Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions"

Transcription

1 les fonctions LPO de Chirongui

2 - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56

3 - Limite finie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient On note f (x) = l. x + Remarque : On définit de façon analogue f (x) = l. x

4 - Limite finie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = l. x + Remarque : On définit de façon analogue f (x) = l. x

5 - Limite finie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = l. x + Remarque : On définit de façon analogue f (x) = l. x

6 - Limite finie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = l. x + Remarque : On définit de façon analogue f (x) = l. x

7 - Limite finie à l infini - Graphiquement : FIGURE A gauche ite en + et à droite en Lorsque f a pour ite l en + (resp. en ), on dit que, dans un repère, la droite d d équation y = l est

8 - Limite finie à l infini - Graphiquement : FIGURE A gauche ite en + et à droite en Lorsque f a pour ite l en + (resp. en ), on dit que, dans un repère, la droite d d équation y = l est

9 - Limite finie à l infini - Graphiquement : FIGURE A gauche ite en + et à droite en Lorsque f a pour ite l en + (resp. en ), on dit que, dans un repère, la droite d d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en + (resp. en ).

10 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

11 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

12 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

13 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

14 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

15 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

16 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

17 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

18 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

19 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

20 - Limite finie à l infini - Exemples : x + x = 0 x x = 0 x + x x 2 = 0 x 2 = 0 x + = 0 x

21 - Limite infinie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient On note f (x) = +. x + Remarque : On définit de manière analogue f (x) = +, x x f (x) =, x + f (x) =.

22 - Limite infinie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = +. x + Remarque : On définit de manière analogue f (x) = +, x x f (x) =, x + f (x) =.

23 - Limite infinie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = +. x + Remarque : On définit de manière analogue f (x) = +, x x f (x) =, x + f (x) =.

24 - Limite infinie à l infini - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note f (x) = +. x + Remarque : On définit de manière analogue f (x) = +, x x f (x) =, x + f (x) =.

25 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

26 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

27 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

28 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

29 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

30 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

31 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

32 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

33 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

34 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

35 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

36 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

37 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

38 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

39 - Limite infinie à l infini - Exemples : x = + x + x + x = x x = + x 3 = x x 2 = + x + x 2 = + x x 3 = + x +

40 - Exercices : Savoir Faire (livre)- ite en ite d un quotient ite de l inverse ite d une fonction polynôme, d une fonction rationnelle Livre Indice BORDAS - Page 47 Exercice 43, 54, 64 et 47 pages 56 à 58

41 2- Limite infinie - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient On note f (x) = +. x a Remarque : On définit de façon analogue f (x) =. x a

42 2- Limite infinie - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a. On note f (x) = +. x a Remarque : On définit de façon analogue f (x) =. x a

43 2- Limite infinie - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a. On note f (x) = +. x a Remarque : On définit de façon analogue f (x) =. x a

44 2- Limite infinie - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a. On note f (x) = +. x a Remarque : On définit de façon analogue f (x) =. x a

45 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

46 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. strictement inférieur à a). On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

47 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. strictement inférieur à a). On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

48 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. strictement inférieur à a). On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

49 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Dire qu une fonction f a pour ite + en a à droite (resp. à gauche) signifie que tout intervalle de la forme ]A; + [, avec A réel, contient toutes les valeurs de f (x) dès que x est assez proche de a, x restant strictement supérieur à a (resp. strictement inférieur à a). On note f (x) = + ou (resp. x a x<a x a x>a f (x) = +. x a + f (x) = + ou f (x) = + ). x a Remarque : on définit de façon analogue f (x) =. x a f (x) = et x a +

50 2- Limite à droite ou à gauche - Graphiquement :

51 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Lorsque f a pour ite + (ou ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d équation x = a est

52 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Lorsque f a pour ite + (ou ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale à C f

53 2- Limite à droite ou à gauche - Définition Lorsque f a pour ite + (ou ) en a, (ou à droite en a ou à gauche en a), on dit que la droite d équation x = a est asymptote verticale à C f

54 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

55 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

56 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

57 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

58 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

59 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

60 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

61 2- Limite à droite ou à gauche - Exemples : x 0 x = + x>0 x 0 x 2 = + x 0 x = x<0 x 0 x>0 x = +

