10 Mouvement brownien II

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1 Mouvement brownien II Exercice. (Condition de cône extérieur). Soit Ω un ouvert de d. On dit que Ω satisfait la condition de cône extérieur si pour tout x Ω, il existe un r > et un cône ouvert de révolution C de sommet x tel que Ω C B(x, r). Montrer qu un ouvert Ω qui satisfait la condition de cône extérieur et régulier au sens où pour tout x Ω on a inf{t > : B x t / Ω}. Correction : Voir preuve du Lemme dans le poly de Jean-François Le Gall. Exercice.2 (Zéros du mouvement brownien). Soit B (B t, t ) un mouvement brownien réel que l on suppose continu pour tout ω.. Montrer que l application ϕ : Ω + {, } (ω, t) Bt (ω) est mesurable lorsque l on munit Ω + de la tribu ( + ). Indication: on pourra considerer les ensembles de la forme E a,b {ω Ω t ]a, b[, B t (ω) } pour tous a < b, et montrer qu ils sont dans. 2. Soit {t B t }, l ensemble des zéros du mouvement brownien. Montrer que p.s. est fermé, non borné, de mesure de Lebesgue nulle et sans point isolé. Indication: pour montrer cette dernière propriété, on pourra considérer les temps d arrêt d q inf{t q B t } pour q +, montrer que pour tout q, p.s., d q <, et montrer dans un premier temps que ces éléments particuliers de ne sont pas isolés p.s. Correction :. Il suffit de montrer que ϕ ({}) ( + ). Pour cela on remarque que ϕ ({}) {(ω, t) Ω + B t (ω) } {ω Ω t ]a, b[, B t (ω) } ]a, b[ a<b + car à ω fixé, {t + B t (ω) } est un ouvert de + (par continuité de B). Il suffit donc de montrer que pour tous a < b +, E a,b {ω Ω t ]a, b[, B t (ω) }

2 est dans. Or on a E a,b {ω Ω t [a + /n, b /n], B t (ω) } n {ω Ω t [a + /n, b /n], B t (ω) p } n p {ω Ω t [a + /n, b /n], B t (ω) p } n p {ω Ω B t (ω) p }. n p t [a+/n,b /n] On a utilisé la continuité de t B t (ω) d abord pour se ramener à des intervalles compacts [a + /n, b /n], puis pour affirmer que si B t (ω) > sur [a + /n, b /n] il existe p(ω) tel que B t (ω) /p(ω) sur [a+/n, b /n] par compacité de [a+/n, b /n], et enfin pour se restreindre à des valeurs de t dans. Ceci achève la démonstration de.. 2. Pour tout ω Ω, la fonction t B t (ω) est continue ce qui implique que (ω) est fermé. De plus, on sait que p.s. lim sup B t + et lim inf B t et t B t continu t t ce qui implique que est p.s. non borné. Notons M λ( ) la mesure de Lebesgue de. On a, d après le théorème de Fubini (on peut bien l appliquer grâce à la question.), (M) {Bt (ω)} d t {Bt (ω)} d(ω) (B t )d t, d(ω) d t car pour tout t, la loi de B t n a pas d atome en. La variable aléatoire M étant positive, cela implique que M p.s. c est à dire que est de mesure de Lebesgue nulle p.s.. Enfin, montrons que n a pas de point isolé. Pour q +, posons d q inf{t q B t }. Le point d q est un élément de, pour tout q +, et d q est un temps d arrêt. De plus, pour tout q +, d q est fini p.s. car lim sup B + et lim inf B. Par la propriété de Markov 2

3 forte appliquée en d q (donc pas besoin du conditionnement par d q < ici), on sait que le processus (B t ) t défini par B t Bdq +t B dq B dq +t si d q < sinon est un mouvement brownien issu de. On a alors inf{t > d q B t } d q inf{t > B t+dq B dq } inf{t > B t }, car on sait d après le cours que p.s., pour tout ɛ >, sup [,ɛ] B > et inf [,ɛ] B <, donc par continuité p.s. du mouvement brownien, inf{t > B t } p.s. Ainsi, p.s., d q n est pas isolé puis p.s., pour tout q +, d q n est pas isolé. Pour ω Ω, considérons T(ω) (ω) {d q (ω), q + } et une suite de rationnels (r n ) n telle que r n T(ω) quand n. Ainsi, pour tout n, r n d rn (ω) < T(ω) ce qui implique que d rn (ω) T(ω) quand n. Donc T(ω) n est pas isolé, et ainsi, p.s., n a pas de point isolé. Exercice.3 (Loi de l arcsinus). On définit d inf{t B t } et g sup{t B t }.. Montrer que d est un temps d arrêt mais pas g. 2. On veut calculer la densité de la loi de d. (a) Montrer que pour tout t, on a où pour tout x on a posé [d t] [g(b )], g(x) ( sup s [,t ] B s x ) avec B un mouvement brownien issu de et indépendant de. (b) Montrer que N d + ˆN 2 en loi, où N et ˆN sont des gaussiennes centrées réduites indépendantes. (c) En déduire la densité de la loi de d. 3. Montrer que g (d ) en loi. En déduire la densité de la loi de g (la loi de g s appelle la loi de l arcsinus). Correction : 3

