Trigonométrie. Dans le plan, un angle (non orienté) est une portion de plan déterminée par deux demi-droites de même origine : O α

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1 Trigonométrie Introduction Nous allons revoir ici les notions élémentaires de trigonométrie. Elles sont utiles en phsique, par eemple pour le calcul de la composition de forces, ou encore en optique. Les relations de trigonométrie que nous allons voir découlent directement de la définition des sinus et cosinus d un angle. Elles permettent de donner des relations entre des distances et des angles, qui permettent de faire une économie de mesures ou de formuler des lois phsiques. Enfin, les fonctions trigonométriques, qui pourront être définies à partir des notions introduites ici permettront de modéliser les phénomènes périodiques. Nous commençons par rappeler quelques notions sur les angles non orientés et orientés, puis la description d angles en termes de radians et enfin nous donnons les définitions des nombres trigonométriques. Nous passons ensuite en revue la relation fondamentale de la trigonométrie, les relations entre nombres trigonométriques (pour les angles dits associés), ainsi que l utilisation de la trigonométrie dans les triangles rectangles. ngles non orientés du plan Dans le plan, un angle (non orienté) est une portion de plan déterminée par deu demi-droites de même origine : ien sûr, deu demi-droites de même origine déterminent deu angles, comme le montre la figure précédente. n précise lequel on considère, généralement en dessinant un arc de cercle, comme cela a été fait ci-dessus. La mesure d un angle est appelée amplitude. n mesure un angle à l aide d un rapporteur. ette mesure est eprimée en degrés et est indépendante de l ordre dans lequel on précise les demi-droites qui définissent l angle. Voici quelques angles particuliers et leur mesure : L angle nul correspond à des demi-droites confondues. ette situation correspond aussi à l angle plein : 36 ; L angle plat correspond à deu demi-droites distinctes [, et [, telles que,, soient alignés. Il vaut 8 ; Un angle droit correspond à 9 (ou 7 ).

2 ngles non orientés du plan Remarque.. n constate que la somme des amplitudes des deu angles déterminés par deu demi-droites vaut toujours 36. n obtient donc l amplitude de l un en fonction de l amplitude de l autre, et on n a donc besoin que de connaître par eemple la plus petite des deu. est pourquoi on définit parfois (dans d autres références) l angle non orienté comme un angle dont l amplitude est comprise entre et 8. L angle est alors toujours le plus petit des deu angles que nous avons représentés. La géométrie du triangle nous permet de visualiser facilement des angles de 6 et 3. En effet, puisque la somme des amplitudes des angles (intérieurs) d un triangle vaut 8, les trois angles d un triangle équilatéral ont une amplitude de 6, et en considérant la bissectrice d un angle d un tel triangle, qui n est autre que la médiane issue du sommet considéré, on obtient des angles de 3, comme le montre la figure suivante. 3 6 D Figure Un triangle équilatéral et des angles de 6 et 3. Enfin, il est utile pour les applications en phsique de se rappeler que certaines situations géométriques planes donnent lieu à des angles de même amplitude. est le cas quand deu droites parallèles du plan sont coupées par une troisième droite, dite sécante. Voici une représentation de ce phénomène. β γ δ Figure Des angles égau déterminés par une sécante sur des parallèles. Dans cette situation, les angles et β sont dits opposés par le sommet, les angles et γ, de même que les angles β et δ sont dits correspondants, les angles β et γ sont alternes-internes, tandis que les angles et δ sont alternes-eternes. Nous pouvons constater sur cette représentation la proposition suivante. Il est utile de pouvoir reconnaître quand la situation géométrique se présente et d en déduire l égalité des angles qui apparaissent. Proposition.. Une sécante détermine avec deu droites parallèles des angles opposés par le sommet, alternes internes, correspondants et alternes eternes de même amplitude. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique

3 3 ngles orientés du plan Il a bien d autres situations où l on retrouve des angles égau en géométrie. est notamment le cas quand on est en présence de triangles isométriques ou semblables. n peut parfois démontrer que des angles sont soit égau, soit supplémentaires a, c est le cas notamment pour les angles dont les côtés sont parallèles deu à deu ou perpendiculaires deu à deu. Proposition.3. Des angles à côtés parallèles sont soit égau, soit supplémentaires. Des angles à côtés perpendiculaires sont soit égau, soit supplémentaires. Figure 3 Des angles à côtés parallèles et perpendiculaires 3 ngles orientés du plan n définit classiquement deu sens de rotation dans le plan. Le sens positif est par convention le sens contraire des aiguilles d une montre et le sens négatif est le sens des aiguilles d une montre. n définit alors les angles orientés en utilisant ce sens de rotation : les angles ont une amplitude positive quand on tourne dans le sens positif et négative si on tourne dans le sens négatif L angle  a une amplitude de 45 degrés, puisqu on tourne de la demi-droite [, vers la demidroite [, dans le sens positif. L angle Ĉ a une amplitude de 35 degrés puisqu on tourne de la demi-droite [, vers la demi-droite [, dans le sens positif. Les eemples ci-dessus montrent bien que l ordre a maintenant de l importance puisque les angles  et Ĉ ont maintenant des amplitudes différentes. ependant nous avons, comme pour les angles non orientés, le choi de tourner dans le sens des aiguilles d une montre pour aller de la demi-droite [, vers la demi-droite [,. n représente cette situation de la manière suivante L angle que l on considère est marqué par un arc orienté rouge et plus épais. Son amplitude est négative puisqu on suit le sens des aiguilles d une montre. L angle  vaut alors 35 et l angle Ĉ vaut également 45. a. Des angles sont supplémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut 8. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 3

4 4 Degrés et radians Remarque 3.. Si on se limite à la situation géométrique représentée par les demi-droites, rien ne permet de choisir entre l arc dans le sens des aiguilles d une montre et l autre. est pourquoi on peut décider par convention de toujours choisir l arc suivant le sens trigonométrique positif, et calculer l angle orienté entre et 36. L autre mesure est alors obtenue en retranchant 36 à cette mesure. e choi n aura pas de conséquences pour la théorie qui suit. 4 Degrés et radians vant d en arriver à la définition des nombres trigonométriques, il est encore nécessaire de rappeler une autre façon de mesurer des angles. Si on se donne un angle Â, on peut tracer un cercle de raon en. L angle intercepte alors un arc de cercle. La longueur de l arc de cercle est alors proportionnelle à la mesure de l angle. ette longueur est la mesure de l angle en radians. Puisque la mesure des angles reste inchangée quand on leur applique une translation ou une rotation, on peut également convenir de tracer le cercle une fois pour toutes en un centre donné, de fier un point sur le cercle (disons E ) qui nous servira d origine et de déplacer tous les angles sur le cercle comme indiqué dans la figure suivante. ette donnée d un cercle, muni d un point origine, est équivalente à la donnée d un cercle et d un repère orthonormé (positif) dont l origine est le centre du cercle. e cercle de raon, accompagné d un repère orthonormé est appelé cercle trigonométrique. E E E = E Figure 4 Un angle, le cercle trigonométrique, et enfin l angle (orienté) déplacé sur ce cercle n constate qu un angle de 8 correspond à la longueur d un demi-cercle, c est à dire à une longueur d arc égale à, puisque le cercle est de raon. Vu la proportionnalité de l angle et de la longueur d arc, un degré correspond à une longueur d arc de 8. n a donc la formule de conversion de degrés en radians et inversement de radians en degrés. b Proposition 4.. Un angle dont l amplitude en degrés est donnée par [, 36 ] a une amplitude eprimée en radians par a = 8. Réciproquement, un angle dont l amplitude en radians est donnée par a [, ] a une amplitude en degrés égale à = 8a. b. est tout ce qu il a à retenir si on utilise facilement la proportionnalité. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 4

