ÉLECTRONIQUE. Filtres linéaires

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1 MP our de phyiq ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire.. Définition. Fonction de tranfert, ordre d un filtre Filtre linéaire, ordre, uperpoition Un filtre linéaire et un quadripôle pour leql il exite une relation différentielle linéaire entre le ignaux d entrée et de ortie. ie ( t) i ( t) ie ( t) i = circuit amont circuit ( t ) filtre ( t) u ( t ) filtre u ( t) aval e a général Fonctionnement particulier "en ortie ouverte" Dan no étude, no no intéreeron uniqment aux tenion d entrée ( t ) et de ortie ( ) La tenion d entrée u ( ) e u t. t et délivrée par un circuit générateur placé en amont du filtre. Dan le étude qui uivent, ce générateur et conidéré comme un générateur idéal de tenion, c et-à-dire q la tenion délivrée par ce générateur et indépendante du courant d entrée En aval du filtre e trouve un circuit utiliateur et il et clair q la tenion de ortie ( ) eulement de la tenion d entrée u ( ) e t dépend non t et de la nature du filtre, mai ai du circuit utiliateur. Ai, no placeron-no fréqmment dan la ituation dite en ortie ouverte où le courant de ortie et nul. Ordre d un filtre Par définition, on appelle ordre du filtre l ordre de l équation différentielle à laqlle obéit la tenion de u t. Dan tout ce qui uit, no no limiteron trictement aux filtre linéaire d ordre inférieur ortie ( ) ou égal à deux. Linéarité et uperpoition La linéarité du filtre impliq q toute opération linéaire appliquée à la tenion d entrée e traduit par une répone en ortie modifiée par application du même opérateur linéaire Jean Le ir, 3 eptembre 5 Page ur

2 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire En particulier, i ( t ) et ( t ) ont le répone aux tenion d entrée ( t ) et ( t ), λ et nombre réel, alor la répone d un filtre linéaire à la tenion d entrée ( t) ( t) λ u ( t) + λ u ( t). De même i ( t ) et la répone à la tenion d entrée ( ) tenion d entrée d dt ( t) era d dt ( t) épone harmoniq, fonction de tranfert. λ deux λ + λ era t, alor la répone d un filtre linéaire à la No no intéreeron tout particulièrement au ca où l on appliq à l entrée du filtre un ignal inoïdal établi depui trè longtemp de telle orte q to le phénomène tranitoire oient amorti. Dan ce ca, pour un filtre linéaire, la répone en ortie era également une fonction inoïdale de même fréqnce. Le ignaux de ortie et d entrée eront alor caractérié par leur amplitude complexe u et u e et l on appelle fonction de tranfert du filtre le rapport de ce amplitude complexe, toujour fonction de j : Stabilité d un filtre u = u Une condition néceaire pour qu un filtre oit table en régime inoïdal et qu il n exite pa pour ce filtre de mode propre d évolution divergente. En effet, dan ce ca la tenion de ortie pourrait diverger même an aucune tenion d entrée appliquée et le filtre ceerait tôt ou tard d avoir un comportement linéaire. a d un filtre du premier ordre L équation différentielle an econd membre à laqlle obéit ( ) d ( t) écrit dan le ca le pl général o la forme : k u ( t) dt e t en l abence de ignal d entrée + =, avec k. Si la contante réelle k et poitive, le olution ont de fonction exponentielle d argument négatif, donc convergente quand t tandi q pour k <, le olution ont de fonction exponentielle d argument poitif, donc divergente quand t. En conéqnce, le dénominateur de fonction de tranfert du premier ordre pourra toujour écrire o la forme canoniq + j avec >, et jamai o la forme j. a d un filtre du econd ordre L équation différentielle an econd membre à laqlle obéit ( ) d u ( t) du ( t) écrit dan le ca le pl général o la forme : L équation caractéritiq correpondante écrit r dt t en l abence de ignal d entrée ( t) u + β + γ =, avec β et γ. dt + β r + γ = et a pour dicriminant = β 4γ. JL 3/3/8 Page ur

