Le système d Euler bi-température non conservatif: propriétés entropiques et approximation numérique
|
|
- Caroline Gagnon
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Le système d Euler bi-température non conservatif: propriétés entropiques et approximation numérique Denise Aregba-Driollet Bordeaux INP, IMB. En collaboration avec J. Breil, S. Brull, B. Dubroca, E. Estibals.
2 Le modèle Equations d Euler pour un fluide dont l ionisation Z = ne n i supposée constante. Notations: e: électrons, i: ions. c e, c i : fractions massiques. est ρ e = ρc e = m e n e, ρ i = ρc i = m i n i, c e + c i = 1. Conséquence: c e et c i sont constantes. u = u e = u i On distingue les énergies ionique et électronique: E α = ρ α ε α ρ αu 2, α = e, i.
3 Le modèle - suite Deux lois de pressions et deux températures: p α = (γ α 1)ρ α ε α = n α k B T α, α = e, i. Les équations: t ρ + x (ρu) = 0, t (ρu) + x (ρu 2 + p e + p i ) = 0, t E e + x (u(e e + p e )) u(c i x p e c e x p i ) = ν ei (T i T e ), t E i + x (u(e i + p i )) + u(c i x p e c e x p i ) = ν ei (T i T e ), Système non conservatif avec sources. Si γ e = γ i alors (ρ, ρu, E e + E i ) est solution d Euler classique.
4 Définition des solutions faibles? Admissibilité des solutions faibles? Conditions d entropie? Approximation numérique? Références: Sur les solutions faibles: Dal Maso-Le Floch-Murat 1995, voir aussi Berthon-Coquel-Le Floch Numérique: Coquel-Marmignon 1998 pour un système similaire. Nos résultats: Existence d une entropie dissipative. Modèle cinétique sous-jacent compatible avec l entropie. Schémas entropiques par relaxation et par méthode lagrangienne.
5 Entropie dissipative Forme synthétique du système: t U + A(U) x U = G(U). On cherche η : R 3 R strictement convexe, et Q : R 3 R t.q. U, η (U)A(U) = Q (U), et η (U)G(U) 0 Si oui, toute solution régulière vérifie t η(u) + x Q(U) 0.
6 Changement de variable: U = φ(v). η(v) = η(φ(v)), Q(V) = Q(φ(V)). Existence de (η, Q) existence de ( η, Q). Ici U = (ρ, ρu, E e, E i ), V = (ρ, u, ε e, ε i ).
7 Entropie d Euler pour α = e, α = i: [ ( ρ α (γα 1)ρ α ε α η α (ρ α, ε α ) = ln m α (γ α 1) On pose ρ γα α ) ] + C, Q α = uη α. η(ρ, u, ε e, ε i ) = η e (ρc e, ε e ) + η i (ρc i, ε i ), Q = u η. Membre de gauche OK car: t ρ + u x ρ + ρ x u = 0, c α comme Euler(α) t u + u x u + ρ 1 x (p e + p i ) = 0, ne compte pas t ε e + u x ε e + ρ 1 e p e x u = ρ 1 e ν ei (T i T e ), comme Euler(e) t ε i + u x ε i + ρ 1 i p i x u = ρ 1 i ν ei (T e T i ). comme Euler(i)
8 Dissipation par le terme source En variable U: η = 1 E α k B T α d où si U est solution régulière du système: ν ei t η(u) + x Q(U) = (T i T e ) 2. k B T i T e
9 Inégalité d entropie - Admissibilité des solutions Il existe un modèle cinétique (BGK) sous-jacent : t fe ε + v 1 x fe ε + q e E ε v1 fe ε = 1 m e ε (M e fe ε ) + 1 (M e fe ε ), τ ei avec t f ε i + v 1 x f ε i t E ε = jε ε 2, x E ε = ρε ε 2, + q i E ε v1 fi ε = 1 m i ε (M i fi ε ) + 1 (M i fi ε ), τ ei M α = M α (f α ), M α = M α (f e, f i ), ρ ε = (q e fe ε + q i fi ε ) dv, R 3 j ε = v(q e fe ε + q i fi ε ) dv. R 3
10 U ε = (ρ ε, ρ ε u ε, E ε e, E ε i ). avec ρ ε = m e fe ε + m i fi ε dv, R 3 ρ ε u ε = v 1 (m e fe ε + m i fi ε )dv R 3 Eα ε v1 2 = R 3 2 f αdv, ε α = e, i. Si lim ε 0 U ε = U alors U est solution d Euler bi-temperature et t η(u) + x Q(U) ν ei k B T i T e (T i T e ) 2. Une solution sera dite admissible si elle vérifie cette inegalité.
