Géométrie dans l espace

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1 xercices 29 mai 2016 éométrie dans l espace roites et plans xercice 1 Soit un cube et un plan (JK) tel que : = 2, 3 J = 2 3 et K = 1 4 éterminer l intersection du plan (JK) avec le cube. K J xercice 2 est un cube d arête 8 cm. M, N et P sont les points respectivement des arêtes [], [] et [] tels que : N=M=P=2cm 1) a) onstruire les points Q et R, intersections du plan (MNP) avec les arêtes [] et [] b) Vérifier que la section du cube par le plan (MNP) est un pentagone 2) a) alculer la longueur des côtés du pentagone b) essiner ce pentagone en vraie grandeur. N M P paul milan 1 Terminale S

2 exercices xercice 3 Soit un tétraèdre et un plan () tel que : est le centre de gravité du triangle, = 1 et = éterminer l intersection d un plan () avec le tétraèdre. xercice 4 QM Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. dentifier cette réponse et justifier votre choix. est un cube d arête 1. et J sont les milieux respectifs des arêtes [] et []. 1) Le triangle J est : a) isocèle b) équilatéral c) rectangle isocèle 2) La section du cube par le plan (J) est : a) un parallélogramme b) un trapèze c) un quadrilatère quelconque J 3) Le plan (J) coupe la droite () en K. a) est le milieu de [K] b) 2K=3 c) K=3 4) Le plan (J) coupe le segment [] en L. a) 5L= b) 6L= c) 4L=3 paul milan 2 Terminale S

3 exercices xercice 5 On considère le cube ci contre de côté 4 cm., J, K et L sont les milieux respectifs de [], [], [] et []. 1) Le point appartient-il au segment []? 2) Justifier que ===. Peut-on en déduire que est un losange? 3) émontrer que le quadrilatères K, KJ et J sont des parallélogrammes. 4) émontrer que J est un losange. 5) Le quadrilatère J est-il un carré? K J L xercice 6 est un tétraèdre. et J sont les milieux respectifs de [] et []. K est le point de l arête [] tel que 3K=. 1) a) onstruire le point M intersection de la droite (K) et du plan (). b) émontrer que est le milieu de [M]. On appelera le milieu de [K] et on tracera [] 2) a) n déduire la construction du point L intersection de [] et du plan (JK). b) éterminer la valeur de k pour laquelle L=k K J Vecteurs colinéaires et coplanaires xercice 7,, sont trois points non alignés de l espace. est le milieu de []. Le point est tel que : + + = 0. a) émontrer que + = 2. b) n déduire que les points, et sont alignés et que est le centre de gravité du triangle. paul milan 3 Terminale S

4 exercices xercice 8 est un tétraèdre, est le limieu de []. Le point est le centre de gravité du triangle, c est à dire + + = 0. d après l exercice précédent que : On considère le point K tel que : K + K + K + K = 0 1) a) émontrer que : 3 K + K = 0 b) n déduire que les points K, et sont alignés. 2) Trouver le réel k tel que : K = k puis placer K sur la figure. xercice 9 est un cube. est le milieu de [] et J celui de []. a) émontrer que : J = b) n déduire que : 2 J = c) Pourquoi peut-on en déduire que les vecteurs, et J sont coplanaires? J ans un repère xercice 10 1) On donne les points (1; 1; 2), (0; 5; 3), (4; 19; 1). es points sont-il alignés? 2) On donne les points (3; 2; 2), ( 1; 4; 4), (1; 0; 1) et (3; 3; 1). Les droites () et () sont-elle parallèles? 3) La droite d est dirigée par u(2; 1; 3) et la droite d est dirigée par v( 4; 2; 6). Quel théorème vous permet d affirmer que ces deux droites sont parallèles? xercice 11 On donne les points (3; 0; 4), (2; 3; 1), ( 1; 2; 3) et (0; 1; 6). a) Justifier que ces quatre points sont coplanaires. b) Quelle est la nature du quadrilatère? xercice 12 On donne les points (0; 1; 3), ( 2; 0; 2) et ( 2; 2; 2). Quelle est la nature du triangle? xercice 13 paul milan 4 Terminale S

