1 Transformées de Fourier

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1 Université de Cergy-Pontoise Physique quantique II S6 - P/PS C. Pinettes Transformées de Fourier «Fonction» δ de Dirac Ce document rappelle les définitions et résultats utilisés dans le cours de Physique Quantique concernant les transformées de Fourier et la «fonction» δ de Dirac. Transformées de Fourier. Définitions Soit f(x) une fonction à variables complexes définie sur R. On définit la transformée de Fourier de f(x), g(k), par la relation : g(k) = 2π e ikx f(x) dx On montrera au 2.4 que l on a alors la transformation de Fourier inverse : f(x) = 2π e ikx g(k) dk En physique, x désigne une position et k un vecteur d onde (homogène à l inverse d une longueur). Evidemment, nous supposons que ces intégrales existent, c est à dire que les fonctions f(x) et g(k) sont «suffisamment» régulières, ce qui sera le cas en général en physique. Remarque : Les conventions utilisées pour définir les transformées de Fourier ne sont pas universelles. On peut, par exemple, définir les transformées de Fourier par les relations : f(x) = e ikx g(k)dk g(k) = e ikx f(x)dx 2π mais on préférera la définition précédente, plus symétrique et donc plus facile à mémoriser. D autre part, on pourra noter que les intégrales de Fourier peuvent être vues comme limites de séries de Fourier (voir par exemple l appendice I du Cohen-Tannoudji).

2 .2 Les transformées de Fourier en mécanique quantique En mécanique quantique, on s intéresse aux fonctions d ondes ψ(x) (à une dimension), x étant la position et à leurs transformées de Fourier ψ(p), p étant la quantité de mouvement : ψ(p) = e ipx/ ψ(x) dx () ψ(x) = e ipx/ ψ(p) dp (2) Pour obtenir ces relations, on a fait le changement de variable p = k et pris : ψ(p) = g(k) = g(p/ ), convention qui permet de garder des relations symétriques..3 Propriétés des TF Théorème de Parseval-Plancherel ϕ (x) ψ(x) dx = ϕ (p) ψ(p) dp (3) et en particulier : ψ(x) 2 dx = ψ(p) 2 dp la T.F. conserve la norme. Démonstration : Relation d incertitude dx ϕ (x) ψ(x) = = = dx ϕ + (x) dp e ipx/ ψ(p) dp ψ(p) + dx e ipx/ ϕ (x) dp ψ(p) ϕ (p) Si ψ(x) est une fonction d onde normalisée, alors d après Parseval-Plancherel, sa TF ψ(p) l est aussi : ψ(x) 2 et ψ(p) 2 décrivent alors des lois de probabilité et on peut définir les valeurs moyennes : < x >= x ψ(x) 2 dx < p >= 2 p ψ(p) 2 dp

3 et les écarts-types de ces lois de probabilité : x = < x 2 > < x > 2 p = < p 2 > < p > 2 On peut alors montrer (on l admettra) que les écarts-types x et p des lois de probabilités ψ(x) 2 et ψ(p) 2 vérifient l inégalité suivante : x p 2 (4) C est la relation d incertitude, bien connue en mécanique quantique. Donc, si la fonction ψ(x) 2 est piquée ( x faible), alors sa transformée de Fourier ψ(p) 2 est étalée ( p grand) et vice-versa. Remarque : On verra au suivant que si ψ(x) 2 est une gaussienne, on a l égalité : x p = 2. On peut montrer que l on n a l égalité que pour les distributions gaussiennes..4 Deux exemples : la fonction créneau et la gaussienne TF de la fonction créneau Considérons la fonction créneau ψ(x) représentée ci-dessous et calculons sa TF. /a ψ(x) a/2 0 a/2 x On a : ψ(p) = ψ(x) e i px a/2 dx = e i px dx = a a/2 a [ px ip e i ] a/2 a/2 Soit : ψ(p) = sin pa 2 pa 2 On a donc : ψ(x) = a si a/2 x a/2 et 0 sinon ψ(p) = sinc pa 2 (5) 3