11 Approximation numérique Le modèle BGK ci-dessus schéma cinétique Relaxation a la Suliciu Schéma lagrangien Schémas BGK discrets inspirés de l approximation des lois de conservations, cf Aregba-Driollet et Natalini, SINUM 2000 Suite de cet exposé: schémas BGK discrets.
12 Modèles BGK discrets pour Euler conservatif classique (cf A.N. 2000) Euler: système 3 3 t U + x F (U) = 0. Système BGK discret : système 3L 3L t f ε + Λ x f ε = 1 ε (M(Uε ) f ε ), U ε = Pf ε avec f ε = (f ε 1,..., f ε L ) R3L, Λ = diag(λ 1 I 3,..., λ L I 3 ) P L(R 3L, R 3 ): opérateur de moment.
13 Relations de compatibilité: PM(U) = U, PΛM(U) = F (U) Stabilité: σ(m l (U)) [0, + [. Exemple 2 2: Pf = f 1 + f 2, M 1 = λ 2U F (U) λ 2 λ 1, M 2 = λ 1U + F (U) λ 2 λ 1 Condition sous-caractéristique de Liu: σ(m l (U)) [0, + [ σ(f (U)) [λ 1, λ 2 ].
14 Modèles BGK discrets pour Euler bi-temperature Pf = l f l M e, Λ e pour Euler conservatif avec γ e M i, Λ i pour Euler conservatif avec γ i Pour le couplage avec E, α = e, i: N α = q α m α , N α = diag(n α,..., N α ) M 3L (R). D où PN α = N α P.
15 Modèles BGK discrets pour Euler bi-temperature t fe ε + Λ e x fe ε E ε (x, t)n e fe ε = 1 ε (M e(ue ε ) fe ε ) + B ei (fe ε, fi ε ), t f ε i + Λ i x f ε i E ε (x, t)n i f ε i t E ε = 1 ε 2 ( qe m e ρ ε eu ε e + q i x E ε = 1 ε 2 ( qe m e ρ ε e + q i m i ρ ε i = 1 ε (M i(ui ε ) fi ε ) + B ie (fe ε, fi ε ), ) ρ ε i ui ε, m i ), avec U ε α = (ρ ε α, ρ ε αu ε α, E ε α), défini par U ε α = Pf ε α, α = e, i. B ei, B ie ad hoc pour le second membre.
16 ε 0 u e = u i = u, q e m e ρ e + q i m i ρ i = 0, M α (U α ) = f α. ρ = ρ e + ρ i, q e = e et q i = Ze: ρ α = c α ρ, α = e, i. Moments: t ρ α + x (ρ α u) = 0, α = e, i, t (ρ α u) + x (ρ α u 2 + p α ) q α m α Eρ α = 0, α = e, i, t E e + x (u(e e + p e )) q e m e Eρ e u = ν ei (T i T e ), t E i + x (u(e i + p i )) q i m i Eρ i u = ν ei (T i T e ).
17 donne et t (ρc e u) + x (ρc e u 2 + p e ) ρ eq e E = 0, m e t (ρc i u) + x (ρc i u 2 + p i ) ρ iq i E = 0 m i ρ e q e m e E = ρ iq i m i E = c i x p e c e x p i t (ρu) + x (ρu 2 + p e + p i ) = 0 donc U = (ρ, ρu, E e, E i ) est solution d Euler bi-température.
18 Inégalité d entropie Théorème Si et M α,l (U α ) = ξ α,l U α + ζ α,l F α (U α ), 1 l L, α = e, i σ(m α,l (U α)) ]0, + [, α = e, i alors si U est limite du modèle BGK discret, U est admissible: t η(u) + x Q(U) ν ei k B T i T e (T i T e ) 2. Idée de la preuve. Il existe des entropies microscopiques H α,l (f l ) (cf Bouchut 1999 pour les lois de conservation). On multiplie l équation l pour f e par H e,l (f e,l). Second membre OK. Contribution de E ε (x, t)n α f ε α nulle.
