REPERES ET DROITES SYSTEME DISTANCE ABSCISSES MILIEU CHAPITRE : ORD O N N E E

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1 SYSTEME ISTANCE ABSCISSES REPERES ET ROITES MILIEU CHAPITRE : OR O N N E E I) REPÈRE 1- Repère d'une droite Pour se repérer sur une droite (d), il faut définir les éléments suivants : _ Un point origine souvent nommé O. _ Un point distant de l'unité par rapport à O, souvent noté I. On a donc OI = 1. Ainsi à tout point M de la droite (d), on peut associer la réel x tel que : - (abscisse positive) éfinition 1 : (Abscisse négative). _ Le couple (O, I) est appelé repère d'origine O de la droite (d). _ Le réel x associé au point M est appelé abscisse du point M dans le repère (O, I). On note M(x). Considérons la droite (d) ci-dessous munie du repère (O, I) Par définition, l'abscisse du point O est 0 et l'abscisse du point I est 1. Les abscisses respectives des points A et B sont -3 et 2,5.On note A(-3) et B(2,5). 2- Repère d'un plan Vu en troisième : Pour se repérer dans un plan ( P), il faut définir les éléments suivants : _ Trois points non alignés O, I et. _ Le repère (O, I) relatif à la droite (OI). _ Le repère (O, ) relatif à la droite (O). Ainsi, à tout point M de ce plan, il existe deux uniques points Mx et My tels que : et OMxMMy est un parallélogramme. Pour finir, on peut associer à tout point M de ( P), deux réels x et y avec : x coordonnée de Mx dans le repère (O,I) y coordonnée de My dans le repère (O,) éfinition 2 : Le triplet (O, I, ) est appelé repère d'origine O du plan ( P). L'unique couple (x, y) associé au point M est appelé coordonnées du point M dans le repère (O, I, ). est appelé abscisse du point M est appelé ordonnée du point M On note 1

2 3- ifférents types de repère 1) Le repère orthogonal : On a 2) Le repère normé : 3)Le repère orthonormé : On a OI = O = 1 On a OI = O = 1 et II- MILIEU 'UN SEGMENT Le plan ( P) est muni d'un repère (O, I, ) quelconque dans lequel le point A a pour coordonnées B a pour coordonnées et le point Théorème 1 ( admis) : A( ; ) et B( ; ) et M est le milieu de [AB] III- ISTANCE Le plan (P) est maintenant muni d'un repère (O, I, ) orthonormé dans lequel le point A a pour coordonnées et le point B a pour Théorème 2 : ans un repère orthonormé, la distance AB s'exprime ainsi : Preuve : 2

3 IV- roites Le plan est muni d un repère (O,I,) 1) Equation de droite Propriétés : Soit c, m et p des réels - Toute droite parallèle à l axe (O) a une équation de la forme, avec c un réel. L ensemble des points de coordonnées ; y) tels que est une droite parallèle à l axe (O) - Toute droite non parallèle à l axe (O) a une équation de la forme, avec m et p des réels. - L ensemble des points de coordonnées ( ) tels que est une droite non parallèle à l axe (O) Remarque : m est appelé le coefficient directeur, et p est appelé l ordonnée à l origine 2) roites parallèles aux axes Propriétés : Soit deux points distincts du plan : - La droite (AB) est parallèle à l axe (O) si et seulement si = ; une équation de la droite (AB) est alors - La droite (AB) est parallèle à l axe (OI) si et seulement si y A=y B ; une équation de la droite (AB) est alors 3

4 Soient 3) étermination des coefficients d une droite non parallèle à l axe (O) Propriété : Soit une droite non parallèle à l axe (O) passant par A( ;y A) et B( de la droite (AB) est : ;y B) deux points distincts, alors le coefficient directeur éterminer une équation de la droite (AB) avec donc (AB) n est pas parallèle à (O) et a une équation du type Comme A (AB) alors ses coordonnées vérifient l équation : 4). roites parallèles, droites sécantes Propriété : - Les droites d équations et sont parallèles entre elles. - Les droites d équations sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire m=m Remarque : dans le 2 e cas, m m équivaut à «les deux droites ne sont pas parallèles» ainsi : les deux droites sont sécantes Leur point d intersection est alors le point de coordonnées l unique couple solution du système 4

5 En Résumé : Equation de x=c y = mx + p y = mx + p Equation de x = c x = c y = m x + p Position de et // et sont sécantes b Représentation O I c c' c' Si m =m Si m m // et sont sécantes b 'b b b' Conséquence : Soient 3 points A,B et C tels que et Les 3 points A,B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur ( c'est-à-dire (AB) et (AC) sont confondues ) 5