7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines

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1 Cours 7 FONCTIONS USUELLES Parité d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est paire si : { D est symétrique par rapport à 0 Pour tout x D, f ( x) = f (x) On dit que f est impaire si : { D est symétrique par rapport à 0 Pour tout x D, f ( x) = f (x) Exemple : Les fonctions suivantes sont-elles paires ou impaires :. f définie sur R par f (x) = x 4 + 2x g définie sur [0;+ [ par g (x) = 3x 3. h définie sur R \ { ;} par h(x) = x x 2 +. R est symétrique par rapport à 0. Pour tout x R, f ( x) = ( x) 4 + 2( x) 2 + = x 4 + 2x 2 + = f (x) La fonction f est paire. 2. [0;+ [ n est pas symétrique par rapport à 0. La fonction g n est donc ni paire ni impaire. 3. R \ { ;} est symétrique par rapport à 0. Pour tout x R \ { ;}, h( x) = x ( x) 2 + = x x 2 + = h(x) La fonction h est donc impaire. Théorème La courbe représentative d une fonction paire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. La courbe représentative d une fonction impaire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l origine du repère. 2 Fonctions affines 2. Définitions Définition 2 On appelle fonction affine toute fonction de la forme x ax + b où a et b sont des réels fixés. Exemples : f : x x + ; g : x 3x + 2 sont des fonctions affines. h : x 3x 2 n est pas une fonction affine. Dans le cas où b = 0, on dit que la fonction est linéaire. (Ce sont donc des fonctions affines parti- Définition 3 culières.) Exemple : l : x 2x est une fonction linéaire. FONCTIONS USUELLES 33

2 Seconde 5-200/20 Théorème 2 Une fonction affine est entièrement déterminée par la donnée de deux réels et leurs images. Exemple : Déterminer la fonction affine k : x ax + b telle que k() = 5 et k( 2) =. { k() = a + b = 5 a et b sont solutions du système :(S) : k( 2) = 2a + b =. { { { a + 2a = 5 (S) b = 2a 3a = 6 a = 2 b = 2a b = 3 La fonction k est donc la fonction définie par k(x) = 2x Fonctions affines et proportionnalité Cas particulier : fonctions linéaires Théorème 3 Si f est une fonction linéaire alors les grandeurs f (x) et x sont proportionnelles. a est le coefficient de proportionnalité. Exemple : l : x 2x x 0 0,5 4 f (x) Cas général Théorème 4 Si f est une fonction affine (éventuellement linéaire) alors les accroissements de f (x) sont proportionnels aux accroissements de x. a est le coefficient de proportionnalité. Autrement dit, toute variation de la variable d une quantité d, provoque une variation des images de a d. Exemple : g : x 3x + 2 x 0 2,5 3 g (x) , Variation et représentation graphique Théorème 5 Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b. Si a > 0 alors f est strictement croissante sur R. Si a = 0 alors f est constante sur R. Si a < 0 alors f est strictement décroissante sur R. Exemple : Déterminer le sens de variation des fonctions f, g et l précédentes. > 0 donc f est strictement croissante sur R. 3 < 0 donc g est strictement décroissante sur R. 2 > 0 donc l est strictement croissante sur R. 34 COURS 7

3 Seconde 5-200/20 Théorème 6 Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b. La représentation graphique de f dans un repère ( O ; # ı, # j ) est la droite d équation y = ax + b. Dans le cas où f est linéaire (c est-à-dire si b = 0), cette droite passe par l origine du repère. Exemple : Tracer les représentations graphiques des fonctions f, g et l précédentes La représentation graphique de la fonction f est la droite d équation y = x + La représentation graphique de la fonction g est la droite d équation y = 3x + 2 La représentation graphique de la fonction l est la droite d équation y = 2x 3 3 Fonction carré 3. Définition Définition 4 On appelle fonction carré la fonction définie sur R par x x Propriétés Théorème 7 La fonction carré est strictement décroissante sur ] ;0] ; elle est strictement croissante sur [0;+ [. Si a < b 0 alors a 2 > b 2 Si 0 a < b alors a 2 < b 2 x Variations de x x Application : Déterminer un encadrement de x 2. lorsque x [ 3; ] ; 2. lorsque x [ 2;].. x [ 3; ] 3 x. La fonction carré étant décroissante sur ] ;0], on a : ( 3) 2 x 2 ( ) 2. Ainsi, x 2 [;9]. 2. Le tableau de variations de la fonction carré est : x 2 0 On en déduit : si x [ 2;] alors x 2 [0;4]. x x Théorème 8 Pour tout x R, x 2 0. Pour tout x R, ( x) 2 = x 2. La fonction carré est donc paire. FONCTIONS USUELLES 35

4 Seconde 5-200/ Courbe Définition 5 La représentation graphique de la fonction carré dans un repère orthogonal est une courbe appelée parabole. Elle est symétrique par rapport à l axe des ordonnées Équations Théorème 9 Soit k R et (E) l équation x 2 = k. Si k > 0 alors (E) admet deux solutions k et k. Si k = 0 alors (E) admet une solution unique : 0. Si k < 0 alors (E) n a pas de solution. Exemple : Résoudre l équation x 2 4x + 4 = 2. x 2 4x + 4 = 2 (x 2) 2 = 2 oux 2 = 2 x 2 = 2 Conclusion : S = { 2 + 2;2 2 } oux = x = Fonction inverse 4. Définition Définition 6 On appelle fonction inverse la fonction définie sur R par x x. 4.2 Propriétés Théorème 0 La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ ; elle est aussi strictement décroissante sur ]0;+ [. x 0 + Si a < b < 0 alors a > b Si 0 < a < b alors a > b Variations de x x 36 COURS 7

