Théorie de la Décision et Théorie des Jeux. Marie Laclau 1. Polycopié de cours

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1 Théorie de la Décision et Théorie des Jeux Marie Laclau 1 Polycopié de cours 1. marie.laclau@ens.fr

2 Ces notes sont largement inspirées des notes de cours respectives d Olivier Gossner, Frédéric Koessler et Rida Laraki. Quelques références pour compléter ce cours : - Gibbons, R. Game Theory for Applied Economists. Princeton : Princeton University Press, Myerson, R. B. Game Theory, Analysis of Conflict. Cambridge, Massachusetts : Harvard University Press, Osborne, M.J. An Introduction to Game Theory. Oxford : Oxford University Press, Osborne, M.J. & Rubinstein, A. A Course in Game Theory. Cambridge, Massachusetts : MIT Press, 1994.

3 Table des matières Chapitre 1. Théorie de la décision 5 1. Préférences rationnelles 5 2. Représentation ordinale 6 3. Préférences sur choix incertains 7 4. Axiomes de Von Neumann et Morgenstern 9 5. Utilité espérée Probabilités objectives versus subjectives Aversion au risque 13 Chapitre 2. Jeux sous forme normale I : stratégies pures Description d un jeu sous forme normale Stratégies dominantes et dominées Équilibre de Nash 23 Chapitre 3. Jeux sous forme normale II : stratégies mixtes et jeux à somme nulle Définitions Propriétés de l équilibre de Nash en stratégies mixtes Jeux à deux joueurs 36 Chapitre 4. Information incomplète et jeux Bayésiens Structure d information, connaissance et croyance Jeux Bayésiens Equilibres corrélés et communication 49 Chapitre 5. Jeux sous forme extensive Exemples préliminaires Définitions Forme normale et équilibres de Nash Induction à rebours et équilibre parfait dans les sous-jeux 62 Chapitre 6. Jeux répétés Définitions Jeux répétés à horizon fini Jeux répétés à horizon infini 71 3

4 4 TABLE DES MATIèRES Chapitre 7. Négociation Modèle Négociation à horizon fini Négociation à horizon infini Négociation avec risque de rupture 81

5 CHAPITRE 1 Théorie de la décision La théorie de la décision est l analyse des décisions individuelles : elle modélise le comportement d un agent face à des situations de choix parmi plusieurs alternatives. Nous commençons par définir les préférences d un agent. Puis, nous étudions sous quelles conditions les préférences peuvent être représentées par une fonction à valeurs réelles dite fonction d utilité. Nous introduisons ensuite les préférences sur choix incertains, lorsque l agent doit choisir entre plusieurs possibilités dont le résultat est aléatoire, et nous établissons les conditions nécessaires et suffisantes sur les préférences entre les loteries sous lesquelles un agent se comporte exactement comme s il maximisait l espérance mathématique d une fonction d utilité. Ensuite, nous faisons la distinction entre probabilités objectives et subjectives. Pour finir, nous définissons l aversion au risque d un agent. 1. Préférences rationnelles Soit X un ensemble fini d alternatives. Nous définissons une relation de préférence faible sur X, ainsi que des propriétés simples qui font de une relation de préférence rationnelle. Définition 1. Une relation de préférence faible est une relation binaire sur X, c est-à-dire c est la donnée d un ensemble de paires d éléments (x,y) de X X pour lesquels nous écrivons x y. La relation x y est interprétée par : l agent préfère faiblement x à y. On écrira x y pour dire que x n est pas faiblement préféré à y (ce qui n implique pas que y est faiblement préféré à x). A partir d une relation de préférence faible, on peut définir deux relations et comme suit. Définition 2. (i) On dit que x y si x y et y x, et on lit : l agent est indifférent entre x et y. (ii) On dit que x y si x y et y x, et on lit : l agent préfère strictement x à y. Nous introduisons maintenant deux axiomes que doit vérifier une relation de préférence faible pour être appelée préférence rationnelle. 5

6 6 1. THÉORIE DE LA DÉCISION Définition 3. Complétude : pour tous x et y dans X, au moins une des deux propositions suivantes est vraie : x y ou y x. Transitivité : pour tous x, y et z dans X, si x y et y z, alors x z. La complétude exige que pour tout couple d alternatives (x, y), l agent est toujours capable de dire s il préfère strictement x à y, ou bien s il préfère strictement y à x, ou sinon s il est indifférent entre x et y. On exclut dont les cas où l agent est incapable de comparer entre deux alternatives. La transitivité semble logique à première vue, mais c est axiome doit être utilisé avec précaution. En effet, supposons que vous avez le choix, pour vous rendre à votre travail, entre trois alternatives : la voiture, le bus ou le métro. Si la différence du temps de trajet entre deux moyens de transport est inférieure à 5 minutes, vous privilégiez le moyen de transport le plus confortable, sinon vous choisissez le moyen de transport le plus rapide. Supposons de plus que la voiture est plus confortable que le bus, qui est plus confortable que le métro, et que la durée de trajet est t V = 18min en voiture, t B = 14min en bus, et t M = 10min en métro. Vous préférez donc la voiture au bus car la voiture est plus confortable est que t V t B = 4min < 5min. De même, vous préférez le bus au métro pour les mêmes raisons. Cependant, vous préférez le métro à la voiture car t V t M = 8min > 5min. Ainsi, vos préférences dans cet exemple ne sont pas transitives. Définition 4. Une relation de préférence faible est dite rationnelle si elle est complète et transitive. 2. Représentation ordinale Soit u une fonction à valeurs réelles sur X. On interprète u(x) comme une utilité, ou plaisir, que l agent peut retirer de l alternative x X. On appelle donc u fonction d utilité. Si u est la fonction d utilité de l agent, quelles doivent être ses préférences? Simplement, définissons u par x u y si et seulement si u(x) u(y) Il est aisé de vérifier que u est bien une relation de préférences rationnelle (car l ordre faible sur R est complet et transitif). La proposition suivante nous dit aussi que toute relation de préférences résulte d une fonction d utilité (X est fini ou dénombrable). Proposition 5. Supposons que X est fini (ou dénombrable), et soit une relation binaire sur X. Il existe une fonction d utilité u telle que u coïncide avec si et seulement si est une relation de préférence rationnelle.