3 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Pour >, l équation admet deux olution exponentielle réelle et ce exponentielle doivent être l une et l autre d argument négatif, ce qui impliq q leur omme β doit être négative et leur produit γ doit être poitif. Pour =, γ et néceairement poitif et le olution ont de la forme d un polynôme du premier degré multiplié par l exponentielle t e β qui n et convergente quant t q pour β >. Pour <, γ et néceairement poitif. L équation admet alor de olution réelle inoïdale exponentiellement amortie et l amortiement condition β >. t e β doit être convergent quant t, ce qui impoe la No avon aini démontré q le eul filtre table correpondent néceairement aux condition β > et γ >. Il enuit q, dan le ca d un filtre du econd ordre table, le dénominateur de la fonction de tranfert et un trinôme du econd degré en j à coefficient poitif et peut toujour e mettre o la forme canoniq : + j Q où, pulation caractéritiq du filtre, et Q, facteur de qualité du filtre, ont de contante poitive. Diagramme de Bode Définition Le diagramme de Bode d un filtre en régime harmoniq et, par définition, l enemble de deux graphe repréentant pour le premier le module de la fonction de tranfert exprimé en décibel en fonction du logarithme décimal de la pulation et pour le econd l argument de la fonction de tranfert en fonction du logarithme décimal de la pulation. db = log = f log ref ϕ = arg ( ( j )) = g log ref La pulation de référence ref peut être choiie arbitrairement, mai quand cela et poible, on choiira la pulation caractéritiq du filtre. Aociation de filtre en cacade L aociation «en cacade», ou «en érie», correpond à la connexion de l entrée d un econd filtre à la ortie du premier. i e i i i = filtre ui filtre u Aociation "en cacade" onformément aux norme ISO internationale, le logarithme décimaux eront noté «log» ou «lg». JL 3/3/8 Page 3 ur

4 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire La tenion intermédiaire u i et ai bien la tenion de ortie u du filtre q la tenion d entrée u e du filtre, i bien q la fonction de tranfert globale du filtre en ortie ouverte et égale au produit de fonction de tranfert du filtre (en préence du filtre ) et du filtre en ortie ouverte. No avon alor : = / Attention! La fonction de tranfert / du filtre en préence du filtre n et pa a priori égale à la fonction de tranfert du même filtre en ortie ouverte. = oit = + arg ( ) = arg ( / ) + arg ( ) oit ϕ = ϕ / + ϕ / db / db db La contruction du diagramme de Bode aocié à une fonction de tranfert inconn e préentant o la forme d un produit de deux fonction de tranfert conn et particulièrement imple : il uffit de repréenter le deux diagramme élémentaire et d en «faire la omme». ette propriété et adaptable au ca d une fonction de tranfert e préentant o la forme d un rapport de deux fonction de tranfert élémentaire : = oit db = db db = arg ( ) = arg ( ) arg ( ) oit ϕ = ϕ/ ϕ.. Filtre du premier ordre Filtre pae-ba du premier ordre Étude canoniq La fonction de tranfert d un filtre pae-ba du premier ordre écrit, dan le ca le pl général o la forme uivante : = + j où et la pulation caractéritiq du filtre q l on appelle encore pulation de coupure à 3 db. Forme aymptotiq En trè bae fréqnce :, oit : lg db ϕ ( +, i < ) j 4 Pour la pulation =, = = e, oit : + j En trè haute fréqnce : j, oit : db = lg 3 = ϕ = ( +, i < ) = 4 db lg lg ϕ ( +, i < ) JL 3/3/8 Page 4 ur

5 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire emarq : on obtient l équation de aymptote, fonction affine de lg, en conidérant le logarithme du module du monôme équivalent. et équivalent et toujour trè facile à obtenir et l on contruit aini aiément le diagramme de Bode aymptotiq, en amplitude et en phae. Diagramme de Bode Le diagramme de Bode du filtre pae-ba du premier ordre correpondant à = et repréenté ciaprè. Pour d autre valeur de, il uffit d ajouter lg à la valeur du gain en décibel. On remarqra en particulier le comportement aymptotiq de pente fréqnce, caractéritiq du pae-ba du premier ordre. db par décade en haute Le diagramme de phae et repréenté dan le ca où et poitif. Pour <, il convient d ajouter à la phae. db, ( lg) ϕ, ( lg) 3 db 4 db / décade 3 Exemple de réaliation Filtre paif : cellule ou L = = L = = L Il agit an doute de filtre le pl imple q l on puie enviager. La fonction de tranfert en ortie ouverte e calcule implement par diviion de tenion. Pour le filtre : Pour le filtre L : Z = = Z + + j = = + Z L L + j JL 3/3/8 Page 5 ur

