Chapitre 01 - Fonctions, degrés 0, 1 et 2

Transcription

1 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et Représentation graphique de fonctions polynomiales Problème Colin et Estelle jouent avec les nombres de l'ensemble ; ; ; ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Colin commence en écrivant un premier nombre choisi dans cet ensemble. C'est ensuite au tour d'estelle, qui choisit un autre nombre de l'ensemble, le multiplie par le nombre déjà écrit, et inscrit le produit. Chacun, ensuite, à tour de rôle, choisit dans l'ensemble un nombre non encore choisi, le multiplie par le dernier nombre écrit, puis inscrit le produit. Le premier joueur qui doit écrire un nombre plus grand que 000 a perdu. Colin peut-il jouer pour être sûr de gagner, quel que soit la stratégie de son Copyleft - Edition 0-6

2 [Souvenirs] Ok ou pas ok?. Résoudre : +6 =0 a. ( ) =8 c. ( ) +6 = +9 e. f. g. d. ( 8)( +)( +6)= = ( ) = = ( +). Factoriser l e p l u s p o s s i b l e : a. ( +)( )+( ) 7 7 c Traduire chaque phrase par une égalité : a. Par la fonction f, 6 est l'image de. a pour préimage- par la fonction f. g sont deu fonctions affines. Une représentation graphique de ƒ est donnée ci dessous, et la fonction g est définie par g ( )=.. ƒ et 6 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

3 a. Donner l'epression algébrique de ƒ, dont la représentation graphique ci-contre passe par deu points de ce quadrillage. Tracer une représentation graphique de g sur le repère ci-contre. c. Déterminer par un calcul le zéro de g. d. Calculer les coordonnées du point d intersection des graphes de ƒ et de g. e. Vrai ou fau? "Les représentations graphiques de ƒ et de g sont deu droites perpendiculaires." Justifier!. Déterminer la fonction dont la courbe représentative est : a. la droite d qui passe par le point (- ; -) et qui est parallèle à la droite d' d'équation y=9. la droite d qui passe par le point (- ; -) et qui est perpendiculaire à la droite d' d'équation y=9. 6. Résoudre le système suivant et donner les solutions en valeurs eactes et simplifiées au maimum : + y = y =, puis interpréter graphiquement. 7. Mehdi et Martial ont acheté des stylos plume et des cartouches à la papeterie. Mehdi paie CHF pour deu stylos et cinq lots de cartouches. Martial paie 0,0 CHF pour un stylo et quatre lots de cartouches. a. Quel est le pri d'un stylo? Et celui d'un lot de cartouches? Une semaine plus tard, la papeterie solde : 0 % sur les stylos et % sur les lots de cartouches. Quels pri Mehdi et Martial auraient-ils payés s'ils avaient patienté? 8. Parmi les 00 élèves que compte un collège, d'entre eu vont visiter le château de Chillon. Ce groupe de élèves représente 8 % des filles et % des garçons du collège. Combien y a-t-il de filles et de garçons dans ce collège? 9. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction ƒ définie pour [ ; ] : y ƒ Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et 7

4 À l aide de cette représentation graphique : a. déterminer ƒ( ) ; déterminer l ensemble des zéros de ƒ ; c. déterminer l'ordonnée à l'origine de ƒ ; d. déterminer les valeurs de telles que ƒ() = ; e. déterminer les solutions de l équation ƒ() = - ; f. déterminer un nombre qui a quatre préimages par ƒ. g. Donner le tableau de signes de ƒ. 0. Quelles sont graphiquement.. On g ( )= les considère les fonctions et élémentaires fonctions h ()= f réelles que et vous g connaissez? définies par Les f ( )= ,. Déterminer leurs domaines de définition Df, Dg et Dh.. Les sommets du carré grisé appartiennent au côtés du carré ABCD. C D A en fonction de. Quel est le domaine Dvipp problème? cm a. Eprimer l aire grisée représenter des valeurs intéressantes pour le c. Esquisser le graphique de cette fonction aire grisée. A d. Pour quelle(s) valeur(s) de cette aire est-elle minimale? B Combien vaut cette aire minimale?. Pour chacune des fonctions f définies ci-dessous, donner, si possible, l'ordonnée à l'origine, l'ensemble des zéros, l'ae de symétrie, le sommet et utiliser la meilleure stratégie possible pour obtenir une représentation graphique précise (basée sur la connaissance d'au moins points de la courbe) : a. f ( )= ( )( + ) f ( )= ( +) c. f ( )= d. f ( )= + +. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite suivantes : 8 d et de la parabole P d : + y +=0 et P : y = + +. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

5 . On donne ci-dessous la représentation graphique de fonctions réelles f, g, h, j, k, m et n Lire sur le graphique : i ii iii g(-) f f -() iv j -(0) vii k -(-) v h -(-) viii k -() vi Zf i n(0) a. Déterminer l'epression algébrique f() qui donne l'image de quelconque. par f pour un nombre réel Idem pour les autres fonctions. 6. * On considère l'équation a. Déterminer Poser = + b, avec un b ℝ. b pour que cette équation ait une unique solution. f ( )= et g ( )= + b et interpréter graphiquement la solution. Voir la théorie à 9 et les eercices à 7 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et 9