7 3. PRÉFÉRENCES SUR CHOIX INCERTAINS 7 Démonstration. Par induction sur le cardinal de X. Nous pouvons nous poser la question de l unicité de la représentation d une relation de préférence par une fonction d utilité. Il est évident que la composition de u par une fonction strictement croissante de change pas l ordre induit par u. La proposition suivante nous donne la réciproque. Proposition 6. Soient u et u deux fonctions d utilité sur X (fini). Alors u coïncide avec u si et seulement s il existe une fonction f : R R telle que : (i) f est strictement croissante; (ii) u = f u. Démonstration. On commence par définir f sur {u(x), x X}, puis on l étend à R. 3. Préférences sur choix incertains Jusque là nous n avons pas regardé l ensemble d alternatives X précisément. Un élément x X peut aussi bien représenter un choix de menu qu un portefeuille d actions. Cependant, comparer deux portefeuilles d actions est d une nature beaucoup plus complexe que comparer deux menus. La grande difficulté réside dans le fait que le prix d une action dépend de plusieurs évènements incertains. Pour modéliser un problème de choix très complexe, nous avons donc besoin de plus d abstraction et plus d axiomatisation, comme le montre l exemple suivant. Considérons le jeu de la roulette française. Les cases possibles sont {00,0,1,...,36}. Supposons que l agent fait face à deux alternatives : parier 10 euros sur un nombre pair (A), ou ne pas parier (A ). Les gains possibles (ou conséquences) sont { 10,0,10}. Les loteries L et L induites par les alternatives A et A sont : L 0 0 L Un premier critère de décision pour évaluer les alternatives ayant des conséquences incertaines est l espérance mathématique : p ic i avec c i { 10,0,10}. i L espérance de la loterie L est et celle de la loterie L est 0. Ce critère présente cependant des inconvénients en termes de modélisation :

8 8 1. THÉORIE DE LA DÉCISION - pas de prise en compte de l attitude vis-à-vis du risque de l agent; - conséquences monétaires uniquement; - paradoxe de Saint-Petersbourg : une pièce est lancée à répétition tant que pile se réalise. Dès que face est obtenu au jet k, le gain est de 2 k euros. L espérance mathématique de cette loterie est : 1 = 1+1+ = +. k=1 2 k2k Pourtant la valeur attribuée à ce pari est souvent en-dessous de 10 euros. En 1738, Daniel Bernoulli propose d intégrer le fait que les agents ont une utilité (satisfaction) marginale décroissante pour la monnaie, et évaluent un pari par l espérance d utilité des différentes conséquences. Par exemple, l espérance mathématique du ln du gain est : k=1 1 2 k ln(2k ) = ln2 ( 1 k k=1 2 [ = ln2 2 ( ) k 1 k ( ) ] k 1 k=1 2 k k=1 2 [ ( ) k 1 = ln2 (k +1) ( ) ] k 1 k=0 2 k k=1 2 [ = ln2 1+ ( ) ] k 1 k=1 2 = 2ln2 = ln4. Ainsi, cette loterie a pour l agent la valeur d un montant monétaire certain de 4, c est-à-dire qu un agent ayant une utilité ln est indifférent entre jouer à ce jeu et obtenir 4 euros. La suggestion de Bernoulli présente cependant elle aussi des inconvénients : - pourquoi ln? - pourquoi la même fonction d utilité pour chaque individu? - pourquoi la décision doit-elle être basée sur la valeur espérée de l utilité? Cela semble justifié à long terme si le jeu est répété un grand nombre de fois, mais ) k qu en est-il si le jeu n est joué qu une seule fois? En 1944, Von Neumann et Morgenstern fournissent une axiomatique rigoureuse généralisant le solution proposée par Bernoulli.

9 4. AXIOMES DE VON NEUMANN ET MORGENSTERN 9 4. Axiomes de Von Neumann et Morgenstern Soit Z = {z 1,...,z n } un ensemble fini. Soit P = (Z) l ensemble des distributions de probabilités sur Z : P = {(p 1,...,p n ) R n + : n k=1 p k = 1}. En présence de choix incertains, notre agent exprime désormais ses préférences entre les loteries (les éléments de P). P est donc un ensemble d alternatives, il joue le rôle de X dans les sections précédentes. Remarquons tout d abord que cet ensemble P a une structure particulière, appelée structure du simplexe : (i) P est convexe : pour tous p, q dans P, λ [0,1], λp+(1 λ)q P. (ii) Chaque élément z de Z peut être identifié à l élément de P qui donne une probabilité 1 à z et 0 aux autres éléments. On définit maintenant des axiomes sur la relation de préférence faible sur P qui utilisent la structure particulière de P. Définition 7. Axiomes de Von Neumann et Morgenstern (VNM) Rationalité : est une relation de préférence rationnelle. Indépendance : pour tous p, q et r dans P, et λ ]0,1[, p q implique λp+(1 λ)r λq +(1 λ)r. Continuité : pour tous p q r, il existe ǫ ]0,1[ tel que (1 ǫ)p + ǫr q ǫp+(1 ǫ)r. L axiome d indépendance se comprend bien si l on interprète correctement l alternative λp+(1 λ)r. En effet, celle-ci veut dire qu avec la probabilité λ, l alternative p est sélectionnée, et avec la probabilité (1 λ), c est r qui est sélectionnée. Si notre agent préfère p à q, il devrait aussi préférer λp +(1 λ)r à λq +(1 λ)r. L axiome de continuité est interprétable aussi. Si l agent préfère strictement p à q, et si p ǫ est très proche de p, alors l agent doit encore préférer strictement p ǫ à q. Cet axiome doit cependant être utilisé avec précaution. En effet, si je vous propose le choix entre q = gagner 10 euros de manière certaine, et p = gagner 1000 euros d une manière certaine, vous allez sûrement choisir p. Si maintenant je vous donne le choix entre q et p ǫ = avec probabilité probabilité vous gagnez 1000 euros et avec vous mourrez, vous allez peut être préférer ne pas risquer votre vie pour seulement 1000 euros. Notre modèle ne tient pas compte de ce genre de phénomène. Quoique, si on se trouve en ce moment à Champs-sur-Marne, et que je vous propose de vous donner tout de suite 10 euros ou sinon, vous prenez votre voiture et m emmener jusqu à Paris où je vous donne 1000 euros, vous allez peut être préférer m emmener à Paris... mais la probabilité d un accident mortel en voiture

