École Nationale Supérieure de Techniques Avancées module : Commande des Systèmes. examen du cours B7 1 Filtrage bayésien et approximation particulaire

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1 École ationale Supérieure de Techniques Avancées module : Commande des Systèmes examen du cours B7 1 Filtrage bayésien et approximation particulaire mercredi 16 octobre 2013, 8:30 à 10:00 Problème L objectif de ce problème est de montrer que les estimations de l erreur d approximation particulaire obtenues dans le cours pour des fonctions bornées, peuvent également être établies pour certaines classes de fonctions non nécessairement bornées. On rappelle que les distributions non normalisées vérifient la relation de récurrence suivante γ = γ 1 R = g (γ 1 Q ) et les approximations particulaires proposées sont définies par avec la distribution empirique γ = g η γ 1, 1 η = S (µ 1 Q ) = 1 δ ξ i, i=1 où conditionnellement par rapport à la tribu F 1 engendrée par les systèmes de particules jusqu à la ( 1) ème génération, les v.a. (ξ 1,, ξ ) sont i.i.d. de distribution commune µ 1 Q. Pour tout = 1,, n, on rappelle que γ γ, ϕ = γ 1 γ 1, Q (g ϕ) + η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1 ( ) pour toute fonction ϕ mesurable bornée. Soit V une fonction à valeurs dans [1, ), et soit A V l ensemble des fonctions ϕ mesurables, non nécessairement bornées, mais telles que la fonction ϕ soit bornée. On V ϕ(x) définit la norme V par ϕ V = sup V (x) = ϕ V pour tout ϕ A V. 1

2 On suppose que la fonction V est une fonction de Lyapunov dans le sens suivant : pour tout = 1,, n, il existe une constante L > 0 telle que Q V (x) = Q (x, dx ) V (x ) L V (x), pour tout x. (i) Montrer que, si la fonction ϕ appartient à A V, alors la fonction Q (g ϕ) aussi appartient à A V, et Q (g ϕ) V sup g (x) L ϕ V. Si la fonction ϕ appartient à A V, alors on remarque que Q (g ϕ)(x) = Q (x, dx ) g (x ) ϕ(x ) de sorte que sup g (x) ϕ V sup g (x) L ϕ V V (x), Q (x, dx ) V (x ) Q (g ϕ)(x) V (x) sup g (x) L ϕ V, pour tout x, c est à dire que la fonction Q (g ϕ) aussi appartient à A V, et Q (g ϕ)(x) Q (g ϕ) V = sup V (x) sup g (x) L ϕ V. (ii) Montrer (par exemple par récurrence) que, si la fonction de Lyapunov V est intégrable par rapport à la distribution initiale η 0, alors elle est intégrable par rapport aux distributions non normalisées γ et par rapport aux distributions η et µ, pour tout = 0, 1,, n. n déduire que toute fonction ϕ appartenant à A V est intégrable par rapport aux distributions non normalisées γ et par rapport aux distributions η et µ, pour tout = 0, 1,, n. n déduire que la relation ( ) est vérifiée aussi pour toute fonction ϕ appartenant à A V. 2

3 Pour = 0 et pour tout = 1,, n γ 0, V = η 0, g 0 V sup g 0 (x) η 0, V, γ, V = γ 1, Q (g V ) sup g (x) L γ 1, V. Pour = 0 et pour tout = 1,, n µ 0, V = η 0, g 0 V sup g 0 (x) η 0, V = r 0 η 0, V, η, V = µ 1, Q V L µ 1, V, et µ, V = η, g V η, g sup g (x) η, g η, V = r η, V. Si la fonction ϕ appartient à A V, et si la fonction de Lyapunov V est intégrable par rapport à une distribution (normalisée ou pas) notée κ, alors κ, ϕ κ, ϕ ϕ V κ, V <, c est à dire que la fonction ϕ aussi est intégrable par rapport à la distribution κ. Il suffit alors d appliquer cette simple observation avec κ = γ, avec κ = η ou avec κ = µ, pour tout = 0, 1,, n. (iii) Montrer (par exemple par récurrence) que l approximation particulaire des distributions non normalisées est non biaisée, i.e. γ, ϕ = γ, ϕ pour toute fonction ϕ appartenant à A V. Par définition γ0, ϕ = η0, g 0 ϕ, de sorte que γ0, ϕ = η 0, g 0 ϕ = γ 0, 1, c est à dire que l hypothèse de récurrence est vérifiée au rang 0. 3

