DA ) est il un repère de l espace? DC, DJ et. DA ne sont pas coplanaires donc le repère est un repère de l espace

Transcription

1 III- REPERAGE DANS L ESPACE 1) Repère Définition : soit un point de l espace ;, et trois vecteurs non coplanaires de l espace. n dit alors que ;,, est un repère de l espace. n dit que le repère ;,, est orthogonal, lorsque les vecteurs, et sont orthogonaux deux à deux. Si de plus les vecteurs, et sont unitaires (ont pour norme 1) alors, on dit que le repère est orthonormal. k Représentation «classique» d un repère orthonormal ( ; i, j, k ) : i j Exemple : Le repère (D, DC, DJ, DA ) est il un repère de l espace? Le point C n est pas dans le plan (DJA) donc DC, DJ et DA ne sont pas coplanaires donc le repère est un repère de l espace ) Coordonnées d un point Théorème (unicité admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit M un point de l espace. Il existe un unique triplet (x ; y ; z) de nombres réels tel que : Théorème (unicité admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit M un point de l espace. Les réels uniques x, y et z tels que sont les coordonnées du points M dans le repère ;,,. x est l abscisse, y est l ordonnée, z est la cote du point M dans le repère ;,,. x i M z k j M M y Mathématiques 1 ère ES PTIN 1

2 Démonstration : La parallèle menée par M à la droite ( ; k ) coupe le plan ( ; i, j ) en M. La parallèle menée par M à la droite ( M ) coupe la droite ( ; k ) en M Les droites ( ; k ) et ( M ) sont dans un même plan, et dans ce plan ( ; k ) et ( M ) sont sécantes Le quadrilatère M MM est un parallélogramme, donc M = M + M. n note ( x ; y ) les coordonnées de M dans le plan de repère ( ; i, j ) ; on a donc M = x i + y j D autre part, M et k sont colinéaires ; il existe donc un réel z tel que M = z k. n en déduit que : M = x i + y j + z k Cette écriture est unique ( admis ) Méthode 1 : Comment placer un point dont on connaît les coordonnées dans un repère de l espace. z Exemple : Placer le point M ( ; 4 ; 3) 3 M Pour construire le point M(x ; y ; z) : 1 n place M tel que = x i + y j, puis on place le point M tel que = z k 3 Enfin, n construit le parallélogramme M MM 1 1 M M y x Applications possibles : Euler n 91 ; activité 4 p. 66 et exercice 37 p. 71 Méthode : Déterminer les coordonnées de points Exemple : ABCDEFGH est un cube représenté ci contre. I est le centre du carré EADH Déterminer les coordonnées des points E ; B ; F et I dans le repère (A ; AB, AD, AE ) L écriture du repère donne l origine du repère (ici c est le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 0)). Mathématiques 1 ère ES PTIN

3 AE = 0 AB + 0 AD + 1 AE Donc E (0 ; 0 ; 1) AB = 1 AB + 0 AD + 0 AE Donc B (1 ; 0 ; 0) AF = 1 AB + 0 AD + 1 AE Donc F (1 ; 0 ; 1) AI = 0 AB + 1 AD + 1 AE Donc I (0 ; 1 ; 1 ) Propriété (admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit A et B deux points de l espace. Si A et B sont deux points distincts de coordonnées respectives ; ; et ; ;, alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées : ; ; Exemples : activité Euler n 76. Applications possibles : application 1 activité «repérage dans l espace» 3) Coordonnées d un vecteur Rappels : Théorème (admis) : l espace est muni d un repère ;,,. Soit un vecteur de l espace. Il existe un unique triplet (x ; y ; z) de nombres réels tel que :. Définition : l espace est muni d un repère ;,,. Soit un vecteur de l espace. Les réels uniques x, y et z tels que sont les coordonnées du vecteur dans le repère ;,,. x est l abscisse, y est l ordonnée, z est la cote du vecteur dans le repère ;,,. Mathématiques 1 ère ES PTIN 3

4 Propriété (admise) : l espace est muni d un repère ;,,. Si A et B sont deux points de coordonnées respectives ; ; et ; ; alors le vecteur a pour coordonnées ; ;. Si et sont deux vecteurs de coordonnées respectives ; ; et ; ;, alors le vecteur a pour coordonnées ; ;. Si est un vecteur de coordonnées ; ; et k un nombre réel, alors le vecteur a pour coordonnées ; ;. Exemples : activités Euler n 105 ; 107 ; 109 ; 110. Applications possibles : applications et 3 activité «repérage dans l espace» Méthode 1 : Montrer que deux vecteurs sont colinéaires en utilisant leurs coordonnées Il suffit de vérifier si leurs coordonnées respectives ( x ; y ; z ) et ( x ; y ; z ) sont proportionnelles pour affirmer que ces vecteurs sont colinéaires. (en calculant dans les rapports x x ; y y et z, si ces z trois rapports sont égaux alors les deux vecteurs sont colinéaires). Exemple : Soit deux vecteurs u (1 ; ; 3) et v ( ; 4 ; 6) x x = 1 ; y y = 4 = 1 et z z. = 3 6 = 1 Donc u et v sont colinéaires Méthode : Montrer que trois vecteurs sont coplanaires en utilisant leurs coordonnées S il existe deux réels a et b tel que w = a u + b v, alors les trois vecteurs u ; v et w sont coplanaire. Il faut donc trouver les réels a et b qui vérifient cette équation. Si il n y a pas de réels a et b qui vérifient cette équation, alors les trois vecteurs ne sont pas coplanaires Exemple : Montrer que u (1 ; ; 3) v (1 ; 4 ; 5) et w (5 ;16 ;1) sont coplanaires Si ils sont coplanaires alors w = a u + b v. 5 = a 1 + b 1 5 = a + b b = 5 a b = 5 a b = 5 a 16 = a + b 4 16 = a + 4b 16 = a + 4(5 a) 16 = a + 0 4a 4 = a 1 = a 3 + b 5 1 = 3a + 5b 1 = 3a + 5b 1 = 3a + 5b 1 = 3a + 5b Mathématiques 1 ère ES PTIN 4

5 Donc u, v et w sont coplanaires Applications possibles : activité p. 66 ; exercices 4, 45, 46 et 48 p. 71 ; exercices 50, 51 et 55 p. 7 IV- DISTANCE ET RTHGHNALITÉ 1) Norme et distance Rappels : Théorème (admis) : l espace est muni d un repère ;,,. o Si est un vecteur de coordonnées ; ;, alors la norme du vecteur est donnée par : ² ² ². o Si A et B sont deux points de coordonnées respectives ; ; et ; ; alors la distance AB des deux points A et B est donnée par : Démonstration : n note M le point tel que M = u.les coordonnées de M sont ( a ; b ; c ) et u = M c M Puisque le repère est orthonormal, le triangle M M est rectangle en M. Donc d après le théorème de Pythagore M ² = a ² + b ² k j b De même, le triangle M M est rectangle en M. Donc d après le théorème de Pythagore, on en déduit que : a i M M u ²= M ² = M ² + MM ² = a ² + b ² + c ² ainsi u = a ² + b ² + c ² Mathématiques 1 ère ES PTIN 5

6 Exemple : Remarque : bien faire attention que le repère soit orthonormal. ) Vecteurs orthogonaux Rappels : Théorème (admis) : l espace est muni d un repère orthonormal ;,,. Soit et deux vecteurs de l espace de coordonnées respectives ; ; et ; ;,. Dire que les vecteurs et sont orthogonaux équivaut à : 0. Applications possibles : Mathématiques 1 ère ES PTIN 6