La taverne de l'irlandais

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1 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 1 sur 6 Le mot de l'auteur La taverne de l'irlandais Comme à chaque début d'été, je publie le recueil des eercices que j'ai donnés [ en devoir durant la saison. Voici la cuvée de seconde...qui présente ressemble beaucoup au précédentes. La chose qui m'a le plus marquée cette saison est que la relation qu'entretenaient les parents d'élèves avec la matière mathématique était en train de changer. vant, lorsque leurs enfants butaient sur une difficulté ou «se plantaient», ils admettaient que leurs enfants ne pouvaient pas tout comprendre et que l'apprentissage d'une notion prenait du temps. Mais cette patience raisonnable est désormais en voie de disparition. La faute en revient à cette calamiteuse notion de «réussite scolaire pour tous» et au programmes de collège qui, dans cette perspective, ont été epurgés de tous les points difficiles (notamment la géométrie) qui, antérieurement, permettaient de faire réfléchir et chercher les élèves. Les mauvaises habitudes étant tenaces, ces parents si sourcilleu arrivent au lcée avec leurs «habitudes de collège» et entendent que leur progéniture comprenne tout tout de suite. Et peu importe qu'il ne travaille pas! Car il n' a plus de mauvais élèves, il n' a que des mauvais profs avec des mauvaises méthodes. Sauf qu'à l'instar du marathon, les mathématiques ne sont pas une matière instantanée où il suffit d'apprendre des choses par cœur. C'est l'utilisation des connaissances et donc la manœuvre qui sont au cœur de la discipline. Les mathématiques n'ont d'intérêt que dans la réfleion abstraite qu'elles permettent d'engendrer. Hélas, l'esprit des temps est à l'immédiateté, à la marchandisation et au consumérisme. On ne suit pas un cours de mathématiques mais on l'achète. Et les clients sont eigeants! Mais personne n'a songé à dire à ces parents inconscients que la garantie Tous les eercices du présent document ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON, légale d'une année n'appliquait pas... professeur (dés)agrégé de mathématiques. Tous droits réservés. es eercices de ce volume sont classés par catégories : lgèbre, équation et inéquation... lgorithmique... 8 Les fonctions...10 Géométrie analtique...19 Géométrie classique... 5 Probabilités et statistiques...1 Edition du samedi 0 juin 01

2 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page sur 6 Les trois prochaines équations étant du second degré, nous ne pourrons les résoudre que si nous aboutissons à un produit nul. utrement dit, il va falloir factoriser! lgèbre, équation et inéquation La tradition des équations Le contete Cinq équations et inéquations du premier ou du second degré à résoudre. La forme canonique doit être connue. Résoudre dans les équations et inéquations suivantes. Chaque résolution sera conclue en donnant l'ensemble des solutions, éventuellement sous la forme d'un intervalle. a < 6 b. 1 4 ( 1) ( ) 7 7 c = 0 d. = 7 e = 0 a) Résolvons dans l'inéquation : < < 10 1 < Nous en concluons que l'ensemble des solutions de cette inéquation est : S = 1; b) Résolvons dans l'inéquation : [ [ D'abord, on développe ( 1) ( ) Les termes en à gauche, le reste à droite = 11, 5 Conclusion : l'ensemble des solutions de cette inéquation est l'intervalle [ 11,5;+ [ c) Résolvons dans l'équation : Début de cette... ( 8) = = = 0 =...identité remarquée 8 7 = = 0 a b ( a b) ( a+ b) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses ( 15) ( 1) = 0 15 = 0 ou 1 = 0 facteurs l'est... = 15 = 1 Conclusion : cette équation du second degré à deu solutions qui sont 1 et 15. d) Résolvons dans l'équation proposée...qui est aussi du second degré : Facteur commun : = 7 7 = 0 7 = 0 ttention! On ne peut pas diviser par car peut être nul. D'ailleurs, 0 est solution 7 = 0 = 0 ou 7 = 0 Nous en concluons que les solutions de cette équation sont : S = 1;15 ( ) ( ) { } = 7 nouveau, on recherche une factorisation e) Résolvons dans l'équation : en utilisant la forme canonique! = = 0 ( + 7) = 0 Début de cette......identité remarquée insi se conclut la résolution de cette équation = 0 Un carré n'est jamais négatif! + 7 = 1 On factorise le membre de gauche en recherchant sa forme canonique. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est... Conclusion : cette équation du second degré n'a pas de solution. Voilà la forme canonique! = 7 Voilà la forme canonique! Mais ce n'est pas une différence de deu carrés. Donc elle ne se factorise pas. Là aussi, une factorisation s'impose mais la technique est différente.

3 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page sur 6 Pour résoudre les deu inéquations à venir, nous allons devoir rechercher une factorisation. Mauvais signe! Puis, nous aurons à nous prononcer sur le signe d'un produit. Le contete Trois inéquations produits à résoudre au moen d'une factorisation, puis d'un tableau de signe. La dernière de ces inéquations requiert la forme canonique... Résoudre dans les inéquations suivantes. Chaque résolution sera conclue en donnant l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles. 4 < 0 a. b. ( 5 ) ( + 1) c < 14 a) La résolution de cette première inéquation ne pose guère de problèmes! 4 < 0 Eaminons les facteurs composant ce produit : Le facteur affine 4 : son coefficient directeur 4 Il s'annule en : 4 = 0 = 4 = Le facteur affine : son coefficient directeur Il s'annule en : = 0 = = = 1, 5 a = est positif. a = est négatif. En conséquence, le tableau de signe du produit de ces deu facteurs est le suivant : Leur produit Le produit est strictement négatif avant 1,5 et après 4 /. Nous en concluons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est : 4 S = ; ; + + Quand ce produit est-il négatif? On termine toujours par le signe du coefficient directeur a b) ( ) ( ) Différence de deu carrés ( ) ( ) La somme La différence [ ] [ ] ( 6) ( 5 4) 0 Quand ce + + produit est-il positif ou nul? Eaminons les deu facteurs composant ce produit : Le facteur affine + 6 : son coefficient directeur a = 1 est négatif. Il s'annule en : + 6 = 0 = 6 = 6 Le facteur affine : son coefficient directeur a = 5 est aussi négatif. Il s'annule en : = 0 5 = 4 4 = = 0, 8 5 Nous en déduisons que le tableau de signe de ce produit est Leur produit Le produit est positif ou nul avant 0,8 et après 6, les deu inclus. Nous en déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est : S = ;0,8 6; + c) Résolvons dans l'inéquation : ] ] [ [ + 15 < < < 0 près avoir tout multiplié par, on factorise le membre de gauche en recherchant sa forme canonique. ( ) < < 0 Début de cette......identité remarquable 7 < < 0 a b ( a b) ( a+ b) ( ) ( ) 9 5 < 0 Quand ce produit est-il négatif? On termine toujours par le signe du coefficient directeur a

4 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 4 sur 6 Le tableau de signe de ce produit est : 5 / Leur produit Nous en concluons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est : 5 S = ; Quotients pour intellectuels Le contete Deu inéquations quotients et une inéquation produit (du second degré) à résoudre au moen d'un tableau de signe précédé de petits calculs ou d'une forme canonique. Résoudre dans les inéquations suivantes. Chaque résolution sera conclue en donnant l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles. 4 a b. c < a) Cette première résolution se résume à savoir quand le quotient ( + 1 )( 7 ) négatif ou nul. Eaminons les facteurs le composant : Le facteur affine + 4 : son coefficient directeur a = est négatif. 4 Il s'annule en : + 4 = 0 = 4 = = Le facteur affine + 1 : son coefficient directeur a = est positif. 1 Il s'annule en : + 1 = 0 = 1 = Le facteur affine + 7 : son coefficient directeur a = 1 est négatif. Il s'annule en : + 7 = 0 = 7 = 7 Nous en déduisons que le tableau de signe de notre quotient est : est 1/ Le quotient + 0 +