6 [Souvenirs] Fonctions Dans de nombreu problèmes, on s intéresse au relations entre des quantités qui varient. Les situations qui vont nous intéresser sont celles pour lesquelles l une des grandeurs variables - la variable dépendante - dépend de l autre - la variable indépendante. Nous dirons alors que cette grandeur est fonction de l autre. Eemple : la longueur d'un glacier est fonction du temps, même si d'autres paramètres entrent en ligne de compte (la température par eemple). La longueur du glacier est la variable dépendante, et le temps la variable indépendante : le temps continue de passer même si la longueur du glacier de change pas. Autres eemples : la taille d un enfant est fonction de son âge, la distance parcourue par un train est fonction de la durée de ce parcours, l'aire d'un carré est fonction de la longueur de son côté, le bénéfice réalisé par le cinéma est fonction du pri du billet, etc... Définition Une fonction f d'un ensemble de départ D vers un ensemble d'arrivée E est une relation qui attribue à chaque élément de D au plus un élément de E. On note f : D E. Autrement dit, on est en présence d'une fonction quand on a : une variable indépendante qui prend ses valeurs dans un ensemble de départ ; une variable dépendante qui prend ses valeurs dans un ensemble d'arrivée ; une règle de correspondance qui indique comment la variable dépendante varie en fonction de la variable indépendante, donnée par un tableau de valeurs, une phrase, une représentation graphique, une epression algébrique,... ; une condition : à tout élément de l'ensemble de départ correspond au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. Remarque : le plus souvent, une fonction est définie par une epression algébrique. Dans le cadre de ce cours, nous allons considérer uniquement des fonctions réelles, c'està-dire, les fonctions pour lesquelles D et E sont des sous-ensembles de nombres réels. Notations Pour eprimer qu'il eiste une relation entre la variable indépendante et la variable f : dépendante y, on écrit : y = f() ou y ou f : f(). On utilise souvent les lettres f, g, h pour désigner les fonctions, pour la variable indépendante et y pour la variable dépendante. Remarque : la notation précédente est une notation simplifiée dans le cas de fonctions réelles, quand on sait que les ensembles de départ et d'arrivée sont ℝ. Si ces ensembles ne sont pas ℝ, on utilise une notation plus complète : f : D E f ( ) [Souvenirs] Différentes représentations d une fonction Epression algébrique Eemple : soit la fonction 0 f : ℝ ℝ définie par f ( )= ( 6) Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

7 Description tetuelle Eemple : une fonction f est déterminée par le programme de calcul suivant : choisir un nombre, lui ôter 6 et prendre le carré du résultat.. Tableau de valeurs Eemple : dresser un tableau de 0 valeurs de la fonction g définie par g ( )=( ) à partir de = avec un pas de (le pas de signifie qu il y a une différence de entre les valeurs de de la première ligne) g() Courbe représentative d'une fonction Soit f une fonction, D son ensemble de départ et D. La courbe représentative (ou graphe) de la fonction f dans un repère est l ensemble des points de coordonnées (; f()) où parcourt D (et pour lesquels f() eiste). Remarque : la notation correcte pour une courbe représentative est Cf ou f, mais le plus souvent, dans notre contete, on notera plus simplement f pour nommer cette courbe. Eemple : la fonction contre f est donnée par la représentation graphique ci- Représenter graphiquement une fonction dans un repère. f, c'est tracer une courbe représentative de f [Souvenirs] Image, préimage Définition Soit f une fonction, a un élément de l'ensemble de départ et d'arrivée tels que f (a)=b, alors : b un élément de l'ensemble b est l'image de a par f ; a est une préimage de b par f. Remarque: l'image, quand elle eiste, est toujours unique (par la définition d'une fonction), alors qu'un élément b de l'ensemble d'arrivée peut avoir aucune, une ou plusieurs préimages. On parle de l'ensemble des préimages de Notation «a est l'unique préimage de b par f» se note f (b )= a }. L'epression «c et d sont les deu préimages de b par f» se note f (b)= c ; d }. L'epression Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

8 Eemple : considérons la fonction f :. = dans l'ensemble de départ, alors f fait correspondre à le nombre, soit. On dit que est l'image de par f et on note f()=. Si on choisit On dit que est une préimage de par f. Mais il eiste une autre préimage de par f, soit =-, car f ( )=( ) = Pour s'assurer qu'il n'eiste pas d'autres préimages, il faut résoudre une équation, ce qui sera étudié dans les chapitres suivants. Les deu préimages de par f sont - et ; on note f ()= ; } [Souvenirs] Zéros, ordonnée à l'origine, tableau de signe Ordonnée à l'origine et ensemble des zéros L'ordonnée à l'origine de f, parfois notée o.o., est l'image de 0 par L'ensemble des zéros de f, noté Zf f, soit f(0), est l'ensemble des préimages de 0 par f. Interprétation graphique de l'ordonnée à l'origine et de l'ensemble des zéros L'ordonnée à l'origine est si elle eiste - la seconde coordonnée du point d'intersection de la courbe représentative de f avec l'ae Oy (l'ae des ordonnées!) : L'ensemble des zéros donne la(les) première(s) coordonnée(s) du(des) point(s) d'intersection de la courbe représentative de f avec l'ae O. Eemple : déterminer l'ordonnée à l'origine et l'ensemble des zéros de la fonction par f ( )=. f définie f (0 )= 0= et donc l'ordonnée à l'origine de f est. On cherche le(s) tels que et on a : Z f = } f ( )= =0, soit = Tableau de signes Le tableau de signes d'une fonction f() est négative, nulle ou positive. f permet d'identifier les valeurs de pour lesquelles Déterminer un tableau de signes à partir d'une représentation graphique Pour déterminer un tableau de signes à partir de la représentation graphique, on commence par déterminer les valeurs pour lesquelles f() vaut 0 (c est-à-dire Zf) ; on les insère dans la première ligne du tableau, puis on indique dans la deuième ligne que f() vaut 0 pour ces valeurs ; on lit ensuite entre ces valeurs si f() est négative, nulle ou positive. Eemple : donner l'ordonnée à l'origine, l'ensemble des zéros et le tableau de signes de la fonction f définie par la courbe représentative ci-dessous,f puis déterminer l'ensemble des valeurs pour lesquelles f est négative ou nulle puis positive ou nulle : Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

9 ordonnée à l'origine : ensemble des zéros : f ( 0 ). Z f = ; ; ; ; } On voit que f() vaut 0 pour = - ; - ; ; et, ce qu'on indique dans le tableau : f() 0 0 On complète le tableau en lisant le signe de - f() f() entre les valeurs nulles : f est négative ou nulle si et seulement si [ ; ] [ ; ] f est positive ou nulle si et seulement si ] ; ] } [ ; ] [ ;+ [ [Souvenirs] Domaine de définition Définition Soit f une fonction, D son ensemble de départ et D. Le domaine de définition de f est le sous ensemble de l'ensemble de départ de tous les éléments pour lesquels f admet eactement une image. On le note D constitué Df. Déterminer le domaine de définition d'une fonction f A ce stade, il s'agit de vérifier si il y a des risques de division par 0 ou de racine carrée de nombres négatifs. Eemple : déterminer les domaines de définition des fonctions et j ( )=. f ( )= +, g ( )= +, h ( )= Comme f, g, h et j définies par f() eiste pour tout réel, alors D f =ℝ. Pour g() : il y a une racine carrée problème si donc D g =ℝ ] ; [=[ ;+ [. Pour h() : il y a une division problème si donc D h =ℝ }. + <0, c'est-à-dire si =0, c'est-à-dire si < = ; ; Pour j() : il y a à la fois une racine carrée et une division problème si <0 pour la racine et problème si =0 pour la division, c'est-à-dire si =0 donc D j =] 0 ;+ [. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