5 4 Degrés et radians Il est utile de connaître ces formules de conversion. Mais il est également utile de repérer sur le cercle trigonométrique les points déterminés par des longueurs d arc classiques. Dans les figures qui suivent, on note P () lepoint du cercle déterminé par la longueur d arc. P ( ) P ( 6 ) P () P ( 3 ) P ( 4 ) P ( 3 ) P ( 3 ) P () Remarque 4.. Il faut faire attention au points cardinau, à savoir les intersections du cercle avec les aes. Ils sont repérés d une part par l arc de cercle et l angle correspondant et d autre part par leurs coordonnées cartésiennes, aussi visibles sur le dessin. insi, le point de coordonnées cartésiennes (, ) est généralement noté sur l ae des ordonnées, mais correspond au radian. Il ne faut pas confondre. omme pour les angles orientés, on compte également les longueurs d arcs négativement lorsqu on tourne dans le sens trigonométrqiue négatif. ela permet d étendre la correspondance degrés/radians. Voici quelques eemples. P ( 4 3 ) P ( 6 ) P ( ) P ( 3 ) P ( 4 3 ) n a ainsi associé un point sur le cercle (et donc un angle) à tout nombre réel compris entre et. n constate que le même point sur le cecle correspond à deu nombres dans cet intervalle : on a par eemple P ( 3 ) = P ( 4 3 ), et P ( 3 ) = P ( ). est le cas pour les nombres dont la différence vaut. Il a simplement une longueur d arc valant un tour de cercle entre les points correspondants à 3 et 4 3. ette constatation nous amène naturellement à associer un point sur le cercle à tout nombre réel. Si >, le point P () associé à est obtenu en parcourant la longueur dans le sens trigonométrique positif, et en faisant éventuellement plusieurs fois le tour du cercle. Si est négatif, on fait de même en tournant dans le sens des aiguilles d une montre et en parcourant la longueur d arc. Il est alors clair que deu nombres réels qui sont égau à un multiple de près déterminent le même point sur le cercle. En d autres termes, pour tout k Z, on a P ( + k) = P (). c c. es tours supplémentaires semblent ne servir à rien ici. Ils sont pourtant particulièrement utiles pour résoudre des équations trigonométriques et pour modéliser des phénomènes périodiques. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 5

6 5 Nombres trigonométriques 5 Nombres trigonométriques n peut enfin définir les nombres cos() et sin(), pour tout R. n commence par considérer le point P () sur le cercle qui correspond à. Définition 5.. Soit R. Les nombres cos() et sin() sont respectivement l abscisse et l ordonnée du point P () dans le repère orthonormé définissant le cercle trigonométrique. n a donc P () = (cos(), sin()). Voici une représentation graphique de ces définitions, qu il est important de garder à l esprit. Il faut aussi remarquer que les corrdonnées d un point ont un signe. Selon le quadrant dans lequel ce point se trouve, même si des segments et leurs longueurs sont représentés sur le graphique suivant. P () cos() sin() P () 3 3 Il est important de remarquer que l on mesure d une part une longueur d arc sur le cercle (ou un angle défini en radians), à savoir, et des nombres sur les aes, à savoir cos() et sin(). Il faut donc être prudent pour les points qui sont à la fois sur les aes et sur le cercle. Le repère orthonormé donné avec le cercle trigonométrique définit quatre quadrants. haque angle eprimé en radians définit un point dans un de ces quadrants et par abus de langage, on parlera d angle dans le premier (e, 3e, 4e) quadrant si le point correspondant est dans ce quadrant. ela permet de trouver le signe de cos() et sin() très facilement en fonction de. Q Q Q 3 Q 4 3 Enfin, à partir de ces nombres, on peut définir les nombres tangente et cotangente de par tg () = sin() cos(), et cotg () = cos() sin(). ien sûr, la tangente de est définie uniquement si cos() et la cotangente de uniquement si sin(). es nombres peuvent également être représentés sur le cercle trigonométrique. insi nous avons défini quatre fonctions d sur R et à valeurs dans R.. sin : R R : sin(), avec dom sin = R ;. cos : R R : cos(), avec dom cos = R ; d. n anticipe ici un peu le chapitre sur les fonctions, je vous invite à vous rendre si quelque chose n était pas clair. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 6

