Quatre études de fonctions

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1 Énoncé Quatre études de fonctions Eercice 1 On définit la fonction f : e 1/ ( Préciser le domaine de définition, de continuité, de dérivabilité de f.. Indiquer les limites de f au bornes de son domaine de définition. Préciser l allure de la courbe y = f( au voisinage de = et au voisinage de = Étudier le sens de variations de f, et dresser son tableau de variations. 4. Étudier l eistence d une asymptote oblique quand ou quand +. Donner le placement de la courbe par rapport à cette asymptote. 5. Étudier la concavité de f et préciser les points d infleion. 6. Tracer soigneusement la courbe représentative de f. Eercice On considère l application f définie par f( = tan cos. 1. Indiquer le domaine de définition de f. Que dire de la dérivabilité de f sur ce domaine? Montrer qu on peut réduire l étude de f à l intervalle ]0, π[. ] [ Pour tout de 0, π, comparer f(π et f(. Que peut-on en déduire?. Montrer que l application f peut être prolongée par continuité en = 0 et en = π [ ]. 3. Étudier le sens de variations de f sur 0, π, et dresser son tableau de variations. On donnera une valeur approchée de l abscisse 0 pour laquelle f ( 0 = 0. [ ] Procéder à une étude analogue sur π, π 4. Préciser l allure de la courbe y = f( au voisinage de = 0 et de = π. 5. Tracer soigneusement la courbe représentative de f sur un intervalle contenant [0, π]. Eercice 3 On considère l application f définie par f( = Indiquer le domaine de définition de f. Que dire de la dérivabilité de f sur ce domaine? Préciser les limites de f au bornes de son domaine de définition.. Étudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variations. 3. Indiquer l allure de la courbe y = f( au voisinage de = 0, de = 1, et de Tracer soigneusement la courbe représentative de f. Eercice 4 1. Montrer que pour tout > 1 (et 0 :!θ ]0, 1[ tel que ln(1 + =. On définit l application f par f( = θ. 1 + θ. Préciser la dérivabilité de f, et donner les limites de f au bornes de son domaine. 3. Étudier le sens de variations de f et dresser son tableau de variations. 4. Indiquer l allure de la courbe y = f( au voisinage de = 0 et de = Tracer soigneusement la courbe représentative de f. mathprepa.fr Page 1

2 Eercice 1 1. f est définie et continue sur R, comme produit et composée d applications continues. Elle est dérivable (et même de classe C sur ], [ ], 0 [ ] 0, + [.. Au voisinage de ±, on a f( donc lim f = +. L application f est continue en, avec f( = 0. Au voisinage de 0, on a f( e 1/. A droite de 0 on a donc lim f = lim e X 0+ + X = +. Ainsi la droite = 0 est asymptote verticale. A gauche de 0 on a lim 0 f = 0. On peut donc prolonger f par continuité en 0 à gauche en posant f(0 = 0. On va préciser l allure de la courbe au voisinage de. 1 Posons = + h. Alors f( = ep( +h h( + h e h. { f( +h f( h + si h 0 + On en déduit lim = lim = h 0 h h 0 e h si h 0 L application f n est donc pas dérivable en. Plus précisément, la courbe y = f( admet au point (, 0 une demi-tangente verticale dirigée vers les y > 0. On va préciser l allure de la courbe au voisinage de 0 (après le prolongement f(0 = 0. On sait déja que lim f = + (asymptote verticale = 0 à droite de Quand 0, f( e 1/ donc f( 1 e 1/. On en déduit lim 0 f( = lim X e X = 0. Il en découle que la courbe y = f( présente à l origine une demi-tangente horizontale (la courbe étant située au-dessus car f 0 sur son domaine. En résumé, voici l allure de la courbe y = f( au voisinage de = 0 et de = : mathprepa.fr Page

3 3. On remarque que pour tout de R {, 0} on a f( > 0 et ln f( = ln ( +. On dérive et on trouve : R {, 0}, f ( f( = (+1 (+ = (++(+1. (+ On en déduit : R {, 0}, f ( = (+ f(. L application f est donc du signe de + donc du signe de ( + ( + (. On en déduit le tableau de variations de f : On remarque les points (, f( et (, f( en lesquels la courbe y = f( présente une tangente horizontale. On a f( 4, 46 et f( 0, On effectue un développement généralisé par rapport à l infiniment petit 1. f( = e 1/ ( + = e 1 1/ + (quand, 1 + > 0 ( ( = o( o( 1 ( = o( 1 On en déduit que quand + alors f( = o( 1. La courbe présente donc l asymptote y = + (la courbe est localement au-dessus. De même, quand alors f( = 1 + o( 1. La courbe présente donc l asymptote y = (la courbe est localement au-dessus. En résumé, voici l allure de la courbe au voisinage de ±. 5. On sait que pour tout de R {, 0}, on a : f ( = ( + f(. mathprepa.fr Page 3

