DÉRIVATION NUMÉRIQUE. Analyse Numérique Tronc Commun. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 1
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- Salomé Paul
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1 IV DÉRIVATION NUMÉRIQUE Analyse Numérique Tronc Commun Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 1
2 Un exemple Calcul approcé de la dérivée en 1 (a + b). 2 y x a b Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 2
3 La dérivée d une fonction f en un point x R est définie par f (x) := lim 0 f (x + ) f (x) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 3
4 La dérivée d une fonction f en un point x R est définie par f (x) := lim 0 f (x + ) f (x) Le calcul de la dérivée peut être : Onéreux (expression difficile à évaluer) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 3
5 La dérivée d une fonction f en un point x R est définie par f (x) := lim 0 f (x + ) f (x) Le calcul de la dérivée peut être : Onéreux (expression difficile à évaluer) Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données expérimentales par exemple) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 3
6 La dérivée d une fonction f en un point x R est définie par f (x) := lim 0 f (x + ) f (x) Le calcul de la dérivée peut être : Onéreux (expression difficile à évaluer) Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données expérimentales par exemple) Impossible : Dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 3
7 La dérivée d une fonction f en un point x R est définie par f (x) := lim 0 f (x + ) f (x) Le calcul de la dérivée peut être : Onéreux (expression difficile à évaluer) Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données expérimentales par exemple) Impossible : Dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 3
8 La dérivée d une fonction f en un point x R est définie par f (x) := lim 0 f (x + ) f (x) Le calcul de la dérivée peut être : Onéreux (expression difficile à évaluer) Imprécis : Fonction donnée par un ensemble discret de valeurs (données expérimentales par exemple) Impossible : Dérivées intervenant dans des équations différentielles par exemple Idée simple : Calculer le quotient différentiel : f (x) f (x + ) f (x) 1 Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 3
9 Erreur d arrondi : Un exemple Supposons que l on travaille sur un calculateur avec 3 ciffres significatifs. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 4
10 Erreur d arrondi : Un exemple Supposons que l on travaille sur un calculateur avec 3 ciffres significatifs. Soit f (x) = x 2. On veut calculer f (7) = 14 avec cette métode. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 4
11 Erreur d arrondi : Un exemple Supposons que l on travaille sur un calculateur avec 3 ciffres significatifs. Soit f (x) = x 2. On veut calculer f (7) = 14 avec cette métode. Avec = 0,1, on a (7,1) 2 = 50,41 f (7,1) f (7) 0,1 = (7,1) ,1 = 50,4 49 0,1 = 14,0 Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 4
12 Erreur d arrondi : Un exemple Supposons que l on travaille sur un calculateur avec 3 ciffres significatifs. Soit f (x) = x 2. On veut calculer f (7) = 14 avec cette métode. Avec = 0,1, on a (7,1) 2 = 50,41 f (7,1) f (7) 0,1 = (7,1) ,1 = 50,4 49 0,1 = 14,0 Avec = 0,01, on a (7,01) 2 = 49,1401 f (7,01) f (7) 0,01 = (7,01) ,01 = 49,1 49 0,01 = 10,0!!! Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 4
13 Erreur d arrondi : Un exemple Supposons que l on travaille sur un calculateur avec 3 ciffres significatifs. Soit f (x) = x 2. On veut calculer f (7) = 14 avec cette métode. Avec = 0,1, on a (7,1) 2 = 50,41 f (7,1) f (7) 0,1 = (7,1) ,1 = 50,4 49 0,1 = 14,0 Avec = 0,01, on a (7,01) 2 = 49,1401 f (7,01) f (7) 0,01 = (7,01) ,01 = 49,1 49 0,01 = 10,0!!! Ainsi, une petite perturbation de f (x) (erreur d arrondi) a induit une grande perturbation de f (x). Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 4
14 Erreur d arrondi Soit δ la précision relative de la macine (ex. : 7 ciffres significatifs = δ = 10 7 ). L erreur absolue sur l évaluation d une fonction f en un point x est de l ordre de δ f (x). On peut estimer l erreur sur le numérateur par δ f (x + ) + δ f (x) 2δ f (x). Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 5
15 Erreur d arrondi Soit δ la précision relative de la macine (ex. : 7 ciffres significatifs = δ = 10 7 ). L erreur absolue sur l évaluation d une fonction f en un point x est de l ordre de δ f (x). On peut estimer l erreur sur le numérateur par δ f (x + ) + δ f (x) 2δ f (x). L erreur absolue sur le quotient différentiel est alors estimée par : E a = 2δ f (x) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 5
16 Erreur d arrondi Soit δ la précision relative de la macine (ex. : 7 ciffres significatifs = δ = 10 7 ). L erreur absolue sur l évaluation d une fonction f en un point x est de l ordre de δ f (x). On peut estimer l erreur sur le numérateur par δ f (x + ) + δ f (x) 2δ f (x). L erreur absolue sur le quotient différentiel est alors estimée par : E a = 2δ f (x) Dans le cas de l exemple précédent (δ = 10 3 ), on a pour = 0,1 : E a = ,1 = 0,98 1 Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 5
