Formulaire mathématique à l usage du physicien

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1 Formulaire mathématique à l usage du physicien 1 Formulaire de trigonométrie Relations entre les carrés cos (a) + sin (a) = 1 Formules d addition 1 + tan (a) = 1 cos (a) cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a)tan(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a b) = sin(a)cos(b) sin(b)cos(a) Formules de duplication tan(a b) = tan(a) tan(b) 1 + tan(a)tan(b) cos(a) = cos (a) sin (a) = 1 sin (a) = cos (a) 1 sin(a) = sin(a)cos(a) tan(a) = tan(a) 1 tan (a)

2 Tout en fonction de la tangente de l arc moitié Sous réserve de définition, en notant t = tan( a ) cos(a) = 1 t 1 + t sin(a) = t 1 + t Formules de linéarisation tan(a) = t 1 t cos (a) = 1 + cos(a) sin (a) = 1 cos(a) cos(a)cos(b) = 1 (cos(a + b) + cos(a b)) sin(a)sin(b) = 1 (cos(a + b) cos(a b)) sin(a)cos(b) = 1 (sin(a + b) + sin(a b)) Transformation d une somme ou différence en produit cos(p) + cos(q) = cos p + q cosp q cos(p) cos(q) = sin p + q sinp q sin(p) + sin(q) = sin p + q cosp q Les nombres complexes sin(p) sin(q) = cos p + q sinp q Avec l écriture mathématique u = a + ib, on distingue les parties réelle a = u cos(ϕ) et imaginaire b = u sin(ϕ), où u = a + b et ϕ = arg u = arctan b (à π près, il faut en plus préciser sinϕ ou cosϕ). a En physique, on préfère souvent l écriture : u = u exp(iϕ).

3 3 Développements limités Il est très courant d utiliser des développements limités en physique, en appliquant simplement la formule de Taylor, dans la majorité des cas à l ordre 1. Formule de Taylor : f(x 0 + h) = n h n d n f n! dx n = f(x 0) + h df dx (x 0) + h d f dx (x 0) Equation différentielle du second ordre à coefficients constants Soit l équation différentielle : aẍ + bẋ + c = e cos (ωt) L équation étant linéaire, la solution générale est la superposition d une solution générale de léquation sans second membre (régime transitoire) et d une solution particulière de l équation générale (régime forcé). - le régime libre est solution de aẍ + bẋ + c = 0 L équation caractéristique ar + br + c = 0 conduit à distinguer les trois cas : * si = b 4ac > 0, les deux racines sont réelles, notées r 1 et r et les solutions sont de la forme : x(t) = Aexp(r 1 t) + Bexp(r t). Le régime est apériodique. * si = 0, la solution est unique et notée r 0. On démontre que les solutions sont de la forme : x(t) = (At+B)exp(r 0 t). Le régime est critique. * si < 0, les deux racines sont complexes conjuguées notées r et r. Les solutions sont de la forme : x(t) = Aexp(rt) + Bexp( rt) ou encore x(t) = exp(r(r)t)(acos(i(r)t) + Bsin(I(r)t)). - le régime forcé est solution particulière de aẍ + bẋ + c = e cos (ωt). Elle se cherche sous la forme d une fonction de même pulsation mais déphasée : x(t) = Acos(ωt ϕ). Remarque : La détermination des constantes d intégration doit se faire sur la solution générale!

4 5 Systèmes de coordonnées 5.1 Les systèmes de coordonnées Les vecteurs de base Figure 1 Cartésiennes Figure Cylindriques Figure 3 Sphériques 5.1. Relations de passage entre les systèmes de coordonnées Conversion entre systèmes cartésien et cylindrique A partir des coordonnées cartésiennes (x,y,z), on peut obtenir les coordonnées cylindriques (r,θ,h) grâce au relations suivantes : Inversement, on a les relations suivantes : r = x + y θ = arctan y x h = z x = r cos θ y = r sin θ z = h Conversion entre systèmes cartésien et sphérique A partir des coordonnées cartésiennes (x,y,z), on peut obtenir les coordonnées sphériques (ρ,θ,ϕ) grâce au relations suivantes : ρ = x + y + z ϕ = arccos ( z ρ ) x arccos ( y + x ) si y 0 θ = x π arccos ( y + x ) si y < 0 Inversement, on a les relations suivantes : x = ρ sin ϕ cos θ y = ρ sinϕ cos θ z = ρ cos ϕ

