Chapitre 17 INTÉGRALE DE LEBESGUE THÉORÈME DE LA DIVERGENCE

Transcription

1 Chapitre 7 INTÉGRALE DE LEBESGUE SUR UNE SOUS-VARIÉTÉ ET THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Dans tout ce qui suit est une sous-variété avec bord dans R n de dimension m. Version du 23 février 2006 Claude Portenier ANALYSE 657

2 7. Intégrale de Lebesgue sur un sous-espace a ne 7. Intégrale de Lebesgue sur un sous-espace a ne Essayons tout d abord de motiver l introduction de l intégrale de Lebesgue sur en considérant un exemple simple. Soient E un sous-espace a ne de dimension m de R n, b 2 E et # : R m! R n une application a ne telle que (#e j b) j;:::;m soit une base orthonormée du sous-espace vectoriel E b pour le produit scalaire induit par celui de R n. C est évidemment un paramétrage régulier de E et # b est un isomorphisme de la structure euclidienne (espace de Hilbert) de R m sur celle de E b. Il est donc naturel de dé nir l intégrale de Lebesgue E sur E par E : # ( m ). Nous allons montrer que cela ne dépend pas du choix de #, et plus généralement on a la PROPOSITION Soit : U! R n un paramétrage régulier de E. Alors n o E det [D (u) 2 D (u)] U. En particulier si est un isomorphisme euclidien de R m sur E, alors ( m ) E. Le corollaire 3.5 montre qu il existe un di éomorphisme # : U! R m tel que # #. Remarquons que U est un ouvert sans bord de dimension m. Comme D (u) #D # (u), puisque # est linéaire, il vient [det D # (u)] 2 det [D # (u) D # (u)] det [D # (u) # #D # (u)] det [D (u) D (u)], puisque # conserve le produit scalaire, i.e. # # Id. Par la formule du changement de variables 6.5, on a alors m # (det D # U ), donc n o E det [D (u) 2 D (u)] U par l exercice En particulier si est un isomorphisme euclidien de R m sur E, alors # est une transformation orthogonale dans R m, donc de déterminant, et par suite ( m ) E. EEMPLE Dans la décomposition R n+ R R n, on a n+ n n x d (x) où n x est l intégrale de Lebesgue sur l hyperplan fxg R n. Il su t de revenir aux dé nitions (cf. 6.3). 658 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

3 Intégrale de Lebesgue sur une sous-variété Intégrale de Lebesgue sur une sous-variété Ce qui précède nous conduit à poser la DEFINITION Soit : U! R n un paramétrage régulier local de. Pour tout k; l ; : : : ; m on considère les fonctions L application g k;l : U! R : u 7! (D (u) D (u) e k j e l ) (@ k l (u)). G : g k;l : u 7! D (u) D (u) g k;l (u) : U! M R (m m) s appelle le tenseur métrique relatif au paramétrage. En outre on pose g (u) : det D (u) D (u) det G (u) et on dit que c est le déterminant de Gram relatif au paramétrage. Soient x (u) 2 et (" j ) j;:::;m une base orthonormée de T (x). k (u) P m l c k;j " j ; il vient alors g (u) det (@ k l (u)) k;l det! m c k;j c l;j det (c k;j ) (c k;j ) j jdet (c k;j )j 2 T (x) (P [@ (u) ; : : : n (u)]) 2 > 0 d après l exemple Nous avons donc prouvé le LEMME On a G (u) D (u) D (u) 2 GL R (m) et [g (u)] 2 T (x) (P [@ (u) ; : : : m (u)]) > 0. Par analogie avec la situation de la remarque 6.6, on dit que DEFINITION 2 [g ] 2 est l élément de volume de relatif au paramétrage. PROPOSITION Si : U! R n et # : V! R n sont des paramétrages réguliers locaux de telles que (U) # (V ), alors g [g ] 2 # U # 2 V. En e et le corollaire 3.5 montre qu il existe un di éomorphisme # : U # #. On a donc D (u) D# ( # (u)) D # (u) et par suite D (u) D (u) D # (u) D# ( # (u)) D# ( # (u)) D # (u), ce qui montre que g g # # (det D # ) 2.! V tel que Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 659