19 Schéma entropique Flux pour l équation de transport: l {1,..., L}, h α,j+ 1 2,l = h α,l (f α,j,l, f α,j+1,l ), h α (f, f ) = Λ α f. Hypothèse Inégalité d entropie discrète : si alors f n+ 1 2 α,j,l = fα,j,l n t ( hα,l (fα,j,l n x, f α,j+1,l n ) h α,l(fα,j 1,l n, f α,j,l n )) H α,l ( f n+ 1 2 α,j,l ) H α,l (fα,j,l n ) G n α,j ,l Gn α,j 1 2,l t x 0.
20 Schéma entropique-suite U 0 = (U 0 j ) j Z donné: U 0 α = (c α ρ, c α ρu, E α ), α = e, i. Etape 1: projection sur l équilibre. Si au pas n 0 on a U n, Ue n, Ui n avec ρ α = ρc α, on pose f n α = M α (U n α), α = e, i. Etape 2: évolution. Pour α = e, i et f n+ 1 2 α,j =fα,j n t x (hn h n ) + te n+1 α,j+ 1 α,j 1 j N α f n+ 1 2 α,j tb αβ (f n+ 1 2 e,j, f n+ 1 2 i,j ), β α. U n+1 α,j = P(f n+ 1 2 α,j ) = (ρ n+1 α, ρ n+1 α u n+1 α, E n+1 α ).
21 Couplage Maxwell-Ampère et Poisson: q e ρ n+1 e,j + q i ρ n+1 i,j = 0, m e m i q e ρ n+1 e,j u n+1 e,j + q i ρ n+1 i,j u n+1 i,j = 0. m e m i d où u n+1 i,j = u n+1 e,j. On pose ρ n+1 j = ρ n+1 e,j + ρ n+1 i,j, u n+1 j = u n+1 i,j = u n+1 e,j. Comme q e = e et q i = Ze: ρ n+1 e,j = c e ρ n+1 j, ρ n+1 i,j = c i ρ n+1 j.
22 Notation F α,j+ 1 2 = F α (U α,j, U α,j+1 ), F α (U α, V α ) = P(h α (M α (U α ), M α (V α ))). Consistent avec Euler conservatif: F α (U α, U α ) = F α (U α ). Expression de E n+1 comme en continu: c e ρ n+1 j u n+1 j = c e ρ n j uj n t x c i ρ n+1 j u n+1 j = c i ρ n j uj n t x Notation: δ n j+ 1 2 consistent avec c i p e + c e p i. (F ne,j+ 12,2 F ne,j 12,2 ) + t q e j ρ n+1 e,j, E n+1 m e ( ) F n i,j+ 1 2,2 F n i,j 1 2,2 + t q i E n+1 j ρ n+1 i,j. m i = c i F n e,j+ 1 2,2 + c ef n i,j+ 1 2,2,
23 Le schéma ρ n+1 j ρ n+1 j u n+1 j E n+1 e,j E n+1 i,j F n j+ 1 2,k = α=e,i ( F n F n α,j+ 1,k, k = 1, 2. 2 = ρ n j t x j+ 1 2,1 F n, = ρ n j uj n t ( ) F n x j+ 1 2,2 F n j 1 2,2, = Ee,j n t ) (F ne,j+ x 12,3 F ne,j 12,3 + tν ei (T n+1 i,j T n+1 e,j ), = Ei,j n t ( ) F n x i,j+ 1 2,3 F n i,j 1 2,3 tν ei (T n+1 i,j T n+1 e,j ). j 1 2,1 ) u n+1 t ( ) j δ n δ n x j+ 1 j u n+1 t ( ) j δ n δ n x j+ 1 j 1 2 2
24 Théorème Si le modèle est de la forme M α,l (U α ) = ξ α,l U α + ζ α,l F α (U α ), 1 l L, α = e, i et si σ(m α,l (U α)) ]0, + [, α = e, i alors on a des inégalités d entropie discrètes: η(u n+1 j ) η(u n j ) t +Q n j+ 1 2 Q n j 1 2 x ν ei k B T n+1 i,j T n+1 (T n+1 i,j T n+1 e,j ) 2. e,j
25 Test cases Space domain: [0.1] discretized with 200 points Final time: 0.01 s. Test case 1: ν ei = 0 Initial conditions: ρ = 1, u = 10 on [0, 0.5[, u = 10 on [0.5, 1] T e = 1000, T i = 1 Test case 2: ν ei = 0 Initial conditions: ρ = 1 on [0, 0.5[, ρ = on [0.5, 1], u = 0 Te = 1000 on [0, 0.5[, T e = 800 on [0.5, 1] T i = 1 on [0, 0.5[, T i = 0.8 on [0.5, 1]
26 Density-1 st test case density 1 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 0,8 0,6 0 0,5 1 x
27 Velocity-1 st test case velocity 10 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution ,5 1 x
28 Pressure-1 st test case pressure AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution ,5 1 x
29 Electrons temperature-1 st test case 1000 electronic temperature AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap ,5 1 x
30 Ion temperature-1 st test case ion temperature 60 AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap ,5 1 x
31 Density-2 nd test case density 1 0,8 AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 x
32 Pressure-2 nd test case Pressure AN3V HLL HLLC Lagrange remap Exact solution ,2 0,4 0,6 0,8 1 x
33 Electrons temperature-2 nd test case 2000 electronic temperature AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap ,2 0,4 0,6 0,8 1 x
34 Ions temperature-2 nd test case 80 ionic temperature 60 AN3V HLL HLLC Relaxation Lagrange remap ,2 0,4 0,6 0,8 1 x
35 Perspectives 1. Ordre élevé et multid : post-doc X. Lhebrard 2. Amélioration des modèles (en particulier polyatomique) 3. Champ magnétique 4. Conditions de stabilité
1 Comment faire un document Open Office /writer de façon intelligente?