10 6 [A savoir] Fonctions élémentaires Définitions La fonction identité est la fonction f définie par La fonction «valeur absolue» est la fonction f définie par f ( )= = f () =. La fonction «carré» est la fonction f définie par f () =. La fonction «cube» est la fonction f définie par f () =. La fonction «racine carrée» est la fonction f définie par f ( )=. La fonction «inverse» est la fonction f définie par f ( )=.,, si 0. si <0 7 [Aller plus loin] Modéliser Définition Modéliser, c'est partir d'une situation donnée et utiliser des outils mathématiques pour l'étudier et apporter des solutions eactes ou approchées. Soit f une fonction. Le domaine des valeurs intéressantes pour le problème est le sous-ensemble de l'ensemble de départ de f constitué de tous les éléments pour lesquels le problème a un sens. Eemple : un pétrolier a un accident en pleine mer qui provoque une fuite dans sa coque. Le pétrole se répand sous la forme d'une nappe circulaire à la surface de la mer. On suppose que le rayon (en kilomètres) de cette nappe est modélisé par la fonction r définie par r(t)=0,t, où t est le temps (en heures). On cherche à déterminer l'aire de la nappe 6 heures après l'accident. Le domaine des valeurs intéressantes pour le problème est [ 0 ;+ [. La nappe est circulaire, son aire est donnée par : A= r ; vue comme une fonction du rayon : A(r)= r, et comme fonction du temps : A(t)= (0.t) après 6 heures, soit t=6 : A( 6 )=π ( 0. 6 ) =π(.6 ) =π km Eemple : un architecte doit insérer une fenêtre de forme particulière dans ses plans. Cette fenêtre doit avoir la forme d'un carré surmonté d'un demi-cercle et être la plus grande possible. Des contraintes techniques lui imposent une hauteur maimale totale de mètres et une largeur maimale de, mètre. Par ailleurs, son budget ne lui permet pas d'envisager une surface vitrée supérieure à mètres carrés. Comment l'aider à résoudre son problème? Posons la longueur du côté du carré ; on en déduit que le rayon du cercle est égal à / / + = π( ) = +π = ( + π ) L'aire totale est : A( )= La valeur maimale pour est. ; =, c'est-à-dire = ; est, soit le domaine des valeurs intéressantes pour ce problème est donc : ] 0 ; ] la valeur maimale pour la hauteur totale Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

11 Calculons quelques images pour représenter la fonction A: A(0)=0 A(0.)=(0.) ( + π ) 0,06 8 A(0.)=(0.) (+ π ) 0, 8 A(0.8)=(0.8) (+ π ) 0,89 8 A()= (+π ),9 8 A( )=( ) (+ π ),7 8 et interprétons graphiquement : on ne peut pas considérer de valeurs de valeurs de supérieures à ni de A() supérieures à (les droites rouges) ; la plus grande valeur possible pour correspond donc à la préimage de ; une lecture graphique nous donne, (la droite verte) Le calcul confirme : (+ π )= = π =± =±, π 8 8 est une longueur, d'où =+, ; la base de la fenêtre doit donc mesurer environ, mètre. Voir la théorie complète ici : Voir les eercices à 8 [Souvenirs] Équations à une inconnue Définitions Une équation (à une inconnue) est une égalité entre deu epressions algébriques, appelées membre de gauche et membre de droite de l'équation, contenant une variable qu'on note le plus souvent mais qui peut être représentée par n'importe quelle autre lettre. Dans notre contete, il sera implicite, si cela n'est pas précisé autrement, que la variable représente un nombre réel. Eemples y + y = y 6 est une équation à une inconnue y. + = 9 est une équation à une inconnue. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

12 Définitions Soit une équation à une inconnue. Une solution de l'équation est un nombre qui, lorsqu'on l'attribue à la variable, transforme l'équation en une égalité vraie. Eemples est une solution de + = 7, car l'égalité + = 7 est vraie. n'est pas une solution de + = 7, car + = 7 est fausse. Résoudre une équation, c'est déterminer toutes les solutions de cette équation. L'ensemble des solutions d'une équation est l'ensemble qui contient eactement toutes les solutions de cette équation. Notation On note S l'ensemble des solutions d'une équation. Lorsqu'une équation n'a pas de solution, on note S = Ø ou S = }. Eemples Si on considère l'équation ( +)( )=0, alors Si on considère l'équation S =-;}. =, alors S = Ø. Définition Une identité est une égalité entre deu epressions qui est vraie quelles que soient les valeurs des différentes variables employées. Eemples ( + )= + + ( +)= + ℝ est solution de cette équation. est une identité, car tout n'est pas une identité, car seul = 0 est solution de cette équation. Définition Deu équations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions. Eemples +=9 et + 7 = sont des équations équivalentes, car dans les deu cas S =} +=9 on a S et + 7 = ne sont pas des équations équivalentes, car pour =}, alors que pour + 7 =, on a S =} +=9, Principes d'équivalence. Si on additionne ou on soustrait au deu membres d'une équation un même nombre, on obtient une nouvelle équation équivalente.. Si on multiplie ou on divise les deu membres d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une nouvelle équation équivalente. Eemple = = 6 = ou, en étant plus eplicite : 6 = =6 = + Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

13 9 [Souvenirs] Équations de degré Eemple : résoudre l'équation suivante : 7 + = = = +9 += =0 +9 =7 7 = 7 = On cherche à isoler le terme inconnu dans le membre de gauche en retranchant au deu membres. On cherche la valeur de l'inconnue divisant les deu membres par. On vérifie ensuite que S= On cherche à éliminer les termes en dans le membre de droite en retranchant au deu membres. } 7 7 en est une solution effective de l'équation initiale 7 + = + 9. On note la solution sous forme d'ensemble. 0 [Souvenirs] Équations à plusieurs inconnues Définitions Une équation à n inconnues est une égalité entre deu epressions algébriques (le membre de gauche et le membre de droite) qui comprend n variables. Dans notre contete, il sera implicite, si cela n'est pas précisé autrement, que les variables, qu'on note le plus souvent par les lettres, y, z, t,, représentent des nombres réels. Eemples yz = 9 est une équation à trois inconnues, y et z. + y = 6 est une équation à deu inconnues et y. Définition Soit une équation à deu inconnues et y. Une solution d'une équation en et y est un couple de nombres (a ; b), qui, lorsqu'on remplace par le nombre a et y par le nombre b donne une égalité vraie. Eemple : soit l équation (E) : y = ; donner un couple qui soit solution de (E) et un couple qui ne soit pas solution de (E) Le couple ( ; ) est une solution de (E) puisque si - = est vraie. = et y =, l'égalité Le couple ( ; ) n est pas une solution de (E) puisque. Remarque : il y a le plus souvent une infinité de couples solutions pour une telle équation. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et 7