62 3- Limites et opérations - Les principaux résultats sur les calculs de ites ont été vus avec les suites. On retient qu on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type : " ", "0 ", " 0 0 ", " "

63 3- Limites et opérations - Les principaux résultats sur les calculs de ites ont été vus avec les suites. On retient qu on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type : " ", "0 ", " 0 0 ", " "

64 3- Limites et opérations - Les principaux résultats sur les calculs de ites ont été vus avec les suites. On retient qu on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type : " ", "0 ", " 0 0 ", " "

65 3- Limites et opérations - Les principaux résultats sur les calculs de ites ont été vus avec les suites. On retient qu on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type : " ", "0 ", " 0 0 ", " "

66 3- Limites et opérations - Les principaux résultats sur les calculs de ites ont été vus avec les suites. On retient qu on ne peut pas conclure directement dans les cas des formes indéterminées, du type : " ", "0 ", " 0 0 ", " "

67 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

68 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

69 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

70 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

71 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

72 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

73 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

74 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

75 3- Limites et opérations - Exemple de recherche de ites : On considère la fonction f définie sur R\{2} par f (x) = + x 2 Limite en + : (x 2) = + et par inverse : x + Donc, par somme, f (x) = x + x + x 2 = 0. On a alors une asymptote horizontale d équation y =.

76 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

77 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

78 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

79 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

80 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

81 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

82 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

83 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

84 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

85 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

86 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

87 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

88 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

89 3- Limites et opérations - Limite en 2 + et en 2 : (x 2) = 0 + et par inverse : x 2 x>2 x 2 x>2 Donc, par somme, f (x) = +. x 2 x>2 x 2 = +. De plus, (x 2) = 0 et par inverse : x 2 x<2 Donc, par somme, f (x) =. x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 =. On a alors une asymptote verticale d équation x = 2.

90 3- Limite d une fonction composée - Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples. x u v u(x) v (u(x)) x v u v (u(x))

91 3- Limite d une fonction composée - Définition Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit contenue dans J : u(i) J. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la Elle est notée v u, ou parfois v(u). Pour tout réel x de I : v u(x) = v(u(x))

92 3- Limite d une fonction composée - Définition Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit contenue dans J : u(i) J. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la composée de u par v. Elle est notée v u, ou parfois v(u). Pour tout réel x de I : v u(x) = v(u(x))

93 3- Limite d une fonction composée - Définition Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit contenue dans J : u(i) J. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la composée de u par v. Elle est notée v u, ou parfois v(u). Pour tout réel x de I : v u(x) = v(u(x))

94 3- Limite d une fonction composée - Définition Soient deux fonctions u et v définies sur deux ensembles I et J tels que l image de I par u soit contenue dans J : u(i) J. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, s appelle la composée de u par v. Elle est notée v u, ou parfois v(u). Pour tout réel x de I : v u(x) = v(u(x))

95 3- Limite d une fonction composée - Théorème a, b et c désignent trois réels, ou + ou. Si on a u(x) = b et v(x) = c x a x b alors v u(x) =... x a

96 3- Limite d une fonction composée - Théorème a, b et c désignent trois réels, ou + ou. Si on a u(x) = b et v(x) = c x a x b alors v u(x) =c. x a

97 3- Limite d une fonction composée - Théorème a, b et c désignent trois réels, ou + ou. Si on a u(x) = b et v(x) = c x a x b alors v u(x) =c. x a

98 3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

99 3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

100 3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

101 3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

102 3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

103 3- Limite d une fonction composée - Exemple : Soit f (x) = ( 2x + ) 2. On peut décomposer f en enchaînement de fonctions : x 2x + ( 2x + ) 2 On a : ( 2x + ) = et X 2 = + x + X et donc par composition : f (x) = + x +

104 3- Exercices : Savoir Faire (livre)- Fonction composée Livre Indice BORDAS - Page 49 Exercice 77 et 78 page 59

105 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) =... x + x + Majoration : si g(x) =, alors f (x) =... x + x +

106 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) =... x + x + Majoration : si g(x) =, alors f (x) =... x + x +

107 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) =... x + x + Majoration : si g(x) =, alors f (x) =... x + x +

108 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) = + Majoration : si x + x + x + g(x) =, alors x + f (x) =...