10 10 1. THÉORIE DE LA DÉCISION de Champs-sur-Marne à Paris est non nulle. 5. Utilité espérée Supposons que l agent associe une valeur, ou utilité, u(z) à chacun des prix z Z (ou conséquences). L agent peut donc associer à toute loterie p P, une valeur ũ(p), appelée utilité espérée, avec ũ de P dans R qui est donnée par : ũ(p) = p(z)u(z). z Soit alors ũ la relation de préférence correspondante sur P. Proposition 8. ũ satisfait les axiomes de rationalité, d indépendance et de continuité. Démonstration. L axiome de continuité est dû à la continuité de p ũ(p). L axiome d indépendance est une conséquence de la linéarité de ũ( ). Enfin, la rationalité se déduit du fait que la relation d ordre sur R est complète. Remarquons que nous n avons aucune raison de supposer a priori que les préférences de l agent soient de la forme ũ, pour un u donné, ni encore qu il existe u telle que = ũ. Il peut d ailleurs sembler à première vue que cette forme de préférences est restrictive et très particulière. Cependant, cette forme de préférences est très commode pour le modélisateur (nous), ou pour un agent cherchant à évaluer ses préférences entre des loteries, car la donnée d utilités associées aux événements certains (les prix de Z) à elle seule définit les préférences sur l ensemble beaucoup plus complexe des loteries. Un résultat très important en économie est le suivant : Von Neumann et Morgenstern ont montré l équivalence entre une famille d axiomes sur et l existence d une représentation de la forme ũ. Théorème 9. (Von Neumann et Morgenstern) Soit une relation de préférence faible sur P = (Z). Il existe une fonction d utilité u( ) : Z R telle que coïncide avec ũ si et seulement si vérifie les axiomes de rationalité, d indépendance et de continuité. Démonstration. La partie si a déjà été montrée (Proposition 8). Montrons la partie seulement si. Pour z Z, on note δ z l élément de P qui met probabilité 1 sur Z. Si pour tous x,y Z, δ x δ y, alors pour tous p,p P, p p (complétude et indépendance), et toute fonction u constante convient. Dans le cas contraire, on sélectionne parmi l ensemble {δ z, z Z} un élément minimal δ x0, et un élément maximal δ x1 pour. D après l axiome de continuité, pour chaque z, il existe un unique λ z [0,1] tel que δ z λ z δ x1 +(1 λ z )δ x0. On pose alors u(δ z ) = λ z. On a

11 5. UTILITÉ ESPÉRÉE 11 donc u(δ x0 ) = 0, u(δx 1 ) = 1, et pour p P, ũ(p) = k p(z)λ z. Soient p et p dans P. p p z p(z)(λ zδ x1 +(1 λ z )δ x0 ) z p (z)(λ z δ x1 +(1 λ z )δ x0 ) z p(z)λ zδ x1 + z p(z)(1 λ z)δ x0 z p (z)λ z δ x1 + z p (z)(1 λ z )δ x0 z p(z)λ z z p (z)λ z ũ(p) ũ(p ) Autrement dit, on peut assigner des valeurs u(z) aux différentes conséquences (ou prix) z Z de sorte que pour toutes loteries L = (p 1,...,p n ) et L = (p 1,...,p n ) (avec n = cardz), on a : L L z Z p zu(z) z Z p z u(z) ũ(l) ũ(l ). Proposition 10. Une fonction d utilité ũ : P R a la forme d utilité espérée de VNM si et seulement si elle est linéaire par rapport aux probabilités, c est-à-dire : ũ( K k=1 α kl k ) = K k=1 α kũ(l k ), pour toutes loteries (L k ) k et probabilités (α k ) k telles que α k 0 pour tout k et K k=1 α k = 1. Nous pouvons nous poser la question de l unicité de la représentation. Proposition 11. Soient ũ et ũ deux fonctions d utilité sur P. ũ coïncide avec ũ si et seulement il existe a > 0 et b réels tels que ũ = aũ+b. Démonstration. La partie si est évidente. Montrons la partie seulement si. Supposons que ũ= ũ, et soient δ x0, δ x1 un élément minimal et un élément maximal. Pour tout p P, écrivons ũ(p) = u(x 1) ũ(p) u(x u(x 1 ) u(x 0 ) 0) + ũ(p) u(x 0) u(x u(x 1 ) u(x 0 ) 1). Donc u(x p 1 ) ũ(p) ũ δ u(x 1 ) u(x 0 ) x 0 + ũ(p) u(x 0) δ u(x 1 ) u(x 0 ) x 1. Comme ũ= ũ, c est-à-dire u(x 1 ) ũ(p) u(x 1 ) u(x 0 ) = u (x 1 ) ũ (p) u (x 1 ) u (x 0 ), ũ (p) = u (x 1 ) u (x 0 ) u(x 1 ) u(x 0 ) ũ(p) u (x 1 ) u (x 0 ) u(x 1 ) u(x 0 ) u(x 1)+u (x 1 ), ce qui est bien la forme recherchée.

12 12 1. THÉORIE DE LA DÉCISION Lorsque les prix ou conséquences sont monétaires, on peut voir une loterie comme une variable aléatoire représentée par une fonction de répartition F. Par exemple, la loterie à trois conséquences possibles suivante : L a la fonction de répartition suivante : e 30e 50e 0 si x < 20, 1 si x [20,30), 4 F(x) = 1 si x [30,50), 2 1 si x 50. Dans ce cadre, une loterie (fonction de répartition) F est évaluée par l agent à l aide d une fonction d utilité espérée de VNM ayant la forme : ũ(f) = u(z)df(z) Z = u(z)f(z)dz si la densité f existe. Remarques 12. Z (i) Il est important de bien distinguer la fonction d utilité espérée ũ : P R définie sur l ensemble des loteries P, de la fonction d utilité u : Z R définie sur les conséquences (prix) certain(e)s (parfois appelée fonction d utilité de Bernoulli). (ii) L axiomatique de VNM n impose aucune restriction sur la forme de la fonction u, mais on suppose en général que u est croissante. 6. Probabilités objectives versus subjectives Knight (1922) a distingué le risque et l incertain. Selon lui, le risque fait appel à des probabilités objectives (lancé de dés, d une pièce de monnaie, tirage d un numéro à la roulette, etc), alors que l incertain fait appel au contraire à des probabilités subjectives (résultat d un match de football, évolution d un prix, occurrence d une catastrophe naturelle, etc). Dans l axiomatique de VNM, une hypothèse implicite est que la situation peut toujours être représentée par des probabilités objectives parfaitement définies et connues sans ambiguité par le preneur de décision : on est donc en présence de risque.

13 7. AVERSION AU RISQUE 13 Savage (1954) et Anscombe et Aumann (1963) ont généralisé la forme d utilité espérée sans probabilité objective (construction de probabilités subjectives) : sans entrer dans les détails, sous certaines conditions, les individus se comportent comme s ils maximisaient une fonction d utilité espérée basée sur des croyances probabilistes sur les différents états du monde possibles et sur des utilités (de Bernoulli) sur les différentes conséquences possibles. 7. Aversion au risque La théorie de l utilité de von Neumann et Morgenstern nous dit que l utilité associée à une loterie donnant un gain monétaire x avec probabilité 1 et y avec 2 probabilité 1 est la moyenne entre les utilités de x et de y. Ce que la théorie de 2 von Neumann et Morgenstern ne nous dit pas, c est comment se comparent cette utilité avec celle du gain monétaire de 1x + 1 y. C est ce que nous étudions dans 2 2 cette section, qui concerne les préférences de l agent face au risque. Les gains et les pertes sont mesurés de manière monétaire. On considère donc des loteries à valeurs dans R, et soit P = {loteries sur R à support fini}. En particulier, pour z R, δ z P représente la loterie qui donne z avec probabilité 1. Pour p P, E(p) = zp(z).z est l espérance de p. On se dote d une relation de préférences rationnelle sur P représentée par une fonction d utilité de von Neumann Morgenstern u. On caractérise d abord la croissance de l utilité avec l argent. Proposition 13. u est strictement croissante si et seulement si : δ z δ z z > z On supposera par la suite u strictement croissante. Définition 14. L agent est averse au risque si δ E(p) p pour tout p P. L agent est strictement averse au risque si δ E(p) p pour tout p P. L agent est neutre au risque si δ E(p) p pour tout p P. L agent aime le risque si δ E(p) p pour tout p P L agent aime strictement le risque si δ E(p) p pour tout p P.Q On a les caractérisations suivantes en termes de fonctions d utilité. Proposition 15. L agent est averse au risque si et seulement si u est concave. L agent est strictement averse au risque si et seulement si u est strictement concave. L agent est neutre au risque si u est affine.