5 On donne les points (5; 1; 3), (5; 3; 1), (1; 1; 1) et (1; 3; 3). émontrer que le teraèdre est régulier c est à dire que toutes ses faces sont des triangles équilatéraux. xercice 14 On donne les points (2; 3; 1), (2; 8; 1), (7; 3; 1) et (2; 1; 2). émontrer que les points, et sont sur une même sphère de centre. xercice 15 Plan médiateur de [ ] : plan dont les points sont équidistants de et de. l est ainsi perpendiculaire au segment [] en son milieu On donne les points (5; 2; 1) et (3; 1; 1). ndiquer parmi les points suivants ceux qui appartiennent au plan médiateur de [] : ( 2; 5; 2) (1; 1; 3) (3; 2; 1) Représentation paramétrique d une droite et d un plan xercice 16 x=1 3t La droite apour représentation paramétrique : y= 2+2t z= 1 t 1) a) éterminer le point de de paramètre 0. b) éterminer un vecteur u directeur de. c) Justifier qu il existe un point de d abscisse 5. ( 2) La droite passe-t-elle par le point 10; 16 ) 3 ; 14 3 t R xercice 17 On donne les droites d et d de représentations paramètriques suivantes : x=6 3s x= 3+t y= 7+2s s R et y= 3 t R z= 1+ s z= 5+2t émontrer que ces droites sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d intersection. xercice 18 On donne les points (2; 1; 0), (0; 1; 1) et (0; 3; 2). a) émontrer que les points, et ne ont pas alignés. b) Vérifier que, et k ne sont pas coplanaires. c) La droite passant par O dirigée par k coupe le plan () au point. alculer les coordonnées de. paul milan 5 Terminale S

6 xercice 19 1) émontrer que les trois points ( 1; 2; 5) ; (1; 0; 2) et (0; 2; 3) définissent un plan. 2) éterminer une représentation paramétrique de ce plan 3) a) Prouver que les plans () et ( O, ı, j ) ne sont pas parallèles. b) n déduire une représentation paramétrique de la droite intersection de ces deux plans. xercice 20 ( L espace est rapporté à un repère O, ı, j, ) k. On note d 1 la droite passant par les points (1; 2; 1) et (3; 5; 2). x=1+2t 1) émontrer qu une représentation paramétrique de d 1 est : y= 2 3t t R z= 1 t x=2 s 2) d 2 est la droite de repésentation paramétrique : y= 1+2s s R z= s émontrer que d 1 et d 2 ne sont pas coplanaires. 3) On considère le plan P passant par le point (0; 3; 0) et dirigé par les vecteurs u(1; 4; 0) et v(0; 5; 1) a) émontrer que le plan P contient la droite d 1. b) émontrer que le plan P et la droite d 2 se coupent en un point dont on déterminera les coordonnées. Le produit scalaire xercice 21 On donne les vecteurs u et v de coordonnées respectives : (1; 3; 0) et (0; 3; 1). 1) alculer u v 2) Quelle est, à un degré près, la mesure de l angle géométrique associé à u et v xercice 22 est un cube d arête a. O est le centre de la face et le milieu du segment []. 1) aire une figure. 2) alculer en fonction de a a) O b) O xercice 23 On considère un cube, d arête de longueur a (a réel strictement positif). Soit le point d intersection de la droite () et du plan (). 1) alculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :,, 2) n déduire que les vecteurs et sont orthogonaux. On admettra de même que les vecteurs et sont orthogonaux. paul milan 6 Terminale S

7 3) n déduire que le point est le projeté orthogonal de sur le plan (). 4) a) Justifier les résultats suivants : les droites () et () sont orthogonales, ainsi que les droites () et (). b) n déduire que la droite () est orthogonales la droite (). c) Établir de même que la droite () est orthogonale à la droite (). 5) Que représenté le point pour le triangle? xercice 24 Les points, et ont pour coordonnées : (6; 8; 2), (4; 9; 1) et (5; 7; 3) 1) éterminez la mesure de l angle géométrique. 2) Les points, et se projettent orthogonalement respectivement en, et sur le plan ( O, ı, j ) (d équation z=0). a) éterminez les coordonnées des points, et. b) éterminez la mesure de l angle géométrique. Que constatez-vous? Équation cartésienne d un plan xercice 25 éterminer, dans chaque cas, une équation cartésienne du plan P passant par les points et de vecteur normal n. a) (2; 0; 1) et n(1; 1; 3) b) ( 2; 2; 5) et n(2; 3; 1) xercice 26 éterminer, dans chaque cas, une équation cartésienne du plan P perpendiculaire en à (). a) (2; 0; 1) et (0; 1; 3). b) ( 2; 2; 5) et ( 1; 3; 2) xercice 27 Le plan P a pour équation cartésienne : x 3y+2z 5 = 0 et le point a pour coordonnées (2; 3; 1). st-il vrai que le point (3; 0; 1) est le projeté orthogonal de sur le plan P xercice 28 On donne les points (1; 1; 3), (0; 3; 1), (2; 1; 3), (4; 6; 2) et (6; 7; 1). 1) émontrer que les points, et définissent un plan P de vecteur normal. 2) n déduire une équation cartésienne du plan P paul milan 7 Terminale S

