Exercice 4 Seconde/Fonctions-Généralités/exo-071/texte

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1 åò ÓäÒ ê Exercice 1 /Fonctions-Généralités/exo-07/texte Soit k la fonction définie par la courbe donnée ci-dessous : 8 0 Répondre par vrai (V) ou par faux (F) aux affirmations cidessous en cochant la case correspondante. Aucune justification n est demandée. V F 1. k() =. est un antécédent de par k.. est l unique antécédent de par k.. L équation k(x)=0 a exactement solutions.. k est strictement décroissante sur [; ].. Le maximum de k sur [ 8; 7] est. 7. La fonction k atteint son minimum sur [ 8; 7] lorsque x =. 8. Si 0 x 7 alors k(x). Dresser le tableau de variations de la fonction k en s aidant de la représentation graphique donnée. Exercice /Fonctions-Généralités/exo-0/texte On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = cm et AC = cm et M un point mobile sur [AB]. On construit N et P respectivement sur [BC] et [AC] de telle sorte que AMNP soit un rectangle. C. Soit f la fonction définie sur [0; ] par : f(x) = x 0,x a) Donner l allure de la courbe de f dans un repère orthonormal d unité 1 cm. b) Conjecturer le tableau de variations de f puis émettre une hypothèse concernant la position du point M qui maximise l aire du rectangle AMNP. c) En développant chacune des deux expressions, établir que, pour tout x appartenant à [0; ] : f() f(x) = 0,(x ) d) Expliquer en quoi l égalité démontrée dans la question précédente permet de valider l hypothèse émise à la question b. Exercice Soit f la fonction définie sur [ ; ] par : f(x) = /Fonctions-Généralités/exo-00/texte x ã (x + ) 1. Tabuler f au pas de 1 sur [ ; ] puis recopier le tableau de valeurs obtenu en arrondissant les valeurs de f(x) à près.. En déduire des valeurs à affecter aux paramètres X min, X max, Y min et Y max de la fenêtre afin d obtenir un affichage satisfaisant de la courbe de la fonction f sur l écran de la calculatrice.. Déterminer algébriquement les coordonnées du point d intersection de la courbe de la fonction f avec l axe des ordonnées.. La courbe de la fonction f coupe-t-elle l axe des abscisses? Si oui, déterminer par le calcul les coordonnées de chacun des points d intersection de cette courbe avec l axe des abscisses. Exercice /Fonctions-Généralités/exo-071/texte Soit k la fonction définie par la courbe donnée ci-dessous : P N cm A M B 0 8 cm 1. On pose AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x?. a) Exprimer MN en fonction de x puis établir que l aire du rectangle AMNP est donnée, en cm, par : A AMNP = x 0,x b) Est-il possible que le rectangle AMNP soit un carré? Si oui, préciser dans quel(s) cas. 1. Donner, par lecture graphique, le tableau de variations de la fonction k.. Recopier et compléter la phrase suivante : Si x est un réel appartenant à l intervalle [0; ] alors k(x) appartient à l intervalle...

2 Exercice /Fonctions-Généralités/exo-077/texte On donne ci-dessous les courbes représentatives de deux fonctions f et g obtenues sur l écran d une calculatrice avec la fenêtre d affichage paramétrée de la manière suivante : x min =, x max =, y min = et y max =. C f 1 #» j O Déterminer graphiquement sans justifier : 1. g(1) ;. l image de par g ;. les antécédents de 1 par f ;. les solutions de l équation g(x) = ; #» ı C g 1. l ensemble des solutions de l inéquation g(x) 0 ;. l ensemble des solutions de l équation f(x) = g(x). On admet maintenant que f et g sont définies sur R respectivement par f(x) = x x + 1 et g(x) = x x. 1. Calculer l image de par f en détaillant les étapes du calcul. On donnera le résultat sous forme d une fraction irréductible.. Développer, réduire et ordonner (x 1) 9.. Factoriser (x 1) 9.. Déterminer algébriquement les antécédents de 8 par g. Exercice /Fonctions-Généralités/exo-0/texte On considère un carré ABCD de côté cm, M et N deux points mobiles respectivement sur [AB] et [BC] tels que AM = BN. D C 1. On pose AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x?. Exprimer en fonction de x l aire des triangles ADM, BM N et CDN puis prouver que l aire du triangle MND est donnée, en cm, par 0,x x Soit f la fonction définie sur I par f(x) = 0,x x+18. a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer les variations de f sur I et émettre une hypothèse concernant la position de M telle que l aire du triangle MND soit la plus petite possible. b) En développant séparément les deux membres de l égalité, établir que pour tout x appartenant à I : (x ) f(x) f() = c) En déduire la valeur exacte en laquelle la fonction f atteint son minimum sur I puis déterminer la position de M telle que l aire du triangle MND soit la plus petite possible. 1. Prouver que DN = x 1x + 7 puis exprimer DM et MN en fonction de x.. Résoudre algébriquement chacune des équations suivantes : a) x + = x 1x + 7 ; b) x 1x + 7 = x 1x + ; c) x + = x 1x +.. Est-il possible que le triangle M N D soit isocèle? équilatéral? Exercice 7 /Fonctions-Généralités/exo-07/texte Dans cet exercice, f et g désignent les deux fonctions définies sur [ ; ] dont on donne ci-dessous les courbes représentatives, obtenues sur l écran d une calculatrice. C g 1 0 C f 1 A M N B 1. Déterminer graphiquement l ensemble solution de chacune des équations et inéquations suivantes : a) f(x) = ; b) f(x) 1 ; c) f(x) > g(x) ; d) f(x) g(x).. On admet maintenant que f et g sont définies respectivement par f(x) = x + x + et g(x) = x +. Résoudre par le calcul l équation f(x) = g(x).

