TRIGONOMÉTRIE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

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1 TRIGONOMÉTRIE Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako I Construction d angles : (manipulations du matériel de géométrie) ) Activité : a) Construisez un triangle C rectangle en A à l aide de la règle et l équerre b) Construisez un triangle EFG isocèle à l aide de la règle et le compas c) Construisez un triangle EFG isocèle à l aide de la règle et le rapporteur d) Construisez un triangle IJK équilatéral à l aide de la règle et le compas e) Construisez un triangle IJK équilatéral à l aide de la règle et le rapporteur Réponses : a) Règle et Équerre b) Règle et Compas c) Règle et rapporteur d) Règle et compas e) Règle et rapporteur Trigonométrie 0 ème Page sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique

2 ) Remarque : Dans un triangle la somme des angles intérieurs est égale à 80 II Les Rapports Trigonométriques : Activité : a) Construisez un triangle C rectangle en A tel que : l angle CB ˆ A θ b) Déterminer les rapports trigonométriques sin θ ; cosθ ; tgθ ; cot gθ Réponses : sin θ côté opposé à θ hpothénuse A C côté adjacent à θ cos θ hpothénuse B θˆ côté opposé à θ tg θ côté adjacent à θ côté adjacent à θ cot g θ côté opposé à θ Remarques : sinθ tgθ cosθ et cosθ cot gθ sinθ tgθ III Cercle trigonométrique et Unités de mesures d angles : ) Définition du cercle trigonométrique : Soit le repère orthonormé (O, A, B) du plan. On appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre O et de raon R. B(0;) M( ;) A ( ;0) r θ A(;0) B (0; ) Soit M( ;) un point du cercle trigonométrique. r sinθ et r cosθ Puisque r alors M ( cosθ ; sinθ ) ( ; ) sin θ et cosθ r r sinθ et cosθ donc Trigonométrie 0 ème Page sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique

3 ) Unités de mesures d un angle : La grandeur d un angle est mesurée en degrés ; radians ; et grades. 60 et π rd 400 grs ; 80 π rd 00 grs ; 90 π rd 00 grs. Eemple: Convertissez 0 en radians puis en grades. Table des valeurs de quelques Angles remarquables : Angles 0 0 rd π π π π π π 5π rd rd rd rd rd rd rd π rd Sin Cos tan 0 0 cotg Remarque : IR, cos ; sin. IV- Identités Trigonométriques : ) Relation Fondamentale de la trigonométrie: Activité : a) Construisez un triangle C rectangle en A tel que CB ˆ A α b) Appliquer le théorème de Pthagore au triangle rectangle C c) Déterminez les rapports sinα et cosα d) Eprimez la relation du théorème de Pthagore en fonction de sinα et cosα. Trigonométrie 0 ème Page sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique

4 Réponses : a) b) D après le théorème de Pthagore + c) sin α ; cos α d) On sait que + en divisant chaque terme par on a : + + cos α + sin α. cos α +sin α (Relation fondamentale de la trigonométrie) ) Autres Relations : Nous savons que R sin + cos. Si cos 0 en divisant par cos, cos cos sin + + tg. D où : cos cos cos + tg. cos Si sin 0 en divisant par sin, cos sin sin a + cos a + + cot g sin sin sin sin D où :. cot g sin +. Trigonométrie 0 ème Page 4 sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique

5 ) Angles supplémentaires : (π a) et ( a) Deu angles sont dits supplémentaires si leur somme est égale à π radian ou 80. Activité : Citez en degrés puis en radians trois eemples d angles supplémentaires. B M sin(a) M A cos(a) π a O a cos(a) A cos(π a) cos(a) sin(π a) sin(a) tg(π a) tg(a) B Deu angles s supplémentaires ont même sinus et de cosinus opposés. 4 ) Angles complémentaires : (π/ a) et ( a) π Deu angles sont dits complémentaires si leur somme est égale à radian ou 90. Activité : Citez en degrés puis en radians trois eemples d angles complémentaires. B M sin( π a) M et M sont smétriques par rapport à la ère bissectrice. A sina O π -a a cosa cos( π a) M A Sin( π a) cos(a) Cos( π a) sin(a) Tg( π a) cotg(a) B Deu angles sont complémentaires si le sinus de l un est égal au cosinus de l autre. Remarque : π π a IR, sin + a cos a ; cos + a sin a Trigonométrie 0 ème Page 5 sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique

6 V- Détermination de rapports trigonométriques : ) Si le rapport est un nombre entier de degrés : Une simple lecture de la table trigonométrique ou l utilisation de la calculatrice nous permet de déterminer sa valeur. Activité : A l aide de la table trigonométrique et la calculatrice déterminez : sin8 ; cos 4 ; cos 87 ; sin 7 ; tg66 Réponses: sin 8 0,4695 ; cos 4 0,74 ; cos 87 0,05 ; sin 7 0,956 tg66,460. ) Si le rapport n est pas un nombre entier de degrés : On procède à une interpolation linéaire. Activité : A l aide de la table trigonométrique ou la calculatrice Déterminez Sin6 5 Réponses: On remarque que le rapport ne figure pas sur la table trigonométrique. sin 6 0,484 sin 7 0,4540 sin 6 sin 6 5' sin 7. La différence 0,4540 0,484 0,056 est appelée la différence Tabulaire (D.T) ; Une augmentation de l angle de 60 correspond à une augmentation du sinus de la différence tabulaire. 60' 0,056 5'? 5 0,056 0, Donc sin6 5 0, ,009 0,4475 Activité : Calculez cos7 4 cos 7 0,090 cos7 0,94 DT 0,090 0,94 0,066. Une augmentation de l angle de correspond à une diminution du cosinus de la différence tabulaire D.T 0, ' 0,066 4'? 4 0,066 0, D où cos7 4 0,090 0,008 0,05.. Trigonométrie 0 ème Page 6 sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique

7 ) Détermination d un angle en degrés, minutes et secondes connaissant son Rapport trigonométrique : Activité 4 : Déterminez l angle θ en degrés, minutes et secondes sachant que sin θ 0, 450. sin 4 0,4067 sin 5 0,46 DT 0,46 0,4067 0, θ sin sin 0,4067 0,450 5 sin 0, θ 4 0,46 0,4067 0,059 0,450 0,4067 0,008 0,008 θ 4 0, 50 0,059 D où θ 4 + 0,50 4, 50 0,50 60',' 0, 60' ' 9,0. D où θ 4 '9' '.. Activité 5 : Déterminez l angle α en degrés, minutes et secondes sachant que cos α 0, 645. cos68 0,746 cos69 0,584 DT 0,746 0,584 0,06 68 α cos cos 0,746 0, cos 0, DT 0,06 (0,00) α 68 α 68 0,746 0,645 0,00 0,06 0,64. D où α ,64 68, 64 0,64 60' 7,404' 0,404 60'' 4,4'' ;. D où α 68 7' 4' '. Trigonométrie 0 ème Page 7 sur 7 Adama Traoré Professeur Lcée Technique