4 On en déduit pour tout de R {, 0} : f ( = ( f( + ( + ( + f ( = 3 ( + ( ( ( 4 ( + f( = ( ( + f( L application f étant > 0 sur R {0, }, f ( a le signe de Mais ( = ( α( β avec α = et β = +. On en déduit le signe de f et la concavité de f. { I1 = (α, f(α ( 3.41, 1.64 Il y a deu points d infleion : I = (β, f(β ( 0.59, Voici la courbe représentative de f : mathprepa.fr Page 4

5 Eercice { { tan est défini kπ, k Z 1. f( est défini tan 0 π + kπ, k Z k π, k Z. Pour k π (k Z, f est continue, dérivable et même de classe C comme composée de fonctions ayant ces propriétés. On remarque que f est π-périodique. On peut donc limiter l étude à un intervalle de longueur π, puis procéder à des translations de vecteur kπ ı (avec k Z sur la portion de courbe obtenue. D autre part, f est paire. On peut donc limiter l étude à ]0, π[ (avant d effectuer une symétrie par rapport à l ae Oy. Sur ]0, π [, on a f(π = tan(π cos(π = tan cos = 1 f(. On peut déduire les variations de f sur ] π, π[ de ses variations sur ]0, π [. En effet si I est un intervalle de ]0, π [ sur lequel f possède une certaine monotonie, alors f a la même monotonie sur l intervalle J se déduisant de I par la transformation π (la symétrie par rapport à π. Cela vient du fait que f( est la composée de π (décroissante, de f( et de 1 (décroissante.. Pour tout de ]0, π [, on a cos > 0 et sin > 0. f( = (tan cos ln f( = cos ln tan = cos ln sin cos ln cos. On en déduit : lim 0 + f( = 0+. En effet ln f( = cos ln tan ln tan ln. On peut donc prolonger f par continuité en 0 à droite en posant f(0 = 0. Mais la parité de f fait qu elle est alors continue à l origine. Par périodicité, elle est alors continue en tous les = kπ. lim f( = (π/ 1+. En effet ln f( = cos (ln sin ln cos cos (ln cos 0 + Cela résulte de ce que ( t ln t 0 + quand t 0 +, et ici t = cos 0 +. On peut donc prolonger f par continuité en π à gauche en posant f(π = 1. Mais la relation f( = 1 f(π prouve alors que lim f( = 1. (π/ + Ainsi prolongée, f est donc continue en π (et par périodicité en tous les = π + kπ. 3. Pour tout de ]0, π [, on a ln f( = cos ln tan. On en déduit, pour tout de ]0, π [ : f ( f( 1 = sin ln tan + cos cos tan = sin ln tan + 1 ( sin = sin 1 sin ln tan Sens de variation sur l intervalle ]0, π [ : sin est strictement croissante > 0. Donc 1 sin est strictement décroissante. tan est strictement croissante. Donc ln tan est strictement décroissante. mathprepa.fr Page 5

6 On en déduit que g : 1 sin ln tan est strictement décroissante sur ]0, π [. Or lim g( = + et lim g( = : g (continue est une bijection de ]0, π [ sur R. 0 + (π/ En particulier 0 ]0, π [ tel que g( > 0 sur ]0, 0[, g( 0 = 0 et g( < 0 sur ] 0, π [. Remarque : on observe que g( π 4 =. On en déduit π 4 < 0 < π. Sur ]0, π [, f ( = (sin f(g( a le signe de g(. On en déduit le sens de variation de f : On remarque que f( π 4 = 1. { g( > 0 On vérifie que g( < 0 On en déduit 1.5 < 0 < 1.6[ { f( D autre part f( Donc f( Sens de variation sur l intervalle ] π, π[ : Sur ] π 1, π[, on a f( = f(π donc f ( = f (π f (π, avec π ]0, π [ On en déduit que f est : strictement décroissante sur ] π, π 0[ strictement croissante sur ]π 0, π[ On a lim π f( = 1 lim 0 + f = +. On a π 0 ]1.88, 1.89[ f(π 0 = 1 f( On voit que f( 3π 4 = 1 4. Au voisinage de 0 Sur ]0, π f( [ on a ln = cos ln tan ln = (cos 1 ln tan + ln tan. Quand 0 +, (cos 1 ln tan ln 0+, et tan 1 + ln tan 0 +. f( On en déduit que lim ln = 0 + f( donc lim = Ainsi f est dérivable à droite à l origine, avec f d (0 = 1. La courbe y = f( admet la demi-tangente y = en (0, 0 (courbe au-dessus. L application f étant paire, elle admet une dérivée à gauche en 0 et f g(0 = 1. Il y a donc la demi-tangente y = en 0 à gauche (courbe au-dessus. Au voisinage de π Sur ]0, π [ on a f ( = (sin f(g(, avec g( = 1 ln tan. sin Or lim sin = lim f( = 1 et lim π/ π/ (π/ g =. On en déduit lim De même, l égalité f ( = f (π f (π donne lim f ( =. (π/ + f ( =. (π/ mathprepa.fr Page 6