3 Exercice 8 Exercice 9 /Fonctions-Généralités/exo-07/texte Soit f la fonction définie sur [0; 7] par f(x) = x (x ). /Fonctions-Généralités/exo-09/texte On donne ci-dessous les courbes représentatives C f et C g de deux fonctions f et g toutes deux définies sur l intervalle I = [; 8]. 1. Calculer l image de par f. On détaillera les étapes du calcul et on donnera le résultat sous forme d une fraction irréductible.. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. 1 C f C g x f(x). Donner l allure de la courbe représentative de la fonction f dans le repère donné ci-dessous.. Résoudre graphiquement l équation f(x) =. Justifier la réponse par une phrase ou par des traits de lecture apparents sur le graphique. 7 1 Résoudre graphiquement les équations et inéquations cidessous. On justifiera chaque réponse par une phrase. 1. f(x) = 1. f(x) = g(x). f(x) > g(x). f(x) g(x) Dans cette partie, on admet que les fonctions f et g sont définies sur I par f(x) = 1 (x ) et g(x) = x 8x Calculer l image de par g. On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. Pour répondre aux deux questions suivantes, des transformations d écriture (développement, factorisation) sont nécessaires.. Déterminer algébriquement les antécédents de 0 par f.. Résoudre algébriquement l équation f(x) = g(x)

4 Exercice /Fonctions-Généralités/exo-9/texte On donne ci-dessous la courbe représentative d une fonction g définie sur [; ] Exercice 11 1 Soit f la fonction définie sur [0; ] par : f(x) = x 0x Compléter le tableau de valeurs ci-dessous (tab. 1, p. ).. Donner des valeurs de x min, x max, y min et y max permettant d afficher correctement la courbe représentative de la fonction f à l écran de la calculatrice.. Dresser, par simple lecture graphique, le tableau de variations de f sur [0; ]. Les pierres «okaré» sont des pierres précieuses dont la valeur (en euros) est égale au carré de leur masse (en grammes). On a malheureusement laissé tomber une pierre «okaré» de grammes; elle s est alors brisée en deux morceaux. Donner par lecture graphique : 1. l image de par g ;. les antécédents de ( ) par g ;. l ensemble des solutions de l inéquation g(x) ;. l ensemble des solutions de l inéquation g(x) < ;. le maximum de g sur [; ] ainsi que la valeur de x en laquelle ce maximum est atteint ;. le tableau de variations de g. On admet maintenant que g est définie par : g(x) = x + x + 1. Calculer l image de ã par g.. Établir que pour tout x appartenant à [; ] : g() g(x) = (x ). L égalité prouvée à la question précédente permet de valider une des réponses obtenues graphiquement dans la première partie. Laquelle? Justifier. /Fonctions-Généralités/exo-8/texte 1. Prouver que si le plus gros des morceaux pèse 8 grammes alors la valeur totale des deux morceaux est 8e.. Dans la suite de l exercice, on note x la masse, exprimée en grammes, d un des deux morceaux. a) Préciser l intervalle dans lequel varie x puis exprimer en fonction de x la masse du second morceau. b) Établir que la valeur totale des deux morceaux est donnée, en euros, par x 0x Justifier en une phrase chacune des affirmations suivantes. a) Quelles que soient les masses des deux morceaux, le propriétaire de la pierre «okaré» est perdant. b) La pire des situations du point de vue du propriétaire est que sa pierre se soit brisée en deux morceaux identiques. x f(x) Table 1 Tableau de valeurs de f