14 [Souvenirs] Représenter graphiquement une équation Soit C une courbe du plan et (E) une équation à deu inconnues et y. Si on a : P ( 0 ; y 0 ) C ( 0 ; y0 ) est solution de (E) Autrement dit : le point P est sur le couple de nombres (0;y0) est la courbe C solution de l'équation (E) on dit que (E) est une équation de C et que C est une courbe représentative de (E). Représenter graphiquement l'équation (E) consiste à représenter tous les couples du plan qui sont solution de (E). Chaque fois qu'on a affaire à une équation à deu inconnues la représenter graphiquement. Eemple : soit l équation (E) : et y, on peut donc essayer de y = 0 ; représenter graphiquement (E) L'équation (E) est équivalente à y = ; donc tous les couples solution de (E) sont les couples dont les deu coordonnées sont égales. Eemple : représenter graphiquement l'équation + y = Pour représenter graphiquement tous les points (;y) du plan qui sont solution de cette équation, on peut observer qu'il s'agit en fait de tous les points situés sur un cercle de centre (0;0) et de rayon! Remarque : représenter graphiquement une équation peut être difficile ; on peut alors s'aider d'un logiciel comme GeoGebra. Réciproquement, chaque fois qu'on considère une courbe représentative du plan c'est-àdire un sous-ensemble de points ( ;y) du plan, on peut essayer de déterminer une équation dont une représentation graphique donnerait cette courbe. Ceci est le plus souvent encore plus difficile! Eemple : quelle pourrait bien être l'équation de la courbe ci-contre? Réponse (difficile, il faut nous croire!) : ⁴ - y + y³ = 0 [Souvenirs] Les droites Pente entre deu points du plan Soient P(;y) et P(;y) deu points du plan non alignés verticalement. La pente m entre P et P est définie par : distance verticale entre les points m= distance horizontale entre les points = 8 y y. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

15 Eemple : calculer la pente entre les points P( ;-) et P( ;) m= ( ) = 7 = 7 ; on peut également calculer ainsi : m= ( ) = 7 Pente et ordonnée à l'origine d'une droite non verticale du plan Soit d une droite non verticale du plan : la pente m de d est définie par m= l'ordonnée à l'origine (o.o.) d'intersection de d avec l'ae Oy ; y y, où P(;y) et P(;y) appartiennent à d ; n de d est la seconde coordonnée (l'ordonnée) du point Eemple : déterminer pente et o.o. de la droite La pente de d passant par les points P(0 ;) et P( ;) = d est : m= 0 Comme d passe par le point P(0 ;), on sait que l'ordonnée à l'origine de d est. Représenter graphiquement une droite à partir d'un point et de la pente Eemple : représenter graphiquement la droite d passant par A( ;) et de pente m=. Une droite est déterminée par deu points. On peut obtenir un deuième point B en partant de A et en se déplaçant de unités vers la droite (horizontalement dans le sens de l'ae) et de unités vers le bas (verticalement dans le sens opposé. Ainsi : B(;-). Comme m= = [Souvenirs] Équations a+by=c et droites du plan Équation d'une droite Soit d une droite d du plan et sont des constantes réelles). Si on a : a+by = c une équation à deu inconnues et y (où a,b et c P ( 0 ; y 0 ) d ( 0 ; y 0 ) est solution de a+by = c alors on dit que a+by = c est une équation cartésienne de d. Théorème (équation d'une droite verticale du plan) Si b=0 (et l'équation a 0 ) : a = c peut aussi s'écrire = c ; sa courbe représentative est une droite a verticale du plan ; si d est une droite verticale du plan, alors son équation est de la forme =c Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et 9

16 Théorème (équation d'une droite horizontale du plan) b 0 ): Si a=0 (et l'équation by = c peut aussi s'écrire y= c ; sa courbe représentative est une droite b horizontale du plan ; si d est une droite horizontale du plan, alors son équation est de la forme y=c Théorème (équation d'une droite oblique du plan) Si a 0 et l'équation b 0 : a c a+by = c peut également s'écrire sous la forme y= + b b ; sa courbe représentative est une droite oblique du plan ; rappel : dans l'équation y=m + n, m est la pente m et n l'ordonnée à l'origine de d ; si d est une droite oblique du plan, alors son équation est de la forme y=m + n ; cette équation s'appelle l'équation réduite de d ; cette écriture est unique. Remarques : lorsque l'on considère une équation réduite, par eemple y= +, on sait que la pente de la droite est égale à (et non!) et l'ordonnée à l'origine à ; les équations réduites ne permettent pas d'eprimer les droites verticales. d passant par les points P(0 ;) et P( ;) et donner son Eemple : représenter la droite équation. Sa pente est m= = et son ordonnée à l'origine est car elle passe par 0 P(0 ;). L'équation réduite de d est donc y= +. Une équation cartésienne est + y = + y =. Eemple : représenter l'équation L'équation cartésienne -+. y+= y+= est équivalente à l'équation réduite y = Elle est représentée par la droite oblique ci-dessous : L'équation cartésienne - = est équivalente à l'équation = -. On représente tous les points ( ;y) du plan qui sont solution de cette équation ; Eemple : représenter l'équation -= dans ce cas, il s'agit de tous les points dont la re coordonnée est égale à -, soit une droite verticale! 0 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