7 5 Nombres trigonométriques 3. tg : R R : tg (), avec dom tg = R \ { + k : k Z} ; 4. cotg : R R : cotg (), avec dom cotg = R \ {k : k Z}. Il est utile de connaître les relations entre ces différentes fonctions, ainsi que leurs valeurs pour certains angles particuliers. Remarquons que comme et + k(), pour k entier, définissent le même point sur le cercle, ils ont même sinus, cosinus, tangente et cotangente. n obtient ainsi la périodicité des fonctions trigonométriques. e Proposition 5. (Périodicité). Pour tout R et pour tout k Z, on a sin( + k) = sin(), cos( + k) = cos(), et tg ( + k) = tg (). D autre part, puisque (cos(), sin()) est le couple de coordonnées d un point du cercle de raon centré à l origine du repère, on obtient la célèbre formule suivante (en utilisant le théorème de Pthagore ou les formules de géométries analtique qu il implique). Proposition 5.3 (Formule fondamentale de la trigonométrie). Pour tout R, on a cos () + sin () =. En considérant les smétries orthogonales par rapport au aes du repère, on peut lier le sinus et le cosinus d un angle à différents angles qui lui sont associés. es formules sont reprises dans la proposition suivante. Proposition 5.4 (ngles associés). Pour tout R, on a. La formule pour l angle opposé :. La formule pour l angle supplémentaire : 3. La formule pour l angle antisupplémentaire f : cos( ) = cos() et sin( ) = sin(). cos( ) = cos() et sin( ) = sin(). cos( + ) = cos() et sin( + ) = sin(). Il est plus utile de pouvoir retrouver ces relations que d avoir une démonstration pure et dure. n trace le cercle trigonométrique. Pour voir plus clair et pour ne pas alourdir la preuve, considère un angle pas trop grand. g + n a également une formule pour les angles complémentaires. 3 e. La fonction tangente a en fait une prériode égale à, mais c est pour une autre raison. f. e n est pas très utile de retenir ce nom. Je le donne à titre informatif. Mais la formule peut être intéressante. g. Un angle compris entre et conviendra. Le but est ici de pouvoir retrouver ces relations et de voir leur origine. 4 n peut se convaincre qu en utilisant la périodicité et les formules ci-dessus dès qu elles sont établies qu il suffit de considérer des angles pas trop grands. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 7

8 5 Nombres trigonométriques Proposition 5.5. Pour tout R, on a la formule pour l angle complémentaire : cos( ) = sin() et sin( ) = cos(). Ici aussi, un dessin vaut mieu qu un long discours : 3 Pour l eamen de valeurs particulières, on peut donc se restreindre à des nombres compris entre et inclusivement. La détermination de ces valeurs se fait en utilisant la relation fondamentale (point ()) de la proposition précédente, en utilisant le théorème de Pthagore et le propriétés des triangles isocèles et équilatérau. Proposition 5.6. n a le tableau de valeurs suivant h. 6 sin() cos() tg () cotg () Démonstration. Les valeurs en et en découlent directement de la définition. Les valeurs du cosinus et du sinus en 3 et 6 se correspondent via la proposition précédente. Elle peuvent être déterminées en cherchant le triangle équilatéral Vu que les hauteurs d un triangle équilatéral sont aussi ses médianes, on obtient directement sin( 6 ) = et par la relation fondamentale cos ( 6 ) = 4 = 3 4. omme le cosinus cherché est visiblement positif, on voit qu il vaut 3. n peut faire de même pour les valeurs en 3 bien que ce ne soit pas nécessaire. Les valeurs de la tangente et la cotangente se déduisent directement, par définition. Enfin pour les valeurs correspondant à l angle 4, on cherche le triangle isocèle, et on utilise la relation fondamentale : h. Les valeurs et sont faciles à voir, les autres peuvent être déterminées à l aides des dessins présents dans la démonstration. Les lecteurs friands de moens mnémotechniques remarqueront que sur la première ligne, les valeurs présentes sont,,, 3, 4, dans l ordre croissant. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 8