5 Exercice 1 /Fonctions-Généralités/exo-078/texte On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g. 1 1 C f 1 8 C g Par simple lecture graphique, dresser le tableau de variations de la fonction f. ã ã 7 8. Comparer, sans aucun calcul, f et f.. Soit a et b deux réels appartenant à [0; ] tels que a b. Peut-on comparer f(a) et f(b)?. Compléter le tableau ci-dessous à l aide du graphique. L ensemble de définition de f est L image de par g est f() = Les solutions de f(x) = 1 sont Les antécédents de 7 par f sont L ensemble solution de f(x) 1 L ensemble solution de f(x) > g(x) La valeur de x pour laquelle f atteint son maximum sur [ ; 7] est Le maximum de f sur [ ; 7] est Le couple de coordonnées du point d intersection de C g avec l axe des ordonnées est Dans cette partie, on admet que les fonctions f et g sont définies respectivement par f(x) = x + x + 1 et g(x) = x +.

6 1. Le point A de coordonnées ã ; appartient-il à la courbe C f? Justifier la réponse par un calcul.. a) Développer, réduire et ordonner 1 (x ). b) En factorisant 1 (x ), prouver que : 1 (x ) = (x + )( x) c) Résoudre l équation 1 (x ) = 0. d) Factoriser (x + )( x) (x + ).. S ils existent, déterminer par le calcul les antécédents par f du nombre 0.. Résoudre algébriquement l équation f(x) = g(x).

7 Ó Ö Ö ê Exercice 1 /Fonctions-Généralités/exo-07/corrige 1. k() =. est un antécédent de par k.. est l unique antécédent de par k.. L équation k(x)=0 a exactement solutions.. k est strictement décroissante sur [; ].. Le maximum de k sur [ 8; 7] est. 7. La fonction k atteint son minimum sur [ 8; 7] lorsque x =. 8. Si 0 x 7 alors k(x). Tableau de variations de la fonction k : x Var. k 8 Exercice /Fonctions-Généralités/exo-0/corrige 1. La longueur AM est minimale lorsque M est en A ; dans ce cas, on a x = 0. La longueur AM est maximale lorsque M est en B ; dans ce cas, on a x =. Conclusion : x varie dans l intervalle I = [0; ].. a) Les droites (MN) et (AC) sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à (AB)) et les droites (CN) et (AM) sont sécantes en B donc, d après le théorème de Thalès, on a BM BA = MN AC. BM BA = MN BM AC MN = AC BA ( x) 0 x 0 x 0,x L aire du rectangle AMNP est donnée, en cm, par : A AMNP = AM MN = x( 0,x) = x 0,x b) Pour que le rectangle AMNP soit un carré, il faut et il suffit qu il ait deux côtés consécutifs de même longueur. Par conséquent, AMNP est un carré si, et seulement si, AM = MN soit encore si, et seulement si, x = 0,x. Or : 0,x = x 0,x + 0,x = x + 0,x = 1,x 1, = x,7 = x S = {,7} Conclusion : Le rectangle AM N P est un carré si, et seulement si, x =,7. 7. a) Allure de la courbe représentative de f : b) Je conjecture le tableau de variations de f : x Var. f 0 0 Si le tableau ci-dessus correspond bien au tableau de variations de f alors la fonction f atteint son maximum sur [0; ] lorsque x =, ce qui signifie que l aire du rectangle AMNP est maximale lorsque x = c est-à-dire lorsque M est le milieu de [AB]. 1 c) Pour tout x appartenant à [0; ] : f() f(x) = 1 (x 0,x ) = 1 x + 0,x = 0,x x + 1 0,(x ) = 0,(x x + ) = 0,(x x + ) = 0,x x + 1 Conclusion : Pour tout x appartenant à [0; ] : f() f(x) = 0,(x ) d) Pour tout x appartenant à [0; ], 0,(x ) 0 (car un carré est un réel positif) donc f() f(x) 0 d où f() f(x). On peut donc affirmer que la fonction f atteint bien son maximum sur [0; ] lorsque x =, ce qui permet de valider la conjecture émise à la question b. Exercice /Fonctions-Généralités/exo-00/corrige 1. Tableau de valeurs de f (tab.??, p.??).. Au vu du tableau de valeurs, on peut choisir X min =, X max =, Y min =, et Y max =,9. Remarque : Avec ces valeurs, on n obtient pas la totalité de la courbe à l écran. On solutionne ce problème 0

