Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 01 mars 2016 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. correction SÉRIE S

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1 Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 0 mars 06 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES correction obligatoire et spé Le candidat doit traiter trois eercices plus un eercice suivant sa spécialité. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : le nom de l épreuve : épreuve de mathématiques. votre spécialité : mathématique, physique ou SVT. tournez la page s.v.p.

2 Eercice ) d = d 0+ 00=50+00=50 a = d 0+ a 0+ 70= =445 ) a) On obtient en sortie : d = 50 et a = 40. d est conforme à la question ) mais pas a. Cela vient du fait qu à la ligne D + 00 D, on a écrasé l ancienne valeur de D et l on a calculé A avec la nouvelle valeur de D. On a donc calculé : a = d + a 0+ 70=5+5+70=40 b) Pour remédier à cela, soit on calcule la valeur de A avant la valeur de D, soit on stocke l ancienne valeur de D dans une variable E, comme le montre les algorithmes corrigés suivants : Variables : n, k : entiers naturels D, A : réels Entrées et initialisation Saisir la valeur de n D prend la valeur 00 A prend la valeur 450 Traitement pour k variant de à n faire A prend la valeur A + D + 70 D prend la valeur D + 00 fin Sorties : Afficher D et A Variables : n, k : entiers naturels D, A, E : réels Entrées et initialisation Saisir la valeur de n D prend la valeur 00 A prend la valeur 450 Traitement pour k variant de à n faire E prend la valeur D D prend la valeur D + 00 A prend la valeur A + E + 70 fin Sorties : Afficher D et A ) a) e n+ = d n+ 00= d n = d n 00= (d n 00)= e n e n+ n N, = e n, donc la suite (e n) est géométrique de raison q= et de er terme e 0 = d 0 00=00 () b) On a e n = e 0 q n = 00. d n = e n + 00=00 ( ) n + 00 () n c) lim = 0 car < n + <. donc par produit et somme : 4) a) On a les inégalité suivantes : n on multiplie par n n n on ajoute n n n + n or n n+ n n + n+ n (n+) lim d n= 00. La suite (d n ) converge vers 00. n + Paul Milan tournez la page s.v.p.

3 b) Soit la proposition : n n. Initialisation : Pour n=4. 4 = 6 4 = 6 la proposition est initialisée. Hérédité : Soit n 4. On admet que n n. Montrons que n+ (n+). On a la suite des inégalités suivantes : n n hypothèse de récurrence. On multiplie par n n on sait que n (n+) (question 4) a)) n+ (n+) La proposition est héréditaire. Conclusion : Par initialisation et hérédité, n 4, n n. c) D après la question précédente, pour n 4, on a : n n Comme les termes sont positifs, en prenant l inverse, on a : 0 n n 00 d) lim n + n lim n + ( 0 00n n 00n n 0 00n n 00 n 00n = 0 donc d après le théorème des gendarmes, lim n + ) n = 0 car < Par produit et somme <. n = 0 lim a n= 40. La suite (a n ) est convergente vers 40. n + PS : voici les valeurs que donne la calculatrice pour n=0 Eercice Partie A : Propriétés du nombre j ) a) = 4= =(i ). <0, racines complees conjuguées : z = +i = + i = j et z = i = i b) On a bien z = j ) j= + i = cos π + i sin π = ei π On a donc : j = et arg( j)= π [π] ) a) j = ( ) = e i π e i π = cos π+i sin π= ; b) j est solution de l équation z + z+=0 donc j + j+=0 j = j Paul Milan tournez la page s.v.p.

4 bac blanc de mathématiques 4) On a la figure suivante : Q( j) O P() R( j ) PQ= j = + i 9+ = = = QR= j j = + i + + i = i = RP= j = + + i = + i 9+ = = = Donc PQ=QR=RP=, le triangle PQR est équilatéral. Partie B ) Comme j = j, on a : a+ jb+ j c=0 a+bj+c( j)=0 a+bj c cj=0 a c=c j bj a c= j(c b) ) À l aide de la question précédente et comme j =, on a : AC=CA= a c = j(c b) = j c b = c b =BC ) Comme j = j j= j, on a : a+ jb+ j c=0 a+b( j )+c j = 0 a b b j + c j = 0 a b=b j c j a b= j (b c) 4) À l aide de la question précédente et comme j =, on a : AB=BA= a b = j (b c) = j b c = b c =CB=BC Des question ) et 4), on a : AC=BC=AB. Le triangle ABC est équilatéral. Eercice Partie A : Étude d une fonction auiliaire ) En zéro : lim + = 0 lim ln =0 0 + Par somme lim g()= 0 + Paul Milan 4 tournez la page s.v.p.