4 7.2 Intégrale de Lebesgue sur une sous-variété Ainsi [g ] 2 U # # j det D # j g # 2 g # U # 2 V d après l exercice 6.0. THEOREME Il existe une unique intégrale de Radon sur telle que, pour tout paramétrage régulier local : U! R n de, on ait ( ) (U) [g ] 2 U. Comme R n possède une base dénombrable, il en est de même de. Il existe donc une suite ( k ) k2n de paramétrages réguliers locaux k : U k! R n de tels que [ k (U k ). En posant A k : k (U k ) r k0 k[ j0 j (U j ), il n est alors pas di cile de véri er que : Ak k [g k ] 2 Uk est une intégrale de Radon sur et qu elle satisfait à la formule. L unicité en découle. REMARQUE Pour tout ouvert non-vide O de, on a (O) > 0. Il su t de revenir grâce aux dé nitions à l intégrale de Lebesgue sur R où cette propriété est bien connue. REMARQUE 2 Le est un ensemble -négligeable. Cela découle immédiatement de la formule dé nissant partie Uk -négligeable., puisque k est une REMARQUE 3 Il existe souvent un paramétrage régulier local de tel que r (U) soit une partie -négligeable. Dans ce cas on a [g ] 2 U. La condition se véri e souvent en utilisant l exemple suivant. REMARQUE 4 Si Y est une sous-variété (avec bord) de dimension < m de R n avec Y, alors Y est -négligeable. 660 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

5 Intégrale de Lebesgue sur une sous-variété 7.2 EEMPLE Soient J un intervalle de R tel que J 6 ; et : J! R n une courbe paramétrée régulière (cf. exemple 3.6.4). La courbe (J) est donc une sous-variété de dimension. On a donc D D ( 0 j 0 ) j 0 j 2, [g ] 2 j 0 j. On retrouve ainsi la notion de longueur d une courbe (cf. dé nition.2.2 et théorème.2, p. 374). Pour tout a; b 2 J tels que a < b, on a (J) ( ([a; b])) b a j 0 j L. Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 66

6 7.3 L intégrale de Lebesgue sur le bord 7.3 L intégrale de Lebesgue sur le bord LEMME Soient (v j ) j;:::;m une base d un sous-espace vectoriel T de dimension m de R n, et le sous-espace vectoriel de dimension m engendré par (v j ) j2;:::;m et w 2 T tel que jwj et w? e T. Alors T (P [v ; : : : ; v m ]) j(v j w)j et (P [v 2 ; : : : ; v m ]). On se ramène évidemment au cas T R m et T e R m f0g. Il su t alors d appliquer le théorème de Fubini, puisque chaque coupe horizontale est un translaté de P [v 2 ; : : : ; v m ]. REMARQUE j(v j w)j est la hauteur du parallélotope P [v ; : : : ; v m ] de base P [v 2 ; : : : ; v m ]. COROLLAIRE Soient U un ouvert (avec bord) de R R m et : U! R n un paramétrage régulier local de. On a [g (0; )] (0; ) h 2 sur Cela découle immédiatement du lemme 7.2 et de la proposition 3.7.i. EEMPLE Détermination de l intégrale de Lebesgue sur S n (r) Nous utilisons les notations de l exemple Déterminons tout d abord la normale extérieure à B n (r) en x 2 S n (r). Il su t de considérer la fonction puisque B n (r) f 6 r 2 g. On a donc : R n! R : x 7! jxj 2, grad (x) 2 x, n (x) x jxj. Déterminons maintenant l élément de surface sur S n (r) à l aide du paramétrage n. n (r; ) n (; ) x jxj (cf. exemple 3.2.4), il vient x (@ (r; )j n (r; )) x jxj, jxj 662 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