109 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) = + Majoration : si x + x + x + g(x) =, alors x + f (x) =...

110 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) = + Majoration : si x + x + x + g(x) =, alors x + f (x) =

111 3- Limite et comparaisons - On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus pour les suites. Théorème Soient deux fonctions f et g définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait f (x) g(x). Minoration : si f (x) = +, alors g(x) = + Majoration : si x + x + x + g(x) =, alors x + f (x) =

112 3- Limite et comparaisons - Théorème des gendarmes On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x) f (x) h(x). On suppose que g(x) = x + h(x) = l, où l est un x + nombre réel. Alors Remarque : on obtient des théorèmes analogues en.

113 3- Limite et comparaisons - Théorème des gendarmes On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x) f (x) h(x). On suppose que g(x) = x + h(x) = l, où l est un x + nombre réel. Alors Remarque : on obtient des théorèmes analogues en.

114 3- Limite et comparaisons - Théorème des gendarmes On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x) f (x) h(x). On suppose que g(x) = x + nombre réel. Alors f admet pour ite l en + : h(x) = l, où l est un x + f (x) = l x + Remarque : on obtient des théorèmes analogues en.

115 3- Limite et comparaisons - Théorème des gendarmes On considère trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle de la forme ]a; + [ telles que pour tout réel x > a, on ait g(x) f (x) h(x). On suppose que g(x) = x + nombre réel. Alors f admet pour ite l en + : h(x) = l, où l est un x + f (x) = l x + Remarque : on obtient des théorèmes analogues en.

116 3- Exercices : Savoir Faire (livre)- Théorème de comparaison Livre Indice BORDAS - Page 5 Exercice 89, 9 et 92 page 60

117 4- Notion intuitive de continuité - Une fonction définie sur un intervalle I est continue sur I si sa courbe représentative ne présente aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon de la feuille). Exemples : FIGURE La fonction carré est continue sur R, la fonction inverse est continue sur ] ; 0[ et sur ]0; + [ mais n est pas continue sur R. f est définie mais pas continue sur [ 3; 2] ; il y a une rupture en x =.

118 4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

119 4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

120 4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

121 4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

122 4- Notion intuitive de continuité - Théorème (admis) Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention : ne pas confondre " continuité " et " dérivabilité " : Une fonction f est continue en a si sa courbe C f ne présente pas de saut en son point d abscisse a. Une fonction f est dérivable en a si sa courbe C f admet une tangente non verticale en son point d abscisse a.

123 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur

124 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur

125 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur

126 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur

127 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur

128 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur

129 4- Notion intuitive de continuité - Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse : valeur absolue et racine carrée, par exemple, ne sont pas dérivables en 0 mais sont continues en 0, respectivement sur R et sur [0; + [. Conséquences : Les fonctions " usuelles " (affines, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

130 4- Exercices : Savoir Faire (livre)- Notion de continuité Livre Indice BORDAS - Page 5 Exercice 98 et 99 page 60

131 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Convention dans un tableau de variations : Une flèche dans le tableau de variations d une fonction f indique : la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l intervalle correspondant ; la

132 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Convention dans un tableau de variations : Une flèche dans le tableau de variations d une fonction f indique : la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l intervalle correspondant ; la

133 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Convention dans un tableau de variations : Une flèche dans le tableau de variations d une fonction f indique : la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l intervalle correspondant ; la continuité de la fonction sur cet intervalle.

134 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Convention dans un tableau de variations : Une flèche dans le tableau de variations d une fonction f indique : la stricte croissance ou stricte décroissance de f sur l intervalle correspondant ; la continuité de la fonction sur cet intervalle.

135 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe Autrement dit, f prend, entre a et b, toute

136 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, f prend, entre a et b, toute

137 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, f prend, entre a et b, toute

138 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, f prend, entre a et b, toute valeur intermédiaire entre f (a) et f (b).

139 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, f prend, entre a et b, toute valeur intermédiaire entre f (a) et f (b).

140 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Corollaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l équation f (x) = k admet Remarque : Ce corollaire s étend au cas d intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin f (a) et f (b) par les ites de f en a et en b.

