Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

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1 Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m 3 l'ensemble E 3 des réels tels que + + > 4 Eercice (Formule du binôme de Newton Soient (, y R et n N Montrer, par récurrence et en utilisant la formule du triangle de Pascal, n ( n ( + y n = k y n k k Soit a un réel positif a Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n, ( + a n + na b En déduire que pour tout réel α, la suite (α n n N tend vers + Eercice 3 Soient a, b, c trois réels strictement positifs Montrer que (a+b+c3 abc 7 Indication : On pourra utiliser les fonctions f( = (+b+c3 bc En déduire que a+b+c 3 3 abc Eercice 4 (L inégalité triangulaire Soient a et b deu réels puis g( = + a Montrer que a + b a + b Indication : On pourra élever au carré et remarquer que a = ma{a, a} b Montrer qu'il y a égalité si et seulement si a et b sont de même signe En déduire que a b a + b Indication : On pourra utiliser l'inégalité triangulaire avec a = a b + b pour ], + [ Eercice 5 (L inégalité de Cauchy-Schwarz Soient n N,,, n R et y,, y n R Pour tout réel t, on pose f(t = n (t i + y i i= On suppose dans cette question que n ( n ( n yi = Montrer que i y i i= i= On supposera dans la suite que n yi i= a Montrer que f est un trinôme en t b En étudiant le signe de f, démontrer que ( n ( n i y i i= i= i ( n i= y i i i= ( n yi i=

2 3 Soient a,, a n des réels strictement positifs ( n ( n a Montrer que a i a i n i= i= b L'inégalité ci-dessus est-elle toujours stricte? Partie II : Raisonnements par récurrence Eercice 6 Soit R Montrer que pour tout entier naturel n, sin(n n sin Eercice 7 Soit n N Montrer que n (k + = (n+(n+(n+3 Eercice 8 3 Démontrer par récurrence que pour tout naturel n, n 5 n est divisible par 5 Utiliser la formule du binôme de Newton pour développer (n + 5 En déduire que pour tout entier naturel n, n 5 n est divisible par 3 Eercice 9 Pour tout n N, on considère la proposition P(n : 9 divise n + Soit n un entier naturel Démontrer que si P n est vraie, alors P n+ est vraie La proposition P n est-elle vraie pour tout entier naturel n? Eercice (Série harmonique Pour n >, on note S n = n k= k Montrer que pour tout n, S n peut s'écrire comme le quotient d'un nombre impair par un nombre pair Indication : On pourra raisonner par récurrence forte en distinguant les cas n pair et n impair Partie III : Techniques de calculs Eercice Soient n N, a, b R et q C\{} Montrer, en utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence, les égalités suivantes n k = (n + n = n(n+ 3 4 k= n k= n k= n k = (n + n = n(n+(n+ 6 k 3 = (n 3 + n 3 = n (n+ 4 q k = + q + + q n + q n = qn+ q 5 a n b n = (a b (a n + a n b + + ab n + b n = (a b n a k b n k Eercice (Eemple de relations coefficients / racines Soit X 3 + px + q un polynôme à coecients réels ayant trois racines réelles a, b, c En développant (X a(x b(x c, eprimer a + b + c, ab + bc + ca et abc en fonction de p et q En déduire l'égalité P (a P (b P (c = 4p 3 + 7q

3 Eercice 3 Soient n N et R\{} On note f( = n k Donner une epression de f( sans signe somme En déduire une epression de g( = n k k sans signe somme k= Eercice 4 Soit n N On remarque que pour tout entier naturel non nul k, k(k+ = k k+ Calculer S n = n k(k+ En déduire lim S n n + ( n En déduire que la suite k= Eercice 5 (Factorisation de polynômes converge k n N Écrire X 4 + comme produit de polynômes à coecients réels de degré Faire de même avec X 6 + Partie IV : Trigonométrie Eercice 6 Déterminer le domaine de dénition de la fonction f dénie pour tout réel par f( = cos Eercice 7 Montrer que pour tout [, π ], π sin Interpréter graphiquement la double inégalité ci-dessus Eercice 8 Soit g la fonction dénie par g : sin π Préciser le domaine D de dénition de la fonction g et étudier sa parité Résoudre dans R + l'équation g( = 3 Montrer que, pour tout D, g(, et préciser pour quelles valeurs de l'une des inégalités devient une égalité En déduire la limite g( lorsque tend vers par valeurs positives 4 Éudier la limite de g en +, et montrer que, pour tout R +, g( π On admet que la droite d'équation y = π est asymptote en + à la courbe C représentative de g, ie g( π = lim + 5 À l'aide des questions précédentes, donner l'allure de la courbe C Eercice 9 Soit I = [, π sin [ On rappelle que pour tout réel appartenant à I, tan = cos Montrer que la fonction tan est dérivable sur I et déterminer sa dérivée Démontrer que pour tout I, sin + tan 3 Eercice Soit n N et R On suppose que πz Eprimer, sans signe produit, le réel n cos k