7 D (0; w) G (0; w) e. L intégrale de Lebesgue sur le bord 7.3 et par suite donc h i 2 n ('2 ; : : : ; ' n ) h i 2 n ('2 ; : : : ; ' n ) [g n (r; '2 ; : : : ; ' n )] 2 det Dn (u), r n cos n 2 ' n cos n 3 ' n : : : cos ' 3. Ceci montre que ou bien S n (r) r n ] ;[ no cos j j3 2 ] 2 ; 2 [ d S n (r) (x) r n cos n 2 ' n cos n 3 ' n : : : cos ' 3 d (' 2 ; : : : ; ' n ). En particulier la surface de cette sphère est r n ] ;[] 2 ; 2 [ cosn 2 ' n cos n 3 ' n : : : cos ' 3 d (' 2 ; : : : ; ' n ) 2 n 2 r n. n 2 n 2 La formule de changement de variables de l exemple montre que! THEOREME On a n 0 S n (r) dr. Le résultat suivant nous sera utile théoriquement par la suite. PROPOSITION Soient U un ouvert (avec bord) de R R m et : U! R n un paramétrage régulier local de. On a ainsi que D (0; ) G (0; ) e D (0; ) G (0; ) e, g (; ) D (0; ) G (0; ) e 2 En e et le vecteur du membre de droite est normé et, pour tout w 2 on a DG e Dej (0; w) D DG e ej (0; w) (e j e j ), d où la première assertion par la proposition 3.7.i. Il vient alors j(@ (0; w)j n (w)))j De DG e DG e (0; w) Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 663

8 7.4 Partition de l unité 7.4 Partition de l unité PROPOSITION Soit Y un espace métrique. Pour qu une application f :! Y soit continue, il faut et il su t que f soit continue pour toute paramétrisation régulière locale de. C est immédiat puisqu un paramétrage régulier est un homéomorphisme sur un ouvert de. Ceci nous conduit à poser la DEFINITION Nous dirons qu une application f :! R p est continûment dérivable si f est continûment dérivable pour tout paramétrage régulier local de. REMARQUE Il su t pour la continuité, comme pour la dérivabilité, de ne considérer au voisinage de chaque point qu un seul paramétrage régulier. Cela découle évidemment du corollaire 3.5. EEMPLE Si W est un ouvert de R n contenant et f : W! R p est continûment dérivable, alors f j est continûment dérivable. Nous allons maintenant construire ce que l on appelle une partition de l unité continûment dérivable sur. Nous l obtiendrons par restriction à d une telle partition sur R n. DEFINITION 2 Pour tout ouvert de R n, désignons par D () l ensemble des fonctions sur qui sont indé niment dérivables et à support compact. Par exemple en dé nissant : R! R par 8 < exp jxj < x 2 (x) : si : 0 jxj > on a 2 D + (R). La fonction dé nie par (x) : z2 (x z) pour tout x 2 R est indé niment dérivable et > 0 sur R, car la somme contient au voisinage de chaque point au plus trois termes non-identiquement nuls., 664 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

9 Partition de l unité 7.4 PROPOSITION Posons :. On a 2 D (R) et j ( z). Pour tout " > 0 et z 2 n, dé nissons ";z : R n! R par ny ";z (x) : " x j z j. z2 On a ";z 2 D (R n ), supp ";z " (z + [ ; ] n ) et ";z. z2 n Cette somme contient au voisinage de chaque point au plus 2 n + termes non-identiquement nuls. La première partie est immédiate. Pour la seconde il su t de constater que ny ny " x j z j " x j z j. z2 n j j z j 2 DEFINITION On dit que ";z z2 n est une partition de l unité indé niment dérivable sur R n. Il est souvent possible de ramener l étude d une fonction f sur à une étude locale en écrivant Le choix de " se fait en général grâce au f z2 n ";zj f. LEMME Soit un espace métrique, K une partie compacte de et (U j ) j2j un recouvrement ouvert de K. Alors il existe " > 0 ( nombre de Lebesgue ) tel que, pour toute partie A telle que diam (A) 6 " et A \ K 6 ;, on ait A U j pour un certain j 2 J. Pour tout x 2 K, il existe j (x) 2 J et (x) > 0 tels que B (x; (x)) U j(x). La famille B x; (x) est évidemment un recouvrement ouvert de K, donc contient un sousrecouvrement ni B x k ; (x 2 k). Posons " : min k;:::;n k;:::;n (x 2 k). Si A 2 x2k satisfait au hypothèses du lemme, soit x 2 A \ K et k tel que x 2 B x k ; 2 (x k). Pour tout y 2 A, il vient alors ce qui prouve que d (y; x k ) 6 d (y; x) + d (x; x k ) 6 diam (A) + 2 (x k) 6 (x k ), A B (x k ; (x k )) U j(xk ). Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 665