6 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire emarq importante : le caractère pae-ba de ce filtre apparaît immédiatement, an aucun calcul, en conidérant implement le comportement limite de compoant réactif. Dan la limite de trè bae fréqnce : un condenateur e comporte comme un circuit ouvert et une bobine idéale e comporte comme un court-circuit. Dan la limite de trè haute fréqnce : un condenateur e comporte comme un court-circuit et une bobine idéale e comporte comme un circuit ouvert. Filtre actif avec amplificateur opérationnel Un filtre actif pae-ba du premier ordre peut être réalié par exemple par un montage invereur dan leql on produit une double contre-réaction ur l entrée inveree par une réitance et un condenateur placé en parallèle. Si l on appelle Z l impédance de contre-réaction, dan le ca d un A.O. idéal fonctionnant en mode linéaire, la fonction de tranfert a pour expreion : = Z = + j eci correpond bien à un filtre pae-ba du premier ordre, avec = et = Filtre pae-haut du premier ordre Étude canoniq La fonction de tranfert d un filtre pae-ba du premier ordre écrit, dan le ca le pl général o l une de deux forme uivante : j = = + j + j où et la pulation caractéritiq du filtre q l on appelle encore pulation de coupure à 3 db. JL 3/3/8 Page 6 ur

7 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Forme aymptotiq En trè bae fréqnce : j, oit : db lg + lg ϕ + (, i < ) + j 4 Pour la pulation =, = = e, oit : j db = lg 3 = ϕ = + (, i < ) = 4 db lg En trè haute fréqnce :, oit : ϕ (, i < ) Diagramme de Bode Le diagramme de Bode du filtre pae-haut du premier ordre correpondant à = et repréenté ciaprè. Pour d autre valeur de, il uffit d ajouter lg à la valeur du gain en décibel. On remarqra en particulier le comportement aymptotiq de pente fréqnce, caractéritiq du pae-haut du premier ordre. + db par décade en bae Le diagramme de phae et repréenté dan le ca où et poitif. Pour <, il convient de retrancher à la phae. db ϕ, ( lg), ( lg) + + db / décade 3 db Exemple de réaliation Filtre paif : cellule ou L = = L = = L JL 3/3/8 Page 7 ur

8 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Pour le filtre : Pour le filtre L : = = + Z + j Filtre actif avec amplificateur opérationnel Voici un exemple de filtre actif pae-haut du premier ordre : ZL = = Z L + + jl = Z = + j ircuit déphaeur Le circuit ci-deo a une fonction de tranfert du premier ordre dont le module et égal à, indépendamment de la pulation. Seule la phae et fonction de. On parle alor de filtre «paetout» ou de filtre déphaeur. + u La diviion de tenion appliquée à la ligne de contre-réaction impliq : Ve = De la même façon, le potentiel V e + et déterminé par une diviion de tenion : V = e+ u + j En mode linéaire no avon Ve = V, no en déduion la fonction de tranfert. + e e u e u j db = = + j ϕ = arctan JL 3/3/8 Page 8 ur

9 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire.3. Filtre du econd ordre ondition de poible factoriation Un filtre du econd ordre a une fonction de tranfert qui e préente o la forme d une fraction rationnelle de j donc le dénominateur et un polynôme du econd degré. No no limiteron à l étude de filtre table pour leql, no l avon démontré, le dénominateur j peut écrire o la forme canoniq la pl générale uivante : D = + Q La qtion e poera de avoir i ce polynôme peut ou ne peut pa e factorier o la forme de deux polynôme du premier degré en j, c et-à-dire i l on peut écrire D o la forme : j D = + = j j + + Q ' " En développant cette expreion, il apparaît qu une condition néceaire et uffiante pour cela et q ' et " atifaent le relation ' " = et ' + " =, c et-à-dire oient olution réelle Q d une équation du econd degré en : + = Q ette équation n admet de olution réelle ' = Q 4Q q dan le ca où le dicriminant = 4 et poitif, oit Q <. Q " = + Q 4Q et Dan ce ca, et dan ce ca eulement, la fonction de tranfert pourra e décompoer en un produit de fonction de tranfert du premier ordre, ce qui en facilitera l étude. Filtre pae-ba du econd ordre Étude canoniq La fonction de tranfert d un filtre pae-ba du econd ordre écrit, dan le ca le pl général o la forme uivante : = j + Q où et la pulation caractéritiq du filtre. Forme aymptotiq En trè bae fréqnce :, oit : db lg ϕ ( +, i < ) JL 3/3/8 Page 9 ur

