Terminale S1. Devoir Surveillé

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1 Devoir Surveillé EXERCICE 1 : 5 POINTS Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie. La réponse devra être justifiée Nombres complexes Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O; u; v). Soit z un nombre complexe de la forme x + iy, où x et y sont des réels. 1. Soit z le nombre complexe d affixe (1 + i) 4. L écriture exponentielle de z est : (a) e iπ (b) 4e iπ (c) e i π 4 (d) 4e i π 4. L ensemble des points M du plan d affixe z = x + iy tels que z 1 + i = 3 i a pour équation : 3 1 (a) (x 1) +(y+1) = (b) (x+1) +(y 1) = (c) (x 1) +(y+1) = 4 (d) y = x + 3. Soit A, B, C trois points du plan complexe d affixes respectives : On pose Z = Z C Z A Z B Z A. Z A = 1 i ; Z B = i et Z C = 1 + 5i. (a) Z est un nombre réel. (b) Le triangle ABC est isocèle en A. (c) Le triangle ABC est rectangle en A. (d) Le point M d affixe Z appartient à la médiatrice du segment [BC]. Loi normale 4. Il existe plusieurs tests pour mesurer le quotient intellectuel ( Q.I.) standart dont le test de Cattell. on admet que le Q.I. mesuré à l aide de ce test suit une loi normale d espérance 100 et d écart-type 4. La probabilité qu une personne choisie au hasard ait un Q.I. supérieur à 130 est égale à : (a) 0, 5 (b) 0, 1056 (c) 0, 05 (d) 0, On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale. La figure ci-contre donne la courbe représentative de la fonction densité associée à la variable aléatoire X Aire : L écart-type σ de la variable aléatoire X est égal à : (a) 0, 1 (b) 0, (c) 0, 4 (d) 0, mai 015

2 EXERCICE : 8 POINTS Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance µ = 400 et d écart-type σ = 11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche Partie A On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x P (X x) 0,035 0,086 0,18 0,35 0,5 0,675 0,818 0,914 0, Calculer P (390 X 410).. Calculer la probabilité p qu un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ. Pour quelle valeur de σ la probabilité qu un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 %? On arrondira le résultat au dixième. On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance 0 et d écart-type 1, on a P (Z 1, 751) 0, 040. Partie B Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués. 1. Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille Parmi les 300 pains de l échantillon, 83 sont commercialisables. Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l objectif a été atteint? Partie C Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0, 913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième. Dans toute la suite on prendra λ = 0, Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours? 3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai? 31 mai 015

3 EXERCICE 3 : 7 POINTS On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z par : { z0 = 16 z n+1 = 1 + i z n, pour tout entier naturel n. On note r n le module du nombre complexe z n : r n = z n. Dans le plan muni d un repère orthonormé direct d origine O, on considère les points A n d affixes z n. 1. (a) Calculer z 1, z et z 3. (b) Placer les points A 1 et A sur le graphique ci-dessous. 1 + i (c) Écrire le nombre complexe sous forme trigonométrique. (d) Démontrer que le triangle OA 0 A 1 est isocèle rectangle en A 1.. Démontrer que la suite (r n ) est géométrique, de raison. La suite (r n ) est-elle convergente? Interpréter géométriquement le résultat précédent. On note L n la longueur de la ligne brisée qui relie le point A 0 au point A n en passant successivement par les points A 1, A, A 3, etc. n 1 Ainsi L n = A i A i+1 = A 0 A 1 + A 1 A A n 1 A n. i=0 3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n : A n A n+1 = r n+1. (b) Donner une expression de L n en fonction de n. (c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (L n ). 6 A 3 4 A 4 A A 5 A mai 015