10 7.5 Le gradient 7.5 Le gradient LEMME Soient f :! R p une application continûment dérivable, x 2 et t 2 T (x)r f0g. Pour tout intervalle J de R tel que J 6 ; et toute courbe paramétrée continûment dérivable # : J! telle que 0 2 J, # (0) x, # 0 (0) t et # (J), le vecteur (f #) 0 (0) 2 R p ne dépend pas de #, seulement de f, x et t. En e et, si : U! R n est un paramétrage régulier local de au voisinage de x (u), il existe un unique 2 R m tel que t D (u). D autre part la proposition 3.5 montre qu il existe une application continûment dérivable # : [0; "[! U telle que # #. Il vient alors t # 0 (0) D (u) # 0 (0), ce qui prouve que # 0 (0). On a alors d où notre assertion. Ce lemme nous permet de poser la (f #) 0 (0) D (f ) (u) # 0 (0) D (f ) (u), DEFINITION Le t f (x) : (f #) 0 (0) s appelle la dérivée de f en x dans la direction t. Il décrit la variation de f dans la direction t, i.e. le long de chaque courbe paramétrée # convenable. THEOREME Soient f :! R une fonction continûment dérivable et x 2. Il existe un unique vecteur tangent s 2 T (x) tel t f (x) (sj t) pour tout t 2 T (x). L unicité est immédiate, car si s; ~s 2 T (x) sont tels que (sj t f (x) (esj t), on a (s ~sj t) 0 pour tout t 2 T (x), donc s ~s. Pour prouver l existence considérons un paramétrage régulier local de en x (u). Comme dans le lemme, étant donné t 2 T (x), soit 2 R m tel que t D (u) et utilisant la formule démontrée, on t f (x) D (f ) (u) (grad (f ) (u)j ) D (u) D (u) G (u) grad (f ) (u) D (u) G (u) grad (f ) (u) t, 666 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

11 Le gradient 7.5 puisque D (u) D (u) 2 GL R (m) d après le lemme 7.2. Notre assertion en découle car D (u) G (u) grad (f ) (u) 2 T (x). Ce théorème nous permet de poser la DEFINITION 2 On appelle gradient de f :! R en x, noté grad f (x), l unique vecteur tangent en x tel t f (x) (grad f (x)j t) pour tout t 2 T (x). REMARQUE grad f (x) indique la direction dans laquelle f a la croissance maximale. REMARQUE 2 Ceci montre en particulier que est une application continue. Pour tout paramétrage régulier local de, on a (grad f) D G grad (f ). grad f :! R n REMARQUE 3 Si W est un ouvert de R n contenant et f : W! R est continûment dérivable, alors grad f (x) P x grad f (x). La notation grad f désigne évidemment le gradient de la restriction de f à! Utilisant la représentation locale ci-dessus on obtient (grad f) D G grad (f ) D G (Df D) D GD (grad f), d où le résultat par la remarque 3.7.d. PROPOSITION (Règle du produit) Soient f; g :! R des fonctions continûment dérivables. Pour tout x 2 et t 2 T (x), on a En t (f g) (x) f t g (x) t f (x) g (x). grad (f g) f grad g + grad f g. C est immédiat en utilisant la dé nition t, puis le théorème. Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 667

