Les fractions rationnelles

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1 [ édité le 24 septembre 206 Enoncés Les fractions rationnelles Généralités Exercice [ ] [Correction] Soit F K(X) de représentant irréductible P/Q. Montrer que F est paire si, et seulement si, les polynômes P et Q sont tous deux pairs. Racines et pôles Exercice 7 [ ] [Correction] Soient p et q deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de en précisant les multiplicités respectives. X p X q Exercice 2 [ ] [Correction] Soient n N et ω = e i 2π n. (a) Soit P C[X] un polynôme vérifiant P(ωX) = P(X). Montrer qu il existe un polynôme Q C[X] tel que P(X) = Q(X n ). (b) En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle n X + ω k Exercice 8 [ 0200 ] [Correction] Soit F K(X). (a) Soit a un zéro d ordre α de F. Montrer que a est zéro d ordre α de F. (b) Comparer les pôles de F et de F, ainsi que leur ordre de multiplicité. Exercice 9 [ 020 ] [Correction] Montrer qu il n existe pas de F C(X) telle que F = X Exercice 3 [ ] [Correction] Soit F C(X) telle que, pour tout n N non pôle de F, F(n) Q. Montrer que F Q(X). Degré Décomposition en éléments simples Exercice 0 [ 0203 ] [Correction] Effectuer la décomposition en éléments simples dans C[X] des fractions rationnelles suivantes : Exercice 4 [ ] [Correction] Montrer qu il n existe pas de fraction rationnelle F telle que F 2 = X. Exercice 5 [ ] [Correction] Soit F K(X). Montrer que deg F < deg F = deg 0. Exercice 6 [ ] [Correction] Déterminer un supplémentaire de K[X] dans K(X). (a) X2 +2X+5 X 2 3X+2 (b) X 2 + (X )(X 2)(X 3) (c) X(X ) 2 (d) 2X X 2 + (e) X 2 +X+ (f) 4 (X 2 +) 2 Exercice [ 0204 ] [Correction] Soit n N. Former la décomposition en éléments simples de n! X(X )... (X n) (g) 3X X 2 (X+) 2 (h) X 4 +X 2 + (i) 3 (X 3 ) 2

2 [ édité le 24 septembre 206 Enoncés 2 Exercice 2 [ ] [Correction] Décomposer en éléments simples dans C(X) la fraction rationnelle X n X n Applications de la décomposition en éléments simples Exercice 3 [ 0205 ] [Correction] Soit la fraction X(X + ) (a) Réaliser la décomposition en éléments simples de F. (b) En déduire une simplification pour n de n k= (c) Procéder de même pour calculer : n k= Exercice 4 [ 0206 ] [Correction] Exprimer la dérivée d ordre n de k(k+)(k+2). X(X 2 + ) k(k+). (b) Former la décomposition en éléments simples de la fraction F. (c) En déduire un couple (U, V) R[X] 2 tel que : (X + ) 3 U + (X ) 3 V = Exercice 7 [ 0209 ] [Correction] On pose ω k = e 2ikπ/n avec k {0,..., n } et n 2. Réduire au même dénominateur n Exercice 8 [ ] [Correction] Soient n N tel que n 2 et p {0,,..., n }. On pose pour k {0,,..., n }, ω k = exp ( ) 2ikπ n. Mettre sous forme irréductible la fraction n ω p k Exercice 5 [ 0207 ] [Correction] Soit X 2 + C(X) (a) En réalisant la décomposition en éléments simples de F, exprimer F (n). (b) Montrer qu il existe P n R n [X] tel que (c) Déterminer les zéros de P n. Exercice 6 [ 0208 ] [Correction] Soit F (n) = P n (X 2 + ) n+ (X ) 3 (X + ) 3 (a) Quelle relation existe entre la partie polaire de F en et celle en. Exercice 9 [ 0202 ] [Correction] Soient n N et z, z 2,..., z n C deux à deux distincts. On pose Q = n (X z k ) k= (a) Pour p {0,,..., n }, exprimer la décomposition en éléments simples de X p /Q à l aide des Q (z k ). (b) En déduire, pour p {0,,..., n }, la valeur de k= z p k Q (z k ) Exercice 20 [ ] [Correction] Soit P C[X] un polynôme scindé à racines simples x,..., x n. (a) Former la décomposition en éléments simples de la fraction /P.