4 Partie V : Nombres complees Eercice Soit z un nombre complee de module Calculer + z + z Eercice (Sommes de cosinus et sinus On note E n = Calculer ( e iθ E n n e ikθ, C n = n cos kθ, S n = En déduire des epressions de E n, C n et S n sans signe somme n sin kθ Eercice 3 Représenter l'ensemble des racines des équations z λz + = lorsque λ varie dans R Eercice 4 (Nombres complees et géométrie Soit (Γ l'ensemble des points M du plan complee dont l'ae z vérie z = Pour z, on note z = z (cos θ + i sin θ Pour z {, } ae d'un point de (Γ eprimer z en fonction de θ Eercice 5 (Des inégalités On admet l'inégalité triangulaire : Montrer que pour tout (u, v C, Montrer que Indication : On remarque que z, z C, z + z z + z u + v u + v + u v (z, z, z 3, z 4 C 4, i<j 4 4 z k k= i<j 4 z i + z j z i + z j = z + z + z + z 3 + z + z 4 + z + z 3 + z + z 4 + z 3 + z 4 Partie VI : Étude de fonctions Eercice 6 (Représentations graphiques Représenter (sans utiliser ni calculatrice ni ordinateur les courbes représentatives des fonctions suivantes : f : ma{, sin } g : cos 3 h : + tan 4 ϕ :, (où désigne la partie entière du réel Eercice 7 (Polynômes On cherche les polynômes à coecients réels tels que ( X + P = 6 P Montrer que si un polynôme vérie l'égalité précédente alors il est de degré 3 Conclure

5 Eercice 8 (e π ou π e? Étudier la fonction ln En déduire (sans calculatrice le plus petit des deu réels a = e π et b = π e Eercice 9 Soient et z deu réels strictement positifs et distincts de Trouver tous les réels y tels que ( y z = (yz Eercice 3 (Optimisation Quelle forme faut-il donner à une boîte cylindrique de volume donné V pour que son aire soit aussi petite que possible (les deu faces circulaires étant comprises? Partie VII : Calcul Intégral Si u et v sont des fonctions continues, dérivables et à dérivée continue sur un intervalle [a, b], la formule d'intégration par parties (abrégé parfois en IPP dans la suite s'écrit b a u (v( d = u(bv(b u(av(a b a u(v ( d Cette formule est l'intégration de la formule de dérivation d'un produit Eercice 3 (Calculs d intégrales Calculer les intégrales suivantes 4 e I = d 4 I 4 = ( + ( + d I = 3 I 3 = π IPP ep, cos e + d e sin d (+(+ = e 5 I 5 = 6 I 6 = e α + + β + ln d + d 7 I 7 = 8 I 8 = 9 I 9 = I = Eercice 3 (Intégrales de Wallis Pour tout entier naturel n, on pose W n = Calculer W, W et W π d e + e d π 4 cos d sin cos d π/ sin n t dt Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout n, nw n = (n W n 3 En déduire que pour tout n N, On dénit n! = n W n = π (n! n (n! et W n+ = n (n! (n +! 4 La formule de Wallis a Montrer que pour tout n N, W n+ W n+ W n b En déduire la formule de Wallis lim n n (n! π (n! n + =

6 Eercice 33 Pour tout n N, on note I n = Calculer I puis I n sin(π d Former une relation entre I n+ et I n cos π Utiliser une intégration par parties avec les fonctions et π Eercice 34 Pour tout n N, on note n I n = + d On admettra que I = π 4 Calculer I Montrer que la suite (I n décroît Calculer I n + I n+ En déduire la limite de la suite (I n Epliciter pour p N, I p et I p+ 3 Démontrer les égalités suivantes : a lim ( p ( p p+ = π 4 b lim ( p ( p+ p = ln Eercice 35 Pour >, on note : F ( = cos(ln(t dt et G( = sin(ln(t dt À l'aide d'intégrations par parties, montrer que, pour tout >, F ( = cos(ln( + G( et G( = sin(ln( F ( Epliciter les fonctions F et G Partie VIII : Calculs de limites Eercice 36 (Calculs de limites Déterminer, si elle eiste, la valeur des limites suivantes ( lim lim +4 cos ( + lim lim 6+5 ( 3 lim Eercice 37 Montrer que pour tout >, < ln( + < a Trouver un polynôme à coecients réels P de degré 3 tel que R, = P ( + P ( b En déduire une epression de n k sans signe somme 3 Pour tout n, on note u n = n suite (u n k= k= ( + k n Déduire des questions précédentes la limite de la

7 Eercice 38 (Suite de Fibonacci et Nombre d or Soit (u n la suite dénie par : u = u = et pour tout n N, u n+ = u n+ + u n Trouver des réels a, b, λ et µ tels que En déduire la limite de la suite n N, u n = λa n + µb n ( un+ u n Eercice 39 (La constante d Euler Dans cet eercice, ( on montre qu'il eiste un nombre réel n γ, appelé constante d'euler, tel que γ = lim n k ln n Pour tout n N, on notera k= H n = n k La suite (H n n N est appelée série harmonique k= Montrer que pour tout k N, k+ k + k t dt k En déduire que pour tout entier n plus grand que, n H n ln n 3 Montrer que la suite (H n ln n n N est une suite décroissante 4 Conclure