4 EXERCICE : CORRECTION On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z n par : { z0 = 16 z n+1 = 1 + i z n, pour tout entier naturel n. On note r n le module du nombre complexe z n : r n = z n. Dans le plan muni d un repère orthonormé direct d origine O, on considère les points A n d affixes z n. 1. (a) z 1 = 1 + i z 0 = 1 + i 16 = 8 + 8i. z = 1 + i ( ) 1 + i z 1 = (8 + 8i) = 4 + 4i + 4i 4 = 8i. z 3 = 1 + i ( ) 1 + i z = 8i = 4i 4 = 4 + 4i. (b) Voir l annexe. (c) Si z = 1 + i alors z = = 4, donc z =. ( ) ( Donc z = + i = cos π 4 + i sin π ). 4 Un argument de 1 + i est donc π 4. (d) OA 0 = z 0 = r 0 = 16 ; OA 1 = z 1 = r 1 = = 64 = 8 ; A 0 A 1 = z 1 z 0 = 8 + 8i 16 = 8 + 8i = 8. On a donc OA 1 = A 0 A 1 : le triangle est isocèle en A 1 ; ( D autre part 8 ) ( + 8 ) = 16 A 0 A 1 +OA 1 = OA 0 signifie (réciproque du théorème de Pythagore) que le triangle OA 0 A 1 est rectangle en A 1.. r n+1 = z n+1 = 1 + i z n = 1 + i z n (le module du produit est égal au produit des modules) = r n. r n+1 = r n montre que la suite (r n ) est géométrique, de raison. ( ) n ( ) n On sa donc : r n = r 0 = 16. Comme 0 < < 1, on sait que lim n + ( ) n = 0, donc lim n + r n = 0. La suite converge vers 0. Comme r n = z n = OA n, ceci signifie géométriquement que la limite des points A n est le point O. 3. (a) Quel que soit le naturel n : ( ( ) A n A n+1 = z n+1 z n = 1 + i z n z n 1 + i = z n 1) = 1 + i z n = r n = r n i z n = 4 31 mai 015

5 (b) L n est donc la somme des n (sauf r 0 ) premiers termes de la suite géométrique (r n ). Donc L n = (c) On sait que 16 ( + 1 ) 1 lim n + = 16 ( ) n. ( ) n = 0, donc lim L n = 8 n + 1 ( ) + 1. = 16 = 16 = 16 = ( 1) mai 015

6 EXERCICE 3 : CORRECTION A) partie A x P (X x) 0,035 0,086 0,18 0,35 0,5 0,675 0,818 0,914 0, P (390 X 410) = P (X 410) P (X < 390) = 0, 818 0, 18 = 0, Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si «X 385». «X 385» est l évènement contraire de «X < 385». On a donc p(x 385) = 1 p(x < 385) = 1 0, 086 = 0, Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ. Soit Y la variable aléatoire de paramètres µ = 400 et σ, on a : p(x 385) = 0, 96 1 p(y < 385) = 0, 96 p(y < 385) = 0, 04 Si Y suit une loi normale de paramètres µ = 400 et σ, on sait que Z = X 400 centrée réduite et p(y < 385) = 0, 04 P ( Z ) = 0, 04. σ 15 = 1, 751 σ = Or P (Z 1, 751) 0, 040.On a donc : 15 = 8, 6. σ 1, 751 Pour σ = 8, 6, au dixième près ; la probabilité qu un pain soit commercialisable est de 96% B) partie B σ suit une loi normale Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués. 1. L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300 est de la forme I 300 = avec p = 0, 96 et n = 300. On a donc : I 300 = [0, 93 ; 0, 99] [ p 1, 96 ] p(1 p) p(1 p) ; p 1, 96 n n. Parmi les 300 pains de l échantillon, 83 sont commercialisables. Ce qui représente 94 % de la production. Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, on accepte que l objectif a été atteint. C) partie C Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de p(t 30) = 0, [ e λx] 30 On a par ailleurs : p(t 30) = λe λx dx = = e 30λ. On en déduit : p(t 30) = 1 p(t 30) = e 30λ et finalement : 6 31 mai 015

7 e 30λ = 0, λ = ln(0, 913) λ = 0, 003. Dans toute la suite on prendra λ = 0, Calculons p T 60 (T 90). p((t 60) (T 90)) p(t 90) 1 p(t 90) On a p T 60 (T 90) = = = p(t 60) p(t 60) 1 p(t 60) = e 90λ e 60λ = e 30λ. Avec λ = 0, 003, on a donc p T 60 (T 90) = p(t 30) = 0, 913. La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0,913 (loi à durée de vie sans vieillissement!) 3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. Calculons la durée maximale t max pour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à 0,5. p(t t max ) 0, 5 = tmax 0 λe λx dx 0, 5 [ e λx ] tmax 0 0, 5 1 e λtmax 0, 5 1 e λtmax 0, 5 e λtmax 0, 5 λt max ln 0.5 Avec λ = 0, 003, on trouve t max = 31. Le vendeur avait donc tort mai 015