5 Seconde 5-200/20 Application : Déterminer un encadrement de lorsque x [ 4;2] x 3 x [ 4;2] 4 x 2 7 x 3. La fonction inverse étant décroissante sur ] ;0[, on a 7 x 3. Conclusion : Si x [ 4; 2] alors Théorème Pour tout x R, [ x 3 ; ] 7 x =. La fonction inverse est donc impaire. x 4.3 Courbe Théorème 2 La représentation graphique de la fonction inverse dans un repère orthogonal est une courbe appelée hyperbole. Elle est constituée de deux morceaux appelés branches de l hyperbole. Elle est symétrique par rapport à l origine du repère Fonction racine carrée 5. Définition Définition 7 On appelle fonction racine carrée la fonction définie sur R + par x x. 5.2 Propriétés Théorème 3 La fonction racine carrée est strictement croissante sur R +. x 0 + Si a < b alors a < b Variations de x x FONCTIONS USUELLES 37

6 Seconde 5-200/ Courbe Théorème 4 La représentation graphique de la fonction racine carrée est une demi-parabole Fonctions polynômes du second degré 6. Définition Définition 8 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f définie sur R par : où a, b et c sont des réels donnés avec a 0. f (x) = ax 2 + bx + c Exemple : Parmi les fonctions suivantes, quels sont les polynômes du second degré? f (x) = 3x 2 6x 4, g (x) = (2x 3) 2 4x 2, h(x) = 2(x ) 2 + 3, l (x) = x 2 + 3x + 5 Les fonctions f et h sont des polynômes du second degré. Les fonctions g et l ne sont pas des polynômes du second degré. 6.2 Propriétés Dans tout le paragraphe, f désigne une fonction polynôme du second degré définie par f (x) = ax 2 +bx +c avec a 0. Représentation graphique Théorème 5 La représentation graphique de f est une parabole (dans la suite du paragraphe, on note S ( α;β ) son sommet). Cette parabole est symétrique par rapport à la droite d équation x = α. Si a > 0 : Si a < 0 : β α α β Variations Théorème 6 Les variations de f dépendent du signe de a. Si a > 0, f est strictement décroissante sur ] ; α] et strictement croissante sur [α; + [. Si a < 0, f est strictement croissante sur ] ; α] et strictement décroissante sur [α; + [. 38 COURS 7

7 Seconde 5-200/20 Extremum Théorème 7 (Conséquence) Si a > 0, f admet le minimum β pour x = α. Si a < 0, f admet le maximum β pour x = α. Forme canonique Théorème 8 Pour tout réel x, on peut écrire f sous la forme suivante : Cette écriture est appelée forme canonique de f (x). f (x) = a(x α) 2 + β 6.3 Exemple d étude Utilisation de la forme canonique Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x 2 + 4x + 6. Déterminer les propriétés de f (variations, extremum, courbe...) Pour tout réel x : f (x) = 2(x 2 + 2x) + 6 = 2(x 2 + 2x + ) + 6 = 2((x + ) 2 ) + 6 = 2(x + ) > 0 donc f admet un minimum égal à 4 atteint en x =. Le tableau de variations de f est : La courbe représentant f est une parabole tournée vers le haut et symétrique par rapport à la droite d équation x =. Utilisation de la symétrie Exemple : Soit g la fonction définie sur R par g (x) = 3x 2 + 2x + 5. Déterminer les propriétés de g (variations, extremum, courbe...) Résolvons, par exemple, l équation g (x) = 5. g (x) = 5 3x 2 + 2x + 5 = 5 3x 2 + 2x = 0 3x(x 4) = 0 x = 0 ou x = 4 Comme, de plus, 3 < 0, on a : La courbe représentant g est une parabole tournée vers le bas et symétrique par rapport à la droite d équation x = 2 (moyenne de 0 et 4). g admet un maximum atteint en x = 2 égal à g (2) = = 9. Le tableau de variations de g est : FONCTIONS USUELLES 39

8 Seconde 5-200/20 7 Fonctions homographiques 7. Définition Définition 9 On appelle fonction homographique toute fonction f dont l expression peut s écrire : f (x) = ax + b cx + d où a, b, c et d sont des réels donnés avec c 0. Exemple : Parmi les fonctions suivantes, quels sont les fonctions homographiques? f (x) = 3x, g (x) = 2x + 2 x 2x + 3, h(x) = 3 2 5x + 3, l (x) = 2x2 + 3x Les fonctions f et h sont des fonctions homographiques. Les fonctions g et l ne sont pas des fonctions homographiques. 7.2 Propriétés Dans tout le paragraphe, f désigne une fonction homographique définie par f (x) = ax + b avec c 0. cx + d Ensemble de définition Théorème 9 L ensemble de définition de f est D f = R \ { } d. c Forme réduite Théorème 20 Pour tout x D f, on peut écrire f sous la forme suivante : f (x) = β + γ cx + d Cette écriture est appelée forme réduite de f (x). Représentation graphique Théorème 2 La représentation graphique de f est une hyperbole. Elle admet un centre de symétrie de coordonnées ( d c ;β). β d c β d c 40 COURS 7

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