14 14 1. THÉORIE DE LA DÉCISION L agent aime le risque si u est convexe. L agent aime strictement le risque si u est strictement convexe. Démonstration. L agent a de l aversion pour le risque si pour toute loterie F : ( ) ũ zdf(z) u(z)df(z). L inégalité ci-dessus est l inégalité de Jensen qui caractérise les fonctions concaves. On définit pour finir les notions d équivalent certain et de prime de risque. Définition 16. Considérons un agent ayant une fonction d utilité u. L équivalent certain, noté EC(F,u) d une loterie F est la somme d argent certaine que le décideur juge équivalente à la loterie : u[ec(f,u)] = ũ(f). La prime de risqué est définie par le montant suivant : Π(F,u) = E(F) EC(F,u). Remarquons que par définition, la prime de risque est positive si l agent a de l aversion pour le risque.

15 CHAPITRE 2 Jeux sous forme normale I : stratégies pures Dans les problèmes de décision, nous avons relié les choix qui pouvaient être faits par un agent avec les utilités qu il pouvait en dériver. L idée qu un agent rationnel maximise son utilité (espérée) nous permet ensuite de dériver la notion de bon choix, ou choix maximisateur. Nous allons introduire la théorie des jeux, que l on pourrait aussi appeler théorie de la décision interactive, en modélisant et en étudiant des situations dans lesquels plusieurs agents sont en situations de choix, les choix des uns affectant l utilité des autres. Le bon choix pour un agent dépend maintenant des choix des autres agents. Dans ce chapitre, nous nous restreignons à l analyse des jeux sous forme normale et des stratégies pures, que nous allons définir. 1. Description d un jeu sous forme normale Exemple 1. Amanda et Bertrand veulent se rencontrer à New York, mais n ont pas décidé d un lieu de rendez-vous. Ils peuvent chacun se rendre soit à l Empire State Building, soit à Central Park. Le but de chacun est de rencontrer l autre, peu importe où. Les préférences de chacun sur le lieu où aller dépendent donc de ce que fait l autre. On peut donc décrire la situation par les éléments suivants : 2 joueurs, Amanda et Bertrand; 2 décisions possibles pour chacun d entre eux, Empire State Building ou Central Park, (E,C); l utilité de chaque joueur est une fonction de son propre choix ainsi que de celui de l autre joueur. En général, un jeu sous forme normale est donné par : un ensemble d agents (ou joueurs) N ; un ensemble de stratégies S i pour chaque agent i N ; l issue du jeu s correspond au vecteur (s i ) de stratégies choisies; des préférences pour les joueurs sur S, représentées par une fonction g i : Π i S i R. Exemple 2. Pour le jeu de rendez-vous à New-York : N = {Amanda, Bernard}; 15

16 16 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES S i = {E,C}; S = {(E,C),(E,E),(C,C),(C,E)}; g i (s 1,s 2 ) = 1 si s 1 = s 2, 0 sinon. On représente le jeu par la matrice ci-dessous : Amanda choisit la ligne, et Bernard choisit la colonne. Chaque case représente le paiement d Amanda, suivi de celui de Bertrand. A \ B E C E 1,1 0,0 C 0,0 1,1 Définition 17. Un jeu G sous forme normale, noté Γ(N,(S i ) i N,(g i ) i N ) est donné par : Un ensemble fini de joueurs N ; Un ensemble de stratégies (dites pures, ou actions) S i pour chaque joueur i N ; Une fonction de paiement g i : Π i S i R pour chaque joueur i N. On utilise les notations : S = Π i S i, et S i = Π j i S j. Interprétation : chaque joueur joue une fois, et indépendamment des autres, en choisissant une stratégie dans son ensemble de stratégies. Il cherche à maximiser sa fonction de paiement qui ne dépend pas uniquement de son choix, mais aussi de celui des autres. Dans ce chapitre, nous ne considérons que des jeux statiques (joués une seule fois) et à information complète (les joueurs connaissent les paiements et stratégies disponibles des autres joueurs; cela signifie que les joueurs connaissent le tableau, ou matrice, des paiements). Nous passons maintenant en revue quelques jeux ou classes de jeux particulièrement importants Jeux à intérêts communs. Ce sont des jeux dans lesquels tous les joueurs ont les mêmes intérêts, ou préférences. On a donc g i = g j pour tous joueurs i,j. On peut voir ces jeux comme une généralisation des problèmes à un agent. Par exemple, le jeu de rendez-vous à New-York fait partie de cette catégorie Jeux à somme nulle. Ce sont des jeux à deux joueurs dans lesquels les intérêts sont parfaitement antagonistes. Ces jeux sont à l opposé des jeux à intérêts communs. Ce qui est gagné par un joueur est perdu par l autre. La somme des fonctions d utilité est donc 0. C est à dire que g i = g j. Exemple 3. Jeu de pile ou face. Deux joueurs annoncent Pile (P) ou Face (F). Le joueurs 2 paie 1eà1si les deux choisissent la même chose, sinon le joueur 1

17 paie 1eau joueur DESCRIPTION D UN JEU SOUS FORME NORMALE 17 1 \ 2 P F P 1, 1 1,1 F 1,1 1, 1 Chaque case représente l utilité du joueur 1, suivie par celle du joueur La bataille des sexes. Certains jeux font intervenir une part de coordination et une part de conflit entre les agents. C est le cas du jeu de la bataille des sexes suivant. Exemple 4. Un couple veut décider d une sortie. L homme (h) préfère aller à l opéra (O), et la femme (f) préfère assister à un match de foot (F). Pour chacun, être avec l autre est plus important que le lieu. f\h F O F 2,1 0,0 O 0,0 1, La fureur de vivre. Deux adolescents en voiture foncent l un vers l autre sur une route étroite. Personne ne veut sortir de la route. Si les deux sortent, aucun n est vraiment satisfait, ni mécontent. Les choix pour chacun sont F (faucon, rester sur la route), ou C (colombe, sortir de la route). F C F 1, 1 10,0 C 0,10 5, Dilemme du prisonnier. Deux prisonniers complices sont interrogés séparément. Chacun peut trahir son partenaire en le dénonçant (T), ou bien rester silencieux (S). Si les deux trahissent, ils vont en prison pour 5 ans chacun. Si l un trahit et pas l autre, celui qui trahit sort libre et l autre va en prison pour 10 ans. Si personne ne trahit, ils vont en prison pour 3 ans tous les deux. S T S 3, 3 10, 0 T 0, 10 5, 5

