Exercice. [ points ] Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre ( A, B ou C ) correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n est de

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1 Mathématiques BREVET BLANC Classes de 01//// Mardi 1 Janvier 01 Durée h Calculatrice autorisée Total sur 0 points dont points réservés à la rédaction. Vous pouvez traiter les exercices dans le désordre. Exercice.1 [ points ] On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Multiplier ce nombre par Ajouter 6 Ecrire le résultat Sont issus du brevet ( parfois avec petite modification) les exercices : 1,,,,6. 1. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque : a. le nombre choisi est 1, b. le nombre choisi est noté x. Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 1? Exercice. [ 6 points ] On considère : A 1610, B 1 1, et enfin C (8 )(8 ). 1. a. Donner l écriture scientifique de A. b. Donner l écriture décimale de A.. Ecrire B sous forme de fraction irréductible.. Jean tente d utiliser sa calculatrice collège pour calculer C. Quelle réponse obtient-il? Il effectue alors un calcul «à la main» et réussi à obtenir la valeur de C. Effectuer un tel calcul. Exercice. [ points ] Soit E (x ) (x )( x 8). 1. Développer puis réduire l expression algébrique E.. Factoriser l expression algébrique E.. Calculer l expression E lorsque x. Exercice. [6 points ] Sur la figure ci-contre, qui n est pas en vraie grandeur, le quadrilatère BREV est un rectangle avec BR = 1 cm et BV = 7, cm. Le point T est sur le segment [VE] tel que VT = 9,6 cm. N est le point d intersection des droites (BT) et (RE). 1. Justifier brièvement que TE =, cm.. Calculer BT.. Calculer EN. 1/

2 Exercice. [ points ] Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre ( A, B ou C ) correspondant à la bonne réponse. Aucune justification n est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse fait perdre 0, point. Réponses Questions A B C 1. Quelle expression est égale à 6 si on x² ( x 1) x² 1 choisit la valeur x 1?. Le développement de x² x² x x² ( x )(x ) (x 6) est :. Une factorisation de 9 x² 16 est : (x ) (x )(x ) (x ). L équation ( x )(x ) 0 admet pour solutions : et et et Exercice.6 [ 7 points ] En travaux pratiques de chimie, les élèves utilisent des récipients appelés erlenmeyers, comme schématisé ci-dessous. Le récipient est rempli d eau jusqu au «niveau maximum de l eau» indiqué sur le schéma par une flèche. On note : C 1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB, C le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon O B. On donne : SO = 1 cm et OB = cm. 1. Calculer la valeur exacte du volume V 1 du cône C 1.. Le cône C est une réduction du cône C 1, et l on donne : SO = cm. a. Calculer le coefficient de réduction. b. En déduire que la valeur exacte du volume V du cône C est égale à cm.. a. Déduire des questions précédentes que le volume d eau contenue dans le récipient rempli jusqu à la hauteur indiquée par la flèche, est égale à : 6 cm. b. Donner l arrondi au cm de ce volume d eau.. Ce volume d eau est-il supérieur ou inférieur à 0, litre? Justifier brièvement la réponse. Exercice.7 Problème de l œuf [ points ] Toute démarche, même si elle n aboutit pas, doit être écrite sur la copie et sera prise en compte dans la notation. Une boite contient encore œufs, parfaitement identiques. Sophie souhaite déterminer le volume de l un de ces œufs. Elle utilise un récipient qui a la forme d un pavé droit et elle le rempli partiellement d eau jusqu à une hauteur de 8 cm. Elle plonge ensuite les œufs dans l eau : ils coulent tous jusqu à atteindre le fond du récipient. Sophie constate que maintenant la hauteur d eau dans le récipient est 11 cm. Comment Sophie peut-elle en déduire le volume d un tel œuf? /