5 En+ : g()= (+ ) ln lim + lim + + = ln = lim =+ par produit lim + ) a) g ()= ln Par somme lim + ln = + g()= + ( ) = ln = ln g ()=0 ln =0 = Comme la fonction ln est croissante sur ]0 ;+ [, la fonction ln est décroissante sur ]0 ;+ [, donc : Si <, g ()>0 et si >, g ()<0. b) On obtient le tableau de variation suivant : g () g() 0 α ) a) Sur ]0 ; [, g()> donc ne s annule pas. Sur [ ;+ [, la fonction g : est continue car dérivable ; est monotone (décroissante) ; change de signe car g()= et lim + =. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet une unique solution α [ ;+ [ Conclusion : sur ]0 ;+ [, l équation g()=0 admet une unique solutionα. b) g(4)=+4 4 ln 4 0, 55, d après le théorème des valeurs intermédiaires,α [ ; 4] À l aide de l algorithme de dichotomie, on trouve :, 59 α, 60 c) D après le tableau de variation : Si 0< <α, g()>0 et si >α, g()<0. Partie B : Étude de la fonction principale a) f ()= (+ ) ln (+ ) = + ln (+ ) = g() (+ ) b) Si >0, alors (+ ) > 0 donc le signe de f () est le signe de g(). c) On obtient le tableau de variation suivant : Paul Milan 5 tournez la page s.v.p.

6 f () f () 0 α α 0 d) g(α)=0 +α α lnα=0 +α=α lnα. En remplaçant dans f (α), on obtient :, 59 α, 60, 60 α, 59 f (α)= lnα +α = lnα α lnα = α. 0, 7 f (α) 0, 8 Eercice 4 Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Partie A : Étude et représentation de la fonction f ) On change la forme : f ()= e lim + =+ par somme lim ( )= e e. e =+, donc par quotient + lim ) f ()= e (e ) (e ) = e e + (e ) = e ( ) (e ) Comme [0 ;+ [, e > 0, on a : f ()=0 =0 = signe de f ()=signe de ( ). Si 0 <, f ()>0 et si >, f ()<0. f ()=0. + ) On obtient le tableau de variation suivant : f () f () e 0 0 4) ( ) : y= f (0)+ f (0) comme f (0)= et f ()=0, on a : ( ) : y= 5) On obtient la courbe suivante : 0, 58 e Paul Milan 6 tournez la page s.v.p.

7 bac blanc de mathématiques ( ) C f 0. O Partie B : Algorithme ) Pour éviter de calculer les valeurs de A, on peut mettre l instruction "Afficher A" avant la fin de la boucle. On obtient alors I A X 0 0,5 0,060 0,50 0,69 0,75 4 0, 06 ) Cet algorithme pour K = 8, affiche : A 0, 47 ) L algorithme donne la somme des aires des rectangles qui minorent la surface sous la courbe C f dans l intervalle [0 ; ]. Lorsque K tend vers+, l algorithme donne donc l aire sous la courbe C f dans l intervalle [0 ; ] comme indiqué. Eercice 5 Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité ) Il s agit de démontrer le corollaire du théorème de Gauss. b et c divise a, donc il eiste deu entiers relatifs k et k tels que : a=kb et a=k c On a donc : kb=k c donc c divise kb. Comme b et c sont premiers entre eu, d après le théorème de Gauss, c divise k. Il eiste un entier relatif k tel que : k=k c On a donc : a=kb=k cb, en conséquence bc divise a. ) a) Si et 4 divise, donc comme et 4 sont premiers entre eu, d après le théorème précédent 4= divise. Cela contredit donc l affirmation de l élève. b) est pair, donc est impair en conséquence 4 ne divise par. c) [], comme la congruence est compatible avec les puissances : ( ) []. On en déduit, []. En conséquence ne divise pas. Paul Milan 7 tournez la page s.v.p.

8 d) S= + + ( ) + ( ) + +( ) 0. Il y a termes. S est la somme des premiers termes d une suite géométrique de raison q= et de premier terme. S= q q = ( ) = 7 =. 7 e) On en déduit que : =7S. 7 divise. ) 7 =8 =7. Pour savoir si 7 est premier, on applique le critère d arrêt ou de primalité. On teste tous les diviseurs premiers inférieurs ou égau à 7, 7. On teste les diviseurs :,, 5, 7 et. D après les critères de divisibilité :,, 5 et ne divisent pas 7. De plus 7=7 8+4,, 5, 7 et ne divisent pas 7 donc 7 est un nombre premier. 4) a) L algorithme affiche 7 et "CAS " si on saisit n= et et "CAS " si on saisit n=7car on teste les facteurs premiers jusqu à. b) Le CAS correspond à un nombre de Mersenne non premier, car il eiste un k qui divise n inférieur à n. k=7 pour. c) Le CAS correspond à un nombre de Mersenne premier comme 7. Paul Milan 8 fin