10 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Pour la pulation =, = jq, oit : En trè haute fréqnce : ondition d une poible réonance, oit : db = lg + lg Q = ϕ = ( +, i < ) = db lg 4lg ϕ ( +, i < ) Étudion le carré du module du dénominateur de la fonction de tranfert, oit, en poant X = : D = ( X ) + ( X ) X Q d D dx = + Q d D = > dx D pae par un minimum, et par conéqnt par un maximum pour la valeur X =, à la Q condition, bien entendu q cette valeur oit poitive. En conéqnce : Pour Q, le module du gain et une fonction monotone décroiante de. La valeur particulière Q = correpond au filtre qui e rapproche le pl du comportement aymptotiq, q l on nomme filtre de Butterworth. Pour Q >, le module du gain pae par un maximum pour une pulation inférieure à la pulation de coupure. = Q 4 Q = Q et Diagramme de Bode Le diagramme de Bode du filtre pae-ba du econd ordre correpondant à = et repréenté ci-aprè pour le valeur de Q formant une progreion géométriq de raion particulier du filtre de Butterworth et repréenté en gra. Pour d autre valeur de, il uffit d ajouter lg à la valeur du gain en décibel. On remarqra en particulier le comportement aymptotiq de pente fréqnce, caractéritiq du pae-ba du econd ordre. de Q = à Q = 64. Le ca 64 4 db par décade en haute Le diagramme de phae et repréenté dan le ca où et poitif. Pour <, il convient d ajouter à la phae. JL 3/3/8 Page ur

11 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire db +4, ( lg) ϕ, ( lg) Exemple de réaliation Aociation de deux filtre du premier ordre en cacade. Double cellule Deux filtre pae-ba du premier ordre aocié en cacade forment un filtre pae-ba du econd ordre. Examinon le ca particulier de deux cellule uivante, en ortie ouverte : JL 3/3/8 Page ur

12 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire α A B α La tenion de ortie u, égale au potentiel en B, e déduit du potentiel en A par diviion de tenion et l écriture du théorème de Millman appliqué au point A donne une deuxième relation entre V A et u : Soit, en poant x = =, VA + jα = u V = = u e α + + jx x A + j = + α, ce qui correpond à une fonction de tranfert α α de filtre pae-ba du econd ordre avec le valeur =, = et Q = <. α + Noton q, la valeur de Q étant inférieure à, la fonction de tranfert e factorie o la forme du produit de deux fonction de tranfert du premier ordre de pulation de coupure ' et ". En conéqnce, le diagramme de Bode aymptotiq (tracé ci-deo en trait gra) peut être contruit comme une omme de deux diagramme aymptotiq du premier ordre : = ' + " = ' " = + j + j ϕ = ϕ ' + ϕ" ' " db db db Traçon le diagramme de Bode pour la valeur numériq α = 5. No avon alor : Q,98, ', 99 et " =, db, ( lg) ϕ, ( lg) JL 3/3/8 Page ur

13 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire ircuit L érie, réonance de tenion La tenion d entrée u e alimente le circuit L érie, tandi q la tenion de ortie u et la tenion aux borne du condenateur. L La fonction de tranfert obtient immédiatement par diviion de tenion : Z j Z + Z + ZL + + jl + j L j = = = L L No retrouvon la forme canoniq en poant = et Q = = = L appelon q l on ne peut oberver de urtenion aux borne du condenateur q pour un coefficient de qualité Q uffiamment élevé : Q >. Pour de valeur de Q pl grande encore, le coefficient de urtenion maximal et obervé pour une pulation trè proche de et prend une valeur trè proche de Q : Q db log 4 log 3 log,,5 Q Q = 4 Q = 3 Q = Q = ( lg) Pour cette raion, le coefficient de qualité Q et parfoi appelé coefficient de urtenion. Filtre du Butterworth à tructure de auch La tructure de auch correpond à un montage invereur avec une double contre-réaction ur l entrée inveree, l entrée e faiant ur un pont divieur. Dan l exemple uivant, le réitance ont toute identiq et le valeur de condenateur ont choiie pour définir un filtre de Butterworth. JL 3/3/8 Page 3 ur

