Fonction d une variable réelle

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1 Fonction d une variable réelle

2 1 Fonction d une variable réelle : généralités Définitions Fonctions et opérations Fonctions et ordre Propriétés particulières Monotonie Limites Limites et opérations Limites et ordre Limites à gauche et à droite Formes indéterminées 2 Fonction d une variable réelle, continuité Définition Continuité et opérations Continuité et composition Prolongement par continuité Fonctions croissantes Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle fermé et borné Fonctions monotones

3 Définitions Définitions

4 Fonction d une variable réelle Définitions Une fonction réelle, de variable réelle est une application d une partie U de R à valeurs dans R.

5 Fonction d une variable réelle Définitions Une fonction réelle, de variable réelle est une application d une partie U de R à valeurs dans R. On écrira : U R, f : U R x f (x)

6 Fonction d une variable réelle Définitions Une fonction réelle, de variable réelle est une application d une partie U de R à valeurs dans R. On écrira : U R, f : U R x f (x) Remarque : U est souvent la plus grande partie de R où f est calculable (définie).

7 Exemples Fonction d une variable réelle Définitions f : R R x f (x) = x 2

8 Exemples Fonction d une variable réelle Définitions f : R R x f (x) = x 2 f : U R x f (x) = 1 x

9 Exemples Fonction d une variable réelle Définitions f : R R x f (x) = x 2 f : U R Dans ce cas U = R. x f (x) = 1 x On dit souvent «le domaine de définition de f» : D f.

10 Exemples Fonction d une variable réelle Définitions f : R R x f (x) = x 2 f : U R Dans ce cas U = R. x f (x) = 1 x On dit souvent «le domaine de définition de f» : D f. U = R + f : U R x f (x) = x

11 Fonctions et opérations Fonctions et opérations

12 Somme et produit des fonctions Fonctions et opérations Soit f et g deux fonctions définies sur U R. On définit : La somme : f + g : U R x (f + g)(x) = f (x) + g(x)

13 Somme et produit des fonctions Fonctions et opérations Soit f et g deux fonctions définies sur U R. On définit : La somme : Le produit : f + g : U R x (f + g)(x) = f (x) + g(x) f.g : U R x f.g(x) = f (x).g(x)

14 h(x) = log x + sin x Fonctions et opérations y log x sin x O x

15 h(x) = log x + sin x Fonctions et opérations y log x sin x O x

16 h(x) = log x + sin x Fonctions et opérations y log x sin x O x

17 h(x) = log x + sin x Fonctions et opérations y sin x + logx log x sin x O x

18 h(x) = sin x x Fonction d une variable réelle Fonctions et opérations y 1 x sin x O x

19 h(x) = sin x x Fonction d une variable réelle Fonctions et opérations y 1 x sinx x sin x O x

20 Fonctions et ordre Fonctions et ordre

21 Comparaison des fonctions Fonctions et ordre Soit f et g deux fonctions définies sur U R. On dit que f est inférieure à g sur U si : x U f (x) g(x)

22 Comparaison des fonctions Fonctions et ordre Soit f et g deux fonctions définies sur U R. On dit que f est inférieure à g sur U si : x U f (x) g(x) Notation : f g

23 Fonctions et ordre y g(x) f(x) g(x) f(x) O x

24 Comparaison des fonctions Fonctions et ordre Soit f et g deux fonctions définies sur U R. On dit que f est inférieure à g sur U si : x U f (x) g(x) Notation : f g Remarque : Deux fonctions ne sont pas toujours comparables.

25 Comparaison des fonctions Fonctions et ordre y O cos x x

26 Comparaison des fonctions y Fonctions et ordre x + cos x O cos x x

27 Propriétés particulières Propriétés particulières

28 Parité, imparité, périodicité Propriétés particulières Soit U R une partie telle que : x U, fonction définie sur U. On dit que : f est paire si : x U, f ( x) = f (x) x U et f une

29 Parité, imparité, périodicité Propriétés particulières Soit U R une partie telle que : x U, fonction définie sur U. On dit que : f est paire si : x U, f ( x) = f (x) x U et f une f est impaire si : x U, f ( x) = f (x)