3 [ édité le 24 septembre 206 Enoncés 3 (b) On suppose P(0) 0. Observer k= x k P (x k ) = P(0) Exercice 2 [ ] [Correction] Soit P C[X] un polynôme scindé à racines simples : x,..., x n. (a) Former la décomposition en éléments simples de P /P. (b) En déduire que k= P (x k ) P (x k ) = 0 Exercice 22 [ ] [Correction] Soit P R n [X] scindé à racines simples (x,..., x n ). Montrer k= P (x k ) P (x k ) = 0 Exercice 23 [ ] [Correction] Soient a,..., a n C, deux à deux distincts, et α,..., α n C, deux à deux distincts, tels que i, j {, 2,..., n}, a i + α j 0 Résoudre le système x a +α + x 2 x a +α 2 + x 2 x a +α n + x 2 a 2 +α + + x n a n +α = a 2 +α x n a n +α 2 =. a 2 +α n + + x n a n +α n = Exercice 24 [ ] [Correction] Soit P(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles. (a) Montrer (b) En déduire x R, (P 2 PP )(x) 0 k {,..., n }, a k a k+ a 2 k

4 [ édité le 24 septembre 206 Corrections 4 Corrections Exercice : [énoncé] Si F est paire alors F( X) = F(X) donc P( X)Q(X) = P(X)Q( X). Le polynôme Q(X) divise P(X)Q( X) et P Q = donc Q(X) divide Q( X). De même Q( X) divise Q(X) Or coeff(q(x)) = et coeff(q( X)) = ( ) n avec n = deg Q. Si n est pair alors Q( X) = Q(X) puis P( X) = P(X). Les deux polynômes sont pairs Si n est impair alors Q( X) = Q(X) puis P( X) = P(X). Les deux polynômes sont impairs mais alors non premiers entre eux ce qui est exclu. Exercice 2 : [énoncé] (a) Écrivons P = + a k X k avec (a k ) suite de complexe nulle au-delà d un certain rang. La relation P(ωX) = P(X) donne puis + a k ω k X k = + a k X k k N, a k ω k = a k Par suite a k = 0 pour tout k 0 [n]. En posant b l = a nl et Q = + l=0 b l X l on obtient P(X) = Q(X n ) (b) La réduction au même dénominateur de la fraction n X + ω k donne P X n avec deg P = n Comme F(ωX) = F(X) on obtient puis P(ωX) = P(X). P(ωX) X n = P(X) X n Par suite P est de la forme P = ax n + b. En étudiant la partie entière de F on obtient a = n. En étudiant la valeur de F en 0 on obtient b = n. Par suite n Xn + X n Exercice 3 : [énoncé] Soient P, Q C[X] tels que P/Q. Le cas où P = 0 étant immédiat, supposons-le désormais exclu. Posons p = deg P et q = deg Q et écrivons P = p a k X k et Q = q b l X l, a k, b l C Considérons p + q + naturels n n annulant pas Q. Pour chacun, la relation définit une équation l=0 P(n) y n Q(n) = 0 avec F(n) = y n Q a 0 + na + + n p a p y n b 0 y n n q b q = 0 Le système formé par ses équations est compatible (dans C) et à coefficients rationnels. Par application de la méthode de Gauss (par exemple), on peut affirmer que ce système possède une solution rationnelle. Il existe donc tels que pour on ait R = α 0, α,..., α p, β 0, β,..., β q Q p α k X k Q[X] et S = q β l X l Q[X] l=0 R(n) y n S (n) = 0 pour chacun de p + q + naturels n initialement considéré. On a alors pour ces n, et donc le polynôme admet au moins p + q + racines. P(n)S (n) = Q(n)R(n) PS QR