5 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 5 sur 6 L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble des réels pour lesquels le quotient est négatif ou nul. D'après le tableau ci-dessus : Intermède équationnel 1 S = ; [ ;7[ Le contete Deu inéquations à résoudre via un tableau de signe : une produit et une quotient. b) Pour résoudre cette seconde inéquation, nous allons d'abord tout ramener dans le membre de gauche, puis nous effectuerons une mise au même dénominateur 7 avant d'avoir à nous prononcer sur le signe d'un quotient : ( 7) Quand ce quotient est-il positif ou nul? Eaminons les numérateur et dénominateur de ce quotient : Le facteur affine + : son coefficient directeur a = 1 est négatif. Il s'annule en : + = 0 = = Le facteur affine 7 : son coefficient directeur a = est positif. Il s'annule en : 7 = 0 = 7 = 7 / =, 5 Nous en déduisons que le tableau de signe de ce quotient :, Leur quotient + 0 Le quotient est positif ou nul entre,5 et. L'ensemble des solutions de l'inéquation est : S =,5; ] ] c) Pour résoudre cette dernière inéquation, nous allons devoir faire preuve d'ingéniosité afin de faire apparaître le forme canonique! Puis, nous chercherons à factoriser < < < 0 ( ) < < 0 Début de cette... ( ) ( ) Cette somme n'est pas factorisable avec a b...identité remarquable < 0 5 < 1 Un carré n'étant jamais négatif, il n'est jamais inférieur à 1. Cette inéquation n'a aucune solution. Son ensemble des solutions est l'ensemble vide. S = Résoudre dans les inéquations suivantes. On conclura chaque résolution en donnant l'ensemble des solutions. 5 a. ( + ) ( + 7) ( + ) ( 4 5) b a) Nous allons résoudre cette première inéquation au moen d'une factorisation. Facteur......commun ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Quand ce produit est-il positif ou nul? ( ) ( ) ( ) ( ) [ 7 4 5] 0 ( ) ( 1) Eaminons les deu facteurs composant ce produit : Facteur + : a = et + = 0 = = 1, 5 Facteur + 1 : a = et + 1 = 0 = 1 = 4 Par conséquent, le tableau de signe de ce produit est : 1, Leur produit Nous en déduisons que l'ensemble des solutions de cette première inéquation est : S = 1,5;4 [ ]

6 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 6 sur 6 b) Cette seconde inéquation sera résolue via une mise au dénominateur commun. Encadrement au second degré 5 5 ( + 7) 5 ( + ) ( + ) ( + 7) Le contete Quand ce quotient est-il Un eercice de recherche pratique nécessitant la résolution d'une équation du second ( + ) ( + 7) ( + ) ( + 7) positif ou nul? degré...où est utilisée une factorisation par identification des coefficients...hors Le tableau de signe de ce dernier quotient est : programme! , Leur quotient Nous en concluons que l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente est : S = ; 7 ;5, 5 ] [ ] ] + On dispose d'une feuille de carton de 1 centimètres de longueur sur 8 de largeur. On souhaite créer sur le pourtour de la feuille un bord de centimètres dans le sens de la largeur et 1, 5 centimètres dans le sens de la longueur ainsi que cela est indiqué sur la figure ci-dessous : 1 8 1,5 1,5 On appelle l'aire de la partie hachurée centrale eprimée en centimètres carrés. a) Calculer la valeur de l'aire de la partie hachurée centrale lorsque = 1 [cas de la figure]. b) De manière générale, eprimer l'aire en fonction de. c) quel intervalle appartient nécessairement le réel?

7 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 7 sur 6 d) On souhaite que l'aire de la partie hachurée centrale fasse de 48 centimètres carrés. d.) On cherche les valeurs de pour lesquelles : 1. Déterminer deu coefficients entiers a et b tels que pour tout réel, on ait : = = = ( 7) ( a + b) = 0. En déduire la valeur de pour laquelle la partie hachurée centrale mesure 48 Un produit est nul... centimètres carrés....l'un de ses......facteurs l'est! = 0 7 = 0 ou 6 8 = 0 a) Lorsque vaut 1, la partie hachurée centrale est un rectangle de 10 centimètres de longueur sur 6 de largeur. Par conséquent, son aire est de 10 6 = 60 cm b) La partie hachurée centrale est un rectangle de 1 1,5 centimètres de longueur sur 8 centimètres de largeur. Par conséquent, son aire est donnée par : = longueur largeur = (1 ) 8 = = cm c) Le réel est contraint par les dimensions du grand rectangle dans deu sens : Celui de la longueur... et celui de la largeur ;4. Conclusion : le réel appartient à l'intervalle [ ] d.1) On veut écrire la forme du second degré sous la forme : = 7 a + b = a + b 7a 7b = a + b 7a + 7b Deu polnômes égau ont des coefficients de même degré égau : Egalité en 1 0 : 6 = a a = 6 Egalité en : 50 = b 7a b = = = 8 Egalité en : 56 = 7b b = 56 / 7 = 8 Nous en déduisons la factorisation : = = 7 6 = 8 Impossible 8 4 car [ 0; 4] = = 6 Possible car [ 0; 4] Conclusion : pour que la partie hachurée centrale mesure 48 centimètres carrés, il faut que le réel soit égal à 4 1, centimètres.

8 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 8 sur 6 Question subsidiaire : Sur le graphique ci-dessous quadrillé toutes les unités, on a tracé la lgorithmique Tout un programme! Et même deu... f = 1. courbe (C) représentant la fonction Qu'a-t-on recherché avec ce second programme? Le contete Un eercice où il s'agit d'eécuter à la main deu programmes regroupant les principales instructions eigibles. (C) Cet eercice est composé de deu sous-parties indépendantes. Dans chaque sous-partie, un programme est donné au cours duquel des questions sont posées. Ces questions sont introduites par une flèche. On se contentera de répondre à ces questions. On rappelle que les instructions d'un même bloc sont écrites sur une même colonne. a) Le premier programme est le suivant : a, b et i sont trois entiers relatifs a=1 b=0 Pour i= jusqu'à 4 faire : a=a+i b=b+a Question : que valent les variables a et b? b) Le second programme est le suivant. Les valeurs des variables seront données (au pire) au di-millième près, soit quatre chiffres après la virgule. De plus, on rappelle que ^ désigne le cube. a, b, et sont quatre nombres décimau a=1 b= Tant que b-a>0,1 faire : =(a+b)/ =^--1 Si <0 alors a= sinon b= Question : que valent les variables a, b, et? a=(*a+b)/ Question : que vaut la variable a? = 1