17 [Souvenirs] Droites parallèles et perpendiculaires Théorème (droites parallèles) Deu droites de pentes m et m sont parallèles m =m Théorème (droites perpendiculaires) Deu droites de pentes m et m sont perpendiculaires m m= Eemple : déterminer la droite d'équation y= +. d passant par le point A(;) et perpendiculaire à la droite d' Comme d est perpendiculaire à d', elles ont des pentes inverses et opposées ; celle de d' vaut, on en déduit que celle de d vaut, car =. d est donc d'équation Comme ( ) y= + b ; reste à trouver b... A( ; ) d, on peut substituer dans l'équation : = +b b= 6= L'équation de d est donc y= [Souvenirs] Relation algèbre, géométrie et fonctions! Si on a affaire à une équation à deu inconnues et y, on peut essayer d'eprimer l'une des inconnues (en général y), en fonction de. Si on y arrive, on a alors une écriture du type y = f(), ce qui devient équivalent à considérer une fonction! Eemple : y=. Considérer cette équation devient L'équation y= peut s'écrire alors équivalent à considérer la fonction f définie par f() =. Eemple : L'équation 6 y =0 peut s'écrire devient alors équivalent à considérer la fonction y=. Considérer cette équation f définie par f ( )=. En résumé, étant donnée une équation à deu inconnues et y : f ; les représentations si elle peut s'écrire sous la forme y = f(), elle définit une fonction graphiques de l'équation ou de la fonction sont identiques ; si elle ne peut pas s'écrire sous la forme y = f(), elle ne définit pas une fonction ; on peut cependant (essayer de) représenter graphiquement cette équation ; étant donnée une courbe représentative (un sous-ensemble de points du plan) : s'il eiste au moins une droite verticale qui intersecte la courbe plus d'une fois, la courbe donnée ne peut pas être celle d'une fonction ; si elle n'est jamais intersectée plus d'une fois par toute droite verticale, elle représente une fonction, mais il est souvent difficile de trouver l'équation y = f()! Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

18 6 [Souvenirs] Degré 0 Définition f définie par y=c est équivalent : à On appelle fonction de degré 0, ou fonction constante, une fonction une epression de la forme f()=c avec c ℝ. Considérer une fonction f de degré 0 ou une équation de la forme la fonction f définie par f()=c correspond l'équation y = c. Eemple La fonction f définie par f () = est une fonction constante, avec cette fonction est équivalent à considérer l'équation y = -. c =. Considérer Représentation graphique Une fonction f de degré 0 définie par f() = c [ou une équation y=c] est représentée graphiquement par une droite horizontale d passant par le point (0 ; c). Toute droite horizontale d passant par le point (0 ; c) représente la fonction définie par f() = c [ou l'équation y=c] f de degré 0 7 [Souvenirs] Degré Définitions On appelle fonction du premier degré ou fonction de degré une fonction f définie * f() = a+b, avec a ℝ et b ℝ. Considérer une fonction f de degré ou une équation de la forme y = a+b est équivalent : à la fonction f définie par f()= a+b correspond l'équation y = a+ La fonction identité est la fonction f définie par f() = par une équation de la forme Remarque : on eige que constante! a soit différent de 0 pour être certain de ne pas avoir de fonction Une fonction de la forme appelée fonction affine. f() = a+b (de degré 0 si a=0, de degré sinon) est aussi f() = a (de degré 0 si a=0, de degré sinon) est appelée Une fonction de la forme fonction linéaire. Eemple f définie par f () = - est une fonction affine de degré (a = et b = -). g définie par g () = - est une fonction linéaire de degré (a = - et b = 0). Représentation graphique Une fonction f de degré définie par f() = a+b [ou une équation y=a+b] est représentée graphiquement par une droite oblique d de pente a et d'ordonnée à l'origine Toute droite oblique d de pente a et d'ordonnée à l'origine degré définie par f() = a+b [ou l'équation y= a+b] b représente la fonction f de Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

19 f ( )= + Eemple : représenter graphiquement la fonction f définie par y= + f est représentée par une droite oblique d d'équation, donc de pente et d'ordonnée à l'origine. On commence par placer l'ordonnée à l'origine sur l'ae Oy ; cela donne un premier point de d : (0;). d de telle sorte que la pente entre, on peut choisir = = A partir de ce point, on construit un deuième point de ces deu points soit égale à ; comme d'associer le signe au numérateur ou au dénominateur. Si on fait le choi du numérateur, le déplacement vertical entre les deu points est égal à - et le déplacement horizontal est égal à. Le signe est interprété comme un déplacement dans le sens opposé à celui de l'ae concerné. Il suffit enfin de relier ces deu points pour obtenir d. Déterminer une fonction de degré à partir de sa représentation graphique ou d'informations sur sa courbe représentative Eemple : déterminer l'epression algébrique de la fonction f représentée par la droite ci-contre : On identifie deu points dont on est certain des coordonnées ; ici A(- ;-) et B(;). On calcule la pente entre ces deu points : y= + b Cette droite est donc d'équation ( ) p= ( ) =. ; reste à trouver b (;) appartient à la droite, donc f()= et le couple (;) est solution de l'équation y= + b y= ; on substitue : est l'équation de f ( )= = +b b= 9 =. d., et f est la fonction de d définie par. Eemple : déterminer la fonction passant par le point A(;) f dont la courbe représentative est la droite d de pente L'équation de f est de la forme y=m+ n où m est la pente et n l'ordonnée à l'origine. Comme la pente est donnée, on a donc y= + n ; reste à déterminer n. Comme A d, on sait que les coordonnées de = + n = 6 + n n=. A sont solution de l'équation de f, soit: f est donc la fonction du degré définie par f() = - +. Eemple : déterminer la fonction f dont la courbe représentative est la droite le point A(;) et perpendiculaire à la droite d' d'équation +6 y =0 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et d passant par

20 d est perpendiculaire à d', elles ont des pentes inverses et opposées ; y = + déterminons celle de d' : + 6 y =0 6 y = + y= + Comme d'où m' = et donc pente de Comme d : m =, ainsi d : y= +n ; reste à déterminer n. A d : = +n n=. f est donc la fonction du degré définie par f ( )=. 8 [Souvenirs] Interpréter graphiquement une équation Soit p()=q()une équation du er degré. On peut considérer p() et q() comme deu epressions algébriques qui définissent deu fonctions p et q [ou deu équations y = p() et y = q()]. Résoudre l'équation initiale est alors équivalent à trouver l'abscisse de l'éventuel point d'intersection entre (les courbes représentatives de) p et q. Cette méthode géométrique permet de se représenter la situation mais ne donne à priori qu'une solution approchée. Eemple : résoudre l'équation - = - + puis interpréter graphiquement ce problème. Graphiquement : on considère les fonctions définies par p()= - et q()= - + ; p et q on les représente graphiquement de façon précise (voir ci-contre) et on observe que leur point d'intersection a comme abscisse environ,. Algébriquement : = + + += = = Remarque : l'approche graphique permet de se représenter la situation et d'estimer une réponse; l'approche algébrique fournit une solution à priori eacte. 9 [Souvenirs] Systèmes d'équations Eemple résoudre le système y = 9 + (9 + ) = = 7 = 0 = + y = 9 par substitution. y = 7 On eprime y en fonction de première équation. On remplace (substitue) deuième équation. à l'aide de la y par 9 + dans la On résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue pour trouver la valeur de. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