30 Parité, imparité, périodicité Propriétés particulières Soit U R une partie telle que : x U, fonction définie sur U. On dit que : f est paire si : x U, f ( x) = f (x) x U et f une f est impaire si : x U, f ( x) = f (x) f est T-périodique si : T R, x U : f (x + T) = f (x)

31 Fonction paire Propriétés particulières y x 0 O x 0 x

32 Fonction impaire Propriétés particulières y x 0 O x 0 x

33 Fonction périodique Propriétés particulières y x 0 x 0 + T x 0 + 2T x

34 Monotonie Monotonie

35 Monotonie Fonctions croissantes et décroissantes Soit f une fonction définie sur U R et V U, V =. On dit que : f est croissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y)

36 Monotonie Fonctions croissantes et décroissantes Soit f une fonction définie sur U R et V U, V =. On dit que : f est croissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y) f est décroissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y)

37 Monotonie Fonctions croissantes et décroissantes Soit f une fonction définie sur U R et V U, V =. On dit que : f est croissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y) f est décroissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y) f est strictement croissante sur V si : x, y V, x > y f (x) > f (y)

38 Monotonie Fonctions croissantes et décroissantes Soit f une fonction définie sur U R et V U, V =. On dit que : f est croissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y) f est décroissante sur V si : x, y V, x y f (x) f (y) f est strictement croissante sur V si : x, y V, x > y f (x) > f (y) f est strictement décroissante sur V si : x, y V, x > y f (x) < f (y)

39 Monotonie Monotonie et opérations Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U. Si f et g sont croissantes sur U, la somme f + g est croissante sur U

40 Monotonie Monotonie et opérations Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U. Si f et g sont croissantes sur U, la somme f + g est croissante sur U Si f et g sont croissantes sur U et si f et g sont positives sur U, le produit f.g est croissant sur U

41 Monotonie Monotonie et opérations Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U. Si f et g sont croissantes sur U, la somme f + g est croissante sur U Si f et g sont croissantes sur U et si f et g sont positives sur U, le produit f.g est croissant sur U Si f et g sont toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes, si leur composée f g existe, alors f g est croissante

42 Monotonie Monotonie et opérations Proposition : Soit f et g deux fonctions définies sur U. Si f et g sont croissantes sur U, la somme f + g est croissante sur U Si f et g sont croissantes sur U et si f et g sont positives sur U, le produit f.g est croissant sur U Si f et g sont toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes, si leur composée f g existe, alors f g est croissante Si une des deux fonctions, f ou g, est croissante et l autre décroissante et si leur composée existe, alors f g est décroissante

43 Limites Limites

44 Limite en un point Limites Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Soit x 0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I.

45 Limites Limite en un point Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Soit x 0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I. On dit que f a pour limite l en x 0 si : ϵ > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : (x I, x = x 0 et x x 0 α) f (x) l ϵ

46 Limites Limite en un point Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Soit x 0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I. On dit que f a pour limite l en x 0 si : ϵ > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : (x I, x = x 0 et x x 0 α) f (x) l ϵ On note : lim x x0 f (x) = l

47 Limites y ε = 1 2 l + ε l l ε O x 0 x

48 Limites y ε = 1 2 l + ε l l ε O x 0 x

49 Limites y ε = 1 2 l + ε l l ε O x 0 α x 0 x 0 + α x

50 Limites y ε = 1 2 f(x) l + ε l l ε O x 0 α x 0 x x 0 + α x

51 Limites y ε = 1 2 l + ε l f(x) l ε O x 0 α x 0 x x 0 + α x

52 Limites y ε = 1 2 l + ε l l ε O x 0 α x 0 x 0 + α x

53 Limites y ε = 1 4 l + ε l l ε O x 0 α x 0 x 0 + α x

54 Limites y ε = 1 10 l + ε l l ε O x 0 α x 0 x 0 + α x

55 Limites y ε = 1 2 l + ε l l ε ϵ > 0, α > 0 : (x I, x = x 0 et x x 0 α) f (x) l ϵ O x 0 α x 0 x 0 + α x

56 Limites Remarque : La fonction f n a pas besoin d être définie en x 0 pour avoir une limite en x 0.

57 Limites Remarque : La fonction f n a pas besoin d être définie en x 0 pour avoir une limite en x 0. Par exemple, f peut être définie sur un intervalle I =]x 0, a[ : x R +, f (x) = sin x x lim f (x) = 1 x 0