4 TF d une gaussienne On veut montrer que : - la TF d une gaussienne est une gaussienne. - si ψ(x) 2 est une gaussienne normée, alors on a x p = 2. On choisit la fonction d onde ψ(x) telle que ψ(x) 2 est une gaussienne normée : ψ(x) = x 2 e 4σ 2 x 2 2σ 2 ψ(x) 2 = e 2π σ 2π σ ψ(x) 2 est bien une gaussienne normée d écart-type x = σ (cf cours de méca. stat.). On remarquera que ψ(x) est aussi une gaussienne (mais pas normée et d écart-type 2σ). La transformée de Fourier de ψ(x) s écrit alors : avec A = / 2πσ. ψ(p) = e ipx/ A e x2 4σ 2 On peut calculer la TF de deux façons : en calculant directement l intégrale de Fourier dans le plan complexe ou en se ramenant à la résolution d une équation différentielle. dx Méthode : Intégration dans le plan complexe Pour calculer ψ(p), on commence par compléter le carré dans l exponentielle : ψ(p) = A e p2 σ 2 / 2 e ( x 2σ +i pσ )2 dx Puis on fait le changement de variable u = x 2σ : ψ(p) = 2Aσ e p2 σ 2 / 2 e (u+i pσ )2 du Considérons le contour rectangulaire Γ indiqué ci-dessous : y Γ3 pσ/h Γ 4 Γ 2 R 0 Γ R x L intégrale que l on cherche à calculer est égale à : +R e (x+i pσ )2 dx = lim R + R e (x+i pσ )2 dx = lim e z2 dz R + Γ 3 car sur Γ 3, z = x + ipσ/, avec x variant de R à R. 4

5 Or, d après le théorème des résidus : e z2 dz = Γ Γ + Γ 2 + Γ 3 + Γ 4 = 0 Sur les côtés Γ 2 et Γ 4, on a z = ±R + iy avec y [0, pσ/ ]. Donc : e z2 = e (±R+iy)2 = e (R2 y 2) e 2iRy = e R2 e y2 R + 0 car e y2 est bornée pour y [0, pσ/ ]. Donc Γ 2 R + 0 et Γ 4 On a donc : 0. R + R e (x+i pσ )2 dx = lim e z2 dz = lim e x2 dx = R + Γ R + R e x2 dx = I (6) On peut utiliser les tables des intégrales gaussiennes pour obtenir I, mais c est une intégrale facile à retrouver. L astuce, c est de calculer I 2 par les coordonnées polaires : I 2 = e x2 dx e y2 dy = e x2 y 2 dx dy = 2π 0 dθ 0 dr r e r2 = π donc : I = e x2 dx = π (7) Finalement, on trouve : ψ(p) = 2Aσ ( I e p2 σ 2 / 2σ 2 ) /4 2 = e p2σ2 / 2 π 2 Méthode 2 : Equation différentielle On remarquera d abord que ψ(x) vérifie l équation différentielle : ψ (x) + x 2σ 2 ψ(x) = 0. On va donc chercher une équation du même type en calculant ψ (p) : ψ (p) = i/ x e ipx/ A e x2 4σ 2 dx que l on peut calculer par intégration par parties : x e ipx/ e x2 4σ 2 dx = 2 σ 2 [ e ipx/ e x2 4σ 2 ] + = 2 i p σ2 e ipx/ e x2 4σ 2 2 i p σ2 dx e ipx/ e x2 4σ 2 dx 5