21 Conclusion : S = ( ;)} Eemple résoudre le système yy On remplace par dans l'équation trouvée à la première étape pour trouver la valeur de y. y = 9 + ( ) y= y = + 9 par comparaison. y = + 6 = + 9 = + 6 On observe que y est eprimé en fonction de dans les deu équations + 9 = + 6 On égalise les deu epressions en. + 9 = + 6 = On résout l'équation à une inconnue ainsi obtenue pour trouver la valeur de. y = ( )+ 9 y=0 On remplace par dans une des deu équations trouvée à la première étape pour trouver la valeur de y. Conclusion : S = ( ;0)} Remarque : cette méthode sera utile pour déterminer algébriquement les points d'intersection entre des paraboles ou, par la suite, des fonctions (résolution de systèmes d'équations non linéaires). Eemple : résoudre le système y = 8 par addition. + y = Déterminer une des inconnues ( y ) = 8 ( + y ) = On multiplie les deu membres de la première équation par et ceu de la seconde par. 0 y = y = On obtient ainsi des coefficients opposés devant y dans les deu équations. On additionne membre à membre les deu équations du système ainsi obtenu pour éliminer y. + 8 = 0 + = et donc = On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de. Déterminer l'autre inconnue ( y ) = 8 ( + y ) = On multiplie les deu membres de la première équation par et ceu de la seconde par. 0 8 y = y = On obtient ainsi le même coefficient devant dans les deu équations. 8y y = 6 On soustrait membre à membre les deu équations du système ainsi obtenu pour éliminer. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

22 y = et donc Conclusion : On résout cette équation à une inconnue pour trouver la valeur de y. y = S = ( ; )} Remarque : on aurait également pu trouver la valeur de des deu équations de départ. y en remplaçant par dans l'une 0 [Souvenirs] Représentation graphique d'un système Relation entre algèbre et géométrie On considère un système de deu équations à deu inconnues et y. Soit S l'ensemble des couples qui sont solutions de ce système. Si on représente dans un repère les courbes (ou droites) correspondant au deu équations, les points de S sont les points d'intersection de ces deu courbes. Eemple : considérons le système d'équations linéaires y = 8 qui admet pour + y = ensemble de solutions S = ( ; )} (voir résolution algébrique faite précédemment). Les représentations graphiques des équations y = 8 et y = sont les droites d et d. Le couple ( ; ) est solution du système, c'est à-dire qu'il vérifie les deu équations simultanément. Géométriquement, il s'agit donc d'un point qui se trouve à la fois sur les deu droites ; c'est le point d'intersection des droites. [Aller plus loin] Systèmes On peut également considérer des systèmes d'équations, à priori linéaires, de trois équations à trois inconnues. Résoudre un tel système, c'est déterminer tous les triplets (;y;z) qui vérifient les trois équations ; on dispose des mêmes outils que pour les systèmes Eemple : résoudre le système 6 ➀ ➁ ➂ = y + z = y + z = 7 y - z Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

23 On commence par identifier une des trois variables qu'on souhaite éliminer ; pour cela, on choisit deu des trois équations, on les multiplie si nécessaire afin que lorsqu'on les additionne, la variable z soit éliminée ➀ ➁ 8 ( ) ➁ + ➂ ④ + y + 6y yy - y + + 7y - z z z z 0z = = 0 = = 7 = 9 + ⑤ - y + 0 z = 8 La situation étant relativement symétrique, on choisit par eemple - d'éliminer z partant de ➀ et ➁: on obtient ainsi une nouvelle équation la ④ qui n'a plus que et y comme inconnues! On recommence à l'identique avec deu autres des trois équations de départ, ici ➁ et ➂ et on obtient une équation ⑤ qui n'a elle aussi plus que et y comme inconnues Si on considère maintenant le système constitué des deu équations ④ et ⑤, on a affaire à un système classique qu'on sait résoudre! ④ ⑤ + ④ 7 ⑤ y = 9 - y = y = 99 y = 6 On choisit d'éliminer y ⑥ = = dans ④ : +7 y =9 7 y = y= dans ➁ : + +z = z= On choisit l'équation ④ ou ⑤ pour déterminer y On choisit l'équation ➀, ➁ ou ➂ pour déterminer z La solution est un triplet : S =( ; ;)} Remarque : on pourrait écrire ce système comme un système équivalent triangulé : + y - z = ou ➀ + y ➀ + 7y = 9 ➁ ➁ = ➂ ➂ + z 7y = = 9 = Remarque : comme pour les systèmes, il peut arriver qu'il n'y ait pas de solution ou qu'il y ait beaucoup de solutions! Ces situations particulières seront étudiées en e et e années. Voir la théorie complète ici : Voir les eercices à 7 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et 7

24 [Souvenirs] Fonctions de degré Définition On appelle fonction de degré une fonction coefficients a, b et c sont des constantes réelles et f définie par f ( )=a +b+c, où les a 0. Vocabulaire La courbe représentative d'une fonction de degré s'appelle une parabole. Théorème Si une fonction f est définie par f ( )=a + b+ c (avec a 0 ), alors : b ac b et m= ; a a b sa courbe représentative admet un ae de symétrie d'équation = ; a b b a c elle admet un sommet au point S (k ; m) = S ( ; ) ; a a f peut aussi s'écrire sous la forme f ( )=a ( k )+ m avec k = si a> 0 elle est convee (de forme ) et si a< 0 elle est concave (de forme ). a ( k ) +m par complétion du Écrire une epression de degré sous la forme carré Pour compléter le carré k + k ou k, on ajoute ; c'est-à-dire on ajoute le carré de la moitié du coefficient de. f la fonction définie par f ( )= +. Écrire f sous la forme f ( )=a ( k ) + m. Puis en déduire l'ae de symétrie et les coordonnées du sommet de sa Eemple : soit courbe représentative. f () = + On complète le carré en ajoutant () () f () = + ( f () = ) () () () On récrit l'identité remarquable sous forme factorisée. ( f () = ) + On met les termes constants au même dénominateur. ( f () = ) On réduit. Donc, la forme recherchée est : D'où : ae de symétrie : 8 = ( f ( ) = ) et on a : k = et m =. ) ; sommet : S ( ; Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