14 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire A 3 B 3 Dan l hypothèe d un amplificateur opérationnel idéal fonctionnant en mode linéaire, le point B et au potentiel nul et il ne rentre aucun courant dan l A.O. Par application du théorème de Millman en A et B, no obtenon : 3 3 VA + j = + On en déduit l expreion de la fonction de tranfert : et VA = + j u 3 = + j ( ) e qui correpond bien à un filtre pae-ba invereur avec =, = et Q = db ϕ, ( lg), ( lg) 3 db 4 4 db / décade 6 Noton q, pour le filtre de Butterworth, le gain à la fréqnce caractéritiq et de 3 db, comme pour un filtre du premier ordre : identifie à la pulation de coupure à 3 db. ependant, la pente en mode atténué et de 4 db / décade, deux foi la pente q l on obervait pour un pae-ba du premier ordre. JL 3/3/8 Page 4 ur

15 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Filtre pae-haut du econd ordre Étude canoniq La fonction de tranfert d un filtre pae-ba du econd ordre écrit, dan le ca le pl général o l une de forme équivalente uivante : = = j + + Q jq Forme aymptotiq En trè bae fréqnce :, oit : Pour la pulation =, = + jq, oit : db lg + 4lg ϕ (, i < ) db = lg + lg Q = ϕ = + (, i < ) = db lg En trè haute fréqnce :, oit : ϕ (, i < ) Diagramme de Bode Le diagramme de Bode du filtre pae-haut du econd ordre correpondant à = et repréenté ciaprè pour différente valeur de Q. On remarqra q ce diagramme e déduit du diagramme du filtre pae-ba par certaine ymétrie. En effet, on tranforme le pae-ba en pae-haut en changeant lg en lg et à changer ϕ en ϕ. j en, ce qui revient à changer j db +4, ( lg) ϕ +, ( lg) JL 3/3/8 Page 5 ur

16 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Exemple de réaliation Aociation de filtre du premier ordre en cacade. Double cellule. = j Filtre actif à tructure de Sallen et Key r r u e u La fonction de tranfert a pour expreion : r = + r r + r jx x Un tel filtre ne peut être table q i le coefficient r et poitif, oit r < r. r Si cette condition n et pa atifaite, le dipoitif e comporte différemment. Filtre pae-bande du econd ordre Étude canoniq La fonction de tranfert d un filtre pae-bande du econd ordre écrit, dan le ca le pl général o l une de forme équivalente uivante : j Q = = j + + jq Q JL 3/3/8 Page 6 ur

17 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Forme aymptotiq En trè bae fréqnce : j, oit : Q Pour la pulation =, =, oit : En trè haute fréqnce : j, oit : Q db lg lg Q + lg ϕ ( +, i < ) db = lg = ϕ = ( +, i < ) = db lg lg Q lg ϕ ( +, i < ) Bande paante à 3 db emarquon tout d abord q la fonction de tranfert d un filtre pae-bande du deuxième ordre et j invariante dan la tranformation, ce qui impliq le ymétrie correpondante du j diagramme de Bode. Dan to le ca le module de l amplitude pae par un maximum pour la pulation caractéritiq = qui et donc ai la pulation de réonance. Le module de l amplitude et divié par, ce qui correpond à une atténuation de 3 db, pour le valeur particulière de vérifiant le équation : Q = ±, oit : = + + Q 4Q et = = Q 4Q Attention! et, dont le produit et égal à ont le racine poitive de deux équation du econd degré différente, et non pa le deux racine d une même équation. La différence appelle la bande paante à 3 db, elle vérifie la relation imple : 3dB = = emarq : et ont le valeur de la pulation pour leqlle la phae prend le valeur particulière + et. La bande paante caractérie ai bien la largeur ur laqlle e fait la 4 4 variation de phae. Diagramme de Bode Le diagramme de Bode du filtre pae-bande du econd ordre correpondant à = et repréenté ciaprè pour le valeur de Q =, Q = et Q =. Q JL 3/3/8 Page 7 ur