9 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 9 sur 6 =(a+b)/ 1,5 1,5 a) Eécutons ce premier programme instruction par instruction, ligne après ligne. Instruction Son action a b i a=1 b=0 ffectent les variables a et b avec 1 et Pour i=... Première boucle avec i = 1 0 a=a+i On affecte a + i = 1+ = à la variable a. 0 b=b+a On affecte b + a = 0 + = à la variable b. Les variables a et b sont toutes deu égales à. Pour i=... Seconde boucle avec i = a=a+i On affecte a + i = + = 6 à la variable a. 6 b=b+a On affecte b + a = + 6 = 9 à la variable b. 6 9 Les variables a et b ont pour valeurs respectives 6 et 9. Pour i=4... Troisième et dernière boucle avec i = a=a+i On affecte a + i = = 10 à la variable a b=b+a On affecte b + a = = 9 à la variable b Les variables a et b ont pour valeurs respectives 10 et 19. b) Eécutons ce second programme. Instruction Son action a b a=1 b= Les variables a et b prennent pour valeurs 1 et. 1 Tant que Comme b a = 1, alors la condition est remplie. 1 b-a>0,1 On entame une première boucle... =(a+b)/ 1+ / = 1,5 1 La variable est égale à =^--1 La variable est égale à 1, 5 1, 5 1 = 0,875. Si <0... Comme > 0, alors on affecte la valeur de à la variable b. a = 1 b = 1, 5 = 1, 5 = 0,875 Tant que Comme b a = 0, 5, alors la condition est remplie. b-a>0,1 On entame une seconde boucle... =(a+b)/ La variable est égale à ( 1+ 1,5 ) / = 1,5 =^--1 La variable vaut 1, 5 1, 5 1 = 0, Si <0... Comme < 0, alors on affecte la valeur de à la variable a. a = 1,5 b = 1,5 = 1,5 = 0,96875 Tant que Comme b a = 0, 5, alors la condition est b-a>0,1 remplie. On entame une troisième boucle ,5 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 La variable est égale à ( 1,5 + 1,5 ) / = 1,75 =^--1 La variable vaut 1, 75 1, , 46. Si <0... Comme > 0, alors on affecte la valeur de à la variable b. a = 1, 5 b = 1, 75 = 1, 75 0, 46 Tant que Comme b a = 0,15, alors la condition est b-a>0,1 remplie. On entame une quatrième boucle... =(a+b)/ La variable vaut ( 1,5 + 1,75 ) / = 1,15 1,5 1,75 1,5 1,75 1,5 1,75 =^--1 La variable vaut 1, 15 1, , Si <0... Comme < 0, alors on affecte la valeur de à la 1,15 1,75 variable a. a = 1, 15 b = 1, 75 = 1, 15 0, 0515 Tant que Comme b a = 0, 065 0,1, alors la condition 1,15 1,75 b-a>0,1 n'est plus remplie. On casse la boucle 1,15 + 1,75 / 1, 1, 1,75 a=(*a+b)/ La variable a vaut La variable a est égale à environ 1, soit 4 /. Question subsidiaire : au travers ce programme, nous avons recherché une valeur approchée de la seule solution de l'équation f ( ) = 0. Nous pouvons en conclure qu'une valeur approchée de l'abscisse du point d'intersection de la courbe (C) et de l'ae des abscisses est 1,.

10 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 10 sur 6 a) Compléter les phrases suivantes : Les fonctions La tradition de la lecture graphique Le contete Un eercice classique et basique de lecture graphique à partir de la courbe d'une fonction. La fonction f est définie sur l intervalle [ ;9]. Sa courbe représentative (C) est tracée sur le graphique ci-dessous. L'image de 0 par la fonction f est... L'image de par la fonction f est... Les antécédents de par la fonction f sont... Les antécédents de 4 par la fonction f sont... Le minimum de f sur l'intervalle [ ;9] est... Il est atteint en =... Le maimum de f sur l'intervalle [ 1;] est... Il est atteint en =... (C) 1 b) Compléter le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition se trouvant ci-dessous : f c) Compléter le tableau de signe de f ( ) se trouvant ci-dessous. f ( ) En utilisant le graphique précédent et avec toute la précision permise par celui-ci, on répondra au questions ci-contre directement sur la feuille. d) Résoudre les inéquations suivantes : f < 1 S =... 0 < f S =... f 1 S =... f > S =...

11 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 11 sur 6 b) D'après la courbe (C), le tableau de variation de la fonction f est le suivant : a) Tout point de la courbe représentative (C) a des coordonnées de la forme ; f. utrement dit, l'ordonnée de tout point de (C) est l'image de son abscisse par la fonction f. L'image de 0 par f est l'ordonnée du point dont l'abscisse est 0. insi : f ( 0) = 1 n'appartenant pas à l'ensemble de définition de la fonction f, il ne peut avoir d'image par cette fonction. D'ailleurs, aucun point de la courbe (C) n'a pour abscisse. Trois points de la courbe (C) ont pour ordonnée. Il s'agit de dont l'abscisse est, D dont l'abscisse est et E dont l'abscisse est 7,5. Donc a trois antécédents par la fonction f : ; 1 et 7,5-0,5 5,5 9 f - 1 c) Le signe de f ( ) est donné par la position de la courbe (C) vis-à-vis de l'ae des abscisses (O) qui marque le niveau 0. Le tableau de signe de f ( ) est : ucun point de la courbe (C) n'a pour ordonnée 4. Par conséquent, ce dernier n'a pas d'antécédent par la fonction f. Le minimum de la fonction f sur l'intervalle [ ;9] est. Il est atteint en = 0,5 Le maimum de la fonction f sur l'intervalle [ 1;] est. Il est atteint en = (C) D E 1 d) Pour résoudre l'inéquation f ( ) < 1, - -0,5 1,5 9 f ( ) nous devons considérer tous les points de la courbe (C) dont l'ordonnée est strictement inférieure à 1. Ceu-ci ont une abscisse qui est comprise entre 0 et 1 strictement. Par conséquent : S = 0;1 ] [ (C) Minimum 4 (C) Pour résoudre l'inéquation f 1, nous devons nous intéresser au points de la courbe (C) dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 1. Nous en déduisons que l'ensemble des solutions de l'inéquation est : S = ; 1 ;9 [ ] [ ]

12 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 1 sur 6 4 Les epressions bien droites L'inéquation 0 < f se résout en s'intéressant au points de la courbe (C) dont (C) Le contete l'ordonnée est strictement supérieure à 0 et inférieure ou égale à 9. Un eercice sur les epressions des fonctions affines et les droites qui les représentent L'ensemble des solutions de l'inéquation est : graphiquement S = ; 0, 5 1, 5; 7, 5;9 [ [ ] ] [ ] Car en 0,5 et 1,5, la fonction f est nulle... (C) 4 G H - vant toute chose, traçons la courbe représentant la fonction g = +. La fonction g étant affine, sa courbe est une droite qui passe par les points : g g G 0; car 0 = 0 + = H 1; car 1 = 1+ = Résoudre l'inéquation f > g, c'est savoir quand la courbe (C) est au-dessus de la droite. Nous en déduisons : S = ;9 ] ] a) Sur le graphique ci-dessous, les droites ( C f ), ( g ) C et affines f, g et h. Déterminer les epressions de ces trois fonctions. ( C h ) C h représentent les fonctions ( C g ) ( C f )

13 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 1 sur 6 b) Tracer sur le graphique ci-contre les courbes représentant les fonctions : b) Les courbes ( C j ) et ( C k ) représentant les fonctions affines j = + k = j et k sont deu droites se traçant avec deu paires de points. j ( 0) = 0 + = J1 ( 0;) ( C j ) ( C j ) J 1 K j = + = 6 + = J ; C j a) Leurs courbes représentatives étant des droites, les trois fonctions f, g et h sont affines, ( C k ) c'est-à-dire qu'une de leurs epressions est de la forme a + b 5 ( ) Pour la fonction f : Son coefficient directeur a est égal à Son ordonnée à l'origine b vaut 5 Donc, pour tout réel, f = 5. Pour la fonction g : Son coefficient directeur a = = Son ordonnée à l'origine b vaut Donc, pour tout réel, g = +. 5 Ordonnée à l'origine +5 ( C g ) - C k ( C ) k = = = K1 ; k ( 1) = = = K ( 1;) ( Ck ) k K 1 Les deu droites peuvent aussi être tracées à partir de l'ordonnée à l'origine b et du coefficient directeur a. ( C j ) J Pour la fonction h : 4 4 Son coefficient directeur a = = On ne peut pas lire b directement 4 Donc h est de la forme h = + b 7 On détermine l'ordonnée à l'origine b en sachant h( ) = ( ) + b = b = = = ??? ( C h ) -4