18 18 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES Le jeu du dilemme du prisonnier est un exemple fondamental en économie. Ce jeu est important car il fait ressortir une tension entre l intérêt individuel et l intérêt collectif. De nombreuses situations présentent une structure similaire à celle du dilemme du prisonnier : Achat par internet. Un acheteur et un vendeur se sont mis d accord sur internet. Chacun a le choix entre envoyer le colis (ou bien l argent), et ne pas l envoyer. Chacun préfère que l autre l envoie et préférerait ne pas envoyer sa part. Cependant, les deux sont plus satisfaits si chacun respecte sa part du contrat plutôt que si aucun ne le fait. Course aux armements. Chaque pays peut décider de s armer, ou non. L intérêt des deux pays est qu aucun ne dépense de ressources pour s armer, mais à stratégie fixée de l autre, chacun préfère s armer. Achat d un 4x4. Un 4x4 est avantageux pour celui qui l a car on peut impressionner les autres voitures, et on se sent plus en sécurité. Mais ceci est au détriment des autres voitures. Collusion et la commission européenne. La commission européenne cherche à lutter contre les ententes secrètes des industries. Le problème étant que personne ne veut dénoncer ces ententes. La règle est que celui qui dénonce une entente ne se verra pas poursuivi. Chacun a donc intérêt à dénoncer plutôt qu à être dénoncé Compétition en quantités dite de Cournot. Deux entreprises, 1 et 2, produisent des biens identiques. Chacune décide d un niveau de production q i, à un coût c i (q i ). Le prix résultant de la loi de l offre et de la demande est p(q 1 +q 2 ). N = {1,2}, S i = R +, g 1 (q 1,q 2 ) = q 1 p(q 1 +q 2 ) c 1 (q 1 ), g 2 (q 1,q 2 ) = q 2 p(q 1 +q 2 ) c 2 (q 2 ) Compétition en prix dite de Bertrand. Il s agit d un modèle de compétition par les prix. Chaque entreprise décide d un prix de vente du bien, et les consommateurs (une unité en tout) achètent à la firme au prix le plus bas. N = {1,2}, S i = [0,M],

19 2. STRATÉGIES DOMINANTES ET DOMINÉES 19 p i si p i < p j, g i (p i,p j ) = 0 si p i > p j, p i /2 si p i = p j. 2. Stratégies dominantes et dominées Nous commençons maintenant l étude des prédictions des issues des jeux sous forme normale. Étant donné un jeu, et en supposant les joueurs rationnels, que peuton prédire qu ils vont jouer, ou que peut-on prédire qu ils ne vont pas jouer? Si nous devions jouer dans un tel jeu, quel choix ferions-nous? Une stratégie dominée est une stratégie qui donne un paiement strictement moins bon que celui d une autre stratégie donnée, ceci pour tout choix possible des adversaires. Définition 18. Une stratégie s i est strictement dominée s il existe s i telle que : s i S i, g i (s i,s i) > g i (s i,s i ) On dit alors que s i domine strictement s i. Un joueur rationnel ne devrait jamais jouer une stratégie dominée. En effet, il a la possibilité de choisir une autre stratégie dont il sait qu elle peut lui donner un gain meilleur (strictement), indépendamment des choix des autres joueurs. Une stratégie dominante donne un meilleur paiement que toute autre stratégie, pour tous les choix des autres joueurs. Définition 19. Une stratégie s i est strictement dominante si pour toute autre stratégie s i : s i S i, g i (s i,s i) > g i (s i,s i). La définition se réécrit : Proposition 20. Une stratégie s i est strictement dominante si et seulement si elle domine strictement toute stratégie s i s i (toute autre stratégie est strictement dominée). Une conséquence quasi-immédiate de la définition est : Proposition 21. Si une stratégie s i est strictement dominante, alors elle est unique à avoir cette propriété.

20 20 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES Si un joueur a une stratégie strictement dominante, on peut alors penser que cette stratégie constitue un bon choix. Pour chaque choix des autres, elle donne le meilleur paiement possible. Nous pouvons maintenant construire un raisonnement en se basant sur le fait que si aucun joueur ne choisit pas de stratégie strictement dominée, alors les autres joueurs peuvent anticiper ce phénomène. Exemple 5. Considérons le jeu suivant : 1\2 S T S 0, 2 10, 1 T 1, 10 5, 5 Que devrait jouer le joueur 1 s il sait que le joueur 2 est rationnel? Réponse : le joueur 2 doit jouer T s il est rationnel; s il sait que le joueur 2 est rationnel, le joueur 1 doit alors jouer T. Exemple 6. Considérons le jeu suivant : 1\ G M D H 2,2 1,1 4,0 B 1,2 4,1 3,5 Que devrait jouer le joueur 1 s il sait que le joueur 2 est rationnel? Réponse : H. Que devrait jouer le joueur 2 s il sait que le joueur 1 sait qu il est rationnel? Réponse : G. Ceci nous amène à définir le processus d élimination itérée des stratégies strictement dominées. Définition 22. La procédure d élimination itérée des stratégies strictement dominées est la suivante : Étape 1 : S 0 i = S i. Étape 2 : S 1 i = { stratégies non strictement dominées de i }. Étape k +1 : S k+1 i = {s i S k i, s i S k i, s i S k i,g i (s i,s i ) > g i (s i,s i )} Stratégies non strictement dominées face aux stratégies de S k i. Étape : S i = k S k i. Pour certains jeux, cette définition nous conduit à une prédiction unique des stratégies suivies par les joueurs.