3 Exercice.1 Multplier cenombre par Ajouter 6 1. a. 1,,8 10,8. Lorsque le nombre choisi est 1, alors le résultat obtenu est 10,8. b. Multplier cenombre par Ajouter 6 x x x 6. Lorsque le nombre choisi est noté x, le résultat obtenu est x 6.. Il s agit de trouver x tel que x 6 1, qui donne : x 1 6, puis : x 9, soit enfin : Pour que le résultat soit égal à 1, il faut choisir comme nombre de départ : 9. Exercice. 9 x (10 ) A A A 8 ( ) A 1, 10 L écriture scientifique de A est 1, 10. b. On en déduit immédiatement l écriture décimale de A : B 1 1 B 1 1 B 1 17 B 17 B 17 B 17 B. La calculatrice refuse d effectuer ce calcul C (8 )(8 ) C (8 ) () C C ( ) C C 9 C 9 Exercice. 1. Développons E E (x ) (x )( x 8) E ( x) ( x)() () x 16x x E x² 1x 9 x² 16x x E 6 x² x 1. Factorisons : E (x ) (x )( x 8) E (x )(x ) (x )( x 8) E (x )[(x ) ( x 8)] E (x )(x x 8) E (x )(x ). Calculons E pour x, en utilisant la forme factorisée : E 9 E 0 E 0

4 Exercice. 1. BREV est un rectangle donc on en déduit que ses côtés opposé ont la même longueur, et en particulier VE = BR. T [ VE] donc VE = VT + TE, d où, en tenant compte des longueurs connues : 1 = 9,6 + TE, qui donne : 1-9,6 = TE, soit finalement :, = TE. On a donc bien TE =, cm.. Le quadrilatère BREV est un rectangle donc il possède quatre angles droits. On en déduit que le triangle BVT est rectangle en V donc on peut écrire l égalité de Pythagore dans ce triangle : VB² + VT² = BT², d où, en tenant compte des longueurs connues : 7,² + 9,6² = BT², qui donne : 1,8 + 9,16 = BT², soit : 1 = BT², d où : BT 1, soit finalement : BT = 1 cm.. Le quadrilatère BREV est un rectangle donc on en déduit en particulier que (VB) // (ER). Comme N appartient à (RE), la relation précédente s écrit aussi (VB) // (EN). On sait que : (VB) // (EN) (BN) et (VE) sont sécantes en T On utilise : le théorème de Thalès TN TE EN On en déduit que : TB TV VB TN, EN qui s écrit aussi, en tenant compte des longueurs connues :. 1 9,6 7, On utilise :, EN. D où :, 7, EN, puis, à l aide de la calculatrice :, EN. 9,6 7, 9,6 Finalement : EN =, cm. Remarque : d autres rédactions sont possibles pour obtenir les trois quotients égaux. Exercice. 1. Réponse C. Réponse A. Réponse B. Réponse B Exercice.6 R² h Le volume d un cône de hauteur h et dont le disque de base a pour rayon R est : Vcône OB² SO 1. La formule du volume d un cône permet d écrire : V1, puis, en tenant compte des longueurs ² 1 16 connues : V1 6. On a donc : V1 6 cm. SO ' 1 1. a. k. Le coefficient de réduction est donc : 1 SO 1. Remarque : une erreur de raisonnement hélas habituelle amène à un «coefficient de réduction égal à». Ce résultat est absurde puisqu un coefficient de réduction est nécessairement inférieur à 1. b. Pour un agrandissement ou une réduction, lorsque les distances sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k On en déduit que : V k V Le volume V du petit cône est donc bien égal à cm.

5 .a. Le volume d eau est égal à celui du grand cône diminué de celui du petit cône, donc est égal à 6 cm cm, qui est bien égal à 6 cm. Remarque : (6 1) 6. b. A l aide de la calculatrice, on obtient : 6 197,9. On en déduit que l arrondi au cm est 198 cm.. 1 litre = ml. Or 1 ml = 1 cm, donc 1 litre = cm. En multipliant par 0, chaque membre, la dernière relation donne : 0, 1 litre = 0, cm, soit 0, litre = 00 cm. Or, l arrondi 198 cm précédent montre que le volume d eau est inférieur à 0, litre. Exercice.7 Les œufs ont provoqué une augmentation du niveau de l eau dans le récipient égale à : 11 cm 8 cm, soit : cm. Les œufs occupent donc un volume égal au volume d un pavé droit de largeur et longueur identiques à celles de la base du récipient et de hauteur cm. Le volume de l ensemble des œufs est donc 0 10 cm, soit 600 cm. Un seul œuf va occuper un volume fois moindre, donc 600 cm, soit finalement : 10 cm. Un tel œuf a un volume de 10 cm.