14 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 14 sur 6 Parabole, pas de bol! Le contete Un eercice d'association entre les fonctions du second degré et les paraboles qui les représentent graphiquement. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé quatre paraboles ( C 1), ( C ), ( C ) et ( C 4 ) représentant chacune l'une des quatre fonctions du second degré suivantes : f = 1 5 g = h = j = ttribuer chaque courbe à la fonction du second degré qu'elle représente. ucune justification n'est demandée. ( C 1) ( C ) Les variations de la fonction du second degré ϕ = a + b + c sont induites par le signe de son coefficient dominant a. De plus, elles s'inversent en Eaminons les quatre fonctions du second degré proposées. f = 1 5 La fonction Son coefficient dominant a = est négatif. b 1 Changement de variation : = = a La courbe ( C ) représente la fonction f. g = La fonction Son coefficient dominant a = est négatif. b 4 Changement de variation : = = 1 a La courbe ( C 4 ) représente la fonction g. h = La fonction Son coefficient dominant a = est positif. b 8 Changement de variation : = = a La courbe ( C 1) représente la fonction h. j = La fonction Son coefficient dominant a = est positif. b 6 Changement de variation : = = 1 a La courbe ( C ) représente la fonction j. b =. a + f? 1 + g? + h 1 + j? ( C ) ( C 4 )

15 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 15 sur 6. Conclure en donnant le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] ;[. Homo graphicus! f) Dans ces questions, α et β deu réels tels que < α < β. 1. Déterminer deu coefficients a et b tels que pour tout réel D f, on ait : b f = a + 4. u moen d'un enchaînement d'inégalités partant de < α < β, établir le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] ;+ [.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur son ensemble de définition. g) Tracer sur le graphique la courbe ( g ) Résoudre graphiquement l'inéquation f g. C représentant la fonction g = 1 Le contete Un problème classique consistant en l'étude complète d'une fonction homographique. La fonction f dont la courbe représentative est notée ( C f ) est définie par : f + 1 = 4 a) Déterminer l'ensemble de définition D f de la fonction f. b) Dresser le tableau de signe de f ( ) c) Les points d'abscisse = 4 et d'ordonnée = appartiennent à ( f ) Déterminer par le calcul les ordonnée et abscisse de ces points. d) Sur le graphique ci-contre, tracer la courbe ( C f ) représentant la fonction f. e) Soient α et β deu réels de l'intervalle ] ;[ tels que α < β. 10 ( α β) 1. Etablir que f ( α) f ( β ) = ( α 4) ( β 4). En déduire le signe de la différence d'images f f α β. C.

16 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 16 sur a) Les numérateur + 1 et dénominateur 4 constituant la fonction homographique f sont deu fonctions affines définies sur. Sauf que f ( ) est un quotient... f Le quotient eiste Le dénominateur 4 est non nul Conclusion : tous les réels à l'eception de ont une image par la fonction f. D = \ = ; ; + f { } ] [ ] [ b) Eaminons les facteurs affines apparaissant dans le quotient f ( ). Le numérateur + 1. Son coefficient directeur a = est négatif. 1 1 Il s'annule en : + 1 = 0 = 1 = = Le dénominateur 4. Son coefficient directeur a = est positif. Il s'annule en : 4 = 0 = 4 = Nous en déduisons que le tableau de signe de f ( ) est : 1/ f ( ) 0 + c) Comme le point appartient à la courbe ( C f ), alors ses coordonnées en vérifient l'équation. Par conséquent : = f ( ) = = = = De même, les coordonnées de vérifiant l'équation de la courbe ( C f ), il vient : Un quotient est nul... ( 4) ( ) = f ( ) = 0 = Son numérateur l'est... Son dénominateur ne l'est pas = = 0 et = =

17 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 17 sur 6 8 ( C f ) = ( C g ) : = 1 d) La courbe ( C f ) représentant la fonction homographique f est une hperbole à deu branches s'appuant sur les asmptotes verticale d'équation = et horizontale d'équation = 1, ( C f ) = 1,5 e.1) Nous pouvons écrire : α + 1 β + 1 f ( α) f ( α ) = α 4 β 4 = ( α + 1) ( β 4) ( β + 1) ( α 4) ( α 4) ( β 4) 6αβ + 1α + β 4 + 6αβ 1β α + 4 = α 4 β 4 10α 10β 10 ( α β) ( α 4) ( β 4) ( α 4) ( β 4) = = e.) Eaminons les facteurs composant le quotient f f α β. Le facteur 10 est...positif! Le facteur α β est négatif car α < β α β < 0 Le facteur α 4 est négatif car Le facteur β 4 est aussi négatif car Par conséquent, le quotient f f α β = 4 α < α < 4 α 4 < 0 4 β < β 4 < 0 10 ( α β) ( α 4) ( β 4) = est négatif. e.) Récapitulons ce que nous ont appris les questions précédentes sur l'intervalle ] ;[. Si α < β alors f ( α) f ( β ) < 0 soit f ( α ) < f ( β) f conserve l'ordre sur l'intervalle ] ;[ Conclusion : la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] ;[. f.1) On veut écrire la fonction homographique f sous la forme décomposée. b a ( 4) + b a 4a + b f = a + = = a + b 4a = 4 4

18 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 18 sur 6 En identifiant les coefficients de même degré des numérateurs, il vient alors : Egalité des coefficients en : = a a = / = 1,5 Egalité des coefficients constants : 1 = b 4a 1 = b + 6 b = 5 Nous en concluons : f = = 1,5 4 4 Une autre méthode consiste à etraire le dénominateur de chacun des termes du numérateur. Combien de fois 4? + 1 1, 5 ( 4) ( 4) 5 f = = = 1, f.) L'enchaînement d'inégalités demandé est le suivant : < α < β La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [ Conclusion : la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ] ;+ [ + f -4 Inverse (-5) -1,5 + 1,5 1,5 4 < α < β Deu réels positifs 0 < α 4 < β > α 4 β < α 4 β ,5 + < 1,5 + α 4 β 4 f ( α) f ( β) g) La courbe ( C g ) représentant la fonction affine g 1 = est une droite de coefficient directeur et passant par le 0; 1. point de coordonnées La fonction f conserve l'ordre sur ] ; + [ Graphiquement, on trouve que l'ensemble ;. des solutions de l'inéquation est ] [ Variation totale! Le contete Dans cet eercice, il s'agit d'établir la variation d'une fonction sur un intervalle au moen d'un enchaînement d'inégalités en s'appuant sur les variations des fonctions de référence. u moen d'un enchaînement d'inégalités, établir le sens de variation de la fonction 1 f = 1 sur l'intervalle ] ;0[. Soient α et β deu réels de l'intervalle ] ;0[ tels que α < β. Comment leurs images f ( α ) et Carré Décroissante sur ]- ;0[ (-) +1 Racine Croissante sur ]0;+ [ Inverse Décroissante sur ]0 ;+ [ f β sont-elles rangées? Nous pouvons écrire : < α < β < 0 Deu réels négatifs 4 > α > β > 0 1 < α < β < 0 0 < 1 α < 1 β < 1 0 < 1 α < 1 β < 1 Deu réels positifs 1 1 > 1 α 1 β f ( α) f ( β) Conclusion : la fonction f est (strictement) décroissante sur l'intervalle ] ;0[. La fonction f change l'ordre sur ]- ; 0[

19 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 19 sur 6 Géométrie analtique Problème analtique! h) L est un point de l'ae des ordonnées ( O ) tel que le triangle L soit rectangle en. Déterminer les coordonnées du point L. Le contete Un problème qui recourt à tous les outils de la géométrie analtique (calcul sur les coordonnées, déterminant, norme d'un vecteur) à l'eception des équations de droites. C Sur la figure ci-contre, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i, j ) une unité graphique vaut un centimètre. Par défaut, les unités de longueur sont des centimètres. Dans ce repère, on a positionné les points : ; 4 4;1 C ; 6 E 1, 6; où E a) Le point E appartient-il à la droite (C)? On justifiera sa réponse. b) Le point F est le quatrième sommet du parallélogramme EF. 1. Déterminer les coordonnées du point F.. Placer au compas le point F sur la figure ci-contre. j O i c) Déterminer les coordonnées du point I qui est le milieu du segment [C]. d) Le point G est défini par la relation vectorielle : G + 4 CG = C 1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point G.. Vérifier que G est le point d'intersection des droites (E) et (I).. Placer précisément le point G. e) Déterminer les coordonnées du point J qui est l'intersection de la droite () et de l'ae des abscisses ( O ). f) Les points O et I appartiennent-ils au même cercle de centre? On justifiera sa réponse. g) Déterminer les coordonnées du point K qui est l'intersection du cercle Γ de centre C passant par O et du segment [I].