7 Ainsi f n est pas dérivable en = π. Plus précisément, la courbe y = f( présente en ( π, 1 une tangente verticale. En résumé, voici l allure de la courbe au voisinage de = 0 et de = π. 5. Courbe représentative : Eercice 3 1. L application f est définie, continue, dérivable (et même de classe C sur R + {1}, comme composée de fonctions ayant ces propriétés. Pour tout de R + {1}, ln f( = ln. 1 Puisque lim ln = 0, on a lim ln f( = 0+ donc lim f( = Au voisinage de 1, on a ln 1 1 donc ln 1 = On en déduit lim f( = ep 1 1 = e. + 1 ln 1 1. On peut donc prolonger f par continuité en 0 et en 1 en posant f(0 = 1 et f(1 = e.. Pour tout de R + {1}, on a : ( f ln f( ( ( 1 3 ( = = 1 ( ln = ( 1 + f( = 1 ( 1 ln + 1 f( ( ( 1 ln + 1 f( mathprepa.fr Page 7

8 Sur R + {1}, f ( est donc du signe de g( = ln + 1. Or, pour tout > 0, g ( = + = ( 1. L application g est strictement décroissante sur ]0, 1[, et strictement croissante sur ]1, + [. Or g(1 = 0. Il en résulte que g( donc f ( sont strictement positives sur R + {1}. Ainsi f est strictement croissante sur ]0, 1[ et sur ]1, + [. Comme f est continue sur R +, elle est strictement croissante sur R +. Le tableau de variation de f est très simple. 3. Etude au voisinage de 0 On a f( 1 = 1 ( ep ln 1 1 ln L application f est donc dérivable en 0, avec f (0 = 0. la courbe y = f( a en (0, 1 une demi-tangente horizontale (courbe au-dessus. Etude au voisinage de 1 On pose = 1 + h. On rappelle que ln(1 + h = h h + h3 3 + o(h3. On forme alors le développement limité de ln f(1 + h en h = 0 : ln f( = ln f(1 + h = = 1 = h + h h( + h h + h 3 + o(h 1 + h = 1 (1 + h h 6 + o(h ln(1 + h = On en déduit le développement limité de f(1 + h en h = 0 : f( = f(1 + h = ep 1 = e (1 + ( h h h 4 + o(h 1 + h + h (h h h( + h + h3 3 + o(h3 (1 + 3 h + h 3 + o(h (1 h + h 4 + o(h (1 + h h 6 + o(h = ( h e ep h 1 + o(h = e (1 + h + h 4 + o(h On constate que f admet un développement limité d ordre en = 1 : f( = e e e + ( ( 1 + o( 1 Si on pose f(1 = e e, l application f est donc dérivable en 1, avec f (1 =. Ce développement montre aussi que y = f( est au-dessus de sa tangente en = 1. Etude au voisinage de + On sait que lim f( = +. On a lim ln f( + + = lim ln + 1 = 0+. mathprepa.fr Page 8

9 f( On en déduit lim + = 1+. Enfin, on sait que e X 1 X quand X 0. ( Il en découle f( = ep ln 1 1 ln On en déduit que y = f( possède l asymptote y = en + (courbe au-dessus. 4. Courbe représentative de f : Eercice 4 1. Pour > 1, l égalité des accroissements finis appliquée sur [0, ] à ln(1 + donne : θ ]0, 1[, ln(1 + = ln(1 + ln (1 + θ = L unicité de θ résulte de ce qu on peut etraire θ de l égalité précédente. 1 On obtient en effet : > 1, θ = ln( L application f est définie sur ] 1, 0 [ ] 0, + [. Sur ce domaine, elle est de classe C. On a lim f( = 1 et lim ( ln(1 + En 0, f( = ln(1 + f( = 0. 1 { ln(1 + = car + o( ln( θ On peut donc prolonger f par continuité en 1 et en 0 en posant f( 1 = 1 et f(0 = On calcule la dérivée de f, pour tout > 1 (et 0 : f ( = 1 (1 + ln ( = 1 (ln ln (1 + ( f ( a donc le même signe que : g( h( { ln (1 + ( }} { 1 + = {( }} { ln(1 + ln( ln(1 + et ont le signe de. Il en est donc de même de h(. 1 + Pour déterminer le signe de g(, on étudie les variations de g : > 1, g ( = 1 { (1 + 3/ = 1 ( }} { (1 + 3/ Pour > 1, on k 1 ( = = k( mathprepa.fr Page 9

10 On en déduit successivement les variations de k, puis le fait que g ( < 0, puis les variations de g, le signe de f et les variations de f : 4. Au voisinage de 0 : 1 f( = ln(1 + 1 = 1 ( o( 1 = 1 (1 + ( o( 1 = 1 ( 1 + o( = o(. Ce développement montre que f est dérivable en 0, avec f (0 = 1 1. Au voisinage de 1 : On a lim ( 1 +(1 + ln (1 + = 0 + donc lim ( 1 + f ( =. la courbe y = f( a donc en ( 1, 1 une demi-tangente verticale dirigée vers les y < Courbe représentative : mathprepa.fr Page 10