5 [ édité le 24 septembre 206 Corrections 5 Or donc puis deg(ps QR) p + q PS = QR R S Q(X) (a) Soit a zéro de multiplicité α. On a P = (X a) α ˆP avec ˆP(a) 0 et Q(a) 0. F = (X a)α (α ˆPQ + (X a) ˆP Q (X a) ˆPQ ) Q 2 a n est pas racine de α ˆPQ + (X a) ˆP Q (X a) ˆPQ, donc a est racine de multiplicité α de F. (b) Soit a pôle de F de multiplicité α. On a P(a) 0 et Q = (X a) α ˆQ avec ˆQ(a) 0. Exercice 4 : [énoncé] Si F est solution alors deg F 2 = 2 deg avec deg F Z. C est impossible. Exercice 5 : [énoncé] Supposons deg F < deg F. A B et F = A B AB. B 2 Si A ou B sont constants : c est assez rapide Sinon : deg F < deg F = deg(a B AB ) < deg A B = deg AB donc coeff(a B) = coeff(ab ) d où deg A = deg B puis deg 0. Exercice 6 : [énoncé] Soit V = { F K(X) deg F < 0 }. V K(X), 0 V et λ, µ K, F, G V, deg(λf + µg) max(deg F, deg G) < 0 donc λf + µg V. V est un sous-espace vectoriel. Clairement V K[X] = {0}. De plus F K(X), P + G avec P = Ent(F) K[X] et G V. Exercice 7 : [énoncé] Déterminons les racines communes à X p et X q. Soit ω un telle racines. On a ω p = ω q =. Puisque p et q sont premiers entre eux, il existe u, v Z tels que pu + qv =. On a alors ω = ω pu+qv = (ω p ) u (ω q ) v =. Inversement, est racine commune. De plus, notons que toutes les racines de X p et X q sont simples. Les racines de F sont les racines p ème de l unité autres que. Elles sont simples. Les pôles de F sont les racines q ème de l unité autres que. Ils sont simples. n est ni pôle, ni racine. Exercice 8 : [énoncé] Notons P/Q le représentant irréductible de F. F = (X a)p ˆQ αp ˆQ (X a)p ˆQ (X a) α+ ˆQ 2 a n est pas racine de (X a)p ˆQ αp ˆQ (X a)p ˆQ, donc a est pôle de multiplicité α + de F. Exercice 9 : [énoncé] Par l absurde, supposons qu il existe F C(X) telle que F = /X. Notons P/Q son représentant irréductible. F = /X donne (P Q PQ )X = Q 2 X divise Q 2 donc 0 est racine de Q 2 et donc a fortiori de Q. Posons α N sa multiplicité dans Q. P et Q étant premier entre eux, 0 n est pas racine de P. 0 est racine de multiplicité α de PQ et racine de multiplicité au moins α de P Q donc 0 est racine de multiplicité exactement α de P Q PQ. D autre part 0 est racine de multiplicité 2α de Q 2 = (P Q PQ )X. Par égalité de multiplicité 2α = (α ) + d où α = 0. Absurde. Exercice 0 : [énoncé] (a) X2 +2X+5 X 2 3X+2 = 8 X + 3 X 2 (b) X 2 + (X )(X 2)(X 3) = X 5 X X 3 (c) X(X ) 2 = X + (X ) 2 X (d) 2X X 2 + = X i + X+i (e) X 2 +X+ = i/ 3 X j + i/ 3 X j 2 (f) 4 (X 2 +) 2 = (X i) 2 i X i (X+i) 2 + i X+i (g) 3X = + 5 X 2 (X+) 2 X 2 X 4 5 (X+) 2 (X+)

6 [ édité le 24 septembre 206 Corrections 6 ( j)/6 (h) = X 4 +X 2 + X j + ( j2 )/6 ( j)/6 X j 2 X+ j ( j2 )/6. X+ j 2 (i) En exploitant l astuce F( j 2 X) = F( jx) = F(X) : 3 = /3 2/3 (X 3 ) 2 (X ) 2 (X ) + j2 /3 2 j/3 (X j) 2 (X j) + j/3 2 j2 /3 (X j 2 ) 2 (X j 2 ). Exercice : [énoncé] La partie entière est nulle et 0,,..., n sont pôles simples. On peut donc écrire avec a k = n! X(X )...(X n) = a k (X k) ( ) n! k(k )...( )... (k n) = n! n ( )n k k!(n k)! = ( )n k k Exercice 2 : [énoncé] Les pôles de cette fraction rationnelles sont simples et sont les racines n-ième de l unité ω 0,..., ω n. Sachant que la fraction rationnelle est de degré strictement négatif, sa partie entière est nulle et sa décomposition en éléments simples cherchée s écrit X n n X n = α k La partie polaire λ X a d un pôle simple a d une fraction rationnelle P/Q s obtient par la relation λ = P(a) Q (a) En effet, si Q(X) = (X a)r(x) on a Q (a) = R(a) Ici ( X n ) α k = (X n ) (ω k ) = n et donc X n X n = n n Exercice 3 : [énoncé] (a) On obtient (b) Par télescopage (c) On a donc k= k(k + ) = X + X X(X + ) = X X + k= k k + = n + = n n + X(X + )(X + 2) = /2 X X + + /2 X + 2 k= Exercice 4 : [énoncé] Par décomposition en éléments simples k(k + )(k + 2) = 4 2n n + 4 X(X 2 + ) = X /2 X i /2 (X + i) et on sait ( ) (n) = ( )n n! X a (X a) n+ donc ( ) (n) ( ) = ( ) n n! X(X 2 + ) X /2 n+ (X i) /2 n+ (X + i) n+ Exercice 5 : [énoncé] (a) La décomposition en éléments simples est ( 2i X i ) X + i donc F (n) = ( )n n! 2i ( ) (X i) n+ (X + i) n+