8 xercice 29 x=1+t s Le plan P a pour représentation paramétrique : y= 2 t+ s z=2t s éterminer une équation cartésienne du plan P. (t, s) R 2 Problèmes généraux xercice 30 L espace est rapporté à un repère orthonormal pour coordonnées (3; 2; 2), (6; 1; 5), (6; 2; 1). Partie 1) émontrez que le triangle est un triangle rectangle. ( O, ı, j, ) k. Les points, et ont 2) Soit P le plan d équation cartésienne : x+y+z 3=0 Prouvez que P est orthogonal à la droite () et passe par le point. 3) Soit P le plan orthogonal à la droite () et passant par le point. éterminez une équation cartésienne de P. 4) éterminez un vecteur directeur de la droite intersection des plans P et P. Partie 1) Soit le point de coordonnées (0; 4; 1). Prouvez que la droite () est perpendiculaire au plan (). 2) alculer le volume du tétraèdre. 3) Prouvez que l angle a pour mesure π 4 radian. 4) a) alculez l aire du triangle. b) éduisez-en la distance du point au plan (). xercice 31 entre étrangers juin 2014 ans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points : (1 ; 2 ; 7), (2 ; 0 ; 2), (3 ; 1 ; 3), (3 ; 6 ; 1) et (4 ; 8 ; 4) 1) Montrer que les points, et ne sont pas alignés. 2) Soit u (1 ; b ; c) un vecteur de l espace, où b et c désignent deux nombres réels. a) éterminer les valeurs de b et c telles que u soit un vecteur normal au plan (). b) n déduire qu une équation cartésienne du plan () est : x 2y+z 4=0. c) Le point appartient-il au plan ()? 3) On considère la droite de l espace dont une représentation paramétrique est : x= 2t+3 y= 4t+5 où t est un nombre réel. z= 2t 1 a) La droite est-elle orthogonale au plan ()? paul milan 8 Terminale S

9 b) éterminer les coordonnées du point, intersection de la droiteet du plan (). 4) Étudier la position de la droite () par rapport au plan (). xercice 32 mérique du Nord juin Section d un cube par un plan On considère un cube donné ci-après. On note M le milieu du segment [], N celui de [] et P le point tel que P = 1. 4 Partie : Section du cube par le plan (MNP) 1) Justifier que les droites (MP) et () sont sécantes en un point L. onstruire le point L 2) On admet que les droites (LN) et () sont sécantes et on note T leur point d intersection. On admet que les droites (LN) et () sont sécantes et on note Q leur point d intersection. a) onstruire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. b) onstruire l intersection des plans (MNP) et (). 3) n déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP). Partie L espace est rapporté au repère ( ;,, ). 1) onner les coordonnées des points M, N et P dans ce repère. 2) éterminer les coordonnées du point L. ( 3) On admet que le point T a pour coordonnées 1 ; 1 ; 5 ). 8 Le triangle TPN est-il rectangle en T? M + P + + N paul milan 9 Terminale S

10 xercice 33 mérique du sud nov 2005 On donne le cube, d arête de longueur 1, et les milieux et J des arêtes [] et []. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. J Le candidat est appelé à juger chacune des 10 affirmations suivantes. Répondre par vrai ou faux ffirmation 1 = 2 = J = J = cos π 3 Vrai ou aux paul milan 10 Terminale S