9 5 Nombres trigonométriques 4 3 n voit bien (et cela découle aussi de la proposition précédente), qu on a cos( 4 ) = sin( 4 ) et que donc cos ( 4 ) =, ce qui conduit au résultat annoncé. Les nombres trigonométriques que nous venons d introduire permettent d eprimer les relations qui eistent entre les longueurs des côtés d un triangle rectangle. En effet, pour un triangle rectangle dont l hpoténuse est de longueur, les autres côtés sont eprimés comme les sinus et cosinus des angles non droits : cos() sin() Mais le triangle obtenu en multipliant toutes les dimensions du triangle précédent par un nombre positif a est semblable à celui-ci et a donc les mêmes angles : a a sin() a cos() n a donc un rapport contant entre les longueurs des côtés dans un triangle rectangle. n a alors les relations suivantes (où on note XY la distance entre les points X et Y ) = cos(), = sin(), = tg (), que l on peut retenir par sinus=côté opposé sur hpoténuse, cosinus=côté adjacent sur hpoténuse et tangente =côté opposé sur côté adjacent. es relations nous permettent de montrer l origine des relations suivantes entre les nombres trigonométriques. Proposition 5.7. Pour tous nombres réels et, on a. cos( + ) = cos cos sin sin ;. cos( ) = cos cos + sin sin ; P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 9

10 5 Nombres trigonométriques 3. sin( + ) = sin cos + cos sin ; 4. sin( ) = sin cos cos sin. Démonstration. Traçons le cercle trigonométrique ainsi que deu angles et leur somme. E D I F n a par définition cos( + ) =, et = I cos(). n a aussi I cos() = ( F F I ) cos() = cos() cos() F I cos(). Finalement, puisque l angle en I vaut également, on a F I = tg (), F E qui donne F I = sin()tg (). La première relation est alors démontrée et les autres s en déduisent. omme cas particulier des formules d addition, on obtient les formules de duplication (pour sinus et cosinus), qui sont utilisées dans les équations trigonométriques classiques et ainsi que pour le calcul intégral. Proposition 5.8. Pour tout R, on a cos() = cos () sin () et sin() = sin() cos(). En utilisant la relation fondamentale, on obtient en plus les formules suivantes. Proposition 5.9. cos () = + cos() et sin () = cos(). Les formules importantes pour la fonction tangente peuvent être obtenues en appliquant les précédentes et sont données dans la proposition suivante. Proposition 5.. Pour tous, R tels que les epressions ci-dessous soient définies, on a. tg ( + ) =. tg ( ) = tg +tg tg tg, tg tg +tg tg, 3. tg = tg tg R. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique

11 6 Equations trigonométriques élémentaires 6 Equations trigonométriques élémentaires Nous venons d associer des nombres trigonométriques à des angles donnés. omme souvent en mathématique, il est utile de faire le chemin inverse, qui consiste à déterminer un angle à partir de son sinus, de son cosinus ou de sa tangente. Les premiers résultats qui suivent montrent que ce problème n a jamais une solution unique et donnent les solutions de premières équations impliquant les nombres trigonométriques. Il n a pas d effort de mémoire à faire. Il suffit encore de visualiser le cercle trigonométrique pour se rappeler les formules concernant les angles associés. Proposition 6.. Deu angles ont même cosinus si et seulement si ils sont égau ou opposés, modulo k (k Z). En d autres terms, on a Pour visualiser ce résultat : cos() = cos(β) β = + k ou β = + k (k Z). β = Proposition 6.. Deu angles ont même sinus si et seulement si ils sont égau ou supplémentaires, modulo k (k Z). En d autres termes, on a sin() = sin(β) β = + k ou β = + k (k Z). Pour visualiser ce résultat : = Proposition 6.3. Deu angles ont même tangente si et seulement si ils sont égau ou s ils diffèrent par un multiple de, modulo k (k Z). En d autres termes, on a tg () = tg (β) β = + k ou β = + + k (k Z). Pour visualiser ce résultat : tg() = + P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique

12 6 Equations trigonométriques élémentaires es résultats permettent de résoudre les équations simples du tpe cos() = a, sin() = a ou tg() = a. Il suffit pour cela de connaître une seule solution dans chacun des cas. n est alors ramené au résultats précédents. ela motive les définitions suivantes. Définition 6.4. Pour tout nombre a [, ], il eiste un unique nombre [, ] tel que cos() = a. e nombre est appelé arccos(a) i. n visualise cette définition comme ceci : arccos(a) a En conséquence, on a la solution de la première équation simple faisant intervenir le cosinus. Proposition 6.5. L équation cos() = a dont l inconnue est admet les solutions suivantes : Si a / [, ], il n a pas de solution. Si a [, ], il a une infinité de solutions : = arccos(a) + k, (k Z), ou = arccos(a) + k, (k Z). n peut bien sûr généraliser à des équations du tpe cos(3) =, cos(7) = 3 ou cos(4) =.8. Il suffit de déterminer respectivement les blocs 3, 7 ou 4, puis de résoudre les équations du premier degré qui en résultent. Passons à la définition suivante. Définition 6.6. Pour tout nombre a [, ], il eiste un unique nombre [, ] tel que sin() = a. e nombre est appelé arcsin(a) j. n visualise cette définition comme ceci : a arcsin(a) ela permet naturellement de résoudre les équations faisant appel au sinus. Proposition 6.7. L équation sin() = a dont l inconnue est admet les solutions suivantes : Si a / [, ], il n a pas de solution. Si a [, ], il a une infinité de solutions : = arcsin(a) + k, (k Z), ou = arcsin(a) + k, (k Z). Terminons cette section par la définition correspondante pour la tangente. i. omme le nom l indique, c est la mesure d un arc dont le cosinus vaut a. j. omme le nom l indique, c est la mesure d un arc dont le sinus vaut a. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique

13 7 Eercices Définition 6.8. Pour tout nombre a R, il eiste un unique nombre ], [ tel que tg () = a. e nombre est appelé arctg(a) k. n peut encore visualiser cette définition : arctg(a) a n obtient la solution au équations faisant intervenir la tangente. Proposition 6.9. L équation tg () = a dont l inconnue est admet toujours une infinité de solutions : 7 Eercices = arctg(a) + k, (k Z), ou = + arctg(a) + k, (k Z). 7. Radians, nombres trigonométriques, formule fondamentale et arcs associés. Transformer en degrés les nombres suivants (radians), et placer le point correspondant sur le cercle trigonométrique : 6, 3, 7 6, 3, 5 3, Transformer en radians les amplitudes suivantes, et placer le point correspondant sur le cercle trigonométrique : 3, 5, 5, 7, Évaluer les nombres trigonométriques suivants (les angles sont eprimés en radians) : cos( 7 6 ), sin( 5 6 ), sin( 3 ), tg ( 7 4 ), cotg ( 3 ). 4. Évaluer les nombres trigonométriques suivants (les angles sont eprimés en degrés) : sin( 6 ), cos( ), cotg (35 ). 5. Déterminer le signe des nombres trigonométriques suivants (les angles sont eprimés en radians) : sin(3), tg (4), cos(5), cos(7). 6. Que vaut sin( 3 )? 7. Soit un nombre réel, le nombre sin( + ) est-il égal à cos(), sin(), ou à cos()? 8. Soit un nombre réel, le nombre sin( + ) est-il égal à cos(), sin(), ou à cos()? 9. Soit un nombre réel. n pose = cos() et = sin(). Que vaut + ( + )?. Vrai ou fau : (a) Si sin() =, alors on a [, ]. (b) Si sin(θ) cos(θ) <, alors tg (θ) <. (c) Si θ ], 3 [ alors cos(θ) sin(θ) >. (d) Les nombres cos() et sin() sont de signes contraires si ] 7, 4[. (e) n a 4 cos(θ) si θ est dans le deuième quadrant. (f) n a sin(4θ) si θ est dans le premier quadrant.. Soit le nombre tel que et sin() =, 8. Que vaut alors cos()? (a) ±, 6 (b), 6 (c), 36 (d), 6 k. omme le nom l indique, c est la mesure d un arc dont la tangente vaut a. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 3