141 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Corollaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l équation f (x) = k admet une unique solution dans l intervalle [a; b]. Remarque : Ce corollaire s étend au cas d intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin f (a) et f (b) par les ites de f en a et en b.

142 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Corollaire Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b]. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l équation f (x) = k admet une unique solution dans l intervalle [a; b]. Remarque : Ce corollaire s étend au cas d intervalles ouverts ou semi-ouverts, bornés ou non bornés en remplaçant si besoin f (a) et f (b) par les ites de f en a et en b.

143 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Illustration graphique : Cas où f est strictement croissante Cas où f est strictement décroissante

144 4- Théorème des valeurs intermédiaires - Tableaux de variations :

145 4- Exercices : Savoir Faire (livre)- Théorème des valeurs intermédiaires Livre Indice BORDAS - Page 53 Exercice 04 et 05 page 53

146 5- Dérivée d une composée - Dérivée de x f (ax + b) Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et deux réels a et b fixés. On note J l intervalle formé des réels x tels que (ax + b) I, et la fonction g : x f (ax + b). Alors la fonction g est dérivable sur J et, pour tout x de J : g (x) =

147 5- Dérivée d une composée - Dérivée de x f (ax + b) Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et deux réels a et b fixés. On note J l intervalle formé des réels x tels que (ax + b) I, et la fonction g : x f (ax + b). Alors la fonction g est dérivable sur J et, pour tout x de J : g (x) = a f (ax + b)

148 5- Dérivée d une composée - Dérivée de x f (ax + b) Théorème On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I et deux réels a et b fixés. On note J l intervalle formé des réels x tels que (ax + b) I, et la fonction g : x f (ax + b). Alors la fonction g est dérivable sur J et, pour tout x de J : g (x) = a f (ax + b)

149 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : g (x) = On retient : ( u ) =

150 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : On retient : ( u ) = g (x) = u (x) 2 u(x)

151 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : On retient : ( u ) = g (x) = u (x) 2 u(x)

152 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : On retient : ( u ) = u 2 u g (x) = u (x) 2 u(x)

153 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Dérivée de x u(x) et de x (u(x)) n. Propriété : On considère une fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I. La fonction g : x u(x) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I : On retient : ( u ) = u 2 u g (x) = u (x) 2 u(x)

154 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) = que l on note aussi : (u n ) = u n

155 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) = que l on note aussi : (u n ) = u n

156 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) = que l on note aussi : (u n ) = u n

157 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) u n = n u u n+ que l on note aussi : (u n ) =

158 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) u n = n u u n+ que l on note aussi : (u n ) =

159 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) u n = n u u n+ que l on note aussi : (u n ) = nu u n.

160 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Propriété 2 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et soit n un entier naturel. Si n, alors la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n. Si n, alors la fonction est dérivable pour tout réel x tel un que u(x) 0 et : ( ) u n = n u u n+ que l on note aussi : (u n ) = nu u n.

161 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Remarque : ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d une fonction composée On admettra le résultat général : x v(u(x)) (v u) (x) = (v(u(x))) =

162 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Remarque : ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d une fonction composée On admettra le résultat général : x v(u(x)) (v u) (x) = (v(u(x))) = u (x) v (u(x)).

163 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Remarque : ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d une fonction composée On admettra le résultat général : x v(u(x)) (v u) (x) = (v(u(x))) = u (x) v (u(x)).

164 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Preuve de la propriété 2 (premier point) Démontrons par récurrence que la propriété P n : "u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n " est vraie pour tout n. Initialisation : pour n =, la fonction u = u est dérivable sur I. Sa dérivée est : (u ) = u =.u.u 0, donc la propriété est vraie au rang.

165 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Preuve de la propriété 2 (premier point) Démontrons par récurrence que la propriété P n : "u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n " est vraie pour tout n. Initialisation : pour n =, la fonction u = u est dérivable sur I. Sa dérivée est : (u ) = u =.u.u 0, donc la propriété est vraie au rang.

166 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Preuve de la propriété 2 (premier point) Démontrons par récurrence que la propriété P n : "u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n " est vraie pour tout n. Initialisation : pour n =, la fonction u = u est dérivable sur I. Sa dérivée est : (u ) = u =.u.u 0, donc la propriété est vraie au rang.