20 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 0 sur 6 Conclusion : le point G a pour coordonnées ;1 1,6 ( 4) =,4 ( 4) = 6 7. a) Les vecteurs E et C sont-ils colinéaires? 1 = 6 1 = 5 d.) Le point G est aligné avec les points et I car ils ont la même ordonnée 1.,4 6 Pour savoir si le point G appartient aussi la droite (E), regardons si les vecteurs det ( E, C) = =, = 1 1 = 0 5 / 7 = / 7 1,6 = 4,6 G et E sont colinéaires en calculant leur Comme leur déterminant est nul, les vecteurs E et C sont colinéaires. 1 ( 4) = 5 ( 4) = 7 Donc les points, C et E sont alignés. La réponse à la question est affirmative. déterminant. / 7 4,6 det b) Le quatrième sommet F du parallélogramme EF vérifie la relation vectorielle : ( G, E) = = 7 5 ( 4, 6) = + = Vecteurs égau bscisses égales Ordonnées égales F,4 Comme leur déterminant est nul, les vecteurs G et E sont colinéaires. F = E = F =, 4 et F + 4 = Par conséquent, le point G appartient bien à la droite (E). F ( 4 ) F = 0,6 F = 6 d.) On place précisément G comme étant le point d'intersection des droites (I) et (E). Conclusion : le point F a pour coordonnées ( 0,6; 6). Sa construction précise se fait au compas. c) Comme I est le milieu du segment [C], ses coordonnées sont données par : + C C ( 4) + 6 I = = = =, 5 et I = = = = 1,5;1. Conclusion : le milieu I a pour coordonnées d.1) Le point G est défini par la relation vectorielle : G + 4 G 1 G + 4 CG = C + 4 = G 1 G 6 10 G + 1 4G 8 + = G 4G 4 0 Vecteurs égau 7G + 4 = 7 G 7 0 bscisses égales Ordonnées égales 7G + 4 = et 7 G 7 = 0 7G = 7 G = 7 G = G = 1 7 e) D'abord, le point J appartenant à l'ae ( O ), son ordonnée J est nulle. J 7 Ensuite, le point J faisant partie de la droite (), les vecteurs J et 4 5 sont colinéaires. Par conséquent, leur déterminant est nul. Il vient alors : J 7 det ( J, ) = 0 = ( ) J = 0 1 5J = 0 5J = 1 J = =, 6 5 Conclusion : les coordonnées du point J sont (,6;0) f) Pour savoir si les points O et I appartiennent au même cercle de centre, calculons les distances O et I. Comme O alors O = ( ) + 4 = = 5 = 5 cm 4 0,5 Comme I alors I = ( 0, 5) + 5 = 0, = 5, 5 cm 5 Conclusion : leurs distances vis-à-vis du centre étant différentes, les points O et I ne se trouvent pas sur le même cercle de centre.

21 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 1 sur 6 g) Le point K appartenant au segment [I], son ordonnée K est égale à 1. Ensuite, K appartient aussi cercle Γ dont nous ignorons le raon. Calculons le! l'issue de l'eercice, la figure est celle ci-dessous Raon de Γ = CO = = = 40 = 10 cm Comme K fait partie du cercle Γ de centre C et de raon 40 cm, alors : CK = 40 CK = 40 ( K ) + ( 1 6) = 40 ( K ) + 5 = 40 K K K = 15 = 15 ou = 15 = + 15 = 15 K K K étant sur le segment [I], son abscisse K est comprise entre 4 Seule la seconde solution trouvée vérifie cette contrainte. Conclusion : le point K a pour coordonnées ( 15;1). = et I =,5. Γ E L C O, son abscisse L est nulle. 7 4 Ensuite, le triangle L étant rectangle en, les vecteurs et L 5 L 1 orthogonau. Par conséquent, leurs coordonnées vérifient l'égalité : ( 5) ( L 1) = 0 8 5L + 5 = 0 5L = L = = = 6, h) D'abord, le point L faisant partie de l'ae Conclusion : les coordonnées du point L sont ( 0;6,6 ). sont J K j O G i I F

22 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page sur 6 On laissera Problème de droites! apparents les traits de Le contete construction. Un problème de fin de chapitre qui récourt à tous les outils de la géométrie analtique, compris les équations de droites. Sur la figure ci-contre, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; i, j ) où une unité graphique vaut un centimètre. Dans ce repère, on a positionné les points : ; 0 5; C 4; 4 G ;1 Tous les constructions et positionnements se feront au compas, à l'équerre et à la règle. C a) Résoudre les sstèmes linéaires de deu équations à deu inconnues : + 7 = 0 (1) 9 15 = 1 (1) ( S ) ( S ) + 4 = () 1 0 = 15 () b) Le triangle C est-il isocèle en? On justifiera sa réponse. c) On appelle E le milieu du segment [C]. 1. Calculer les coordonnées de E.. Démontrer la relation vectorielle G = E. 4. Placer précisément le point E. j O i G d) Le point F est défini par la relation vectorielle : F + F = o 1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point F.. Vérifier que F appartient à la droite (CG).. Placer précisément le point F. e) On appelle la droite d'équation + 7 = Placer précisément à l'équerre ou au compas le point K de coordonnées ( 4;4).. Le point K appartient-il à la droite? On justifiera sa réponse.. Donner un vecteur directeur u de la droite. 4. Justifier que les droites () et sont parallèles. 5. Construire au compas la droite. f) On appelle D le point d'intersection des droites (G) et. 1. Déterminer une équation de la droite (G).. En déduire les coordonnées du point D.. Vérifier que les points, C et D sont alignés.

23 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page sur 6 c.1) E étant le milieu du segment [C], ses coordonnées sont données par : a) D'abord, regardons les rapports des coefficients du sstème ( S ). + C ( ) C E = = = = 1 et E = = = = Rapport Rapport Rapport des coefficients en des coefficients en des coefficients constants 4 c.) Les coordonnées des deu vecteurs sont G a b 7 c 0 et E. 1, a = 1 = b = 4 = c = = 4 On observe : Comme les coefficients en et ne sont pas proportionnels, alors le sstème ( S ) admet 4 4 / 4 E = une unique solution que nous allons déterminer par...substitution. = / 4 = = G On peut aussi partir de l'équation (), on eprime l'inconnue en fonction de. procéder par L'égalité demandée est démontrée! + 4 = = 4 combinaisons linéaires. Puis, on remplace dans l'équation (1) l'inconnue par ce qu'elle vaut en. c.) Les vecteurs G et E étant colinéaires, les points, G et E sont alignés. + 7 = = = 0 insi, E se place précisément comme étant l'intersection des droites (C) et (G) = 4 = = = 1, Il vient alors pour l'autre inconnue : = 4 = 4 1,6 = 6,4 = 4,4 = 5 Conclusion : le sstème ( S ) admet pour seule solution Effectuons les rapports de coefficients du sstème ( S ). 4,4;1,6. Rapport Rapport Rapport des coefficients en des coefficients en des coefficients constants a 9 b 15 c 1 = = = 0,75 = = = 0,75 = a b c On recherche une proportionnalité... Conclusion : comme seuls ses coefficients en et sont proportionnels, alors le sstème ( S ) n'admet aucune solution. b) Pour savoir si le triangle C est isocèle en, calculons les longueurs et C. 7 Comme alors = 7 + ( ) = = 5 7, 8 cm 6 Comme C alors C = = = 5 7,1 cm 4 Conclusion : comme les distances et C ne sont pas égales, alors le triangle C n'est pas isocèle en. d.1) Déterminons les coordonnées du point F en traduisant sous forme de coordonnées la relation vectorielle le définissant. F + F 5 0 F + F = o + = Dans chaque coordonnée F F + 0 des vecteurs : rrivée - Départ F + 6 F = F F Vecteurs égau bscisses égales 5F 4 0 Ordonnées égales = 5F 4 = 0 et 5F + 4 = 0 5F F = F = 5 5 Conclusion : le point F a pour coordonnées ( 0,8; 0.8) d.) Pour savoir si les trois points C, G et F sont alignés, calculons le déterminant des, vecteurs CG et CF. 4,8, det ( CG, CF) = = ( ) ( 4,8) ( ) (, ) = 9, 6 + 9, 6 = 0 4,8 Conclusion : leur déterminant étant nul, les vecteurs CG et CF sont colinéaires. Donc le point F appartient bien à la droite (CG). d.) Le point F se place précisément comme étant le point d'intersection des droites () et (CG). Ou alors à la règle graduée, au compas ou à l'équerre.