14 7 Eercices 7. Equations trigonométriques. Déterminer tous les nombres R tels que (a) sin() = ; (b) cos() = ; (c) sin(3) = 3 ; (d) cos(3) = ; (e) cos(5) = cos() ; (f) sin(3) sin() = ; (g) sin () 5 sin() + =.. Résoudre les équations trigonométriques suivantes, où est eprimé en radians. (a) sin() = sin() ; (b) cos(3) = sin() ; (c) 4 cos 3 () cos() =. 7.3 Trigonométrie dans le triangle rectangle. Soit un triangle. n note a la longueur de [, ], b la longueur de [, ] et c la longueur de [, ], eprimées en mètres. Si a = 3, b = 4 et c = 5, le triangle est-il rectangle? Justifier. Si oui, en quel sommet le triangle est-il rectangle? Même question pour a = 5, b = et c =. Même question pour a =, b = 3 et c = 4.. n considère un triangle rectangle en, on utilise les notations de l eercice précédent et on note ˆ et Ĉ les angles en et respectivement. Déterminer toutes les longueurs des côtés du triangle et tous les angles dans les cas suivants. (a) = 3 et a = 4 ; (b) Ĉ = 45 et c = 3 ; (c) a = et b = 5 ; (d) b = 3 et c = ; (e) Ĉ = 3 et b = Soit un triangle rectangle en. Le côté [, ] mesure 3 mètres. L angle  vaut 6. Quelle est la longueur du côté [, ]? (a) 3 mètres (b) 3 mètres (c) 3 mètres (d) 3 3 mètres 4. Soit un triangle rectangle en. Le côté [, ] est deu fois plus long que le côté [, ]. Que vaut alors l angle Â? (a) 3 (b) 45 (c) 6 (d) aucune des réponses précédentes. 5. Soit un triangle rectangle en. Le côté [, ] est deu fois plus long que le côté [, ]. Que vaut alors l angle Â? (a) 3 (b) 45 (c) 6 (d) aucune des réponses précédentes. 6. Soit un triangle rectangle en. Le côté [, ] mesure 3 mètres. Déterminer l angle  pour que l aire du triangle soit 9 3. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 4

15 7 Eercices 7.4 Eercices divers, et pour aller plus loin. Trouver dans R tous les (en radians) satisfaisant cos 4 () sin 4 () = cos(). Suggestion : factoriser et utiliser la relation fondamentale.. Soit un triangle rectangle en. Le côté [, ] mesure 4 mètres et l aire de vaut 8 3m. Quelle est l amplitude de l angle Â? (a) 3 (b) 45 (c) 6 (d) aucune des réponses précédentes 3. Sachant que les nombres sin(θ) et cos(θ) sont solutions de l équation du second degré + p =, (a) Déterminer la valeur de p ; (b) En déduire les valeurs de cos(θ) et sin(θ). 4. Démontrer que l epression est indépendante du choi du réel. sin() sin() cos() sin () cos() sin () + 5. Développer cos(4) comme une combinaisons de puissances de cos(), quel que soit réel. 6. Soit θ un angle tel que cos(θ) = 6 4. Sachant qu on a sin( ) = + 6 4, (a) que vaut θ si θ ], [? (b) que vaut θ si θ ], 3 [? 7. Démontrer qu il eiste eactement une valeur du paramètre réel a pour que l epression a cos ( ) ( ) ( ) + cos cos 3 soit identiquement nulle, quel que soit R. P. Mathonet, Université de Liège (ULg), Faculté des Sciences, Département de Mathématique 5