21 2. STRATÉGIES DOMINANTES ET DOMINÉES 21 Définition 23. Un jeu G est résoluble par élimination itérée des stratégies strictement dominées si pour tout joueur i N, S i est un singleton. Exemple 7. Que dit la procédure d élimination de stratégies strictement dominées dans le jeu suivant? 1\2 A B C D A 5,2 2,6 1,4 0,4 B 0,0 3,2 2,1 1,1 C 7,0 2,2 1,5 5,1 D 9,5 1,3 0,2 4,8 Réponse : l issue du jeu est (B,B). Exemple 8. 1\2 G D H 2,2 4,4 B 3,1 4,1 Quelles sont les stratégies dominées, dominantes? Quelles stratégies paraissent raisonnables? Réponse : il n y a pas de stratégie strictement dominante, ni strictement dominée. Cependant, le choix de la stratégie B pour le joueur 1, et D pour le joueur 2, semble un bon choix, car ces stratégies ne peuvent donner qu un paiement meilleur que l autre, et jamais un paiement moins bon. L exemple précédent nous conduit à la définition d une stratégie faiblement dominée. Définition 24. Une stratégie s i est faiblement dominée s il existe s i telle que : s i,g i (s i,s i) g i (s i,s i ), s i,g i (s i,s i ) > g i (s i,s i ). On dit dans ce cas que s i domine faiblement s i. Dans le jeu précédent, H est faiblement dominée pour le joueur 1, et G est faiblement dominée pour le joueur 2. Définition 25. Une stratégie s i est faiblement dominante si pour toute autre

22 22 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES stratégie s i : s i S i, g i (s i,s i ) g i (s i,s i ), s i S i, g i (s i,s i ) > g i (s i,s i). Si une telle stratégie existe, elle est unique. Elle semble représenter un choix raisonnable, car on ne peut jamais le regretter. La définition se réécrit : Proposition 26. Une stratégie s i est faiblement dominante si et seulement si elle domine faiblement toute stratégie s i s i. Une conséquence quasi-immédiate de la définition est : Proposition 27. Si une stratégie s i est faiblement dominante, alors elle est unique à avoir cette propriété. Lorsqu un joueur possède une stratégie dominante, on peut penser que cette stratégie constitue un bon choix. En revanche, une stratégie dominée (même faiblement) ne semble pas constituer un bon choix. Nous sommes tentés de généraliser la procédure de suppression itérée des stratégies strictement dominées aux stratégies faiblement dominées. Voyons ce que l on obtient dans l exemple suivant : Exemple 9. Soit le jeu donné par la matrice de paiements suivante : 1\2 G D H 1,1 0,0 M 1,1 2,1 B 0,0 2,1 La procédure d élimination des stratégies faiblement dominées nous permet d éliminer H, puis G. Cette procédure pourrait aussi bien nous conduire à éliminer B, puis D. Ces deux ordres de suppression de stratégies dominées nous conduit à des résultats différents. La méthode n est donc pas concluante. On peut voir facilement qu au contraire, l ordre de suppression des stratégies strictement dominées n a pas d influence sur le résultat final. En conclusion : si on supprime de manière itérée les stratégies faiblement dominées, le résultat peut dépendre de l ordre des itérations. Ce n est donc pas une bonne procédure. En revanche, nous n avons pas ces difficultés avec la suppression itérée de stratégies strictement dominées.

23 3. ÉQUILIBRE DE NASH Équilibre de Nash 3.1. Définitions. La suppression itérée de stratégies strictement dominées est attractive car elle repose sur l idée de rationalité (et sur la connaissance par les joueurs de la rationalité des autres, etc). Cependant, peu de jeux sont résolubles par élimination itérée des stratégies strictement dominées. Nous introduisons un concept qui s applique à une plus grande gamme de jeux : l équilibre de Nash. L équilibre de Nash peut être compris comme une convention sociale stable. C est une règle collective de laquelle aucun individu n a intérêt à s écarter pourvu que les autres individus respectent eux aussi la règle. Définition 28. Un profil de stratégies s = (s i ) i est un équilibre de Nash (en stratégies pures), noté EN, si : i, s i S i,g i (s i,s i) g i (s i,s i). La notion suivante d équilibre de Nash strict est plus forte. Elle suppose que tous les joueurs préfèrent strictement jouer l équilibre de Nash plutôt qu une autre stratégie si les autres joueurs suivent l équilibre de Nash. Définition 29. Un profil de stratégies s S est un équilibre de Nash strict (en stratégies pures) si : i, s i S i,g i (s i,s i ) > g i(s i,s i ). En particulier, un équilibre de Nash strict est un équilibre de Nash. La notion d équilibre de Nash est centrale en théorie des jeux et en microéconomie. Elle est aussi appliquée en informatique, biologie, en sociologie, etc. Les interprétations de cette notion sont diverses. On peut citer les justifications suivantes : Prescriptions : un individu extérieur propose un profil de stratégies. Si ce profil est un équilibre de Nash, personne n a intérêt à dévier. Communication : les joueurs se mettent d accord à l avance sur quel profil jouer. Les EN sont des accords viables. Introspection : un joueur analyse le jeu et se convainc que seul l EN est possible (valable uniquement si unique EN). Norme sociale : dans certains pays, nous conduisons à droite de la route, dans d autres à gauche. C est la norme sociale qui dicte une règle. L EN est nécessaire pour que cette règle soit suivie. Apprentissage : les joueurs découvrent les stratégies suivies par les autres au cours d un processus d apprentissage.

24 24 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES Evolution : si chaque espèce évolue de façon adaptée aux autres espèces, la résultante est un EN. Définition 30. On appelle correspondance de meilleure réponse d un joueur i la correspondance suivante : s i S i, MR i (s i ) = argmax s i S i g i (s i,s i ) = {s i S i : g i (s i,s i ) g i (s i,s i) s i S i}. Proposition 31. Un profil de stratégies s est un équilibre de Nash si et seulement si : i N, s i MR i(s i ) s MR(s ) (forme matricielle) Exemples et propriétés. Le jeu du dilemme du prisonnier est résoluble par élimination des stratégies strictement dominées, et l équilibre de Nash est compatible avec cette prédiction. Exemple 10. Dilemme du prisonnier : S T S 3, 3 10, 10 T 0, 10 5, 5 Seul équilibre de Nash : (T,T). Exemple 11. Soit le jeu : 1\2 G D H 1,1 0,0 M 1,1 2,1 B 0,0 2,1 Quatre équilibres de Nash : (H,G), (M,G), (M,D); (B,D). Le jeu précédent n est pas résoluble par élimination des stratégies strictement dominées, et cependant le jeu admet des équilibres de Nash. A l équilibre de Nash, aucune stratégie strictement dominée n est jouée. Plus généralement, toutes les stratégies des équilibres de Nash survivent à l élimination itérée des stratégies strictement dominées. Proposition 32. Si s est un équilibre de Nash, alors pour tout i, s i S i.