167 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Preuve de la propriété 2 (premier point) Démontrons par récurrence que la propriété P n : "u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n " est vraie pour tout n. Initialisation : pour n =, la fonction u = u est dérivable sur I. Sa dérivée est : (u ) = u =.u.u 0, donc la propriété est vraie au rang.

168 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

169 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

170 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

171 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

172 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

173 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

174 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

175 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

176 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

177 5- Dérivée d une racine et d une puissance- Hérédité : supposons que, pour un certain entier k, P k est vraie, c est-à-dire : u k est dérivable sur I et (u k ) = ku u k. Montrons alors que P k+ est aussi vraie, c est-à-dire : u k+ est dérivable sur I et (u k+ ) = (k + )u u k. u k+ est dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I. (u k+ = u k.u) (u k+ ) = (u k.u) = (u k ).u + u k.u = ku u k.u + u k.u = ku u k + u k.u = (k + )u u k. Conclusion : P n est vraie pour tout n N.

178 5- Exercices : Savoir Faire (livre)- Dérivées des fonctions composées Livre Indice BORDAS - Page 8 Exercice 48, 49, 53 et 62 page 86

179 Algorithmes et fonctions

180 6- Exercices : Savoir Faire (livre)- L analyse mathématique, faite au préalable, permet grâce au théorème des valeurs intermédiaires d affirmer : si f est continue croissante sur [a; b] et si k [f (a); f (b)], ou si f est continue décroissante sur [a; b] et si k [f (b); f (a)], alors l équation f (x) = k admet une solution unique α dans [a; b].

181 6- Méthode par dichotomie- Cette méthode permet de déterminer un encadrement de la solution α. A chaque étape l amplitude de l intervalle contenant la solution est divisé par deux. En dix étapes, on gagne environ trois décimales puisque Exemple d algorithme :

182 6- Méthode par "balayage"- Encadrement de la solution de l équation f (x) = k dans le cas d une fonction strictement croissante avec f (a) k f (b) : Exemple d algorithme :

183 6- Méthode par "balayage"- Exemple On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 + x. Démontrer que l équation f (x) = 0 admet une solution unique notée α sur R. Utilisation de la calculatrice : en utilisant l algorithme de dichotomie, écrire un programme et déterminer un encadrement de α à 0 3 près. Écrire un deuxième programme utilisant la méthode par balayage. Commenter les affichages de chaque programme. Compléter les programmes en ajoutant une variable nommée "cpt" initialisée à 0 et incrémentée à chaque passage dans la boucle. Combien de fois est parcourue la boucle Tant que dans chaque programme?

184 7- Algorithme : déterministe à pas constant-

185 7- Algorithme 2 : tabulation «aléatoire» d une fonction-

186 8- Test de la monotonie- Attention, cet algorithme peut permettre de montrer que la fonction n est pas monotone ou que la fonction peut être monotone mais dans ce cas il se peut qu elle ait des variations de sens contraires sur certains intervalles très courts. Algorithme :

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

TS Limites de fonctions Cours

TS Limites de fonctions Cours TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité 1 Limites et continuité Table des matières 1 Limites - Rappels de première 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Asymptotes parallèles aux axes..................... 3 1.3 Limites des

Plus en détail

Étude de fonctions Limites et continuité

Étude de fonctions Limites et continuité Chapitre 3 Term.S Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un

Plus en détail

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES I. La continuité : Définition : ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES 1 ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITE

LIMITES ET CONTINUITE LIMITES ET CONTINUITE I) LIMITES A L'INFINI ) Limite infinie à l'infini Si tout intervalle ]A;+ [ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite + en +. on écrit f x = f x = A > 0,

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a..........................................

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Ph DEPRESLE septembre 05 Table des matières Limites à l infini. Limites infinies............................................ Limites finies-asymptotes horizontales.............................

Plus en détail

Dérivation, cours, terminale S

Dérivation, cours, terminale S Dérivation, Dérivation, 27 septembre 2016 Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f (a), signifie que le taux d accroissement

Plus en détail

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ A. Limites d'une fonction I. Limite en et en. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ où a R. DÉFINITIONS Soit l un réel.