1 Comment faire un document Open Office /writer de façon intelligente? 1.1 Comment fonctionne un traitement de texte?: les balises. Un fichier de traitement de texte (WRITER ou WORD) comporte en plus du
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailFinance, Navier-Stokes, et la calibration
Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck
Plus en détailchoisir H 1 quand H 0 est vraie - fausse alarme
étection et Estimation GEL-64943 Hiver 5 Tests Neyman-Pearson Règles de Bayes: coûts connus min π R ( ) + ( π ) R ( ) { } Règles Minimax: coûts connus min max R ( ), R ( ) Règles Neyman Pearson: coûts
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailT.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY
T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................
Plus en détail!" #" $ %& '# $ %& !!""!!#" $ % &
!" #" $ % '# $ %!!""!!#" $ %!#!(!$ '()*+),-.$/*(*',0*1)2, 2 1)2(%,2 ()2+''+34!5"6,7 8+9(+, 1(*:+*)1, - 11/21%, 7 10/'# 8;%(/',7 $18)*+, 9(+, $ ;%1*', 24 1*%?19*1,
Plus en détailRupture et plasticité
Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCalcul des pertes de pression et dimensionnement des conduits de ventilation
Calcul des pertes de pression et dimensionnement des conduits de ventilation Applications résidentielles Christophe Delmotte, ir Laboratoire Qualité de l Air et Ventilation CSTC - Centre Scientifique et
Plus en détail1 Thermodynamique: première loi
1 hermodynamique: première loi 1.1 Énoncé L énergie d un système isolé est constante, L énergie de l univers est constante, de univers = de syst + de env. = 0 1 L énergie d un système est une fonction
Plus en détailEkoconstruct / Catalogue 2014. ek construct
Ekoconstruct / Catalogue 2014 ek construct 1 Nos engagements Nos engagements Une entreprise familiale avec un savoir faire Une société tournée vers le développement durable Une construction rapide et personnalisée
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailValorisation d es des options Novembre 2007
Valorisation des options Novembre 2007 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère
Plus en détailCHAPITRE 2 : Structure électronique des molécules
CHAPITRE 2 : Structure électronique des molécules I. La liaison covalente 1) Formation d une liaison covalente Les molécules sont des assemblages d atomes liés par des liaisons chimiques résultant d interactions
Plus en détailFLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles
FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET Professeur Émérite à l Université de Reims Seconde édition revue et augmentée TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION Préface de la 1 ère édition Prologue
Plus en détailThéorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés
Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailAndrei A. Pomeransky pour obtenir le grade de Docteur de l Université Paul Sabatier. Intrication et Imperfections dans le Calcul Quantique
THÈSE présentée par Andrei A. Pomeransky pour obtenir le grade de Docteur de l Université Paul Sabatier Intrication et Imperfections dans le Calcul Quantique Directeur de thèse : Dima L. Shepelyansky Co-directeur
Plus en détailExemples de dynamique sur base modale
Dynamique sur base modale 1 Exemples de dynamique sur base modale L. CHAMPANEY et Ph. TROMPETTE Objectifs : Dynamique sur base modale réduite, Comparaison avec solution de référence, Influence des modes
Plus en détailÉquation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou
Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,
Plus en détailPremier principe : bilans d énergie
MPSI - Thermodynamique - Premier principe : bilans d énergie page 1/5 Premier principe : bilans d énergie Table des matières 1 De la mécanique à la thermodynamique : formes d énergie et échanges d énergie
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailSimulation numérique d un stockage de déchets nucléaires en site géologique profond
Simulation numérique d un stockage de déchets nucléaires en site géologique profond Page 1 de 12 G. Allaire, M. Briane, R. Brizzi and Y. Capdeboscq CMAP, UMR-CNRS 7641, Ecole Polytechnique 14 juin 2006
