Sommaire. 1 Rappels. 2

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1 Sommaire 1 Rappels. 2 2 Triangle rectangle et cercle circonscrit Propriété n Exemple d utilisation de la propriété n Propriété n Exemple d utilisation de la propriété n Propriété n 3 : propriété de la médiane Exemple d utilisation de la propriété n Réciproque de la propriété n Exemple d utilisation de la réciproque de la propriété n Propriété des points de la bissectrice Cercle et tangente Tangente à un cercle en un point

2 Chapitre 1 Rappels. La médiane i s sue d'un sommet d'un triangle est une droite qui pa s se par ce sommet et le milieu du côté op posé. Dans ce triangle, (m) est la médiane issue de B, car elle passe par le sommet B et le milieu du côté opposé au sommet B (c est à dire [AC]) 2

3 La bi s sectrice d'un angle est la droite qui cou pe cet angle en deux angles de même mesure. Dans ce triangle, (b) est la bissectrice issue de B, car elle passe par le sommet B et coupe l angle ÂBC en deux angles de même mesure. 3

4 La médiatrice d'un côté d'un triangle est une droite qui cou pe ce côté per pendiculairement et en son milieu. Dans ce triangle, (m 1 ) est la médiatrice du segment [AB], car (m 1 ) est perpendiculaire à (AB) et (m 1 ) coupe [AB] en son milieu. 4

5 Le centre du cercle circon scrit d'un triangle, est le point d'in- ter section de ses médiatrices. Dans ces deux figures, (m 1 ), (m 2 ) et (m 3 ) sont les trois médiatrices des côtés du triangle ABC, elles se coupent en un même point (le point D) qui est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. 5

6 Dan s un triangle rectangle, le plu s grand côté est l hypoténu se. Dans ce triangle l hypoténuse est le côté [BC], c est le côté en face de l angle droit. 6

7 Chapitre 2 Triangle rectangle et cercle circonscrit. 2.1 Propriété n 1 Si un triangle est rectangle, alor s son hypoténu se est le diamètre de son cercle circon scrit. (le milieu de son hypoténu se est le centre de ce cercle). Le but de cette propriété est de démontrer qu un point est le milieu d un segment. La condition d utilisation de cette propriété est : un triangle rectangle. 7

8 2.2 Exemple d utilisation de la propriété n 1 Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en C. Quelle est la position du centre de son cercle circonscrit? La rédaction : On sait que ABC est un triangle rectangle en C. Or si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est le diamètre de son cercle circonscrit. Donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de son hypoténuse [AB]. (Condition d utilisation) (Propriété) (Conclusion) 8

9 2.3 Propriété n 2 Si dan s un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre et un point sur le cercle alor s ce triangle est rectangle en ce point. Le but de cette propriété est de démontrer qu un triangle est rectangle. Les conditions d utilisation de cette propriété sont : un triangle inscrit dans un cercle dont l un des côtés est le diamètre. 9

10 2.4 Exemple d utilisation de la propriété n 2 Enoncé : Soit ABC un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [AC]. Quelle est la nature du triangle? La rédaction : On sait que ABC est un triangle inscrit dans dans le cercle de diamètre [AC]. Or si dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point sur le cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. Donc le triangle ABC est rectangle en B. (Conditions d utilisation) (Propriété) (Conclusion) 10

11 2.5 Propriété n 3 : propriété de la médiane. Si un triangle est rectangle, alor s la longueur de la médiane i s sue de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de son hypoténu se. Le but de cette propriété est de calculer une longueur. La condition d utilisation de cette propriété est : un triangle rectangle. 11

12 2.6 Exemple d utilisation de la propriété n 3 Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A. M est le milieu de [BC], et CB = 4cm. Calculer la longueur de [AM] La rédaction : On sait que ABC est un triangle rectangle en A. Or si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de son hypoténuse. (Condition d utilisation) (Propriété) Donc AM = BC 2 = 4 = 2cm. (Conclusion) 2 12

13 2.7 Réciproque de la propriété n 3. Si dan s un triangle, la médiane i s sue d'un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté op posé, alor s le triangle est rectangle en ce sommet. Le but de cette propriété est de prouver qu un triangle est rectangle. Les conditions d utilisation de cette propriété sont : la longueur d une médiane, et du côté opposé. 13

14 2.8 Exemple d utilisation de la réciproque de la propriété n 3 Enoncé : Soit ABC ci-dessous. Quelle est la nature de ABC? La rédaction : On sait que dans le triangle ABC, CM = AM = BM. Or si dans un triangle, la médiane issue d un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet. Donc ABC est un triangle rectangle en B. (Conditions d utilisation) (Propriété) (Conclusion) 14

15 Chapitre 3 Propriété des points de la bissectrice. Si un point est sur la bi s sectrice d'un angle, alor s il est équidi s- tant des côtés de cet angle. Sur cette figure, le point D est sur la bissectrice de l angle BAC, il est donc à égale distance des côtés de cet angle. c est à dire que DE = DF. On peut remarquer aussi que [DE] et [DF] sont les distances les plus courtes entre le point D et les côtés de l angle BAC. 15

16 Chapitre 4 Cercle et tangente. 4.1 Tangente à un cercle en un point. La tangente à un cercle en un point est la droite qui est per pendiculaire au rayon et qui pa s se par ce point. Sur cette figure, la droite (d) est la tangente au cercle en B, en effet, elle coupe le cercle en un seul point (le point B) et elle est perpendiculaire au rayon [AB]. 16

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