4 On suppose que l hypothèse de récurrence est vérifiée au rang ( 1). Par définition γ, ϕ = η, g ϕ γ 1, 1, de sorte que, conditionnellement par rapport à la tribu F 1 engendrée par les systèmes de particules jusqu à la ( 1) ème génération [ γ, ϕ F 1] = [ η, g ϕ F 1] γ 1, 1 = µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1 = γ 1, Q (g ϕ), et d après l hypothèse de récurrence au rang ( 1) γ, ϕ = γ 1, Q (g ϕ) = γ 1, Q (g ϕ) = γ ϕ, c est à dire que l hypothèse de récurrence est vérifiée au rang. On suppose que la fonction V 2 aussi est une fonction de Lyapunov dans le sens suivant Q V 2 (x) = Q (x, dx ) V 2 (x ) L (2) V 2 (x) (iv) Montrer (par exemple par récurrence) que, si la fonction de Lyapunov V 2 est intégrable par rapport à la distribution initiale η 0, alors elle est intégrable par rapport aux distributions η et µ, pour tout = 0, 1,, n. Pour = 0 µ 0, V 2 = η 0, g 0 V 2 et pour tout = 1,, n sup g 0 (x) η 0, V 2 = r 0 η 0, V 2, η, V 2 = µ 1, Q V 2 L (2) µ 1, V 2, et µ, V 2 = η, g V 2 sup g (x) η, V 2 = r η, V 2. η, g η, g On peut en déduire par exemple la relation de récurrence suivante µ, V 2 r η, V 2 r L (2) µ 1, V 2. Il est maintenant possible de suivre les étapes de la démonstration vue en cours dans le cas plus simple des fonctions bornées, et d obtenir des estimations de l erreur d approximation particulaire dans le cas plus général des fonctions appartenant à A V. 4

5 (v) Montrer (par exemple par récurrence, et en suivant les étapes de la démonstration vue en cours dans le cas plus simple des fonctions bornées) que sup γ γ, ϕ z, γ, 1 où la suite {z } vérifie la relation de récurrence suivante z Pour = 0, on rappelle que r L z 1 + r η, V 2 1/2 et z 0 r 0 η 0, V 2 1/2. γ 0 γ 0, ϕ = η 0 η 0, g 0 ϕ, pour toute fonction ϕ appartenant à A V, et on remarque que η0 η 0, g 0 ϕ 1 ( var(g 0 ϕ, η 0 ) ) 1/2 1 sup g 0 (x) ϕ V η 0, V 2 1/2, et en divisant par γ 0, 1 = on obtient z0 = sup γ 0 γ 0, ϕ 1 sup g 0 (x) γ 0, 1 Pour tout = 1,, n, on rappelle que η 0, V 2 1/2 = r 0 η 0, V 2 1/2. γ γ, ϕ = γ 1 γ 1, Q (g ϕ) + η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1, pour toute fonction ϕ appartenant à A V, et il résulte de l inégalité triangulaire que sup γ γ, ϕ sup γ 1 γ 1, Q (g ϕ) + sup [ η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1 ]. n utilisant le résultat obtenu à la question (i), on remarque que sup γ 1 γ 1, Q (g ϕ) sup g (x) L et en divisant par γ, 1 = η, g γ 1, 1 on obtient z = sup γ γ, ϕ γ, 1 sup g (x) η, g L sup γ 1 γ 1, ϕ γ 1, 1 sup γ 1 γ 1, ϕ, + sup η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1, η, g γ 1, 1 5

6 i.e. Il suffit à présent de controler l erreur locale, définie par et on remarque que z r L z 1 + ε. ( ) ε = sup η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1, η, g γ 1, 1 [ η µ 1 Q, g ϕ F 1 ] 1 ( var(g ϕ, µ 1 Q ) ) 1/2 1 sup g (x) ϕ V µ 1 Q, V 2 1/2, où F 1 dénote la tribu engendrée par les systèmes de particules jusqu à la ( 1) ème génération, puis en multipliant par γ 1, 1, mesurable par rapport à F 1, et en divisant par η, g γ 1, 1, on obtient [ η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1 η, g γ 1, 1 1 sup g (x) η, g F 1 ] γ 1, 1 γ 1, 1 ϕ V µ 1 Q, V 2 1/2 = r γ 1 ϕ, 1 1/2 γ 1 Q, V 2 1/2 V γ 1, 1. 6

7 n utilisant l inégalité de Cauchy Schwartz et la propriété démontrée à la question (iii), on en déduit que ε = sup η µ 1 Q, g ϕ γ 1, 1 η, g γ 1, 1 r [ γ 1, 1 1/2 γ 1 Q, V 2 1/2 ] γ 1, 1 r [ γ 1, 1 ]1/2 [ γ 1 Q, V 2 ] 1/2 γ 1, 1 = r γ 1, 1 1/2 γ 1 Q, V 2 1/2 γ 1, 1 = r µ 1 Q, V 2 1/2 = r η, V 2 1/2, et en reportant cette estimation dans ( ), on obtient z r L z 1 + r η, V 2 1/2, ou bien z r L z 1 + r (L (2) c 1 ) 1/2, c r L (2) c 1. 7