11 On utilise à présent le repère orthonormal exercices ( ;,, ) ffirmation Une représentation paramétrique de la droite (J) est : x=t+1 y=2t, t R z=t Une représentation paramétrique de la droite (J) est : x= 1 2 t+1 y=t+1, t R z= 1 2 t+ 1 2 Vrai ou aux 7. 6x 7y+8z 3=0 est une équation cartésienne de la droite (J) L intersection des plans (J) et () est la droite passant par et par le milieu de l arête []. Le vecteur u de coordonnées ( 4; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (J). 10. Le volume du tétraèdre J est égal à 1 6. xercice 34 On donne le point ( 7 ; 0 ; 4) et le plan P d équation x+2y z 1=0. Le but de cette question est de calculer la distance d du point au plan P. On appelle la droite qui passe par le point et qui est perpendiculaire au plan P. 1) éterminer une représentation paramétrique de la droite. 2) éterminer les coordonnées du point, projeté orthogonal du point sur le plan P. 3) éterminer d xercice 35 Polynésie juin 2014 ans un repère orthonormé de l espace, on considère les points (5 ; 5 ; 2), ( 1 ; 1 ; 0), (0 ; 1 ; 2) et (6 ; 6 ; 1) 1) éterminer la nature du triangle et calculer son aire. 2) a) Montrer que le vecteur n ( 2; 3 ; 1) est un vecteur normal au plan (). b) éterminer une équation cartésienne du plan (). 3) éterminer une représentation paramétrique de la droite orthogonale au plan () et passant par le point. 4) éterminer les coordonnées du point, intersection de la droite et du plan (). paul milan 11 Terminale S

12 5) éterminer le volume du tétraèdre. On rappelle que le volume d un tétraèdre est donné par la formule V= 1 h, où 3 est l aire d une base du tétraèdre et h la hauteur correspondante. 6) On admet que = 76 et = 61. éterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l angle. xercice 36 Liban juin Vrai-aux Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère le plan P d équation x y+3z+1=0et la droite dont une représentation paramétrique est x=2t y=1+t, t R z= 5+3t On donne les points (1 ; 1; 0), (3 ; 0 ; 1) et (7 ; 1 ; 2) x=5 2t Proposition 1 : Une représentation paramétrique de la droite () est y= 1+t z= 2+t Proposition 2 : Les droites et () sont orthogonales. Proposition 3 : Les droites et () sont coplanaires. Proposition 4 : La droite coupe le plan P au point de coordonnées (8; 3; 4). Proposition 5 : Les plans P et () sont parallèles. xercice 37 ntilles-uyane juin Vrai-aux Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. ( L espace est muni d un repère orthonormé O, ı, j, ) k. On considère les points (1 ; 2 ; 5), ( 1 ; 6 ; 4), (7 ; 10 ; 8) et ( 1 ; 3 ; 4). 1) Proposition 1 : Les points, et définissent un plan. 2) On admet que les points, et définissent un plan. Proposition 2 : Une équation cartésienne du plan () est x 2z+9=0. 3) Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite () est x= 3 2 t 5 y= 3t+14 z= 3 2 t+2 t R paul milan 12 Terminale S

13 4) Soit P le plan d équation cartésienne 2x y+5z+7=0 et P le plan d équation cartésienne 3x y+z+5=0. Proposition 4 : Les plans P et P sont parallèles. xercice 38 Pondichéry avril QM L espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t désignent des paramètres réels. Le plan (P) a pour équation x 2y+3z+5=0. x= 2+t+2t Le plan (S) a pour représentation paramétrique y= t 2t z= 1 t+3t x= 2+t La droite () a pour représentation paramétrique y= t z= 1 t On donne les points de l espace M( 1 ; 2 ; 3) et N(1 ; 2 ; 9). 1) Une représentation paramétrique du plan (P) est : x=t x=t+t a) y=1 2t c) y=1 t 2t z= 1+3t z=1 t 3t x=t+2t x=1+2t+t b) y=1 t+t d) y=1 2t+2t z= 1 t z= 1 t 2) a) La droite () et le plan (P) sont sécants au point ( 8 ; 3 ; 2). b) La droite () et le plan (P) sont perpendiculaires. c) La droite () est une droite du plan (P). d) La droite () et le plan (P) sont strictement parallèles. 3) a) La droite (MN) et la droite () sont orthogonales. b) La droite (MN) et la droite () sont parallèles. c) La droite (MN) et la droite () sont sécantes. d) La droite (MN) et la droite () sont confondues. paul milan 13 Terminale S