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

Terminale S Suites numériques

Terminale S Suites numériques Terminale S Suites numériques Raisonnement par récurrence. Introduction En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la n(n + ) somme des entiers naturels

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Continuité Compléments de dérivation

Continuité Compléments de dérivation Continuité Compléments de dérivation Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Notion de continuité 1.1 Limite finie en un réel a......................................... 1. Définitions

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Continuité : une approche graphique 2 2 Théorème des valeurs intermédiaires 3 2.1 Cas des fonctions continues.......................................

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Partie A : Limites de fonctions

Partie A : Limites de fonctions Chapitre 2 I Limite d une fonction en ou en A) Limite finie en ou en 1) Activité 1 Partie A : Limites de fonctions On considère la fonction définie pour tout par de courbe représentative a) A l aide d

Plus en détail

Etude de fonction : notion de continuité

Etude de fonction : notion de continuité Etude de fonction : notion de continuité Leur faire lire des rappels sur les fonctions pour le jour en question. Toutes les fonction considérées dans ce chapitre sont définies sur ou une partie de et sont

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Etude de fonctions. lim x = + lim x = Opérations sur les limites

Etude de fonctions. lim x = + lim x = Opérations sur les limites Etude de fonctions I Limites 1) Rappels Limites de fonctions monômes k = k avec k constante x 2 = + x = + x = x 2= + x 3 = x 3 = + Photocopie du livre 1 ère ES page 98 Opérations sur les ites 2) Des nouveaux

Plus en détail

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal Cours de Terminale S / Fonctions : ites et continuité E. Dostal Août 204 Table des matières 2 Fonctions : ites et continuité 2 2. Limites.............................................. 2 2.2 Théorèmes.............................................

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés

Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés Fonction exponentielle Dérivation Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : continuité et dérivabilité en Exercice 2 : opérations de

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

I. Limites d une fonction à l infini

I. Limites d une fonction à l infini T STI SIN Limites de fonctions 6//202 Lycée Don Bosco 202-203 I. Limites d une fonction à l infini Activité a. Limites infinies On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = x 2 x +, et

Plus en détail

CONTINUITE ET CONVEXITE

CONTINUITE ET CONVEXITE CONTINUITE ET CONVEXITE I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite

Plus en détail

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Stépane PASQUET, 4 octobre 06 C Sommaire Limites aux infinis....................................... Limite en un nombre fini, ite à droite, ite à gauce d un nombre fini........

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

LIMITES et CONTINUITE

LIMITES et CONTINUITE LIMITES et CONTINUITE I. LIMITES EN L INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +, f(x) devient de plus en plus grand. il

Plus en détail

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 1 Introduction 1.1 Limites de suites En classe de première, on a déjà rencontré les limites de suites. Définition On dit qu'une suite u, définie sur

Plus en détail

5 Limites de fonctions

5 Limites de fonctions 5 Limites de fonctions Manuel Repères p.54. Objectifs : Comprendre les notions de ite finie ou infinie d une fonction, en un point ou à l infini Savoir déterminer la ite d une somme, d un produit, d un

Plus en détail

Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes La fonction logarithme népérien. Définition et propriétés Fonctions logarithmes La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Plus en détail

Limite et continuité d une fonction

Limite et continuité d une fonction CHAPITRE 3. LIMITE ET CONTINUITÉ D UNE FONCTION Chapitre 3 Limite et continuité d une fonction I Exercices Limite en `8 et en `8 3. Compléter ci-dessous, sans justifier.?. a) lim x...... b) lim x2......