5 Conversion entre systèmes polaire et sphérique A partir des coordonnées cylindriques (r, θ c, h), on peut obtenir les coordonnées sphériques (ρ,θ s,ϕ) grâce au relations suivantes : Inversement, on a les relations suivantes : ρ = r + z ϕ = arctan ( r z ) θ s = θ c r = ρ sin ϕ θ c = θ s h = ρ cosϕ 6 Calcul vectoriel 6.1 Calcul du produit scalaire et du produit vectoriel On considère deux vecteurs de l espace et leurs coordonnées cartésiennes x = (x 1, x, x 3 ) et y = (y 1, y, y 3 ). Produit scalaire : x. y = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 = x. y.cos( x, y) Produit vectoriel : u y = (x y 3 x 3 y, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y x y 3 ) = w D un point de vue géométrique, w = x y est l unique vecteur tel que : * w est orthogonal aux deux vecteurs donnés *( x, y, w) est une base directe * w = x. y. sin( x, y) 6. Formulaire d analyse vectorielle 6..1 Expressions du gradient, de la divergence, du rotationnel et du laplacien dans les différents systèmes de coordonnées NB : Les formules entres crochets ne sont pas à connaître par coeur. grad V = V x u x + V y u y + V z u z div A = A x x + A y y + A z z Coordonnées cartésiennes rot A = ( A z y A y z ) u x + ( A x z A z x ) u y + ( A y x A x y ) u z V = V x + V y + V z Remarque : Les vecteurs unitaires u x, u y, u z en chaque point, constituent des champs uniformes et ont tous une divergence et un rotationnel nuls.

6 grad V = V r u r + 1 r div A = 1 (ra r ) + 1 r r r rot A = ( 1 r V = 1 r Remarques : div u r = 1 r ; V θ u θ + V z u z A θ θ + A z z A z θ A θ z ) u r + ( A r z A z V (r r r ) + 1 ] V r θ + V z rot u r = 0 div u θ = 0 ; ] Coordonnées cylindriques r ) u θ + 1 r ( (ra θ) r A ] r θ ) u z rot u θ = u z r ; div u z = 0 ; rot u z = 0 grad V = V r u r + 1 r div A = 1 (r A r ) r r rot A = 1 r sinθ ( (sinθ A ϕ) θ V = 1 (rv ) 1 r r + r sinθ Remarques : div u r = r ; rot u r = 0 ; V θ u θ + 1 V r sinθ ϕ u ϕ + 1 (sinθ A θ ) + 1 r sinθ θ A θ ϕ ) u r + 1 r ( 1 sinθ Coordonnées sphériques ] A ϕ r sinθ ϕ A r ϕ (ra ϕ) r ] V (sinθ θ θ ) + 1 V r sin θ ϕ rot u ϕ = u z r sinθ ; grad 1 r = u r r ) u θ + 1 r ( (ra θ) r A ] r θ ) u ϕ 6.. Cacluls et opérateurs rot grad V = 0 div rot A = 0 div grad V = V rot rot A = grad diva A Composition d opérateurs Théorème D Ostrogradsky : (S) A. ds = (V ) div A.dτ Le flux d un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l intégrale triple de sa divergence étendue au volume intérieur à cette surface. Théorème de Stokes : A. dm = rot A. ds (C) (S) La circulation d un champ de vecteur le long d un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers une surface quelconque s appuyant sur ce contour.

7 7 Disque, sphère, cylindre 7.1 Disque Périmètre : πr Surface : πr Elément de surface : dr.rdθ = rdrdθ Surface d une couronne ciruclaire entre r et r + dr : πrdr 7. Sphère Surface : πr Volume : πr3 Elément de volume : dr.rdθ.r sinθ dϕ = r sinθdrdθdϕ Volume d une coquille sphérique entre r et r + dr : πr dr 7.3 Cylindre Surface : πrh Volume : πr h Element de volume : dr.rdθ.dz = rdrdθdz Volume d un manchon cylindrique entre r et r + dr : πrhdr 8 Constantes fondamentales Constante de gravitation : G 6, N.m.s Célérité de la lumière dans le vide : c = m.s m.s 1 Perméabilité magnétique du vide : µ 0 = 4π.10 7 H.m 1 Permittivité diélectrique du vide : ɛ 0 8, F.m 1 Relation exacte : µ 0 ɛ 0 c = 1 Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.K 1.mol 1 Nombre d Avogadro : N A = 6, mol 1 Constante de Boltzmann : k B = R/N A = 1, J.K 1 Constante de Planck : h = 6, J.s Quanta d énergie électromagnétique de fréquence ν : E = hν