14 est la droite d inter- 4) a) Les plans (P) et (S) sont parallèles. x=t b) La droite ( ) de représentation paramétrique y= 2 t z= 3 t section des plans (P) et (S). c) Le point M appartient à l intersection des plans (P) et (S). d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires. xercice 39 sie juin QM et exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes. Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte. ans l espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points (1 ; 1 ; 1), (1 ; 1 ; 1), (0 ; 3 ; 1) et le plan P d équation 2x+y z+5=0. Question 1 Soit 1 la droite de vecteur directeur u (2 ; 1 ; 1) passant par. Une représentation paramétrique de la droite 1 est : x=2+t a) y= 1 t z=1 t x= 1+2t b) y=1 t z=1+t (t R) (t R) x=5+4t c) y= 3 2t z=1+2t x=4 2t d) y= 2+t z=3 4t (t R) (t R) Question 2 x=1+t Soit 2 la droite de représentation paramétrique y= 3 t (t R). z=2 2t a) La droite 2 et le plan P ne sont pas sécants b) La droite 2 est incluse dans le plan P. ( 1 c) La droite 2 et le plan P se coupent au point 3 ; 7 3 ; 10 ). 3 ( 4 d) La droite 2 et le plan P se coupent au point 3 ; 1 3 ; 22 ). 3 Question 3 a) L intersection du plan P et du plan () est réduite à un point. b) Le plan P et le plan () sont confondus. c) Le plan P coupe le plan () selon une droite. d) Le plan P et le plan () sont strictement parallèles. Question 4 Une mesure de l angle arrondie au dixième de degré est égale à : a) 22,2 b) 0,4 c) 67,8 d) 1,2 paul milan 14 Terminale S

15 xercice 40 mérique du Sud novembre 2013 On considère le cube, ( d arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l espace du repère orthonormé ;,, ). K 1) éterminer une représentation paramétrique de la droite (). 2) émontrer que le vecteur 1 n 1 est un vecteur normal au plan () et déterminer 1 une équation du plan (). 3) Montrer que la( droite () est perpendiculaire au plan () en un point K de 2 coordonnées K 3 ; 1 3 ; 2 ). 3 4) Quelle est la nature du triangle? éterminer son aire. 5) n déduire le volume du tétraèdre. xercice 41 Métropole juin Tétraèdre ans l espace, on considère un tétraèdre dont les faces, et sont des triangles rectangles et isocèles en. On désigne par, et les milieux respectifs des côtés [], [] et []. On choisit pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé ( ;,, ) de l espace. paul milan 15 Terminale S

16 exercices 1) On désigne par P le plan qui passe par et qui est orthogonal à la droite (). On note le point d intersection du plan P et de la droite (). a) onner les coordonnées des points et. b) onner une représentation paramétrique de la droite (). c) éterminer une équation cartésienne du plan P. d) alculer les coordonnées du point. e) émontrer que l angle est un angle droit. 2) On désigne par M un point de la droite () et par t le réel tel que M = t. On noteαla mesure en radians de l angle géométrique M. Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour queαsoit maximale. a) émontrer que M 2 = 3 2 t2 5 2 t b) émontrer que le triangle M est isocèle en M. ( α n déduire que M sin = 2) ( α c) Justifier queαest maximale si et seulement si sin est maximal. 2) n déduire queαest maximale si et seulement si M 2 est minimal. d) onclure. xercice 42 Pondichéry avril 2016 désigne un cube de côté 1. Les points, J, K sont les milieux respectifs des segments [], [], []. J K Partie ans cette partie, on ne demande aucune justification On admet que les droites (J) et () sont sécantes en un point L. onstruire, sur la figure et en laissant apparents les traits de construction : paul milan 16 Terminale S

17 le point L ; l intersection des plans (JK) et () ; la section du cube par le plan (JK). Partie L espace est rapporté au repère ( ;,, ). 1) onner les coordonnées de,,, J et K dans ce repère. 2) a) Montrer que le vecteur est normal au plan (JK). b) n déduire une équation cartésienne du plan (JK). 3) On désigne par M un point du segment [] et t le réel de l intervalle [0 ; 1] tel que M = t. a) émontrer que M 2 = 3t 2 3t ( 1 b) émontrer que la distance M est minimale pour le point N 2 ; 1 2 ; 1 ). 2 ( 1 4) émontrer que pour ce point N 2 ; 1 2 ; 1 ) : 2 a) N appartient au plan (JK). b) La droite (N) est perpendiculaire aux droites () et (). paul milan 17 Terminale S