Décomposition de fractions en éléments simples

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1 Déomposition de frations en éléments simples N. Jaquet Niveau : De la Terminale aux Maths du supérieur Diulté : Moyenne Durée : h à h30 Rurique(s) : Algère (frations rationnelles, systèmes linéaires) Exerie. Nous allons faire la déomposition en éléments simples de la fration rationnelle sous la forme f(x) f(x) a x + x(x + ) où a et sont deux nomres réels à déterminer. ) Déterminer a et de deux façons diérentes : x +, en regroupant au même dénominateur les deux termes de droite de l'égalité puis en identiant terme à terme. en alulant la limite de f(x) x en 0 puis la limite de f(x) (x + ) en 2) En déduire la limite de la suite u n n k k(k + ). Indiations et Commentaires : Plus généralement, onsidérons la fration rationnelle f(x) n i P (x), (x xi) où P est un polynome de degré stritement inférieur à n et x,..., x n sont des nomres omplexes deux à deux distints. On dit alors qu'il y a seulement des pôles simples et la fration se déompose en éléments simples de la faon suivante f(x) a + a an x x x x 2 x x n Les valeurs des a i peuvent être failement otenues par la tehnique de multipliation (la deuxième méthode de l'exerie, plus simple et rapide) a j lim x x j (x x j)f(x) P (x j) n. (x j x i) Ces déompositions en éléments simples sont ien pratiques, par exemple pour trouver des limites omme dans la dernière question, et surtout pour intégrer omme nous le verrons ensuite. En fait, nous avons supposé pour l'instant qu'une telle déomposition existe, puis nous avons herhé à identier les valeurs des oeients. L'existene-même de es déompositions néessite de retrousser enore un peu ses manhes. Dans le as de pôles simples, il sut de vérier que ça marhe une fois i i j

2 qu'on a trouvé le résultat, 'est à dire que le terme de droite réduit au même dénominateur oïnide ien ave le terme de gauhe. Nous sommes amenés pour ela à montrer que deux polynômes sont égaux, et il sut de montrer qu'ils sont égaux en un nomre susamment grand de points... Les points x i sont tout indiqués : à vous de jouer! Corretions. ) Méthode. On identie en réduisant au même dénominateur le memre de droite a x + x + Cette fration rationelle est égale à f(x) ssi a(x + ) + x x(x + ) (a + )x + a x(x + ) a + 0 et a. En eet deux polynomes sont égaux ssi leur oeients de même degré sont égaux deux à deux. On otient don ii a,. Méthode 2. On onsidère f(x)x x + a + x x + et en faisant tendre x vers zéro, on otient a. De manière similaire en faisant tendre x vers dans l'égalité on otient f(x)(x + ) x. a(x + ) x +, 2) On utilise la question préédente pour érire que pour tout k, f(k) En sommant es égalités pour k,..., n, n u n k(k + ) k On a ii une somme télésopique, 'est à dire : u n k(k + ) k k +. n k ( k ). k n n + n n + n +. Or /(n + ) tend vers zéro quand n tend vers l'inni. Don u n tend vers quand n. Exerie 2. Nous allons faire la déomposition éléments simples de la fration rationnelle suivante f(x) x(x + ) 2 a x + x + + (x + ) 2, où a, et sont trois nomres réels à déterminer. Pour ela, nous proposons plusieurs méthodes. ) Déterminer a, et en regroupant au même dénominateur les deux termes de droite de l'égalité puis en identiant terme à terme. 2.a) Déterminer a et en alulant la limite de f(x) x en 0 puis la limite de f(x) (x+) 2 en. 2.) Déterminer par deux méthodes diérentes : 2

3 en onsidérant la fration rationelle en onsidérant g(x) f(x) a x lim xf(x). x (x + ) 2. 2.) Quelle méthode vous semle la plus rapide pour aluler a,,? 3) En déduire la valeur de f(x)dx. Indiations et Commentaires : 2.a) Réduire la fration g au même dénominateur en remplaçant a et par leurs valeurs et identier le résultat à /(x + ). Corretions. ) Réduisons au même dénominateur : a x + x + + a(x + )2 + x(x + ) + x (x + ) 2 x(x + ) 2 ax2 + 2ax + a + x 2 + x + x x(x + ) 2 (a + )x2 + (2a + + )x + a x(x + ) 2. En identiant à f(x), les oeients des polynômes du numérateur sont égaux et don a + 0, a 2a + + 0, 2a a Don a, et. 2.a) Multiplions f par x : xf(x) (x + ) a + x 2 x + + x (x + ) 2 Don en faisant tendre x vers 0, on otient a. De même, en multipliant f par (x + ) 2 : (x + ) 2 f(x) x a(x + )2 x Don en faisant tendre x vers, on otient. 2.) Première méthode. Or g(x) f(x) a x (x + ) 2 + (x + ) +. x(x + ) 2 x + (x + ) 2 (x + )2 + x x(x + ) 2 (x + )( (x + )) x(x + ) 2 x +. g(x) 3 x +