18 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire On remarqra en particulier le comportement aymptotiq de pente + db par décade en bae fréqnce (comportement dérivateur) et db par décade en haute fréqnce (comportement intégrateur), caractéritiq du pae-bande du econd ordre. Le diagramme de phae et repréenté dan le ca où et poitif. Pour <, il convient d ajouter à la phae. db ϕ, ( lg), ( lg) + Q =, + 4 Q = Q =, 4 Q = 4 Q = Q = emarq : pour Q <, la fonction de tranfert d un filtre pae-bande peut e factorier o la forme du produit d un filtre pae-haut de pulation ' < et d un filtre pae-ba de pulation " >. Exemple de réaliation Filtre paif : pont de Wien = = ' j + jq + + j " Le troi filtre paif uivant ont la même fonction de tranfert qui écrit, en poant x jx = = + 3 jx x 3 j + x 3 x = : u e u u e u Dan to le ca, le coefficient de qualité étant égal à 3, valeur inférieure à, la fonction de tranfert peut exprimer comme le produit de deux fonction de tranfert du premier ordre. JL 3/3/8 Page 8 ur

19 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire ircuit L érie, réonance de courant L = + jl+ j Il agit ici d un réultat de cour de première année qu il faut aurément mémorier. La fonction de tranfert peut e mettre o la forme canoniq faiant apparaître la pulation propre du circuit L aini q le facteur de qualité du circuit L érie : = + jq L L avec = et Q = = = L Filtre actif à tructure de auch En appliquant le théorème de Millman en A et une diviion de tenion en B, on obtient l expreion de la fonction de tranfert de ce quadripôle qui correpond à un filtre pae-bande du econd ordre invereur ( = ) de pulation centrale = et de coefficient de qualité Q =. A B = + j Filtre coupe-bande du econd ordre Étude canoniq La fonction de tranfert d un filtre coupe-bande (on dit ai bien filtre réjecteur de bande) du econd ordre écrit, dan le ca le pl général o l une de forme équivalente uivante : = = j + + Q jq Pour la pulation caractéritiq =, la fonction de tranfert annule : cette pulation n et pa tranmie. JL 3/3/8 Page 9 ur

20 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire Forme aymptotiq En trè bae fréqnce :, oit : lg db ϕ ( +, i < ) Pour la pulation =, =, oit : En trè haute fréqnce :, oit : Diagramme de Bode db (aymptote verticale) ϕ ( +, i < ) lg db ϕ ( +, i < ) Le diagramme de Bode du filtre coupe-bande du econd ordre correpondant à = et repréenté ciaprè pour le valeur de Q =, Q = et Q =. Le diagramme de phae et repréenté dan le ca où et poitif. Pour <, il convient d ajouter à la phae. db ϕ, ( lg), ( lg) + Q = + Q = 4 Q =, 4 Q =, Q = Q = 4 Exemple de réaliation ircuit L parallèle, antiréonance de courant. L JL 3/3/8 Page ur

21 ÉLETONIQUE hapitre Filtre linéaire = = + ( ZL // Z ) + jq avec = et L Q = L Attention! Le coefficient de qualité caractériant «l antiréonance» correpond à l invere de l expreion du coefficient de qualité caractériant la réonance de courant du circuit L érie. Prudence!... Filtre actif coupe-bande de Wien Étudion ce montage invereur où le potentiel de l entrée inveree et lié à l entrée et la ortie par un pont divieur de tenion. On en déduit : 3V = e u + e Par ailleur, le potentiel de l entrée non inveree et défini par diviion de tenion à la ortie du pont de Wien. En poant x =, cette diviion de tenion écrit : 3 + jx + Ve + = jx u e u Dan l hypothèe d un A.O. idéal en mode linéaire, no avon Ve de tranfert de ce quadripôle : = V et no en déduion la fonction e+ = = j x jq x x x ette fonction de tranfert correpond à un filtre réjecteur invereur avec = et Q =. 3 JL 3/3/8 Page ur