc u(x) u(x 0 ) lim = u (x 0 ) x x 0 lim k u(x) u(x 0) = ku (x 0 ) x x 0 La fonction ku est donc dérivable en x 0 pour tout réel x 0 I. Donc ku est dérivable sur I et pour tout x I, (ku) (x) = ku (x). 2. À faire 3. Soit x 0 I. Pour tout réel x x 0 de l intervalle I, le taux d accroissement de uv entre x et x 0 est : τ(x) = (uv)(x) (uv)(x 0) τ(x) = u(x)v(x) u(x 0)v(x 0 ) τ(x) = [u(x) u(x 0)]v(x)+u(x 0 )v(x) u(x 0 )v(x 0 ) τ(x) = u(x) u(x 0) v(x)+ v(x) v(x 0) u(x 0 ) La fonction u est dérivable sur I donc en x 0. Par conséquent, De même, v étant dérivable sur I, u(x) u(x 0 ) lim = u (x 0 ) x x 0 v(x) v(x 0 ) lim = v (x 0 ) x x 0 De plus, v étant dérivable sur I, on admettra que lim x x 0 v(x) = v(x 0 ) (on dit que v est continue en x 0 ). On obtient alors : lim x x 0 τ(x) = u (x 0 )v(x 0 )+v (x 0 )u(x 0 ) R La fonction uv est donc dérivable en x 0 pour tout réel x 0 de I; uv est donc dérivable sur I. De plus, pour tout réel x I, (uv) (x) = u (x)v(x) +u(x)v (x) 4. Soit x 0 I. Pour tout réel x x 0 de l intervalle I, le taux d accroissement de v entre x et x 0 est : τ(x) = v (x) v (x 0) v(x) v(x τ(x) = 0 ) v(x 0 ) v(x) v(x τ(x) = 0 )v(x) v(x 0 ) v(x) τ(x) = v(x 0 )v(x)( ) τ(x) = v(x) v(x 0) v(x 0 )v(x) 5

6 S La fonction v est dérivable sur I donc en x 0. Par conséquent, v(x) v(x 0 ) lim = v (x 0 ) x x 0 De plus, v étant dérivable sur I, on admettra que lim v(x) = v(x 0 ) (on dit que v est continue en x 0 ). x x 0 On obtient alors : lim τ(x) = v (x 0 ) x x 0 v 2 (x 0 ) R La fonction v est donc dérivable en x 0 pour tout réel x 0 de I; est donc dérivable sur I. De plus, pour tout réel v x I, ( v ) (x) = v (x) v 2 (x) 5. Si v ne s annule pas sur I, la fonction v est dérivable sur I. De plus, u étant dérivable sur I, le produit u v est ( u ) dérivable sur I et = u ( ) v v +u. v ( ) ( Or, = v u ) v Par conséquent, = u v +u v v v 2 = u v uv Conséquences : f(x) f (x) Ensemble de dérivabilité x 3 3x 2 R Pour tout entier naturel n 0, x n nx n R x x 2 ] ;0[ ]0;+ [ Pour tout entier naturel n 0, x n n x n+ ] ;0[ ]0;+ [ Remarque : Pour tout entier n 0 si f(x) = x n alors f (x) = nx n, que n soit positif ou négatif. Par exemple : soit, pour tout réel non nul, f(x) = x 3 = x 3. Alors f est dérivable sur R et pour tout x 0, on a :f (x) = 3x 3 = 3x 4 = 3 x 4. On a montré le téorème suivant : Dérivée des fonctions polynômes et rationnelles. Toute fonction polynôme est dérivable sur R. 2. Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition. Exemple : La fonction x 2x+3 est définie sur R\{} elle est donc dérivable sur ce même intervalle. x Pour tout x, on a : f (x) = 2(x ) (2x+3) (x ) 2 = 5 (x ) 2 On admettra les deux téorèmes de dérivabilité suivants : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soient a et b deux réels. Alors, pour tout x tel que ax+b I, la fonction g : x g(ax+b) est dérivable et g (x) = af (ax+b) Exemples : 6

7 S. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x 4. La fonction x 2x 4 est dérivable et strictement positive sur ]2;+ [. La focntion racine carré est dérivable sur ]0;+ [. Donc la fonction f est dérivable sur ]2;+ [ et pour tout x > 2, f (x) = 2 2 2x 4 = 2x 4 2. Soit g la fonction définie par g(x) = (5x+3) 4. Les fonctions x 5x+3 et x x 4 sont dérivables sur R donc g est dérivable sur R. Pour tout réel x, g (x) = 5 4(5x+3) 3 = 20(5x+3) 3 Dérivée des fonctions trigonométriques Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R et (cos) = sin (sin) = cos Exemple : Soit f la fonction définie par f(x) = 3cos(x) + (2x + 3) 6. Les fonction cos, affines et puissances positives étant dérivables sur R, f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f (x) = 3sin(x)+2 6(2x+3) 5 7