4 . Pour d c est facile. En revanche g n est pas un temps d arrêt car il donne de l information sur le futur. 2. (a) Pour tout t, on a (d t) ( s [, t] B s ) ( s [, t ] B +s B B ) ( s [, t ] B s B ), où par la propriété de Markov faible on sait que B est un mouvement brownien issu de, indépendant de. On en déduit que (d t) ( { s [,t ] B s B } ) (g(b )), où pour tout x on a g(x) ( s [, t ] B s x) (sups [,t ] B s x) si x < (inf s [,t ] B s x) (sup s [,t ] B s x) si x (car B B en loi) sup B s x s [,t ]. On a utilisé la même propriété de l espérance conditionnelle que dans l exercice, et on a utilisé le fait que B est continu p.s. (b) En appliquant le changement d échelle de paramètre γ t à B, i.e. en remarquant que (ˆB s ) s (B (t )s / t ) s est un mouvement brownien (toujours indépendant de ), et en notant Ŝ u sup s [,u] ˆB s on obtient g(x) ( sup s [,t ] ( sup s [,] ( sup ( s [,] B s x ) B (t )s x ) t (B (t )s / t ) x ) t sup ˆB s x ) s [,] ( t Ŝ x ) On note en passant que Ŝ est indépendant de, donc de B. On en déduit, en notant 4

5 génériquement P Z la loi de Z, que (d t) g(x) d P B (x) [{ t Ŝ x } ] d P B (x) { t Ŝ x } d P B (x) [[ { t Ŝ B } Ŝ ]] [ t Ŝ B ]. On remarque que Ŝ et B sont des variables indépendantes (on l a d ailleurs utilisé pour faire apparaître le conditionnement). De plus on a l égalité en loi Ŝ ˆB, donc Ŝ et B sont égales en loi, de même loi que la valeur absolue d une gaussienne centrée réduite. En notant N et ˆN deux gaussiennes centrées réduites indépendantes, on en déduit que [d t] [ t ˆN N ] [ + N 2 / ˆN 2 t]. Cela montre que d a la loi de + (N/ ˆN) 2 où N et ˆN sont deux gaussiennes centrées réduites indépendantes. (c) Calculons la densité de cette loi par rapport à la mesure de Lebesgue. Pour tout fonction f : + + mesurable bornée, on a + + (f (d )) 2π f + n2 e n2 +p 2 2 dnd p 3. On a, p.s., 4 4 n p + + n p + + u + u + u p f (u) π u 2π f p 2 + n2 p 2 p f (u) 4π u e + p f (u) πu u du. pe up2 2 d p e n2 +p 2 2 dnd p up 2 2 dud p La loi de d a donc pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue u πu u {u>}. g sup{t B t } inf{u B /u } inf{t tb /t }. du 5

6 Puisque (X t ) t défini par X et X t tb /t pour t > est un mouvement brownien (résultat du cours), cela implique que g a la même loi que (d ). Alors pour toute fonction f : + + mesurable bornée, on a (f (g )) f x πx x d x f (y) π d y, y( y) la loi de g a donc pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue y π {<y<}. y( y) Exercice.4.. Soient X et Z deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans S, la sphère unité. Montrer que si Z suit la loi uniforme sur S, alors X Z suit la même loi que Z et est indépendant de X. 2. Soit (B t ) t un mouvement brownien et T un temps d arrêt fini. Soit U une variable aléatoire strictement positive T -mesurable. Montrer que (B T t )(U) t U BT U 2 t est un mouvement brownien indépendant de T (et donc aussi de U). On rappelle que B T t B T+t B T. Correction : Bureau V4. Exercice.5 (Maxima locaux du mouvement brownien). Soient p, q, r, s + tels que p < q < r < s. Montrer que t sup B t sup B t. p t q r t s En déduire que p.s. les maxima locaux de la fonction t B t sont distincts. Correction : Bureau V4. Exercice.6 (B t a et B t > a). Montrer que pour tout a >, p.s., on a inf{t B t a} inf{t B t > a}. Correction : Bureau V4. 6