6 On obtient donc : ψ (p) = 2 p σ2 2 e ipx/ A e x2 4σ 2 dx = 2 p σ2 2 ψ(p) ψ(p) vérifie donc l équation différentielle suivante : ψ (p) = 2 p σ2 2 ψ(p) Equation différentielle que l on résout sans difficulté : ψ(p) = ψ(0) e p2 σ 2 / 2. Reste à calculer ψ(0). Un changement de variable évident donne : ψ(0) = A e x2 4σ 2 dx = 2Aσ e u2 du = 2Aσ I Or, d après (7) : I = π, donc : ψ(0) = ( 2σ 2 π 2 ) /4 ψ(p) ( 2σ 2 ) /4 = e π 2 p2 σ2 / 2 Conclusion : ψ(x) = x 2 e 4σ 2 ψ(p) ( 2σ 2 ) /4 = e 2π σ π 2 p2 σ2 / 2 (8) ψ(p) est bien une gaussienne : la TF d une gaussienne est donc une gaussienne. On peut vérifier sans difficulté que ψ(p) 2 est bien normée (Parseval-Plancherel). Et on vérifie bien la relation d incertitude (4) puisque ψ(x) 2 est une gaussienne d écart-type x = σ et ψ(p) 2 une gaussienne d écart-type p = /(2σ) x p = /2. si le pic de ψ(x) 2 est étroit, le pic de ψ(p) 2 est large et vice-versa. Attention : ψ(x) est une gaussienne d écart-type x = 2σ et ψ(p) une gaussienne d écart-type p = /( 2σ) x p = /2. Cela vient de ce que ψ(x) et ψ(p) ne sont pas des lois de probabilités car ψ(x)dx et ψ(p)dp. On peut aussi calculer de la même façon la TF d une gaussienne normée et on obtient sans difficulté : x 2 2σ 2 ψ(x) = e ψ(p) = e p2 σ 2 2π σ 2 2 (9) 6

7 .5 Généralisation à 3 dimensions Les définitions des TF se généralisent sans difficulté à 3d : ψ( r) = e i p. r/ ψ( p) d 3 p (0) () 3/2 R 3 Parseval-Plancherel : Relations d incertitude : ψ( p) = e i p. r/ ψ( r) d 3 r () () 3/2 R 3 R 3 R 3 ϕ ( r) ψ( r) d 3 r = ϕ ( p) ψ( p) d 3 p (2) x p x 2 y p y 2 z p z 2 (3) Les valeurs moyennes étant données par : < x >= x ψ( r) 2 d 3 r R 3 < p x >= p x ψ( p) 2 d 3 p R 3 2 «Fonction» δ de Dirac 2. Définition Considérons la fonction créneau x 0 (x) représentée ci-dessous, avec ɛ > 0 : / ε (ε) δ x 0 (x) 0 x ε x 0 x+ ε 0 /2 0 /2 x Calculons l intégrale suivante, ψ(x) étant une fonction d onde quelconque (càd en pratique une fonction complexe sur R de carré sommable) : x 0 (x) ψ(x) dx = ɛ 7 x0 +ɛ/2 x 0 ɛ/2 ψ(x) dx

8 Dans la limite ɛ 0, on peut développer ψ(x) au voisinage de x 0 dans l intervalle [x 0 ɛ/2, x 0 + ɛ/2] : On a donc : lim x 0 (x) ψ(x) dx lim = lim ɛ x0 +ɛ/2 x 0 ɛ/2 [ψ(x 0 ) + (x x 0 )ψ (x 0 ) +...] dx = lim ɛ [ɛψ(x 0) + O(ɛ 2 )] = lim [ψ(x 0 ) + O(ɛ)] = ψ(x 0 ) x 0 (x) ψ(x) dx = ψ(x 0 ) (4) Bien que x 0 (x) diverge en x = x 0 lorsque ɛ 0, l intégrale (4) est bien définie. On définit alors la «fonction» δ(x x 0 ) par la relation : valable pour toute fonction ψ(x) définie en x 0. δ(x x 0 ) ψ(x) dx = ψ(x 0 ) (5) Cette relation est une écriture symbolique et doit être vue comme résultant de la limite de l équation (4). On dira que la fonction δ x (ɛ) 0 (x) «tend» vers δ(x x 0 ) lorsque ɛ 0, dans le sens que les intégrales (4) et (5) tendent vers la même valeur ψ(x 0 ). On verra plus loin que la relation (5) est très commode, car elle permet de faire des calculs d intégrales sans avoir à expliciter les limites. En particulier, l équation (5) donne pour la fonction ψ(x) = partout : et pour x 0 = 0 : δ(x x 0 ) dx = (6) δ(x) ψ(x) dx = ψ(0) δ(x) dx = (7) Remarque : On remarquera que si δ x (ɛ) 0 (x) est bien une fonction, sa limite lorsque ɛ 0 n est pas une fonction (elle diverge!) : δ(x x 0 ) n est donc pas elle-même une fonction mais une distribution et l écriture de l équation (5) n est pas rigoureuse du point de vue des mathématiques. En fait, que δ(x x 0 ) ne soit pas une fonction n est pas essentiel du point de vue de la physique : la seule chose qui compte, c est qu elle permette de simplifier les calculs d intégrales. C est pourquoi en physique, on manipulera δ(x x 0 ) comme une fonction (d où son nom, «fonction» δ). On considérera que δ(x x 0 ) est la fonction créneau δ x (ɛ) 0 (x) (ou une autre fonction δ x (ɛ) 0 (x) «tendant» vers δ) où ɛ est aussi petit que l on veut mais non nul. Cette approche, bien que non rigoureuse mathématiquement, est suffisante en physique et, on le verra, très commode. 8