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailCe document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été mis en ligne par le Canopé de l académie de Montpellier pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté,
Plus en détail1 ère partie : tous CAP sauf hôtellerie et alimentation CHIMIE ETRE CAPABLE DE. PROGRAMME - Atomes : structure, étude de quelques exemples.
Référentiel CAP Sciences Physiques Page 1/9 SCIENCES PHYSIQUES CERTIFICATS D APTITUDES PROFESSIONNELLES Le référentiel de sciences donne pour les différentes parties du programme de formation la liste
Plus en détailILT. Interfacultair Instituut voor Levende Talen. T@@lvaardig. Actes de communication. Serge Verlinde Evelyn Goris. Katholieke Universiteit Leuven
IL If I L S V Ey G Khk U L 13/02/02 pé? xp qé xp pz à pz p héhq pé p à q z p à p héhq fé à p à q pz xp q 'p (è) f, '-à- p. x. ' é ff. N xp à py qq' q z b ( f) P xp pô pp L p - pé pz ': z qq', q -? Bj,
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détail3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels
3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailTHEME 2. LE SPORT CHAP 1. MESURER LA MATIERE: LA MOLE
THEME 2. LE SPORT CHAP 1. MESURER LA MATIERE: LA MOLE 1. RAPPEL: L ATOME CONSTITUANT DE LA MATIERE Toute la matière de l univers, toute substance, vivante ou inerte, est constituée à partir de particules
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailU-31 CHIMIE-PHYSIQUE INDUSTRIELLES
Session 200 BREVET de TECHNICIEN SUPÉRIEUR CONTRÔLE INDUSTRIEL et RÉGULATION AUTOMATIQUE E-3 SCIENCES PHYSIQUES U-3 CHIMIE-PHYSIQUE INDUSTRIELLES Durée : 2 heures Coefficient : 2,5 Durée conseillée Chimie
Plus en détailCompte rendu de LA37 B, TP numéro 1. Evolution de la température et du degrée d'hydratation
4 6 8 2 4 8 22 26 3 34 38 42 46 5 54 58 62 66 7 74 78 83 89 96 8 44 Bertin Morgan Compte rendu de LA37 B, TP numéro. Les essais effectués par le laboratoire des ponts et chaussés nous ont fournis la température
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailInteractions des rayonnements avec la matière
UE3-1 : Biophysique Chapitre 2 : Interactions des rayonnements avec la matière Professeur Jean-Philippe VUILLEZ Année universitaire 2011/2012 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailModèles et Méthodes de Réservation
Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E
Plus en détailChapitre 7. Récurrences
Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,
Plus en détailUnity Real Time 2.0 Service Pack 2 update
Unity Real Time 2.0 Service Pack 2 update Configuration des Objectifs Analytiques La nouvelle version permet, en un écran, de configurer un lot, un panel ou un instrument. Le menu est accessible au moyen
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailPhysique : Thermodynamique
Correction du Devoir urveillé n o 8 Physique : hermodynamique I Cycle moteur [Véto 200] Cf Cours : C P m C V m R relation de Mayer, pour un GP. C P m γr γ 29, 0 J.K.mol et C V m R γ 20, 78 J.K.mol. 2 Une
Plus en détailde calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d
Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe
Plus en détailFormation à la C F D Computational Fluid Dynamics. Formation à la CFD, Ph Parnaudeau
Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics Formation à la CFD, Ph Parnaudeau 1 Qu est-ce que la CFD? La simulation numérique d un écoulement fluide Considérer à présent comme une alternative «raisonnable»
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailUtilisation de l ordinateur dans la rédaction des rapports de laboratoire. Département de physique. Bruno Binet Patrick Labrecque
Utilisation de l ordinateur dans la rédaction des rapports de laboratoire Département de physique Bruno Binet Patrick Labrecque Janvier 2006 TABLE DES MATIÈRES COMMENCER UNE SESSION DE TRAVAIL AVEC EXCEL...1
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailQ. A quels produits s adresse ce document?