Plus en détail

Dérivées et continuité

Dérivées et continuité Dérivées et continuité TS Exercice 1 [Côté exercices Réactivation de notions de la classe de Première? ] QCM p 90 Déclic I Rappels sur les dérivées A Les principale idées vues en Première 1 Les dérivées,

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique)

Plus en détail

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj

DÉRIVATION. Vidéos https://www.youtube.com/playlist?list=plvudmbpupcaoy7qihla2dhc9-rbgvrgwj DÉRIVATION I. Rappels Vidéos ttps://www.youtube.com/playlist?listplvudmbpupcaoy7qiladhc9-rbgvrgwj ) Fonction dérivable Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel

Plus en détail

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M "pour x assez grand"

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M pour x assez grand Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page I) Limites ) Limites à l infini a) Limite finie Définition : Etant donnée une fonction f et un réel α, on dira quelle tend vers α

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle 1 et définition La fonction exponentielle Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :.................. Définition Cette fonction est appelée............................ On note : Ainsi

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

Fonctions de référence 1

Fonctions de référence 1 Fonctions de référence Les fonctions sinus et cosinus. Définitions Le plan étant muni d un repère orthonormé (O; I, J), on peut associer à tout réel x un unique point M sur le cercle trigonométrique. (voir

Plus en détail

Limite d une fonction en un point

Limite d une fonction en un point Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Continuité, cours, terminale S

Continuité, cours, terminale S Continuité, cours, terminale S Continuité, cours, terminale S F.Gaudon http://mathsfg.net.free.fr 26 mars 2013 1 Continuité 2 Généralisation à des intervalles quelconques Continuité 1 Continuité 2 Généralisation

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité ANALYSE Limites et continuité Connaissances nécessaires à ce chapitre Déterminer la ite éventuelle d une suite géométrique Étudier la ite d une somme, d un produit ou d un quotient de deu suites Auto-évaluation

Plus en détail

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Exponentielles. Table des matières. Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Exponentielles TABLE DES MATIÈRES page - Chapitre 3 Exponentielles Table des matières I Exercices I-................................................ I- 2................................................

Plus en détail

CONTINUITÉ - LIMITES

CONTINUITÉ - LIMITES CONTINUITÉ - LIMITES I Continuité - Théorème des valeurs intermédiaires Notion de continuité On peut déinir mathématiquement la notion de continuité d'une onction mais cette déinition relativement compliquée

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2) LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2) 1 I. Limite d'une fonction composée 1 Exemple : Soit la fonction f définie sur 2 ;+ par f (x) = 2 1 x. On souhaite calculer la limite de la fonction f en +. On considère

Plus en détail

Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ

Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ Table des matières - Limites en l'infini- Asmptotes... -- Limite finie en l'infini... --- Définition... --2- Interprétation graphique:... 2 --3- Eemple:... 2-2- Limite infinie en l'infini... 2-2-- Définition...

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch,

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités

Chapitre 5. Généralités sur les fonctions numériques. 5.1 Généralités Chapitre 5 Généralités sur les fonctions numériques 5.1 Généralités Définition 5.1 Une fonction numérique permet d associer à chaque nombre x d un ensemble D un autre nombre que l on note f(x). On note

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle I) Définition de la fonction exponentielle 1) Théorème 1: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que : Pour tout nombre x, f (x) = f(x), et f(0) = 1 Cette fonction

Plus en détail

Chapitre 2 Continuité. Table des matières. Chapitre 2 Continuité TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 2 Continuité. Table des matières. Chapitre 2 Continuité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Continuité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Continuité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS SOMMAIRE LIMITES DE FONCTIONS *. 1. LIMITES D UNE FONCTION... 2 LIMITES A L INFINI... 2 LIMITE REELLE ( OU FINIE) EN + ET -... 2 LIMITE INFINIE EN + ET -... 2 LIMITES EN UN REEL A... 3 LIMITE INFINIE EN

Plus en détail

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point I. Nombre dérivé d une fonction en un point Dérivation Dans tout ce paragrape, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. ) Définition Le nombre dérivée

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées. On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a.

Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées. On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a. (*) WWW.SEGBM.NET 1 Portail des étudiants d'économie Mathématiques Ch. 3 : Limites et Dérivées 1 Notion de limites 1.1 Voisinages On appellera voisinage d un réel a tout intervalle ouvert contenant a.

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre Fonctions de référence...3 I Fonctions affines...3 a) Signe d'une fonction affine...3 II

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Florent Girod 1 Année scolaire 2016 / 2017 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières I Le Cours 3 1 Suites numériques 4 1) Raisonnement par récurrence..........................