12 7.6 La divergence 7.6 La divergence DEFINITION Nous désignerons par K () () l ensemble des fonctions ' :! R qui sont continûment dérivables et à support compact. Notre but est de dé nir la notion de divergence sur une sous-variété et de prouver une formule généralisant le théorème fondamental du calcul di érentiel et intégral : b a F 0 F (b) F (a) (lemme (ii) ci-dessous et théorème de la divergence 7.7), ainsi que la formule d intégration par parties (proposition 7.7). Le cas d J d J pour tout '; 2 K () (J) montrant que l opérateur de dérivation est anti-symétrique est généralisé dans le lemme (i) ci-dessous : div est l anti-transposé de grad. Cette propriété est prise comme dé nition de la divergence sur une sous-variété (théorème ci-dessous). LEMME Soient Q ]a ; 0] my ]a j ; b j [, un pavé ouvert dans R R m et f : Q! R m une fonction continûment dérivable. (i) Pour tout ' 2 K () (Q ), on a ' div f d Q j2 (grad 'j f) d Q. (ii) Si f est à support compact dans Q, on a div f d Q (f (b ; )j e ) d Démonstration de (i) Soient Q R m et pour j 2; : : : ; m my Q j : ]a ; 0] ]a k ; b k [ R m. k2;k6j Nous désignerons par du b j l intégration par rapport aux variables di érentes de u j. Pour tout ' 2 K () (Q ), on a alors m! bj ' div f d Q ' j f j (u) du j du b j m j Q j j Q j h i bj ' (u) f j (u) u j a j a j bj a j ' (u) f j (u) du j! du b j 668 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

13 La divergence 7.6 m j ' f j d Q (grad 'j f) d Q. Démonstration de (ii) m div f d Q j Q j Si maintenant f est à support compact dans Q, on obtient! bj j f j (u) du j du b j h i bj f j (u) du b j u j a j a j f (0; ~u) d~u j Q j (f (0; )j e ) d La première formule caractérise la divergence. Elle va nous permettre d introduire la notion de divergence sur la sous-variété de manière naturelle. C est la seconde formule qui généralise le théorème fondamental du calcul di érentiel et intégral. DEFINITION 2 Nous dirons qu une application v :! R n est un champ de vecteurs tangents (à ) si v (x) 2 T (x) pour tout x 2. EEMPLE Si f est une fonction continûment dérivable sur, alors grad f est un champ continu de vecteurs tangents. DEFINITION 3 Nous dirons que la sous-variété est de classe C (2) si, au voisinage de chaque point de, il existe un paramétrage régulier qui soit deux fois continûment dérivable. Dans tout ce qui suit est une sous-variété avec bord de classe C (2). THEOREME Soit v :! R n un champ continûment dérivable de vecteurs tangents. Il existe une unique fonction continue f :! R telle que ' f d (grad 'j v) d pour tout ' 2 K () ( Prouvons d abord l unicité. Si f; g sont de telles fonctions, on a ' (f g) d 0 pour tout ' 2 K () ( Puisque est dense dans, il nous su t de montrer que f g 0 sur Sinon il existe un ouvert non-vide U de tel que f g > 0 sur U. Mais comme il existe un ouvert W dans R n tel que U W \ ( et une fonction 2 D + (R n ) telle que 6 0 et supp W, il su t de prendre ' : ju pour obtenir une contradiction à l aide de la remarque Prouvons maintenant l existence localement. Soit : Q! R n un paramétrage régulier local deux fois continûment dérivable, où Q est un pavé ouvert dans R R m, ce que l on Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 669