Licences F O R U M A U X Q U E S T I O N S Adobe Q. A quels produits s adresse ce document? Adobe Acrobat Adobe Font Folio Adobe Acrobat Distiller Server Adobe PageMaker Adobe After Effects Adobe Illustrator
Plus en détailConception. de systèmes électroniques. analogiques
Christian JUTTEN Conception de systèmes électroniques analogiques Université Joseph Fourier - Polytech Grenoble Cours de deuxième année du département 3i Janvier 2007 Table des matières Modèle mathématique
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détail(51) Int Cl.: H04L 29/06 (2006.01) G06F 21/55 (2013.01)
(19) TEPZZ 8 8 4_A_T (11) EP 2 838 241 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN (43) Date de publication: 18.02.1 Bulletin 1/08 (1) Int Cl.: H04L 29/06 (06.01) G06F 21/ (13.01) (21) Numéro de dépôt: 141781.4
Plus en détailChapitre 11: Réactions nucléaires, radioactivité et fission
1re B et C 11 Réactions nucléaires, radioactivité et fission 129 Chapitre 11: Réactions nucléaires, radioactivité et fission 1. Définitions a) Nucléides (= noyaux atomiques) Les nucléides renferment les
Plus en détailMaster Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.
Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors
Plus en détailExercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain
Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué
Plus en détailCHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On
Plus en détailCircuits intégrés micro-ondes
Chapitre 7 Circuits intégrés micro-ondes Ce chapitre sert d introduction aux circuits intégrés micro-ondes. On y présentera les éléments de base (résistance, capacitance, inductance), ainsi que les transistors
Plus en détailExercice 1. Exercice n 1 : Déséquilibre mécanique
Exercice 1 1. a) Un mobile peut-il avoir une accélération non nulle à un instant où sa vitesse est nulle? donner un exemple illustrant la réponse. b) Un mobile peut-il avoir une accélération de direction
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailBiostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke
www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailLA MESURE DE MASSE POUR LA DÉTERMINATION DE PÉRIODES RADIOACTIVES
LA EURE DE AE POUR LA DÉTERINATION DE PÉRIODE RADIOACTIVE CEA ACLAY, DEN/DAN/DPC ervice d Études Analytiques et de Réactivité des urfaces Laboratoire de développement Analytique Nucléaire Isotopique et
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailMODELISATION NUMERIQUE D'UN FLUIDE A MASSE VOLUMIQUE VARIABLE APPLICATION A LA SIMULATION DES AVALANCHES ROCHEUSES EN GRANDE MASSE
MODELISATION NUMERIQUE D'UN FLUIDE A MASSE VOLUMIQUE VARIABLE APPLICATION A LA SIMULATION DES AVALANCHES ROCHEUSES EN GRANDE MASSE ROCHET J. laboratoire de Mécanique des Fluides et d'acoustique - URA CNRS
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailFermetures antipaniques Fermetures d urgence
Fermetures antipaniques Fermetures d urgence 8 plates-formes régionales à votre entière disposition : - une équipe de professionnels à votre écoute - un stock près de chez vous BORDEAUX.............................124/126
Plus en détailEES : Engineering Equation Solver Fiche récapitulative - Marie-Sophie Cabot
EES : Engineering Equation Solver Fiche récapitulative - Marie-Sophie Cabot Permet la résolution de systèmes d équations algébriques, non linéaires Contient différentes bases de données thermodynamiques.