25 3. ÉQUILIBRE DE NASH 25 Démonstration. Supposons s Π i Si k, s i Sk+1 i. Alors il existe s i meilleur pour i que s i contre tous s i Π j i Sj k, donc en particulier contre s i. Contradiction. Nash. Si on a un profil de stratégies dominantes, ce profil constitue un équilibre de Proposition 33. Si s est un profil de stratégies faiblement dominantes, s est un équilibre de Nash. Si s est un profil de stratégies strictement dominantes, alors s est l unique équilibre de Nash. Exemple 12. Le jeu suivant est-il résoluble par élimination itérée des stratégies strictement dominées? Quels sont ses équilibres de Nash? G M D h 5,3 0,4 3,5 m 4,0 5,5 4,0 b 3,5 0,4 5,3 Réponse : ce jeu n est pas résoluble par élimination itérée des stratégies strictement dominées. L unique équilibre de Nash est (m,m). Un jeu peut avoir plusieurs équilibres de Nash, comme le montre le jeu suivant. Exemple 13. Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu du rendez-vous à New York? E C E 1,1 0,0 C 0,0 1,1 Réponse : il y a deux équilibres de Nash, (E,E) et (C,C). On peut aussi ne pas avoir d équilibres, comme le montre le jeu suivant. Exemple 14. Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu suivant à somme nulle? P F P 1,1 1, 1 F 1, 1 1,1 Réponse : il n y a pas d équilibre de Nash en stratégies pures On verra au chapitre suivant que ce jeu admet un équilibre de Nash en stratégies mixtes.

26 26 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES On peut avoir plusieurs équilibres de Nash, et cependant en préférer un plutôt qu un autre pour des raisons liées au risque pris en jouant les stratégies. Exemple 15. Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu suivant? Quelle stratégie choisiriez-vous? A B A 9,9 15,8 B 8, 15 7,7 Réponse : les équilibres de Nash en stratégies pures sont (A,A) et (B,B). La stratégie B est préférée par un agent averse au risque car elle est moins risquée. En effet, la stratégie B fait gagner au pire 7, alors que la stratégie A peut faire perdre 15. Nash. Certaines stratégies faiblement dominées peuvent être jouées à l équilibre de Exemple 16. Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu suivant? Quelle stratégie choisiriez-vous? A B A 2,2 1,1 B 1,1 1,1 Réponse : les équilibres de Nash sont (A,A) et (B,B). La stratégie (B,B) est faiblement dominée. Exemple 17. Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures du jeu suivant? Quelle stratégie choisiriez-vous? A B A 2,2 1,2 B 2,1 1,1 Réponse : tous les profils de stratégies pures sont des équilibres de Nash, (A,A), (A,B), (B,A) et (B,B). On donne maintenant un théorème d existence des équilibres de Nash en stratégies pures, sans la démonstration (difficile). Théorème 34. (Glichsberg-Nash) Soit Γ = (N,(S i ) i N,(g i ) i N ) un jeu tel que pour tout joueur i N : (i) l ensemble S i est un sous-ensemble convexe et compact d un espace euclidien; (ii) la fonction g i est continue;

27 3. ÉQUILIBRE DE NASH 27 (iii) pour tout profil s i S i, la fonction s i g i (s i,s i ) est concave. Alors, le jeu Γ possède un équilibre de Nash en stratégies pures. Remarque 35. Le théorème précédent est en fait valable avec une condition plus faible que (iii), à savoir que pour tout profil s i S i, la fonction s i g i (s i,s i ) est quasi-concave Application : négociations internationales. Considérons la situation suivante : n états négocient le niveau de leur émission de pollution s i 0. L utilité (ou paiement) du pays i est donnée par : g i (s 1,...,s n ) = v(s i ) n où v > 0 > v et v (0) > 1. Par exemple, v(x) = ln(s). Chaque joueur a une stratégie dominante : g i s i (s) = 0 v (s i ) = 1. j=1 s j Ainsi, il y a un unique équilibre de Nash qui est symétrique : chaque état choisit la stratégie dominante s i qui vérifie v (s i ) = 1. Par exemple, si v(x) = ln(s), alors s = (1,...,1). Considérons maintenant le bien-être social : n i=1 g i(s 1,...,s n ) = n i=1 v(s i) n n j=1 s j. Le profil de stratégies s P = (s P i ) i N qui maximise le bien-être social (optimum de Pareto) vérifie : n i=1 g i (s P ) = 0, s k c est-à-dire v (s P k ) = n. L équilibre de Nash est donc Pareto dominé. Comme v < 0, la fonction v ( ) est décroissante, et donc s i > sp i : à l équilibre, les Etats polluent trop. Considérons maintenant la mise en place d une taxe θ > 0, telle que les recettes de cette taxe sont redistribuées de façon équitable aux Etats. La nouvelle fonction de paiement de chaque état est désormais : g i (s 1,...,s n ) = v(s i ) n La stratégie dominante de chaque Etat vérifie : j=1 s j θs i + 1 n g i s i (s) = 0 v (s i ) = 1+θ 1 n θ = 1+θ n j=1 θs j. ( n 1 n ).

28 28 2. JEUX SOUS FORME NORMALE I : STRATÉGIES PURES L équilibre de Nash est alors équivalent à l optimum social si : ( ) n 1 1+θ = n θ = n. n

29 CHAPITRE 3 Jeux sous forme normale II : stratégies mixtes et jeux à somme nulle Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. Prenons l exemple du jeu de Pierre, Papier, Ciseaux" : Pi Pa Ci Pi 0,0 1,1 1, 1 Pa 1, 1 0,0 1,1 Ci 1,1 1, 1 0,0 Pierre, Papier, Ciseaux Il est facile de voir que ce jeu n admet pas d équilibre de Nash en stratégies pures. La raison de l absence d équilibres en stratégies pures est la suivante : la notion d équilibre de Nash en stratégies pures suppose que chaque joueur connaît les stratégies des autres joueurs. Or, dans certains jeux, chaque joueur a intérêt à cacher sa stratégie, ou a bluffer. En effet, dans les jeux pile ou face" Pi Fa Pi 1, 1 1,1 Fa 1,1 1, 1 Pile ou face ou tirer un penalty", ou bluff au poker", un joueur n utilise pas la même stratégie à tous les coups, et ne connaît pas non plus à l avance celle de l adversaire. Les stratégies mixtes, ou aléatoires, permettent de représenter ces possibilités de bluff, ou de jouer aléatoirement. 1. Définitions Nous allons définir les stratégies mixtes, puis les jeux dans lesquels les joueurs ont la possibilité de jouer des stratégies mixtes, et enfin définir un équilibre de Nash en stratégies mixtes comme un équilibre de Nash d un tel jeu Stratégies mixtes. Nous commençons par définir le concept de stratégies mixtes. Soit G = (N(S i ) i,(g i ) i ) un jeu sous forme normale 29