25 Vocabulaire Une fonction f de degré peut s'écrire sous différentes formes : f ( )=a +b+c s'appelle la forme développée. Cette écriture est toujours possible et elle permet de lire immédiatement l'ordonnée à l'origine c. f ( )=a ( k )+ m s'appelle la forme canonique. Cette écriture est toujours possible et permet de d'obtenir facilement le sommet S (k ; m) de la parabole. [Souvenirs] Représenter graphiquement une fonction de degré en utilisant la forme canonique Méthode Illustration avec On cherche l'intersection avec l'ae Oy en calculant f (0). Si =0, alors f (0)= =. Donc l'intersection avec Oy est le point (0 ; ). On identifie l'ae de symétrie : = b a Ae de symétrie : On identifie le sommet : S ( b b a c ; ) a a Si c'est possible, on obtient un point supplémentaire de la représentation graphique par symétrie du point intersection avec l'ae 0y. On précise, en fonction de a, la forme convee ou concave de la parabole. Si nécessaire, on détermine encore quelques points supplémentaires, ainsi que leurs symétriques par rapport à l'ae = b. a f ( )= 6 + Sommet : =. 7 ( ; ). Le symétrique de =0 par rapport à l'ae de symétrie est =. Donc le point (; ) appartient aussi à la représentation graphique. a=, donc a >0, donc parabole convee (c'est-à-dire ). = alors f ()= 6 += donc le point ( ; ) appartient à la parabole. Prenons Par symétrie, le point ( ; ) appartient également à la parabole. Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et 9

26 [Souvenirs] Équations de degré Définition Une équation du deuième degré (ou équation de degré ) [à une variable notée ] est une équation de la forme p()=q(), où p() et q() sont des polynômes tels que le degré de p() q() est égal à. Remarque : une équation du deuième degré est toujours équivalente à une équation de la a +b+c=0, où est une variable réelle et a, b, c des constantes réelles ( a 0 ) forme Eemples : = et π = sont des équations du e degré. = et = ne sont pas des équations du e degré. [Souvenirs] Résoudre par factorisation Théorème «Cas particulier de l'équation Les solutions de l'équation = a» =a (pour a 0 ) sont = a et = a. Théorème du produit nul Si p et q sont des epressions algébriques, alors : p q=0 p=0 ou q=0 Autrement dit : un produit de facteurs est nul si et seulement si l un au moins des facteurs est nul. Cette propriété permet de trouver toutes les solutions d'une équation de degré lorsqu'une factorisation est trouvée. Attention, il faut qu'un des membres de l'équation soit nul (c'est-à-dire que le nombre 0 doit apparaître d'un côté de l'équation). Eemple : résoudre l'équation - = = = 0 On rend nul le membre de droite. ( )( 7) = 0 On factorise le membre de gauche. Par le théorème du produit nul, on a : =0 = ou 7=0 =7 On peut tester les valeurs trouvées : Pour Pour = : (-) - (-) = 7 et (-) + (-) + = 7 =7: (7) - (7) = 77 et (7) + (7) + = 77 Donc S = ; 7}. Remarque : cette méthode fonctionne aussi pour une équation de degré supérieur à qu'on peut factoriser. 0 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

27 6 [Souvenirs] Résoudre une équations de degré suite Résoudre une équation de degré par la complétion du carré Pour compléter le carré k + k ou k, on ajoute ; c'est-à-dire on ajoute le carré de la moitié du coefficient de. Eemple : résoudre l'équation + = 0 par la complétion du carré + = 0 () () + +=0 On complète le carré en ajoutant () () + ( ) (). +=0 On récrit l'identité remarquable sous forme factorisée. ( ( ) ) + =0 On réduit. = On réduit encore et on isole le carré. =± On prend la racine carrée des deu côtés (selon le théorème =a) = ± On isole. = ± On met au même dénominateur. d'où S= + ; } On note les solutions de l'équation. Théorème «Formule de Viète» a +b+c=0 une équation du e degré. On appelle discriminant de l'équation le nombre Δ = b a c. Alors on a : Soit Si Δ>0 : si l'équation a +b+c=0 a deu solutions distinctes :, = b± Δ ; a l'epression a +b+c se factorise : a +b+c= a ( )( ) Δ=0 : si l'équation a +b+c=0 a une unique solution : 0 = b ; a l'epression a +b+c se factorise : Δ<0 : l'équation a +b+c=0 n'a pas de solution ; l'epression a +b+c ne peut pas être factorisée. a +b+c= a ( 0 ) Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

28 Eemple : résoudre l'équation + = + = Ici = 0 On écrit l'équation sous la forme a =, b =, c= 8, donc a +b+c=0. = b a c = 8 = 0 Cette équation a donc solutions distinctes :, = Ce qu'on note ainsi : b ± Δ ± ± = = 6 a = = 6 = 6 et 6 Et donc l'ensemble des solutions est : S= 8; = = 6 = 8 6 } 6. Remarque : on obtient également une factorisation de l'epression = ( ( ))( )= ( + )( )=( + 8 )( ) Eemple : factoriser l'epression Ici + 8 : +. a =, b =, c=, donc Δ = b a c = ( ) = 0 Cette epression a donc seul facteur (double) qui s'annule pour : 0 = et on peut factoriser : += ( ). Remarque : on a aussi résolu l'équation Eemple : résoudre l'équation Ici b = = a } +=0 : S = +=0. a =, b =, c=, donc Δ = b a c = ( ) = < 0 Cette équation n'admet donc pas de solution : S = Remarque : on a aussi démontré que l'epression + n'est pas factorisable. 7 [A savoir] Représenter graphiquement une fonction de d Caractéristiques de la parabole Pour représenter graphiquement une fonction de degré il faut déterminer, lorsque cela est possible, les informations suivantes : l'ordonnée à l'origine les zéros l'ae de symétrie le sommet la forme convee ou concave quelques points supplémentaires Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