58 h(x) = sin x x Fonction d une variable réelle Limites y 1 x sinx x sin x O x

59 Limites Limite finie quand x tend vers + Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou [a, + [ ou ]a, + [. Soit f : I R et l R On dit que f a pour limite l quand x tend vers +, si : ϵ > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) l ϵ

60 Limites Limite finie quand x tend vers + Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou [a, + [ ou ]a, + [. Soit f : I R et l R On dit que f a pour limite l quand x tend vers +, si : ϵ > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) l ϵ Notation : lim f (x) = l x +

61 Limite finie quand x tend vers + Limites y 1 + ε 1 ε O r x

62 Limite finie quand x tend vers + Limites y 1 + ε 1 ε O r x

63 Limite finie quand x tend vers + Limites y 1 + ε 1 ε O r x

64 Limites Limite finie quand x tend vers Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ], a[ ou ], a]. Soit f : I R et l R On dit que f a pour limite l quand x tend vers, si : ϵ > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) l ϵ

65 Limites Limite finie quand x tend vers Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ], a[ ou ], a]. Soit f : I R et l R On dit que f a pour limite l quand x tend vers, si : ϵ > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) l ϵ Notation : lim f (x) = l x

66 Unicité de la limite Limites Proposition : Si une fonction f a une limite, cette limite est unique.

67 Unicité de la limite Démonstration Limites Supposons que f ait 2 limites différentes, l et l, en x 0

68 Unicité de la limite Démonstration Limites Supposons que f ait 2 limites différentes, l et l, en x 0 l l > 0 On pose ϵ = l l 3 > 0.

69 Unicité de la limite Démonstration Limites Supposons que f ait 2 limites différentes, l et l, en x 0 l l > 0 On pose ϵ = l l 3 > 0. α > 0, (x I, x x 0 α) l l f (x) l 3 f (x) l l l 3

70 Unicité de la limite Démonstration Limites Supposons que f ait 2 limites différentes, l et l, en x 0 l l > 0 On pose ϵ = l l 3 > 0. α > 0, (x I, x x 0 α) l l f (x) l 3 f (x) l l l 3 Alors : 0 < l l l f (x) + f (x) l l l + l l = 2 l l 3 3 3

71 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers x 0 Limites Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Soit x 0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I.

72 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers x 0 Limites Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Soit x 0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I. On dit que f a pour limite + en x 0 si : A > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : (x I, x = x 0 et x x 0 α) f (x) A

73 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers x 0 Limites Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Soit x 0 un nombre réel qui appartient à I ou qui est une extrémité de I. On dit que f a pour limite + en x 0 si : A > 0, il existe un nombre α > 0 qui a la propriété suivante : (x I, x = x 0 et x x 0 α) f (x) A On note : lim x x0 f (x) = +

74 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers + Limites Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ]a, + [ ou ]a, + ]. Soit f : I R

75 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers + Limites Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ]a, + [ ou ]a, + ]. Soit f : I R On dit que f tend vers + quand x tend vers +, si : A > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) A

76 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers + Limites Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ]a, + [ ou ]a, + ]. Soit f : I R On dit que f tend vers + quand x tend vers +, si : A > 0, il existe un nombre r > 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) A Notation : lim f (x) = + x +

77 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers Limites Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ], a[ ou ], a]. Soit f : I R

78 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers Limites Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ], a[ ou ], a]. Soit f : I R On dit que f tend vers + quand x tend vers, si : A > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) A

79 Limites infinies La fonction tend vers + quand x tend vers Limites Soit I, l un des intervalles : ], + [ ou ], a[ ou ], a]. Soit f : I R On dit que f tend vers + quand x tend vers, si : A > 0, il existe un nombre r < 0 qui a la propriété suivante : (x I et x r) f (x) A Notation : lim f (x) = + x

80 Limites Limites infinies La fonction tend vers... On dit que f tend vers 1. quand x tend vers x 0 si : f tend vers + 1. quand x tend vers x 0

81 Limites infinies La fonction tend vers... Limites On dit que f tend vers 2. quand x tend vers + si : f tend vers + 2. quand x tend vers +

82 Limites infinies La fonction tend vers... Limites On dit que f tend vers 3. quand x tend vers si : f tend vers + 3. quand x tend vers