8 en ajustant les valeurs de Y min et Y max, par exemple, Exercice /Fonctions-Généralités/exo-077/corrige en choisissant Y min = et Y max = 7.. Un point appartient à l axe des ordonnées si, et seulement si, son abscisse est égale à g(1) = ; f(0) = 0 (0 + ). l image de par g est ; ã =. les antécédents de 1 par f sont et 1 ; ã. les solutions de l équation g(x) = sont et ; = 9. l ensemble des solutions de g(x) 0 est [0; ] ;. l ensemble des solutions de f(x) = g(x) est {; }. = 0 9 donc la courbe de f coupe l axe des ordonnées au point A de coordonnées 0; 0 ã. 9. Un point appartient à l axe des abscisses si, et seulement si, son ordonnée est égale à 0. f(x) = 0 x ã (x + ) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. f(x) = 0 x = 0 ou x + = 0 x = ou x = La courbe de la fonction f coupe exactement deux fois l axe des abscisses. Les deux points ã d intersection sont les points B ( ; 0) et C ; 0. A B C Exercice /Fonctions-Généralités/exo-071/corrige 1. Tableau de variations de la fonction k : x Var. k 1 9. Si x est un réel appartenant à l intervalle [0; ] alors k(x) appartient à l intervalle [0; ]. 1. Je calcule l image de par f : f ã = ( ) + 1 = = = = 1. Je développe, réduis et ordonne (x 1) 9. (x 1) 9 = x x = x x 8. Je factorise (x 1) 9. (x 1) 9 = (x 1) = (x 1 )(x 1 + ) = (x )(x + ). Les antécédents de 8 par g sont les solutions de l équation g(x) = 8. g(x) = 8 x x = 8 x x 8 = 0 (d après question ) (x 1) 9 = 0 (d après question ) (x )(x + ) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. g(x) = 8 x = 0 ou x + = 0 x = ou x = Conclusion : 8 admet exactement deux antécédents par g : et. Exercice /Fonctions-Généralités/exo-0/corrige 1. x varie dans l intervalle I = [0; ].. J exprime en fonction de x les aires des triangles ADM, BMN et CDN : AD AM A ADM = = x = x BM BN A BMN = = ( x)x = x x = x 0,x

9 CD CN A CDN = J en déduis l expression de l aire du triangle MND en fonction de x : A MND = A ABCD (A ADM + A BMN + A CDN ) = (x + x 0,x + 18 x) = ( 0,x + x + 18) = + 0,x x 18 = 0,x x Soit f la fonction définie sur I par f(x) = 1 x x+18. a) Allure de la courbe représentative de f sur I : La fonction f semble atteindre son minimum sur I lorsque x =. On peut donc conjecturer que l aire du triangle MND est minimale lorsque M est le point de [AB] tel que AM =, c est-à-dire lorsque M est le milieu de [AB]. b) Pour tout x appartenant à I : f(x) f() = 0,x x + 18 (0, + 18) = 0,x x , (x ) = 0,x x +, = x x + = x x + 9 = 0,x x +, d où f(x) f() = (x ) c) Un carré est un réel positif donc, pour tout x appartenant à I, 0 donc f(x) f() 0 d où (x ) f(x) f(). Ainsi, f atteint son minimum sur I lorsque x =, ce qui permet de valider la conjecture émise à la question a. 1. En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles ADM, BM N et CDN respectivement rectangles en A, B et C, on obtient : DM = AD + AM = + x = x + ( x) = = ( x) = 18 x DN = CN + DC = ( x) + = x + x +. = x 1x + 7 MN = BM + BN = ( x) + x = x + x + x = x 1x +. a) x + = x 1x + 7 = x + 7 1x = 7 1x = x = 1 x = Conclusion : S = {}. b) x 1x + 7 = x 1x + x + 7 = x + x x = 7 x = x = x = ou x = Conclusion : S = { ; }. c) x + = x 1x + x = x 1x x x + 1x = 0 x + 1x = 0 x( x + 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 x = 0 ou x = x = 0 ou x = 1 Conclusion : S = {0; 1}.. Le triangle MND est isocèle en M si, et seulement si, MD = MN donc si, et seulement si, x + = x 1x + donc si, et seulement si, x = 0 (la solution x = 1 n est pas retenue car 1 n appartient pas à I), c est-à-dire si, et seulement si, M est en A. En raisonnant de même, on montre que le triangle MND est isocèle en N si, et seulement si, x =, c està-dire si, et seulement si, M est en B et isocèle en D si, et seulement si, x =, c est-à-dire si, et seulement si, M est le milieu de [AB]. Par conséquent, on peut affirmer que le triangle MND n est jamais équilatéral. Exercice 7 /Fonctions-Généralités/exo-07/corrige 1. Je détermine graphiquement l ensemble solution de chacune des équations et inéquations données : a) f(x) =. S = {0; } b) f(x) 1. S = [; ] c) f(x) > g(x). S =]0; [ d) f(x) g(x). S = [ ; 0] [; ]. Je résous par le calcul l équation f(x) = g(x). f(x) = g(x) x + x + = x + x + x + + x = 0 x + x = 0 x( x + ) = 0