14 7.6 La divergence peut supposer. Si ' 2 K () ( (Q )), par la remarque et le lemme (i) on a (grad 'j v) d DG grad (' ) v [g ] 2 dq grad (' ) [g ] 2 GD (v ) d Q ' div [g ] 2 GD (v ) d Q ' f d, en ayant dé nit f sur (Q) par f [g ] 2 div [g ] 2 GD (v ). Cette fonction est continue, puisque est un homéomorphisme de Q sur (Q). Si # : R! R n est un autre paramétrage du même type, l unicité montre que l on a f f # sur la sous-variété (Q) \ # (R). Ceci nous permet de dé nir une fonction continue f :! R par f j(q) f. Il nous reste à prouver que f satisfait à la propriété pour tout ' 2 K () ( Comme l ensemble des (Q), parcourant les paramétrages réguliers locaux de deux fois continûment dérivables dé nis sur un pavé ouvert dans R R m, est un recouvrement ouvert de, soit " > 0 le nombre de Lebesgue (cf. lemme 7.4) associé à supp ' et la métrique j j. Si J désigne l ensemble ni des z 2 n tels que supp ";z \ supp ' 6 ;, pour tout x 2 supp ', on a supp ";z ' z (Q z ) pour un certain z : Q z ";z (x). z2j Puisque ";z ' 2 K () ( z (Q z )), nous pouvons utiliser la formule ci-dessus et il vient ";z ' f z d ' f d z2j! R n et z2j grad ";z ' v d (grad 'j v) d, car grad ";z '! grad ";z ' grad '. z2j z2j Le théorème précédent nous permet de poser la DEFINITION 4 On appelle divergence de v l unique fonction continue sur, que l on note div v, telle que ' div v d (grad 'j v) d pour tout ' 2 K () ( 670 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

15 La divergence 7.6 REMARQUE, on a Pour tout paramétrage régulier local deux fois continûment dérivable de (div v) [g ] 2 div [g ] 2 GD (v ). PROPOSITION (Règle du produit) Soient f :! R une fonction continûment dérivable et v :! R n un champ continûment dérivable de vecteurs tangents. Alors div (f v) f div v + (grad fj v). Pour tout ' 2 K () ( grâce à la règle du produit 7.5, on a (grad 'j f v) d (f grad 'j v) d (grad (f ') ' grad fj v) d ' [f div v + (grad fj v)] d, d où la formule par dé nition de la divergence. Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 67

16 7.7 Théorème de la divergence 7.7 Théorème de la divergence THEOREME (de la divergence ou d Ostrogradzky) Soit v :! R n un champ continûment dérivable et à support compact de vecteurs tangents à. On a alors div v d (vj n) Avec les mêmes notations que dans la démonstration du théorème 7.6, mais en remplaçant supp ' par supp v, et en utilisant le théorème 7.2, la remarque 7.6, le lemme 7.6.ii et la proposition 7.3, on peut écrire div v d z2j Lem. 7.6.ii z2j Rem. 7.6 div ";z v d Th. 7.2 z2j div [g z ] 2 G z D z z2j div ";z v z [g z ] 2 dqz ";z v z d Qz [g z (0; )] 2 Gz (0; ) D z (0; ) ";z v z (0; ) e z2j ";z v z D (0; ) G (0; ) e Dz (0; ) G z (0; ) e d z Prop. 7.3 h i 2 z d z Prop. 7.3 Th. 7.2 z2j z2j ";z z z z ";z v n d@ i 2 d z (vj n) PROPOSITION (Intégration par parties) Soient f :! R une fonction continûment dérivable et v :! R n un champ continûment dérivable de vecteurs tangents tels que f v soit à support compact. On a alors f div v d (f vj n) (grad fj v) d. Grâce à la règle du produit 7.6, on a f div v d div (f v) d (grad fj v) (f vj n) (grad fj v) d. 672 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

17 Théorème de la divergence 7.7 DEFINITION On dé nit le laplacien d une fonction f :! R deux fois continûment dérivable par f : div grad f. THEOREME (Formule de Green) Soient f; g :! R des fonctions deux fois continûment dérivables telles que f g soit à support compact. Alors ( f g f g) d (@ n f g n g) En e et la formule d intégration par parties montre que ( f g f g) d (g grad fj n) (@ n f g n g) (f grad gj n) Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 673

18 7.8 Théorème de Gauß 7.8 Théorème de Gauß Dans ce qui suit, est une sous-variété fermée avec bord de R n de dimension n et de classe C (2) et v :! R n une application continûment dérivable. THEOREME On r Fr, et si v est à support compact, alors div v d (vj n) Si f :! R est une fonction continûment dérivable telle que f v soit à support compact, on a également la formule d intégration par parties f div v d (f vj n) (grad fj v) d. C est une conséquence immédiate du théorème et de la proposition 7.7. EEMPLE Si est compact, le théorème de Gauss appliqué à id : R n! R n montre que n () n div id d n (idj n) puisque div id n. En utilisant l exemple 7.3, on obtient en particulier n (B n (r)) x n x d S n (x) r jxj n S n Sn. EEMPLE 2 Principe d Archimède Considérons un corps plongé dans un liquide de densité c, dont la surface se trouve à la hauteur 0. Le liquide exerce en x une pression p (x) c x 3 n (x) puisque x 3 < 0. La force résultante totale est donc F p Il vient alors (e j j F ) (e j j p) c (x 3 e j j n (x)) (x) 674 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