17 Erreur d arrondi Soit δ la précision relative de la macine (ex. : 7 ciffres significatifs = δ = 10 7 ). L erreur absolue sur l évaluation d une fonction f en un point x est de l ordre de δ f (x). On peut estimer l erreur sur le numérateur par δ f (x + ) + δ f (x) 2δ f (x). L erreur absolue sur le quotient différentiel est alors estimée par : E a = 2δ f (x) Dans le cas de l exemple précédent (δ = 10 3 ), on a pour = 0,1 : E a = ,1 = 0,98 1 Pour = 0,01 : E a = ,01 10 Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 5
18 Erreur de troncature On a par la formule de Taylor (on suppose f 2 fois continûment dérivable) : f (x + ) = f (x) + f (x) + f ( x) 2 2 x x <. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 6
19 Erreur de troncature On a par la formule de Taylor (on suppose f 2 fois continûment dérivable) : f (x + ) = f (x) + f (x) + f ( x) 2 2 x x <. Ainsi f (x) = f (x + ) f (x) f ( x) 2. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 6
20 Erreur de troncature On a par la formule de Taylor (on suppose f 2 fois continûment dérivable) : f (x + ) = f (x) + f (x) + f ( x) 2 2 x x <. Ainsi f (x) = f (x + ) f (x) f ( x) 2. L erreur de troncature pour des petites valeurs de est définie par E t = 2 f ( x) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 6
21 Erreur totale Elle est définie par E = E a + E t Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 7
22 Erreur totale Elle est définie par E = E a + E t Ainsi pour notre métode E = 2δ f (x) + 2 f ( x) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 7
23 Erreur totale Elle est définie par E = E a + E t Ainsi pour notre métode E = 2δ f (x) + 2 f ( x) Téorème La quantité est minimale pour E = 2δ f (x) + 2 f ( x) = 2 δ f (x) f ( x). Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 7
24 Démonstration Soit où f (x) g(s) := 2δ + s s 2 f ( x) = a s + bs a = 2δ f (x), b = 1 2 f ( x). Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 8
25 Démonstration Soit où f (x) g(s) := 2δ + s s 2 f ( x) = a s + bs a = 2δ f (x), b = 1 2 f ( x). Puisque a et b sont positifs, on a le grape : g(s) bs a/s Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 8
26 On en déduit D où g (s) = 0 a a s 2 + b = 0 s = b. = 2 δ f (x) f ( x). Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 9
27 On en déduit D où g (s) = 0 a a s 2 + b = 0 s = b. = 2 δ f (x) f ( x). Exemple : On prend f (x) = x 2 et δ = On en déduit f (x) = 2, = 2δf (x) = 2δ x. Si x = 7, on a = 10 δ 0,3. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 9
28 Autres scémas Le quotient différentiel f (x) f (x + ) f (x) est appelé différence décentrée à droite. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 10
29 Autres scémas Le quotient différentiel f (x) f (x + ) f (x) est appelé différence décentrée à droite. On peut tout aussi bien coisir une différence décentrée à gauce : f (x) f (x) f (x ) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 10
30 Autres scémas Le quotient différentiel f (x) f (x + ) f (x) est appelé différence décentrée à droite. On peut tout aussi bien coisir une différence décentrée à gauce : f (x) f (x) f (x ) ou une différence centrée autour de x, i.e. f (x) f (x + ) f (x ) 2 Dans ce cas, l erreur d arrondi reste la même. Par contre, on modifie l erreur de troncature. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 10
31 Téorème On suppose que f est de classe C 3 et de dérivées bornées. Alors on a f f (x + ) f (x ) (x) sup f (y) y R Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 11
32 Téorème On suppose que f est de classe C 3 et de dérivées bornées. Alors on a f f (x + ) f (x ) (x) sup f (y) y R En effet, on a par la formule de Taylor : f (x + ) = f (x) + f (x) f (x) f (ξ), où ξ [x, x + ], f (x ) = f (x) f (x) f (x) 3 6 f (η), où η [x, x]. Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 11
33 Téorème On suppose que f est de classe C 3 et de dérivées bornées. Alors on a f f (x + ) f (x ) (x) sup f (y) y R En effet, on a par la formule de Taylor : f (x + ) = f (x) + f (x) f (x) f (ξ), où ξ [x, x + ], f (x ) = f (x) f (x) f (x) 3 6 f (η), où η [x, x]. Donc f (x) f (x + ) f (x + ) 2 = 2 ( f (ξ) + f (η) ). 12 Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 11
34 Dérivée seconde On a f (x) f (x + 2 ) f (x 2 ) 1 ( f (x + ) f (x) = f (x + ) 2f (x) + f (x ) 2 ) f (x) f (x ) Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 12
35 Dérivée seconde On a f (x) f (x + 2 ) f (x 2 ) 1 ( f (x + ) f (x) = f (x + ) 2f (x) + f (x ) 2 ) f (x) f (x ) On montre alors le résultat : Téorème On suppose que f est de classe C 4 et de dérivées bornées jusqu à l ordre 4. Alors on a pour tout x R, la majoration : f (x) f (x + ) 2f (x) + f (x ) sup f (4) (x) x R Analyse Numérique R. Touzani Dérivation numérique 12
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