29 Les différentes formes d'écriture d'une fonction f de degré forme développée : f ( )=a +b +c Cette écriture est toujours possible ; elle permet de lire immédiatement l'ordonnée à l'origine c. forme canonique : f ( )=a( k ) + m Cette écriture est toujours possible ; elle permet de lire immédiatement les coordonnées du sommet S (k ; m) de la parabole. forme factorisée : f ( )=a( )( ) Cette écriture n'eiste que si Δ 0 ; elle permet de lire immédiatement les intersections de la parabole avec l'ae O, à savoir, les deu points ( ; 0) et ( ; 0 ) si Δ>0 ou l'unique point ( 0 ; 0) si Δ=0. Selon la forme sous laquelle la fonction est donnée, certaines informations peuvent donc être obtenues directement. Les autres informations sont ensuite déterminées sans forcément passer par l'écriture des deu autres formes de la fonction. Eemple : pour la fonction f définie par f () = (+)( ) donner, si cela est possible, l'ordonnée à l'origine, les zéros, l'ae de symétrie, le sommet, la forme convee ou concave et la représenter graphiquement. f () est sous forme factorisée, on obtient donc directement les points d'intersection de la parabole avec l'ae O : ( ;0) et (;0) ( Z f = ; } ). L'ae de symétrie de la parabole est la droite verticale passant par le milieu de (-;0) et (;0) : = + = est aussi l'abscisse du sommet ; on calcule l'ordonnée : y= f ( )= ( +)( )= ( )( )= ). Donc : S ( ; = a = < 0 donc la parabole est concave ( ) f (0) = (0+)(0 ) = ( ) = 8, donc le point d'intersection avec l'ae Oy est (0;8) De plus, le symétrique de (0;8) par rapport à l'ae de la parabole est (-;8). Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole : Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

30 Eemple : pour la fonction f définie par f ( )= + donner, si cela est possible, l'ordonnée à l'origine, les zéros, l'ae de symétrie, le sommet, la forme convee ou concave et la représenter graphiquement. f () est sous forme développée, donc on obtient directement l'ordonnée à l'origine :. Δ=( ) = 7<0 donc la forme factorisée n'eiste pas et Ae de symétrie : = = Z f =. b = = a est l'abscisse du sommet ; on calcule l'ordonnée : f ( )=( ) ( )+= =. Donc S ( ; ). a = > 0 donc la parabole est convee ( ) Points supplémentaires : f ( )=( ) ( )+= et f ( )=( ) ( )+=8 Le symétrique de (-;) par rapport à l'ae de la parabole est (;). Le symétrique de (-;8) par rapport à l'ae de la parabole est (;8). Le symétrique de (0;) par rapport à l'ae de la parabole est (;). Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole : 8 [A savoir] Déterminer l'epression algébrique d'une fonction de degré à partir de sa représentation graphique Eemple : on donne ci-contre représentation graphique d'une fonction degré : la f de Déterminer son epression algébrique f(). Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

31 Sur le graphique, on lit les informations suivantes : le sommet de la parabole : S( ;) d'autres points : f () = et la parabole est concave donc f ( ) = a<0 (On ne peut pas lire précisément les zéros.) f ( )=a( k )+ m avec k = et m= : f ( )=a( ( )) + d'où f ( )=a ( +)+. Comme on connaît le sommet, on utilise la forme canonique Il reste à déterminer a : on utilise un des points connus de la parabole, par e, f () = f ()=a (+) + = a + f ()= Donc } a += a= a = (on a bien a < 0) f ( )= ( +) +. Eemple : on donne ci-contre la représentation graphique d'une fonction g de degré. Déterminer son epression algébrique g() : Sur le graphique, on lit les informations suivantes : les zéros : d'autres points : la parabole est convee donc Z g= ; } g (-) = et g () = a>0 (On ne peut pas lire précisément les coordonnées du sommet.) g ( )=a ( )( ) avec = et = : g ( )=a( ( ))( ) d'où g ( )=a ( +)( ). Comme on connaît les zéros, on utilise la forme factorisée Il reste à déterminer a : on utilise un des points connus de la parabole, par e, g () = g ()=a(+)( )= a g()= Donc } a = a = (on a bien a > 0) g ( )= ( +)( ). Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

32 9 [A savoir] Intersections Eemple : déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection des (courbes représentations des) fonctions f et g définies par f ( )= + et g ( )= +, puis interprétrer graphiquement. Il faut résoudre le système y = +. y = + On utilise la méthode par comparaison : + = + + =0 9 C'est une équation à une inconnue de degré à résoudre : Δ =( ) ( )= donc, = 9 ± = 7 ± d'où = et =. dans la re équation pour trouver y : y = ( )+ =0, 7 puis on fait de même avec : y = + =. On remplace D'où S = ( ;0);( ; 7 )}. 7 Les points d'intersection sont donc ( ;0) et ( ; ). Voir la théorie complète ici : Voir les eercices 8 à 7 6 Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et

33 Fonctions Sachant que le produit de deu nombres vaut a, eprimer l un des nombres en fonction de l autre. Pour un cube de côté, eprimer son aire latérale et son volume en fonction de la longueur de son côté. Si on divise la longueur du côté par, que deviennent son aire latérale et son volume? Pour une longueur L donnée, eprimer, en fonction d un des côtés, l aire d un rectangle ayant L pour périmètre. Traduire chaque égalité par une phrase contenant le mot «image»: a. f ()= c. h ()= g (0)= d. p ()= a. f() est nulle f() est strictement négative Traduire chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme.... a. a pour image par la fonction f. L'image de Déterminer l'o.o., Z f et le tableau de signes de la fonction suivante puis déterminer les valeurs de pour lesquelles : c. f() est négative d. f() est strictement positive e. f() est positive z par la fonction g est z(z+). c. Par la fonction h, est l'image de. 8 * Voici une d'une fonction f : représentation graphique d. Par la fonction r, t a pour image t t. e. La fonction k associe, à tout nombre nombre ( )., le 6 Voici une représentation graphique d'une fonction f : 0 Déterminer l'o.o., Z f, le tableau de signes, l'image de et les préimages de -, et. a. Quelle est l'image de par f? Donner des valeurs pour : f (0) l'image de par l'image de par f f f ( ) c. Déterminer l'o.o. et Z f graphiquement. d. Donner le tableau de signes de f. 7 Voici une représentation graphique d'une fonction f : 9 Déterminer le domaine de définition des fonctions réelles f définies par : a. f ( )= f ()= + c. f ( )= d. Chapitre 0 - Fonctions, degrés 0, et f ( )= e. f ( )= f. f ( )= g. +6 f ( )= + 7