24 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 4 sur 6 e.1) D'abord, on place le point I( 4;0) à 4 centimètres du point O sur l'ae ( O;i ). f.) Calculons le déterminant des vecteurs C et D. Puis, on positionne le point J ( 0;4 ) à 4 centimètre du point O sur l'ae ( O; 1 0,6 j ). det ( C,D) = = ( 1),6 6 ( 0,6) =,6 +,6 = 0 6,6 Le point K se construit alors soit au compas comme étant le quatrième sommet d'un parallélogramme, soit à l'équerre comme étant le quatrième sommet du carré IOJK en Conclusion : leur déterminant étant nul, les vecteurs C et D sont colinéaires. Donc le traçant deu perpendiculaires au aes. point D fait partie de la droite (C). e.) Regardons si les coordonnées du point K vérifient l'équation de la droite. K + 7K = ( 4) = = 0 Conclusion : ses coordonnées en vérifiant l'équation, le point K appartient à la droite. l'issue de l'aventure, la figure est la suivante : e.) D'après son équation + 7 = 0, un vecteur directeur de est 7 u. e.4) Les coordonnées du vecteur u sont celles du vecteur. Les droites et () partageant le même vecteur directeur u =, elles sont parallèles. K J C e.5) La parallèle se construit en construisant au compas le vecteur au départ de K. f.1) La droite (G) est défini par son point et son vecteur directeur G. + 4 M ( ; ) ( G) Les vecteurs M et G sont colinéaires 1 det M, G = 0 On écrit le déterminant de M et G avec leurs coordonnées + 4 = 0 ( + ) 1 4 = = = 0 I j O i E F G D Conclusion : une équation de la droite de la droite (G) est 4 + = 0. f.) Le point D appartenant au droites et (G), ses coordonnées en vérifient leurs deu équations : D D + 7D = 0 Le couple ( D; D ) D ( G) D 4D + = 0 D + 4D = est solution de S. Conclusion : d'après la question a, le point D a pour coordonnées ( 4, 4;1,6 ).

25 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 5 sur 6 a) Construire les points D et I définis par les relations vectorielles : Géométrie classique CD = I = C Première vectorielle Le contete Un eercice basique de calcul vectoriel et de placement de points. b) Le point E est défini par la relation vectorielle : E + CE = o 1. Eprimer le vecteur E en fonction du vecteur C.. Placer le point E sur la figure. Sur la figure ci-dessous, C est un triangle tel que : = 7cm C = 6cm C = 5cm C c) Le point G est défini par la relation vectorielle : 5 G = E 9 1. Placer le point G sur la figure.. Etablir la relation vectorielle 4 G + 5 EG = o. Démontrer la relation vectorielle : 4 G + G + CG = o Indication : on pourra introduire le point E dans deu des trois vecteurs... a) Le point D est le quatrième sommet du parallélogramme CD. Le point I se situe sur la parallèle à la droite (C) passant par à 6 = 4 cm de. b) Le point E est défini par l'égalité vectorielle : E + CE = o E + C + E = o 5 E = C CE C'est la relation de Chasles dans le sens décomposition... E = C 5 Conclusion : le point E se trouve au deu cinquièmes du segment [C] à partir de. c.1) Le point G se situe au cinq neuvième du segment [E] à partir de. c.) Modifions la relation vectorielle définissant le point G. 5/9 E par Chasle s! G = E G E = o G G GE = o G + EG = o 4 G + 5 EG = o 9 9

26 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 6 sur 6 c.) Pour établir la relation proposée, nous allons partir de la somme de gauche et prouver qu'elle est égale au vecteur nul en introduisant le point E dans les vecteurs G et CG. = C = CG Le contete 4 G + G + CG = 4 G + E + EG + CE + EG Un eercice franchement hors programme mais très simple sur les angles orientés et le = 4 G + 5 EG + E + CE radian. Ces deu notions relativement simples vues en première S sont néanmoins utiles Une double décomposition = o = o pour introduire de manière confortable les fonctions cosinus et sinus. avec Chasles... d'aprè s c. d'après la relation définissant E = o + o = o la fin de l'eercice, la figure est la suivante : Tourcoti, tournicota, je terminais la tête en bas! Sur la figure ci-dessous, le triangle C est isocèle rectangle en C, alors que les triangles D, CE et CF sont tous trois équilatérau. C D E C F E I G C Donner une mesure eprimée en radians des angles orientés suivants. ( C, E ) = ( D, C ) = ( C, C ) = ( CE, C ) = D (, C ) = ( C, EC ) = ( F, FC ) = ( DC, ) =

27 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 7 sur 6. vant toutes choses, rappelons qu'un angle plat, c'est-à-dire de 180, mesure π radians. π π Les angles du triangle isocèle rectangle C mesurent soit 45 =, soit 90 =. 4 π Les angles des triangles équilatérau mesurent tous 60 =. E F L'angle ( C, EC) est le complémentaire sur un angle plat de l'angle ( CE,C) 5π π ( C,EC) = ( C,CE) + ( CE,EC) = + π = 6 6 Les points C et D appartenant à la médiatrice du segment [], nous avons : π ( DC,) = C D Ces choses aant été dites, nous pouvons écrire : π π ( C, E) = + 60 = + ( C, C) = + 90 = + π π (, C) = 45 = ( F, FC) = 60 = 4 Les deu angles suivants se trouvent par bonds... π π 4π π 7π ( D,C) = ( D,) + (,C) = + = + = π π π π 5π ( CE,C) = ( CE,C) + ( C,C) = + = + = 6 6 6

28 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 8 sur 6 Ses sinus plein les mirettes Le contete Un eercice de trigonométrie sur le cercle trigonométrique : radian, sinus et cosinus. Résoudre l'équation sin ( t ) = 1 dans l'intervalle π π ;. 4. Résoudre l'équation cos( t ) = dans l'intervalle [ ; ] 1 π π., a) Sur la figure ci-dessous où le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O; i, j ) placer sur le cercle trigonométrique les points suivants : 4π 9π 1. Le point associé au réel. Le point associé au réel 4 19π. Le point C associé au réel 4. Le point D associé au réel π 6 j a),, C et D sont les points du cercle trigonométrique tels que : 4π ( i,o) = 9π π ( i,o) = = π π ( i,oc) = 6 5π = π + 6 i,od = π = 16 π + π D C j O i b) En s'aidant du cercle trigonométrique ci-dessus, résoudre les équations d'inconnue t suivantes : 1. Résoudre l'équation cos( t ) = dans l'intervalle [ ] 0;π.. Résoudre l'équation sin ( t ) = dans l'intervalle [ ; ] O i π π. b) En s'aidant du cercle trigonométrique complété, on détermine que les solutions des équations proposées sont : π cos avec 0; ou 7 π t = t π t = t = [ ] π π sin t = avec t π; π t = ou t =. [ ] π π π π sin t = 1 avec t ; t ou t = = 1 4 π cos avec ; ou 8 π t = t π π t = t =. 4. [ ]