10 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. f(x) = g(x) x = 0 ou x + = 0 x = 0 ou x = x = 0 ou x = Conclusion : S = {0; }. Exercice 8 /Fonctions-Généralités/exo-09/corrige 1. Les solutions de l équation f(x) = 1 sont les abscisses des points de C f qui ont une ordonnée égale à 1. On en déduit que S = {1; }.. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection de C f et C g. On en déduit que S = {0; 7}.. Les solutions de l inéquation f(x) > g(x) sont les abscisses des points de C f situés strictement au-dessus de C g. On en déduit que S =]0; 7[.. Les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les abscisses des points de C f situés en dessous de C g. On en déduit que S = [; 0] [7; 8]. Conclusion : L équation f(x) = g(x) admet exactement deux solutions : 0 et 7. Ce résultat confirme la lecture graphique réalisée à la question de la première partie. Exercice 9 /Fonctions-Généralités/exo-07/corrige 1. Je calcule l image de par f : ã f = ã = 8 9 = 8 ã = 9 9 ã = 1 9 Conclusion : L image de par f est égale à 1 ã. 9. Tableau de valeurs de f : x f(x) 9 7. Allure de la courbe représentative de la fonction f : ã 1. g = ã = = = 19 9 Conclusion : L image de 19 par g est 9.. Déterminer les antécédents de 0 par f revient à résoudre l équation f(x) = 0. f(x) = 0 1 (x ) = 0 (x ) = 0 [ (x )][ + (x )] = 0 ( x + )( + x ) = 0 (7 x)(x + 1) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. f(x) = 0 7 x = 0 ou x + 1 = 0 x = 7 ou x = x = 7 ou x = Conclusion : 0 admet exactement deux antécédents par f : et 7.. f(x) = g(x) 1 (x ) = x 8x (x x + 9) = x 8x x + x 9 = x 8x + 7 x + x + 7 = x 8x + 7 x + x = x 8x x + x x + 8x = 0 x + 1x = 0 x(x 7) = 0 x = 0 ou x 7 = 0 x = 0 ou x = ,,. Les solutions de l équation f(x) = sont les abscisses des points de la courbe représentative de f qui ont une ordonnée égale à. Sur le graphique, on lit deux solutions :, et,. Exercice /Fonctions-Généralités/exo-9/corrige 1. L image de par g est g() =.. Les antécédents de ( ) par g sont () et.. L ensemble des solutions de l inéquation g(x) est [1; ].. L ensemble des solutions de l inéquation g(x) < est [; 0[ ]; ].. Le maximum de g sur [; ] est 7 et ce maximum est atteint en x =.. Tableau de variations de g :