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Continuité - Dérivabilité

Continuité - Dérivabilité Continuité - Dérivabilité I) Continuité 1.1) Fonction continue en un point Soit une fonction définie sur un intervalle et un élément de. Définition : On dit que est continue en si 1.2) Fonction continue

Plus en détail

Exercices : Étude de fonctions

Exercices : Étude de fonctions Eercices : Étude de fonctions Eercice : Calculer les limites suivantes : (. lim 3 2 +(ln) 3 ) 0 + 2. lim 3. lim ln(e +) ln 3 2 + 4. lim 5. lim 6. lim 7. lim e 2 3 2 e 3+ (ln) (e 4 3 ) + e2 ln+ ln+e 8.

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

La fonction exponentielle Équations différentielles

La fonction exponentielle Équations différentielles La fonction exponentielle Équations différentielles Table des matières Existence et unicité de la fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

Fonctions : Dérivation-Composition

Fonctions : Dérivation-Composition Fonctions : Dérivation-Composition Terminale S 2011/2012 15 septembre 2011 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre 2011 1 / 21 Nombre dérivé Plan 1 Compléments sur la dérivation

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. ln = a.

FONCTION LOGARITHME. ln = a. FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs

Plus en détail

Limites Comportement asymptotique

Limites Comportement asymptotique Limites Comportement asymptotique Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/200 Table des matières Limite d une fonction en, en 3. Limite infinie en, en...................................... 3.2 Limite

Plus en détail

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités

Sujet Asie 2013 EXERCICE 1. [5 pts] Probabilités Sujet Asie 203 EXERCICE. [5 pts] Probabilités Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Partie A Une grossiste achète des boîtes de thé chez deux fournisseurs. Il achète 80% de

Plus en détail

I. Fonction de référence

I. Fonction de référence I. Fonction de référence Fonction x x 2 x x 3 x x x x Nom Domaine de définition x 3 2,5 2,5 0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 Tableau de valeurs x² x 3 x /x Graphes Extremum Eléments de symétrie de la courbe Fonctions

Plus en détail

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé

1 ( 8 points ) Sur le graphique de l annexe 1, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé TS. Contrôle 4 -Correction 8 points ) Sur le graphique de l annee, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

[ 9;7 ] et représentée graphiquement. Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20. Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation :

[ 9;7 ] et représentée graphiquement. Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20. Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation : Nom : Prénom : Terminale S T08 Appréciation : Contrôle du 16 octobre (durée : 2h ) Sujet A /20 Evaluation des compétences : Lecture graphique Limites Lecture graphique Dérivée Tracer une courbe, ses tangentes

Plus en détail

maîtriser le cours (page 48)

maîtriser le cours (page 48) e) > donc la première inégalité équivaut à - sin N cos et sont strictement positis donc la seconde inégalité équivaut à cos N - sin et donc pour tout de sin cos N - N b) Le téorème d encadrement et le

Plus en détail

Chapitre 3 : Dérivation et continuité

Chapitre 3 : Dérivation et continuité 1 DÉRIVATION D UNE FONCTION Chapitre 3 : Dérivation et continuité 1 Dérivation d une fonction 1.1 Nombre dérivé de f en a et fonction dérivée Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P

soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P Limite d une fonction Approche intuitive de la notion de limite Dans ce chapitre, nous avons besoin d un outil mathématique appelé «Limite» qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la

Plus en détail

Chapitre 5 : Fonctions de référence et fonctions associées

Chapitre 5 : Fonctions de référence et fonctions associées Chapitre 5 : Fonctions de référence et fonctions associées I) Sens de variation d une fonction Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle I. Dire que : est croissante sur I signifie que pour

Plus en détail

Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés

Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés Fonction continue en un point Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point Exercice

Plus en détail

TITRE : «M le maudit» AUTEUR : FRITZ LANG PRÉSENTATION SUCCINTE : Il s agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec

TITRE : «M le maudit» AUTEUR : FRITZ LANG PRÉSENTATION SUCCINTE : Il s agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec CHAPITRE 4 DÉPASSER SES LIMITES HORS SUJET Document réalisé à l aide de LATEX Auteur : Site : wicky-math.fr.nf (Carcassonne) TITRE : «M le maudit» AUTEUR : FRITZ LANG PRÉSENTATION SUCCINTE : Il s agit

Plus en détail