29 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 9 sur 6 c) L, M et N sont trois points appartenant respectivement au arêtes [], [DE] et [C]. Prisme au piège! Sur la figure ci-dessous, construire l'intersection des plans (DEF) et (LMN). Le contete Un eercice classique de géométrie dans l'espace où il s'agit de construire les droites d'intersection de deu plans avec notamment les théorèmes d'incidence et du toit. M D F CDEF est un prisme droit s'appuant sur deu triangles isométriques C et DEF respectivement rectangles et D, et vérifiant : = cm C = 5cm D = 4cm E Toutes les constructions demandées seront effectuées à la règle et au compas et, justifiées sur la feuille de copie. Les parties cachés des droites et segments seront représentées en tirets. a) Calculer le volume eprimé en litres du prisme CDEF. L N C b) Les points I et J appartiennent tous deu au plan (DE). Sur la figure ci-dessous, construire l'intersection des plans (CI) et (EFJ). d) Les points P et Q appartiennent respectivement au arêtes [EF] et [DF]. Construire l'intersection des plans (EQ) et (DP). D F D P Q F E J E I C C

30 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 0 sur 6 D F a) Le volume du prisme CDEF est donné par la formule : Volume = ase du triangle C Hauteur C 5 E = D = 4 = 0 cm = 0, 0 litre ' M b) D'abord, disons que cette intersection des plans (CI) et (EFJ) est une droite que nous appellerons. Ensuite, les droites (I) et (EJ) sont sécantes dans le plan (DE) qui porte la face rectangulaire ED. Leur point d'intersection K appartenant au deu plans (CI) et (EFJ) fait de facto partie de leur intersection. Enfin, comme la droite (C) du plan (CI) est parallèle à la droite (EF) du plan (EFJ), alors, en application du théorème du toit, l'intersection est parallèle à ces deu droites. Conclusion : L'intersection est la droite parallèle à (C) et (EF) passant par K. Cette droite d'intersection ainsi que le point K se trouvent derrière le cube. E J D K F L d) Encore une fois, l'intersection des plans (EQ) et (DP) est une droite ". Les droites (D) et (E) sont sécantes dans le plan (DE) en un point que nous appellerons R. Les droites (EQ) et (DP) sont sécantes dans le plan (EDF) en un point S. Les points R et S appartenant au deu plans, ils font partie de la droite ". Conclusion : l'intersection des plans (EQ) et (DP) est la droite (RS). '' N C I C D S P Q F E c) Encore une fois, l'intersection des plans (DEF) et (LMN) est une droite que nous noterons ' et qui passe par leur point commun M. Ensuite, l'intersection des plans (LMN) et (C) est la droite (LN) car les points L et N sont communs à ces deu plans. Enfin, le plan (LMN) coupe les plans parallèles (DEF) et (C) suivant deu droites parallèles. Par conséquent, la droite ' est parallèle à la droite (LN). Conclusion : l'intersection ' est la parallèle à la droite (LN) passant par M. R C

31 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 1 sur 6 c) Calculer la masse moenne de pommes produite par un pommier. Probabilités et statistiques Pommes, pommes, pommes, pommes! Le contete L'eercice classique sur les statistiques : classes, histogramme, polgone des fréquences cumulées croissantes, moenne et indicateurs de dispersion. d) Sur le graphique ci-après, construire le polgone des fréquences cumulées croissantes correspondant à la série statistique précédente. Fréquences Cumulées Croissantes 1 0,9 La cueillette des pommes vient de s'achever au Vergers lancois. Le chef comptable de la coopérative a comptabilisé la masse de pommes que chaque pommier a produite. Puis, il a rassemblé ces données en classes. Il en a résulté la série statistique suivante qui, malheureusement, est partielle. Classe eprimée en kilogrammes Effectif Nombre de pommiers [ 0;5 [ [ 5;45 [ [ 45;55 [ [ 55;60 [ Heureusement, le tableau ci-dessus est complété par l'histogramme ci-dessous où un centimètre carré représente 16 pommiers. 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, Masse en kilogrammes de pommes produites par un pommier Masse en kilogrammes de pommes produites par un pommier a) Compléter le tableau et l'histogramme ci-dessus. b) Combien les Vergers lancois possèdent-ils de pommiers? On entourera la bonne réponse parmi les propositions ci-dessous : e) partir du graphique ci-dessus, répondre au questions suivantes : 1. Déterminer la médiane Me ainsi que les deu quartiles Q 1 et Q.. On rapporte au chef comptable qu'il a autant de pommiers qui produisent moins de 10 kilogrammes de pommes que de pommiers qui produisent plus de 50 kilogrammes de pommes. Cette affirmation est-elle vraie? On justifiera sa réponse.

32 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page sur 6 Ce qui donné le polgone des fréquences cumulées croissantes suivant : a) Complétés, le tableau et l'histogramme sont les suivants : Classe eprimée en kilogrammes Effectif Nombre de pommiers ire du rectangle en centimètres carrés Dimensions en centimètres [ 0;5 [ [ 5;45 [ [ 45;55 [ [ 55;60 [ ,5 5 4,5 1 1,5 0,9 0,86 Fréquences Cumulées Croissantes 1 0,8 0,7 0,6 0,76 Q 0,95 1 0,5 Médiane 0,4 0, 0, Masse en kilogrammes de pommes produites par un pommier 0, 0,1 0,1 Q 1 b) u total, les Vergers lancois possèdent = 504 pommiers 19,7, 44,5 c) En supposant que dans une même classe, les pommiers sont répartis de façon régulière ou homogène, la masse moenne de pommes produite par un pommier est donnée par : effectif Milieu de la classe 160 1, ,5 = 1,8 kg Effectif total 504 d) Pour construire le polgone en question, il faut au préalable calculer les fréquences, puis les fréquences cumulées croissantes de la série statistique. Classe eprimée en [ 0;5 [ [ 5;45 [ [ [ 55;60 kilogrammes 45;55 [ [ Effectif Fréquence 0, 0,44 0,19 0,05 Fréquences cumulées croissantes 0, 0,76 0, Masse en kilogrammes de pommes produites par un pommier e.1) La médiane est la modalité prise pour une fréquence cumulée croissante de 0,5. D'après le graphique, le «pommier médian» produit Me =, kilogrammes Les quartiles Q 1 et Q correspondent au modalités prises pour des fréquences cumulées croissantes respectivement de 0,5 et 0,75. D'après le graphique, on trouve Q1 = 19, 7kg et Q = 44, 5kg e.) La fréquence cumulée croissante correspondant à une modalité de 10 kilogrammes est de 0,1. Celle correspondant à une modalité de 50 kg est de 0,86. Il a donc 1% des pommiers qui produisent moins de 10 kilogrammes et 14% plus de 50 kilogrammes. vec l'incertitude introduite par toutes nos imprécisions, on peut dire que l'affirmation est vraie : il a autant de pommiers qui produisent moins de 10 kg de pommes que de pommiers qui en produisent plus de 50.