7 [ édité le 24 septembre 206 Corrections 7 (b) F (n) = P n (X 2 +) n+ avec P n = ( )n n! 2i Mais P n = P n donc P n R n [X]. (c) Pour x R : ( (X + i) n+ (X i) n+) C n [X] P n (x) = 0 (x + i) n+ = (x i) n+ k {,..., n}, x = cot ( ) kπ n + Cela fournit n racines réelles et il n en peut y en avoir d autres complexes. Exercice 6 : [énoncé] (a) On remarque que F( X) = F(X). Si P(X) (X ) 3 (b) On obtient est la partie polaire de F en, alors P( X) (X+) 3 est sa partie polaire en. (X ) 3 (X + ) = /8 3 (X ) 3/6 3 (X ) + 3/6 2 X /8 (X + ) 3/6 3 (X + ) 3/6 2 X + (c) En réduisant au même dénominateur U = 6 (2 3(X ) + 3(X )2 ) et V = 6 (2 + 3(X + ) + 3(X + )2 ) Exercice 7 : [énoncé] La réduction au même dénominateur de F s écrit avec deg P < n. k {0,... n }, P X n ( ) P(X) (ω nx n k ) = donc P(ω k ) nω n k = 0 Puisque P nx n R n [X] et possède n racines, c est le polynôme nul. Finalement nxn X n Exercice 8 : [énoncé] On a n ω p k = De plus, par décomposition en éléments simples Par suite on a P X n avec deg P < n P(ω k ) (X n ) (ω k ) = ωp k P(ω k ) = nω n k ω p k = nωp k Ces n relations permettent de reconnaître P puisqu on sait deg P < n On obtient : P = nx p si p ou P = nx n si p = 0 Exercice 9 : [énoncé] (a) On a avec (b) En multipliant par X, X p Q = λ k = k= λ k X z k zp k Q (z k ) X p+ Q = k= λ k X X z k puis en remplaçant X par un réel de limite +, on obtient d un côté n l autre si p + = n et 0 sinon. Exercice 20 : [énoncé] (a) On a avec P = λ(x x )... (X x n ) = λ i = P (x i ) i= λ i X x i k= z p k Q (z k ) et de

8 [ édité le 24 septembre 206 Corrections 8 (b) En évaluant en 0 Exercice 2 : [énoncé] (a) On a avec λ i = P (x i ) P (x i ). i= x i P (x i ) = P(0) P P = P λ(x x )... (X x n ) = (b) Puisque deg XP P < 0 on a λ i = 0 Exercice 22 : [énoncé] On a Sachant que on obtient P P = Exercice 23 : [énoncé] Considérons la fraction rationnelle k= i= i= α k avec α k = P (x k ) X x k P (x k ) xp (x) P(x) k= F(X) = 0 x + P (x k ) P (x k ) = 0 La satisfaction du système équivaut aux équations i= x i a i + X F(α ) =... = F(α n ) = 0 λ i X x i En réduisant F au même dénominateur P n avec P unitaire, deg P = n et Q = Q Les équations F(α ) =... = F(α n ) = 0 signifient alors P = (X α )... (X α n ) La décomposition en éléments simples F donne alors Exercice 24 : [énoncé] x i = ( )n n k= (α k + a i ) n k=,k i (a k a i ) (a) En notant x,..., x n les racines réelles de P, on a P (x) P(x) = x x k En dérivant, on obtient ce qui permet de conclure. k= P(x)P (x) P (x) 2 = P(x) 2 k= i= (x x k ) 2 (X + a i ) (b) Notons x <... < x p les racines réelles de P de multiplicités α,..., α p N. Puisque P ne possède pas de racines complexes, on a α + + α p = deg P Par application du théorème de Rolle, P possède une racine dans chacun des intervalles ]x ; x 2 [,..., ]x p ; x p [ et de plus x,..., x p sont racines de P de multiplicités α,..., α p (en acceptant de dire qu une racine de multiplicité 0, n est pas racine). Puisque p + (α ) + + (α p ) = deg P = deg P le polynôme P ne possède pas de racines complexes. Il en est de même de P,P (3),... En appliquant le résultat du a) à P (k ) en x = 0, on obtient ((k)!a k ) 2 ((k )!a k ) ((k + )!a k+ ) 0 puis l inégalité voulue que le produit a k+ a k soit positif ou non.