19 Théorème de Gauß 7.8 puisque Ainsi c 8 < div (x 3 e j ) d (x) : 8 < j 3 div (x 3 e j ) si : 0 j 6 3 F c 3 () e 3, c 3 () j 3 si 0 j 6 3 ce qui montre que, quelle que soit la profondeur à laquelle se trouve le corps, il subit une poussée vers le haut égale au poids du liquide déplacé.., EEMPLE 3 Avec les hypothèses du théorème et si x 2, on a div v (x) lim "!0+ n (B n (x; ")) div v d B n (x;") lim "!0+ n (B n (x; ")) (vj n) d S n L intégrale R (vj n) d S n (x;") s appelle le ux de v sortant de B n (x; "). La limite du membre de droite représente donc la densité de ux sortant du point x, ce qui permet d interpréter div v (x) comme l intensité de la source en x qui crée v. (x;") Ceci permet de mieux comprendre l une des équations de Maxwell div ("E), où est la densité de charge électrique, E le champ électrique et " la matrice diélectrique. Sous forme intégrale on obtient le théorème de Gauss d ("Ej n) i.e. le ux de l induction (ou déplacement) électrique sortant d une surface est égal à la charge totale contenue dans. COROLLAIRE (Théorème du gradient) Soit f :! R une fonction continûment dérivable à support compact. On a alors grad f d f n Si (e j ) j;:::;n désigne la base canonique de R n, pour tout j ; : : : ; n, considérons le champ constant de vecteurs tangents x 7! e j :! R n. Il vient (grad fj e j ) d (f e j j n) f div e j d (x) f (nj e j ) par la formule d intégration par parties. Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 675

20 7.9 Rotationnel et produit vectoriel 7.9 Rotationnel et produit vectoriel Dans ce qui suit, est une sous-variété fermée avec bord de R 3 de dimension 3 et de classe C (2) et v :! R n une application continûment dérivable. On est amené à considérer la matrice anti-symétrique suivante : 0 2 v 3 v 2 v 3 v 2 v 3 v 2 v 3 v 3 2 v 2 0 DEFINITION Pour tout a; b 2 R 3, on pose 0 a ^ b 0 a 0 3 a 2 a 3 0 a b b 2 a 2 a 0 b 3 On dit que c est le produit vectoriel de a et b. On véri e immédiatement que l on a ainsi que les formules pour a; b; c 2 R 3 A a 2b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 a b 2 a 2 b a ^ b b ^ a? a; b et ja ^ bj 2 (P [a; b]), A. (a ^ bj c) (aj b ^ c) et a ^ (b ^ c) (aj c) b (aj b) c. Avec ces notations, pour tout 2 R 3, on a où (cf. exemple.6) (Dv Dv ) rot v ^ et (rot vj ) div (v ^ ), rot 2v 3 v 3 v v 2 v A. THEOREME (du rotationnel) Si v est à support compact, alors rot v d n ^ v Soit (e j ) j;2;3 la base canonique de R 3. Pour j ; 2; 3, le théorème de Gauss montre alors que (rot vj e j ) d div (v ^ e j ) d (nj v ^ e j ) (n ^ vj e j ) 676 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