30 303. JEUX SOUS FORME NORMALE II : STRATÉGIES MIXTES ET JEUX À SOMME NULLE Définition 36. Une stratégie mixte pour le joueur i est une distribution de probabilités sur S i. Σ i = (S i ) = {p R S i : k p k 0, k p k = 1} représente l ensemble des stratégies mixtes du joueur i. On utilisera les notations : Σ = Π i Σ i and Σ i = Π j i Σ j. Exercice 37. Se convaincre du fait que Σ n est pas égal à l ensemble (S) = ( i S i) des probabilités sur les profils de stratégies pures, qui est bien plus grand. Par opposition aux stratégies mixtes, on appelle les éléments de S i les stratégies pures. Ce sont des stratégies déterministes. Selon les cas, différentes notations pour les stratégies mixtes sont utilisées : (1) Notation fonction : σ i est l application de S i vers R qui associe à la stratégie pure s i sa probabilité d être jouée. Exemple : S 1 = {H,B}, σ 1 (H) = σ 1 (B) = 1. 2 (2) Vecteur : on écrit σ i comme un vecteur de probabilités. SiS i = {s i,1,...,s i,ni }, alors σ i se représente comme (σ i (s i,1 ),...,σ i (s i,ni )). Exemple : σ 1 = ( 1, 1). 2 2 (3) Combinaison convexe de stratégies pures : par exemple, 1H + 1B. 2 2 Il y a plusieurs interprétations possibles des stratégies mixtes, les plus courantes sont les suivantes : Possibilité matérielle de jouer aléatoirement. Rien ne s oppose à priori à ce qu un joueur décide aléatoirement quelle stratégie pure utiliser. La stratégie mixte est un choix aléatoire d une stratégie pure. Bluff, et part d incertitude que chacun laisse sur sa stratégie. Ici, une stratégie mixte représente plutôt une croyance que chaque joueur a sur les façons de jouer des autres joueurs. Même si je décide si je vais bluffer ou non, de manière pas forcément aléatoire, je ne souhaite surtout pas que les autres joueurs connaissent mon choix! Dans une population de joueurs, une stratégie correspond à une proportion dans laquelle une stratégie pure est jouée dans la population. Par exemple, si dans la ville de New Delhi 30% des piétons cherchent à passer à gauche (systématiquement) lorsqu ils croisent un autre piéton, et 70% à droite, à chaque fois que je croise un piéton dans cette ville je joue face à la stratégie mixte (30%,70%). Incertitude sur les paiements (Harsanyi). Supposons que selon mon humeur du moment, j ai une faible préférence soit pour bluffer, soit pour ne pas bluffer, et que les autres joueurs ne connaissent pas mes préférences. Dans ce cas, je joue la stratégie que je préfère, qui n est donc pas aléatoire, mais les

31 1. DÉFINITIONS 31 autres joueurs ont l impression que je joue aléatoirement, et se représentent mon comportement par une stratégie mixte. Proposition 38. L ensemble Σ i des stratégies mixtes du joueur i est convexe. Ses points extrêmaux sont les stratégies qui mettent probabilité 1 sur un seul point de S i. Remarquons qu un stratégie pure s i correspond à la stratégie mixte qui joue s i avec probabilité 1. On considère doncs i comme sous-ensemble deσ i. Par conséquent, toute stratégie pure est désormais vue comme une stratégie mixte. En considérant l ensemble des stratégies mixtes, on étend les ensembles de stratégies des joueurs. Définition 39. Une stratégie σ i du joueur i est dite complètement mixte si elle est à support plein dans S i, i.e. pour toute action s i S i, σ i (s i ) > Extension mixte d un jeu. Si chaque joueur j joue la stratégie σ j, la probabilité que(s j ) j soit le profil d actions effectivement joué estπ j σ j (s j ). Par conséquent, le paiement espéré du joueur i est : Π j σ j (s j )g i ((s j ) j ). (s j ) j S j Remarque 40. On suppose que les fonctions de gain g i : S R sont des fonctions d utilité von Neumann et Morgenstern : ainsi, un profil de stratégies mixtes est évalué pour le joueur i à l aide de l utilité espérée. La relation précédente définit des fonctions de paiements g i : Σ R. On utilise donc la même notation pour l application de S vers R et pour son extension mixte de Σ vers R. Définition 41. L extension mixte du jeu sous forme normale (N,(S i ),(g i ) i ) est le jeu sous forme normale (N,(Σ i ) i,(g i ) i ). Dans l extension mixte du jeu : l ensemble des joueurs est N ; chaque joueur i choisit une stratégie mixte σ i Σ i ; et le paiement du joueur i est g i (σ). Proposition 42. L application g i : Σ R est multilinéaire, c.a.d. elle est linéaire par rapport à chaque coordonnée σ j Σ j. La preuve, laissée en exercice, nécessite de montrer que pour σ j Σ j, σ j,σ j Σ j et λ [0,1], et σ j = λσ j +(1 λ)σ j : g i (σ j,σ j ) = λg(σ j,σ j )+(1 λ)g(σ j,σ j ). Remarque 43. En particulier, on a pour tout i N et pour tout σ Σ : g i (σ i,σ i ) = s i S i σ i (s i )g i (σ i,s i ).

32 323. JEUX SOUS FORME NORMALE II : STRATÉGIES MIXTES ET JEUX À SOMME NULLE 1.3. Équilibre de Nash en stratégies mixtes. Définition 44. Un équilibre de Nash en stratégies mixtes de Γ est un équilibre de Nash en stratégies pures du jeu avec comme ensemble de stratégies Σ i et comme fonction de paiements g i pour chaque joueur i. C est donc un profil de stratégies mixtes σ Σ tel que i, σ i Σ i, g i (σ i,σ i ) g i (σ i,σ i ). On peut interpréter un équilibre de Nash en stratégies mixtes de la façon suivante : chaque joueur, s il connait les probabilités choisies par ses adversaires, est content de la probabilité qu il a choisie. Bien entendu, cela ne veut pas dire que chaque joueur sera content pour toutes les réalisations possibles, mais seulement qu un joueur n a pas intérêt à dévier avant de connaître les réalisations des différentes stratégies mixtes. si : 2. Propriétés de l équilibre de Nash en stratégies mixtes Plusieurs questions se posent : - Quel rapport existe-t-il entre les équilibres de Nash en stratégies mixtes et ceux en stratégies pures? - Comment calculer les équilibres de Nash en stratégies mixtes? - Quel est le rapport entre les équilibres de Nash en stratégies mixtes et l élimination itérée des stratégies strictement dominées? - Quand existe-t-il des équilibres de Nash en stratégies mixtes? 2.1. Équilibres de Nash en stratégies pures et mixtes. Proposition 45. σ est un équilibre de Nash en stratégies mixtes si et seulement i, s i S i g i (σ i,σ i ) g i (σ i,s i ) La partie seulement si provient du fait qu une stratégie pure est aussi une stratégie mixte, la partie si de la linéarité de g i en σ i. Exemple 18. Un équilibre de Nash du jeu de Pile ou Face est ( 1 2, 1 2 ) pour chaque joueur, un du jeu de Pierre, Papier, Ciseaux est ( 1, 1, 1 ) pour chaque joueur. Corollary 46. Tout équilibre de Nash en stratégies pures est aussi un équilibre de Nash en stratégies mixtes. Par conséquent, considérer les stratégies mixtes nous donne plus d équilibres qu avec les stratégies pures. Pour les équilibres ne faisant intervenir que des stratégies pures, on parle d équilibres de Nash en stratégies pures.