Terminale ES DS n 4 Vendredi 14 décembre 2012

Transcription

1 Trminal ES DS n Vndrdi décmbr Ercic. Sur points Ls qustions sont indépndants.. Résoudr ls équation t inéquation suivants. a) b). Etudir l sign d a) b). Pour chacun ds fonctions suivants, calculr sa fonction dérivé. ² a) f ( ) b) f ( ) 5 c) f( ) Ercic. Sur points Parti A On considèr la fonction g défini sur par g()= +. Calculr g () t étudir son sign.. Drssr l tablau d variation d g sur t n déduir qu g() > sur. Parti B On considèr maintnant la fonction f défini sur [ ; ] par f ( ) g ( ). Montrr qu pour tout nombr d [ ; ] f '( ). En utilisant la parti A, donnr l sign d f t ls variations d f sur [ ; ].. Détrminr un équation d la tangnt T à la courb rprésntativ d f au point d absciss.. a) Montrr qu l équation f() = admt un solution uniqu α dans [ ; ]. b) A l aid d la calculatric détrminr un ncadrmnt d α par du décimau avc un chiffr après la virgul. c) En déduir l sign d f() sur [ ; ]. 5. Tracr ci-contr la droit T t la courb Cf sur [ ; ]. On placra α sur l graphiqu. - - Tournz la pag SVP

2 Ercic. Sur points Un ntrpris put trair ntr t 5 tonns d minrai d un carrièr. L résultat d ploitation qu ll nvisag, n millions d uros, st donné par : la quantité d minrai trait n millirs d tonns, [ ;5]... a. Résoudr l inéquation f( ) sur [ ;5] b. Intrprétr économiqumnt l résultat. a. Montrr qu f '( ) (6.6.8 ). b. Etudir l sign d f '( ) sur [ ;5], puis drssr l tablau d variations d f. f ( ) ( ). où st. Pour qull quantité trait l résultat d ploitation st-il maimum? Ercic Sur points La société Tournsol construit t commrcialis son «Triphon» nouvl apparil assurant ls fonctions d un ordinatur portabl, d un téléphon portabl t d un agnda élctroniqu. Ls pourcntags ds vnts d c nouvl apparil au sin du sgmnt «haut d gamm» sont donnés, au fil ds smains, dans l tablau ci-après. Smains écoulés 5 6 Vnts n %,,,, 7,,5 7,9 Parti A : étud d un modèl ponntil L graphiqu suggèr un croissanc ponntill. On choisit dans ctt parti d modélisr l évolution du pourcntag ds vnts, n fonction du nombr d smains écoulés à l aid d la fonction f défini par : Vnt n % 5 5 C f f ( ),7,655 5 Smains écoulés Justifir qu la fonction f st croissant. Intrprétr.. a. D après l graphiqu, c modèl st-il prtinnt lorsqu l nombr d smains st supériur à 5? b. Calculr f(9). Qu pnsr du résultat? Parti B : étud d un modèl logistiqu. On décid d nvisagr un autr modélisation t, pour cla on considèr la fonction g défini sur [ ;+ [ par g ( ),75 6. a. Montrr qu, pour tout rél d [ ;+ [.75 5 g'( ) ( 6 ).75 ² b. Etudir l sign d g () t n déduir l sns d variation d la fonction g sur [ ;+ [.. Ls objctifs commrciau du «Triphon» sont considérés comm attints lorsqu l pourcntag ds vnts attint 5% du sgmnt «haut d gamm». A l aid d la fonction TABLE d votr calculatric précisz à partir d qull smain ls objctifs commrciau sont attints.(détaillr).

3 Corrigé Ercic... Etud d signs S {} Comm pour tout nombr, a) on a pour tout nombr S ; b) Sign d? + sign d +.Calcul d dérivés ² u a) f ( ) fst d tp avc u= ² donc u' =- + u u ² Comm ( )' u ' on a f '( ) (- ) b) f ( ) 5 f st d tp ku avc u = donc u'= Comm ( ku)' ku ' on a f '( ) u f ( ) f st d tp avc u= t v = donc u'= t v'= v c) u u ' v uv ' ( ) Comm ' on a : f '( ) v v² ² ² Ercic : Parti A. g()= + g '( ) g '( ) donc + sign d g () +. Du tablau d signs d g, on déduit l tablau d variations d g sur. - + Variations d g g()= L minimum d g sur st donc qu g() > sur.

4 Parti B f st défini sur [ ; ] par f ( ) ( )² g( ) f '( ) ( )² ( )². α sign d g() + sign d + sign d f () + Variation d f f( ) t f().5. La tangnt T à la courb rprésntativ d f au point d absciss a pour équation : f '()( ) f () f () g() f '() Donc T a pour équation ( ) soit :. a) On a complété l tablau d variations d f ci-dssus t l équation f() = admt un solution uniqu α dans [ ; ]. b) A l aid d la calculatric on trouv un ncadrmnt d α par du décimau avc un chiffr après la virgul st donc :.5 < α < -. c) Du tablau d variations d f on put déduir α l sign d f() sur [ ; ]. sign d f() + T C α - -

5 Ercic. Sur points f ( ) ( ).5 S = ].5 ; 5] b. Cla signifi qu l résultat d ploitation st positif lorsqu l ntrpris trait ntr 5 tonns t 5 tonns d minrai. a) f ( ) ( ).. f st du tp uv avc u= t v = donc u ' tv '. Comm( uv)' u ' v uv '.. on a f '( ) ( )(. ) ( )... c. Comm -. > pour tout rél, f () a l mêm sign qu = si = 8.5 sign d f () + Variation d f L résultat d ploitation st maimum pour = 8.5 c'st-à-dir un production d 85 tonns d minrai. Ercic PartiA f ( ),7, f '( ) donc la fonction f st croissant. (autr méthod qu la dérivé :.655 st croissant car d tp ponntill q avc q> t.7 > ) Cla signifi qu la part n pourcntag d vnts du Triphon dans l sgmnt haut d gamm augmnt.. a)l modèl n smbl pas prtinnt lorsqu l nombr d smains st supériur à 5 car la courb d f s éloign d la réalité. b) f(9) 7.. Résultat incohérnt car l pourcntag ds vnts n put pas dépassr % ds vnts du sgmnt «haut d gamm». Parti B : g ( ) tp ku d dérivé ku ' a ) u ' st d tp d dérivé u u² Donc g'( ) ( 6 )² ( 6 )² b g () st l quotint d du nombrs strictmnt positifs donc st strictmnt positiv sur [ ; + [ Donc la fonction g st strictmnt croissant sur [ ; + [.. A l aid d la calculatric on a : Conclusion ls objctifs commrciau sont attints au cours d la 7è smain.