9 Remarque : δ(x x 0 ) est une généralisation du symbole de Kronecker δ n,n. En particulier, les relations : n δ n,n ψ n = ψ n sont analogues aux équations (5) et (6). 2.2 Fonctions «tendant» vers δ n δ n,n = On peut définir plusieurs fonctions δ x (ɛ) 0 (x) «tendant» vers δ(x x 0 ). Il suffit de choisir une fonction δ x (ɛ) 0 (x) piquée autour de x 0 et d aire égale à, avec un pic, de largeur d ordre ɛ et de hauteur d ordre ɛ. On a vu au paragraphe précédent que l on peut prendre une fonction créneau, mais on peut aussi prendre par exemple la gaussienne suivante : x 0 (x) = 2π ɛ e (x x 0) 2 /(2ɛ 2 ) (8) dont l aire vaut bien et avec un pic en x = x 0 de hauteur /( 2π ɛ) et de largeur 2ɛ (cf cours de méca. stat.). On a alors : lim x 0 (x) ψ(x) dx + = lim 2π ɛ + = lim π = ψ(x 0 ) = ψ(x 0 ) e u2 + du e u2 π e (x x 0) 2 /(2ɛ 2) ψ(x) dx ψ(x 0 + 2ɛu) du d après (7). Lorsque ɛ 0, x 0 (x) «tend» bien vers δ(x x 0 ). Il existe d autres fonctions x 0 (x) «tendant» vers δ(x x 0 ) (voir par exemple l appendice II du Cohen-Tannoudji). 2.3 Propriétés de δ δ(x) = δ( x) Démonstration : δ( x) ψ(x) dx = δ(x) ψ( x) dx = + δ(x) ψ( x) dx = ψ(0), ψ 9

10 δ(x) = δ (x) Démonstration : [ δ (x) ψ(x) dx = δ(x) ψ (x) dx] = [ψ (0)] = ψ(0), ψ δ(x) = e ipx/ dp = e ipx/ dp (9) Calculons l intégrale suivante en remarquant qu elle est égale à la limite d une autre intégrale : e ipx/ dp = lim e ipx/ e p2 ɛ 2 /(2 2) dp En complétant le carré dans l exponentielle, on a : e ipx/ dp = lim = lim e x2/(2ɛ2) 2 /ɛ e x2 /(2ɛ2 ) ( pɛ i e x ) 2 2 2ɛ dp e (u i x 2ɛ ) 2 du En prenant un contour semblable à celui de l intégrale (6), on obtient : e ipx/ dp = lim e x2 /(2ɛ 2 ) 2πɛ e u2 du = lim e x2 /(2ɛ 2 ) 2π ɛ d après (7), soit : e ipx/ dp = lim 0 (x) = δ(x) avec la fonction gaussienne 0 (x) (8). On obtient bien la relation (9). Plus généralement, on a donc : δ(x x 0 ) = e ip(x x 0)/ dp = e ip(x x 0)/ dp (20) Attention, cette écriture n est pas rigoureuse mathématiquement (l intégrale diverge!). Cette relation doit être utilisée à l intérieur d une intégrale sur x, comme par exemple : dx ψ(x) δ(x x 0 ) = dx ψ(x) e ip(x x 0)/ dp On verra que la relation (20), comme la relation (5), sont très commodes pour les calculs d intégrales (cf. 2.4). 0