Plus en détailEcole Polytechnique Macroéconomie avancée-eco 553 Chapitre 2 : Epargne, accumulation du capital et croissance
Ecole Polytechnique Macroéconomie avancée-eco 553 Chapitre 2 : Epargne, accumulation du capital et croissance Pierre Cahuc Septembre 28 Table des matières 1 Le modèle de croissance néoclassique 2 1.1 Le
Plus en détailCalcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane
Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre
Plus en détailACIDES BASES. Chap.5 SPIESS
ACIDES BASES «Je ne crois pas que l on me conteste que l acide n ait des pointes Il ne faut que le goûter pour tomber dans ce sentiment car il fait des picotements sur la langue.» Notion d activité et
Plus en détailPRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.
PRECISION - REJET DE PERTURBATIONS T.D. G.E.I.I.. Donner les erreurs en position, en vitesse et en accélération d un système de transfert F BO = N(p) D(p) (transfert en boucle ouverte) bouclé par retour
Plus en détailÉconometrie non paramétrique I. Estimation d une densité
Économetrie non paramétrique I. Estimation d une densité Stéphane Adjemian Université d Évry Janvier 2004 1 1 Introduction 1.1 Pourquoi estimer une densité? Étudier la distribution des richesses... Proposer
Plus en détailDécharge électrostatique
Décharge électrostatique F. Rachidi École Polytechnique Fédérale de Lausanne Groupe Compatibilité Électromagnétique Farhad.Rachidi@epfl.ch http://emcwww.epfl.ch 1 Contenu Génération des charges statiques
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailTABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42
TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence
Plus en détailIntroduction à la théorie des files d'attente. Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr
Introduction à la théorie des files d'attente Claude Chaudet Claude.Chaudet@enst.fr La théorie des files d'attente... Principe: modélisation mathématique de l accès à une ressource partagée Exemples réseaux
Plus en détailChapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE
UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailLicence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas.
Licence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas. M. Granger Table des matières 1 Rappels sur le cours d équations différentielles 2 1.1 Généralités..........................................
Plus en détailGUIDE GÉNÉRAL SUR LE CCSP ET LA PRÉSENTATION DE L I N F O R M ATION FINANCIÈRE DES CONSEILS SCOLAIRES
GUIDE GÉNÉRAL SUR LE CCSP ET LA PRÉSENTATION DE L I N F O R M ATION FINANCIÈRE DES CONSEILS SCOLAIRES Ministère de l Éducation TA B L E D E S M AT I È R E S 2 I N T RO D UC TI ON E T C O N T EX T E Q
Plus en détailW i r e l e s s B o d y S c a l e - i B F 5 T h a n k y o u f o r p u r c h a s i n g t h e W i r e l e s s B o d y S c a l e i B F 5. B e f o r e u s i n g t h i s u n i t f o r t h e f i r s t t i m
Plus en détailAnnexe 6. Notions d ordonnancement.
Annexe 6. Notions d ordonnancement. APP3 Optimisation Combinatoire: problèmes sur-contraints et ordonnancement. Mines-Nantes, option GIPAD, 2011-2012. Sophie.Demassey@mines-nantes.fr Résumé Ce document
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailIntroduction à la statistique non paramétrique
Introduction à la statistique non paramétrique Catherine MATIAS CNRS, Laboratoire Statistique & Génome, Évry http://stat.genopole.cnrs.fr/ cmatias Atelier SFDS 27/28 septembre 2012 Partie 2 : Tests non
Plus en détaila. Fusion et énergie de liaison des noyaux b. La barrière Coulombienne c. Effet tunnel & pic de Gamov
V. Les réactions r thermonucléaires 1. Principes a. Fusion et énergie de liaison des noyaux b. La barrière Coulombienne c. Effet tunnel & pic de Gamov 2. Taux de réactions r thermonucléaires a. Les sections
Plus en détail