33 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page sur 6 Roule ou crève Trois...deu...un...et c'est reparti! Le contete Un eercice simple de probabilité qui se solutionne au moen d'un arbre pondéré. Un réparateur de vélos a acheté 65% de son stock de pneus à un premier fournisseur et le reste chez un second. Des études ont montré que : 10% des pneus produits par le premier fournisseur présentaient un défaut. 0% des pneus produits par le second fournisseur présentaient un défaut. Le réparateur prend au hasard un pneu dans son stock. a. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation. b. Calculer la probabilité que ce pneu soit sans défaut. a) La situation est la suivante : On choisit un pneu au hasard : De quel fournisseur vient le pneu? Le pneu présente-t-il un défaut? 0,65 0,5 Fournisseur 1 Fournisseur b) vant toutes choses, on définit les événements suivants : F 1 = «Le pneu vient du fournisseur 1» S = «Le pneu ne présente aucun défaut» F = «Le pneu vient du fournisseur» On souhaite calculer la probabilité : p( S) = p( F1 S) + p( F S) = 0, 65 0, 9 + 0, 5 0, 8 = 0,865 0,9 0,1 0,8 0, Sans défaut vec défaut Sans défaut vec défaut Le contete Un eercice classique de probabilité mais surtout de dénombrement...qui peut aussi se résoudre au moen d'un arbre pondéré. La lancoise de l'espace s'apprête à lancer son nouveau vaisseau spatial. Pour ce faire, elle doit constituer un équipage de trois spationautes : un pilote, un copilote et un scientifique. Pour les postes de pilote et de copilote, elle dispose de sept candidats dont trois femmes. Chacun de ses sept candidats peut occuper le poste de pilote ou le poste de copilote. Pour le poste de scientifique, elle dispose de quatre autres candidats dont trois femmes. Les candidats ne peuvent être à la fois pilote (ou copilote) et scientifique. Pour constituer son équipage, l'entreprise décide de procéder à un tirage au sort. a) Combien a-t-il d'équipages possibles? b) Déterminer les probabilités des événements suivants. Les probabilités seront données sous la forme d'une fraction irréductible. = «Le pilote du vaisseau spatial est une femme» = «L'équipage est constitué de trois femmes» C = «L'équipage comprend au moins un homme» D = «L'équipage comprend eactement deu hommes» a) Constituons notre équipage! Pilote candidats Copilote soit = 168 équipages candidats Scientifique candidats Conclusion : Il a 168 équipages possibles. b) Comme toutes les personnes ont la même probabilité d'être tirée au sort pour un poste donné, nous sommes en situation d'équiprobabilité. Par conséquent, la probabilité d'un événement est donnée par : Nombre d'équipages favorables à l'événement probabilité = Nombre total d'équipages

34 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 4 sur 6 Déterminons les probabilités demandées des événements. La femme peut occuper le poste de scientifique... = «Le pilote du vaisseau spatial est une femme» Pilote Copilote Scientifique Combien eiste-t-il d'équipages où le pilote est une femme? Dénombrons-les! 4 soit 4 = 6 équipages Pilote Copilote Scientifique candidats candidats candidates 6 4 soit candidates candidats candidats 6 4 = 7 équipages Il eiste 7 équipages favorables à l'événement. Par conséquent : 7 4 p = = = = «L'équipage est constituée de trois femmes» Combien eiste-t-il d'équipages composés de trois femmes? Dénombrons-les! Pilote Copilote Scientifique soit = 18 équipages candidates candidates candidates Il eiste 18 équipages favorables à l'événement. Il vient alors : 18 6 p 168 = C = «L'équipage comprend au moins un homme» Le contraire de «au moins un homme» est «aucun homme» c'est-à-dire «trois femmes». utrement dit, l'événement C est le contraire de l'événement. D'où : 8 5 p ( C) = 1 p = 1 = = Il a au total = 60 équipages favorables à l'événement D. Nous en concluons : p ( D) = = = D = «L'équipage comprend eactement deu hommes» Si l'équipage comprend eactement deu hommes, cela signifie que le poste restant (pilote, copilote et scientifique) est occupé par une femme. Pour dénombrer tous les équipages favorables à l'événement D, nous devons envisager tous les postes que peut occuper la femme. La femme peut occuper le poste de pilote... Pilote Copilote Scientifique 4 1 soit 4 1 = 1 équipages candidates candidats candidat La femme peut occuper le poste de copilote... Pilote candidats Copilote 4 1 soit candidates Scientifique candidat 4 1 = 1 équipages

35 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 5 sur 6 Le troisième fait is oules La théorie et l'improbable pratique Le contete Un eercice de probabilité assez costaud qui se résout au moen d'un arbre pondéré. La lancoise des Jeu vient de lancer un nouveau jeu de hasard : le is oules. Le principe du jeu est le suivant. Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher et numérotées de 1 à 9 : Une boule verte numérotée 1. Trois boules jaunes numérotées, et 4. Cinq boules rouges numérotées 5, 6, 7, 8 et 9. Le joueur tire au hasard une première boule. S'il tire la boule verte, il a gagné. S'il tire une boule rouge, il a perdu. Dans ces deu cas, le jeu s'arrête. Mais s'il tire une boule jaune, alors il retire une seconde boule dans l'urne mais sans avoir remis la première boule tirée. Si la seconde boule tirée est la verte, il a gagné. Si elle est rouge, il a perdu. Dans ces deu cas, le jeu s'arrête. Mais si la seconde boule tirée est jaune, alors il tire une troisième boule sans avoir remis les deu boules précédemment tirées dans l'urne. Si la troisième boule tirée est verte, il a gagné. Sinon il a perdu. Quelque soit le résultat de ce dernier tirage, le jeu s'arrête. Calculer la probabilité que le joueur gagne une partie de is oules. Une partie de is oule peut être représentée par l'arbre suivant : On tire une première boule... 1/9 /9 5/9 Verte Gagné! Jaune On tire une second boule... 1/8 /8 5/8 Gagné! Verte Jaune Rouge Rouge p p p p On tire une dernière boule... 1/7 6/7 ("Gagné") = ("Verte") + ("Jaune-Verte") + ("Jaune-Jaune-Verte") = + + = = Gagné! Verte utre Le contete Un dernier eercice de probabilité se résolvant au moen d'un arbre pondéré et se terminant par une question sur un intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Passionnant! La lancoise des Jeu vient de lancer un nouveau jeu : Maths pour gens brillants. Son principe est le suivant : d'abord, le joueur tire au hasard une question. Un tiers de ces questions portent sur la géométrie, les deu cinquièmes portent sur l'analse et les restantes sur les probabilités. Des études ont montré que : Le joueur répondait correctement à une question de géométrie dans 60% des cas. Le joueur répondait correctement à une question d'analse dans 65% des cas. Le joueur répondait correctement à une question de probabilités dans 90% des cas. Un joueur se présente pour jouer, la partie commence... a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation d'une partie de Maths pour gens brillants. b) Etablir que la probabilité que le joueur réponde correctement à une question posée est de 0,7. c) Les quatre enfants de la famille Vercère ont répondu chacun à une série de 50 questions de Maths pour gens brillants. Leurs tau de réussite respectifs à l'issue de leurs séries de 50 questions sont les suivants : Nom Jo ob Eudes nnie Tau de réussite 68% 78% 64% 7% Parmi ces quatre personnes, lesquelles ont un tau de réussite se situant dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%? a) La probabilité d'avoir une question de probabilités est 1 = = L'événement C désigne «la réponse apportée est correcte» et l'événement F est «la réponse apportée est fausse».

36 Mélancolie mathématique...en seconde - Une saison d'eercices de maths donnés en devoirs en seconde Page 6 sur 6 La situation d'une partie de Question de maths pour gens brillants est la suivante : Le joueur tire une La réponse donnée question au hasard... est-elle correcte? 1/ Géométrie 0,6 0,4 C F C /5 nalse 0,65 0,5 F 4/15 C Probabilités 0,9 0,1 F b) La probabilité de l'événement C est donnée par : 1 4 p ( C) = 0,6 + 0,65 + 0,9 = 0, + 0,6 + 0,4 = 0, c) L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est donné par 0,7 ;0, soit [ 0,66;0,764] Seuls Jo, Eudes et nnie Vercère ont un tau de réussite se situant dans cet intervalle. ob est en dehors.