11 Remarque : On aurait pu utiliser directement les TF des fonctions créneau ou gaussienne du.4 pour obtenir la relation (9). Par exemple, en prenant la fonction créneau δ x (ɛ) 0 (x) du 2. et en utilisant (5), on a : 0 (x) = dp Et on obtient directement la relation (9) : δ(x) = lim 0 (x) = δ (ɛ) 0 (p) e i px = dp e i px ( lim sinc pɛ ) 2 dp e i px = sinc pɛ 2 e ipx/ dp Remarque : Il y a d autres propriétés de la «fontion» δ que nous n avons pas abordées ici (voir par exemple appendice II du Cohen-Tannoudji). 2.4 Transformée de Fourier inverse La transformation de Fourier inverse (éq. (2)) se démontre simplement à l aide de la «fonction» δ. En remplaçant ψ(p) par sa définition () : + dp e ipx/ ψ(p) = En utilisant (20) puis (5) : = dp e ipx/ dx e ipx / ψ(x ) dx ψ(x ) dp e ip(x x )/ + dp e ipx/ ψ(p) = dx ψ(x ) δ(x x ) = ψ(x) On retrouve bien la transformation de Fourier inverse (2). 2.5 Transformée de Fourier de δ La transformée de Fourier δ x0 (p) de la «fonction» δ(x x 0 ) vaut, d après la définition () : Donc d après (5) : Et en particulier : δ x0 (p) = dx e ipx/ δ(x x 0 ) δ x0 (p) = e ipx 0/ δ 0 (p) =

12 2.6 Généralisation à 3 dimensions On peut généraliser sans difficulté la «fonction» δ à 3d en coordonnées cartésiennes, en posant : δ( r r 0 ) = δ(x x 0 ) δ(y y 0 ) δ(z z 0 ) On a alors : R 3 δ( r r 0 ) ψ( r) d 3 r = ψ( r 0 ) (2) δ( r r 0 ) = () 3 R 3 e i p.( r r 0)/ d 3 p = () 3 R 3 e i p.( r r 0)/ d 3 p (22) δ r0 ( p) = () 3/2 e i p. r 0/ (23) 2.7 La «fonction» δ en mécanique quantique Pour une base discrète { u n }, la relation d orthonormalisation s écrit : u n u n = δ n,n Tout ket ψ se développe alors dans cette base selon : ψ = n c n u n avec c n = u n ψ = composante du ket ψ sur le ket de base u n. Pour une base continue { r }, on écrira la relation d orthonormalisation : r r = δ( r r ) Tout ket ψ se développe alors dans la base { r } suivant : ψ = d 3 r ψ( r) r R 3 avec ψ( r) = composante du ket ψ sur le ket de base r : la fonction d onde ψ( r) est donc la représentation { r } du ket ψ. On a alors : r ψ = d 3 r ψ( r ) r r = R 3 d 3 r ψ( r ) δ( r r ) = ψ( r) R 3 analogue à la relation u n ψ = c n. 2

13 Par ailleurs, soit un autre ket ϕ : ϕ = d 3 r ϕ( r) r R 3 Le produit scalaire entre les deux kets s écrit alors : ϕ ψ = d 3 r d 3 r ϕ ( r) ψ( r ) r r = d 3 r d 3 r ϕ ( r) ψ( r ) δ( r r ) R 3 R 3 R 3 R 3 = d 3 r ϕ ( r) ψ( r) R 3 On retrouve bien le produit scalaire de la mécanique quantique ondulatoire. Ainsi, la «fonction» δ permet de définir un produit scalaire en mécanique quantique. 3