11 x Var. g 1. Calcul de l image de g ã = ã ã + = = par g : ã + 9 b) La valeur totale des deux morceaux est donnée, en euros, par : x + ( x) = x + x + x = x 0x + 0. a) Quelles que soient les masses des deux morceaux, le propriétaire de la pierre «okaré» est perdant car, en un seul morceau, elle vaut 0e et 0 est le maximum de f sur [0; ]. b) Ce qu il peut arriver de pire au propriétaire de cette pierre de grammes est qu elle se brise en deux morceaux pesant grammes chacun car f atteint son minimum sur [0; ] lorsque x =. Exercice 1 /Fonctions-Généralités/exo-078/corrige = 1 9. Pour tout x appartenant à [; ] : g() g(x) = ( + + ) ( x + x + ) = ( ) + x x = 7 + x x = x x + = (x ) ce qu il fallait démontrer.. Pour tout x appartenant à [; ], (x ) 0 (car un carré est un réel positif) donc g() g(x) 0 d où g() g(x). Par conséquent, g atteint son maximum sur [; ] lorsque x =, ce qui valide la réponse obtenue graphiquement à la question de la première partie. Exercice 11 /Fonctions-Généralités/exo-8/corrige 1. Tableau de valeurs de f : x 0 1 f(x) x f(x) Les paramètres de la fenêtre d affichage de la calculatrice sont les suivants : x min = 0 x max = y min = 0 y max = 0. Tableau de variations obtenu par lecture graphique : x Var. f Si le plus gros des deux morceaux pèse 8 grammes alors l autre pèse 8 = grammes et la valeur totale des deux morceaux est 8e car 8 + = + = 8.. a) Une masse est un réel positif et la masse d un morceau ne peut dépasser la masse initiale de la pierre. De plus, lorsque la pierre se brise en deux morceaux, aucun des deux morceaux n a une masse nulle ou égale à la masse initiale de la pierre donc x varie dans l intervalle ]0; [. Si x désigne la masse, en grammes, du premier morceau alors la masse du second est ( x) grammes. 1. Tableau de variations de la fonction f obtenu par lecture graphique : x Var. f 9. < 7 < 8 < 7 et f est strictement décroissante sur ã ã 7 8 [; 7] donc f > f. En effet, une fonction strictement décroissante sur un intervalle est une fonction qui renverse l ordre sur cet intervalle.. Non, on ne peut comparer les réels f(a) et f(b) sous ces conditions car la fonction f n est ni croissante, ni décroissante sur l intervalle [0; ] (on dit qu elle n est pas monotone sur cet intervalle) En effet, f est strictement croissante sur [0; ] et strictement décroissante sur [; ].. Tableau complété : L ensemble de définition de f est [ ; 7] L image de par g est g() = f() = 7 Les solutions de f(x) = 1 sont 1 et Les antécédents de 7 par f sont et L ensemble solution de f(x) 1 [ ; 0] [; 7] L ensemble solution de f(x) > ] ; [ g(x) La valeur de x pour laquelle f atteint son maximum sur [ ; 7] est Le maximum de f sur [ ; 7] est 1 Le couple de coordonnées du (0; ) point d intersection de C g avec l axe des ordonnées est 1. Je calcule f ã :

12 f ã = + ã = = 9 + = 9 + ã + 1 Conclusion : L équation 1 (x ) = 0 admet exactement deux solutions dans R : et. d) Je factorise (x + )( x) (x + ) : (x + )( x) (x + ) = (x + )( x) (x + ) 1 = (x + )[( x) 1] = (x + )( x) = 1 f ã donc le point A de coordonnées ã ; n appartient pas à la courbe C f.. a) Je développe, réduis et ordonne 1 (x ) : 1 (x ) = 1 (x x + ) = 1 (x x + ) = 1 x + x = x + x + 1 b) Je factorise 1 (x ) : 1 (x ) = (x ) = [ + (x )][ (x )] = ( + x )( x + ) = (x + )( x) c) Je résous l équation 1 (x ) = 0 : 1 (x ) = 0 (x + )( x) = 0 Règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l un au moins des facteurs est nul. 1 (x ) = 0 x + = 0 ou x = 0 x = ou x = x = ou x =. Rechercher les antécédents par f du nombre 0 revient à résoudre l équation f(x) = 0. f(x) = 0 x + x + 1 = 0 1 (x ) = 0 (x + )( x) = 0 x = ou x = d après a d après b d après c Conclusion : 0 admet exactement deux antécédents par f : et.. Je résous algébriquement l équation f(x) = g(x) : f(x) = g(x) (x + )( x) = x + (x + )( x) (x + ) = 0 (x + )( x) = 0 d après d x + = 0 ou x = 0 x = ou x = x = ou x = Conclusion : L équation f(x) = g(x) admet exactement deux solutions : et. Remarque : On peut vérifier graphiquement que les résultats obtenus dans cette question sont plausibles. En effet, les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des courbes C f et C g.