4 et en identiant (ii, il sut de onsidérer x ), on otient. Seonde méthode. En multipliant (enore) par x : xf(x) et en faisant tendre x vers l'inni, on otient (x + ) a + x 2 x + + x (x + ) 2 0 a +, don a. 2.) La seonde méthode est ii un peu plus rapide, mais elle ne permet pas toujours de onlure, omme on le voit dans l'exerie suivant. 3) On utilise la déomposition en éléments simples étalie préédemment : f(x) x x + (x + ) 2 et en intégrant ette identité et en utilisant la linéarité de l'intégrale, on otient ( f(x)dx x ) x + dx (x + ) 2 x dx x + dx (x + ) dx 2 ] 2 [ ln x ] 2 [ ln(x + ) ] [ 2 x + ( ln 2 ln (ln 3 ln 2) + 3 ) 2 2 ln 2 + ln 3 6. Exerie 3. Pour nir, eetuons la déomposition en éléments simples suivante f(x) x 2 (x + ) 2 a x + x 2 + x + + où a,, et d sont quatre nomres réels à déterminer. d (x + ) 2, ) Déterminer et d en utilisant les limites de f(x) x 2 en 0 puis la limite de f(x) (x ) 2 en. 2) Déterminer les valeurs de a et par deux méthodes diérentes : en déomposant la fration rationnelle suivante en éléments simples (omme dans le premier exerie) en utilisant g(x) 3) En déduire pour tout t la valeur de x 2 (x + ) 2 x 2 d (x + ) 2, lim xf(x) et f( ). x x 2 (x + ) 2 dx. 4

5 Indiations et Commentaires : 2.a) Réduire la fration rationnelle g au même dénominateur puis la déomposer en éléments simples omme dans le premier exerie ('est à dire en onsidérant les limites de xg(x) en 0 puis la limite de (x )g(x) en ). Il ne reste plus alors qu'à identier ave g(x) a x + x +. Dans et exerie, on voit sur un as partiulier omment on peut déomposer en éléments simples une fration rationnelle qui n'a pas que des pôles simples omme dans le premier exerie. Soit f(x) P (x) n i (x xi)k i, où {x i : i... n} sont des nomres omplexes deux à deux distints et k,..., k n N. Si le degré du numérateur P est stritement inférieur au degré du dénominateur n i ki, alors [ ] [ ] a, a,k a2, a 2,k2 f(x) x x (x x ) k x x 2 (x x 2) k 2 [ ] an, a n,kn x x n (x x n) kn Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à elui du dénominateur, on peut se ramener à la situation préédente en faisant une division eulidienne du polynôme au numérateur par elui au dénominateur. Corretions. ) On ommene maintenant à être rompu à ette tehnique : don. De même, et don d. lim x 0 x2 f(x) lim x 0 (x + ) lim ax x 0 x x + + dx (x + ) 2 lim (x + x )2 f(x) lim x x lim a(x + ) 2 (x + )2 + + (x + ) + d d 2 x x x 2 2) Méthode. On réduit au même dénominateur : g(x) x 2 (x + ) 2 x d 2 (x + ) 2 x 2 (x + ) 2 x 2 (x + ) 2 (x + )2 x 2 x 2 (x + ) 2 2x2 2x x 2 (x + ) 2 2x(x + ) x 2 (x + ) 2 2 x(x + ) Or, grâe au premier exerie nous savons déjà déomposer x(x + ) x x + et nous otenons don g(x) 2 x + 2 x + a x + x +. Ainsi, les valeurs herhées sont a 2 et 2. Méthode 2. En multipliant par x, nous otenons xf(x) x(x + ) 2 a + x + x x + + dx (x + ) 2. 5

6 Ensuite, en prenant la limite quand x tend vers l'inni dans ette expression, nous en déduisons Enn, en onsidérant f(), nous avons 0 a +. f() 4 a d 4 a + a et don a 2, 2. 3) Utilisons la déomposition en éléments simples : f(x) 2 x + x x + (x + ) 2. En intégrant ette identité et en utilisant la linéarité de l'intégrale, on otient 2 f(x)dx x dx + x dx x + dx (x + ) dx 2 2 [ [ ] t ln x] t [ [ ] t ln(x + )] t + x x + 2 ln t ln(t + ) 2 ln 2 + t + t 2 2 ln(t + ) 2 ln t t(t + ) 2 ln