21 Rotationnel et produit vectoriel 7.9 Dans ce qui suit, est une sous-variété fermée avec bord de R 3 de dimension 2 et de classe C (2), W un ouvert de R 3 contenant et v : W! R 3 une application continûment dérivable. LEMME Il existe localement une normale à dans R 3 en x 2, i.e. à l espace tangent T (x), normalisée et dépendant continûment de x. de Si : U! R 3 est un paramétrage régulier au voisinage de x, on peut la dé nir à l aide u 7! [g (u)] (u) 2 (u) : U! R 3. REMARQUE Attention cette normale est dé nie à un signe près et il ne faut pas la confondre avec la normale extérieure n (x) en x DEFINITION 2 S il existe une application continue :! R n telle que (x)? T (x) et jv (x)j pour tout x 2, on dit que est orientable et que dé nit une orientation sur. EEMPLE S 2 (r) et S 2 + (r) sont des surface orientables (cf. exemples 3.6, 2 et 3). Comme orientation, on peut prendre : x 7! x r. Le ruban de Möbius n est pas orientable. DEFINITION 3 Si est orientée à l aide de, on dé nit un champ de vecteurs tangents normalisés par R 3 : x 7! (x) ^ n (x) 2 (x). Remarquons est une sous-variété sans bord de dimension. THEOREME (Formule de Stokes) Si v j est à support compact, alors (vj ) (rot vj ) d. Remarquons que v j ^ est un champ de vecteurs tangents à. Par le théorème de la divergence 7.7, on a alors (vj ) (vj ^ n) (v ^ j n) div (v ^ ). Localement on a (v ^ ) [g ] 2 v ^ (@ 2 ) [g ] 2 [(v (v 2 ], Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 677

22 7.9 Rotationnel et produit vectoriel donc [div (v ^ )] [g ] 2 div GD [(v 2 (v 2 ]. Mais 2 GD [(v 2 (v 2 ] G (v ) (@ ) (v ) (@ 2 ) (v 2 ) (@ 2 ) (v ) (@ 2 2 ) GG (v ) (v ). (v ) (v ) On en déduit que div GD [(v 2 (v ) (v 2 ] t div (v [(v 2 2 [(v )] (@ [v 2 ) + 2 ) (@ 2 [v ) (v ) (@ [v 2 ) (@ 2 [v ) 2 ) 2 ) 2 ) (@ 2 j ) ((Dv Dv 2 ) ((rot v) 2 ) et par suite que d où le résultat. [div (v ^ )] [g ] (rot 2 ), 2 ((rot v) 2 ) ((rot v) j ), Dans ce qui suit, est une sous-variété fermée avec bord de R 2 de dimension 2 et de classe C (2) W un ouvert de R 2 contenant et v : W! R 2 une application continûment dérivable. REMARQUE 2 On peut considérér comme une sous-variété orientable dans R 3 grâce à l orientation constante : e 3. COROLLAIRE (Formule de Riemann) Si v j est à support compact, alors (@ v 2 v ) d (vj ) 678 THÉORÈME DE LA DIVERGENCE Claude Portenier

23 Rotationnel et produit vectoriel 7.9 C est immédiat par la formule de Stokes en posant v 3 : 0, puisque (rot vj v 2 v. REMARQUE 3 Si : J! R 2 est un paramétrage régulier local compatible avec l orientation de choisie ci-dessus, on a 0, donc j 0 j (vj ) v 0 j 0 j (v ( (t))j 0 (t)) dt (J) J j 0 j J [P ( (t)) 0 (t) + Q ( (t)) 0 2 (t)] dt, en écrivant J v : (x; y) 7! (P (x; y) ; Q (x; y)). On écrit souvent la formule de Riemann sous la forme [@ x Q (x; y P (x; y)] d (x; [P (x; y) dx + Q (x; y) dy]. EEMPLE 2 Il v 2 (formule de Leibniz). Considérons l application v : (x; y) 2 v 2, donc 2 () y x (x dy y dx). EEMPLE 3 L une des équations de Maxwell s écrit rot E t B 0, où E désigne le champ électrique et B le champ magnétique. En appliquant la formule de Stokes, nous allons en déduire la loi d induction. Désignons par (t) : (B (; t)j ) d le ux magnétique à travers la surface. On obtient t (@ t B (; t)j ) d (rot Ej ) d (E (; t)j ) ; le membre de droite est la force électromotrice induite. Claude Portenier THÉORÈME DE LA DIVERGENCE 679