83 Limites Limites infinies La fonction tend vers... On dit que f tend vers 1. quand x tend vers x 0 2. quand x tend vers + 3. quand x tend vers si : f tend vers + 1. quand x tend vers x 0 2. quand x tend vers + 3. quand x tend vers

84 Limites et opérations Limites et opérations

85 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions et l et l deux nombres réels. On suppose : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l

86 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions et l et l deux nombres réels. On suppose : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l lim f (x) + g(x) = l + l x x0

87 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions et l et l deux nombres réels. On suppose : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l lim f (x) + g(x) = l + l x x0 lim f (x).g(x) = l.l x x0

88 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions et l et l deux nombres réels. On suppose : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l lim f (x) + g(x) = l + l x x0 lim f (x).g(x) = l.l x x0 lim λ.f (x) = λ.l x x0

89 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions et l et l deux nombres réels. On suppose : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l lim f (x) + g(x) = l + l x x0 lim f (x).g(x) = l.l x x0 lim λ.f (x) = λ.l x x0 Si l f (x) = 0, lim x x0 g(x) = l l

90 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions et l et l deux nombres réels. On suppose : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l lim f (x) + g(x) = l + l x x0 lim f (x).g(x) = l.l x x0 lim λ.f (x) = λ.l x x0 Si l f (x) = 0, lim x x0 g(x) = l l Proposition identique pour : lim f (x) = l et lim f (x) = l x + x

91 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions. On suppose : lim x x0 g(x) = +

92 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions. On suppose : lim x x0 g(x) = + 1 lim x x0 g(x) = 0

93 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions. On suppose : lim x x0 g(x) = + 1 lim x x0 g(x) = 0 Si f est minorée, lim x x0 f (x) + g(x) = +

94 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions. On suppose : lim x x0 g(x) = + 1 lim x x0 g(x) = 0 Si f est minorée, lim x x0 f (x) + g(x) = + Si f est minorée par un nombre strictement positif, lim x x 0 f (x).g(x) = +

95 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions. On suppose : lim x x0 g(x) = + 1 lim x x0 g(x) = 0 Si f est minorée, lim x x0 f (x) + g(x) = + Si f est minorée par un nombre strictement positif, lim x x 0 f (x).g(x) = + Si lim x x0 f (x) = 0 et si x, 1 f (x) > 0 : lim x x0 f (x) = +

96 Limites et opérations Soit f et g deux fonctions. On suppose : lim x x0 g(x) = + 1 lim x x0 g(x) = 0 Si f est minorée, lim x x0 f (x) + g(x) = + Si f est minorée par un nombre strictement positif, lim x x 0 f (x).g(x) = + Si lim x x0 f (x) = 0 et si x, 1 f (x) > 0 : lim x x0 f (x) = + Si lim x x0 f (x) = l > 0 : lim x x0 f (x).g(x) = +

97 Limites et ordre Limites et ordre

98 Limite d une fonction positive Limites et ordre Théorème : Soit f une fonction et l un nombre réel. Si x, f (x) 0 et si lim x x0 f (x) = l, alors : l 0

99 Limite d une fonction positive Limites et ordre Théorème : Soit f une fonction et l un nombre réel. Si x, f (x) 0 et si lim x x0 f (x) = l, alors : l 0 Supposons l < 0. On a alors : l < l 2 < 0 donc : l 2 > 0. Pour ϵ = l, il existe α > 0 qui a la propriété suivante : 2 (x = x 0 et x x 0 α) f (x) l ϵ = l 2

100 Limites et ordre Limite d une fonction positive Théorème : Soit f une fonction et l un nombre réel. Si x, f (x) 0 et si lim x x0 f (x) = l, alors : l 0 Supposons l < 0. On a alors : l < l 2 < 0 donc : l 2 > 0. Pour ϵ = l, il existe α > 0 qui a la propriété suivante : 2 (x = x 0 et x x 0 α) f (x) l ϵ = l 2 Alors : l 2 f (x) l l 2 c est-à-dire : 3 l 2 f (x) l 2 < 0

101 Limites et ordre Limite d une fonction positive Théorème : Soit f une fonction et l un nombre réel. Si x, f (x) 0 et si lim x x0 f (x) = l, alors : l 0 Supposons l < 0. On a alors : l < l 2 < 0 donc : l 2 > 0. Pour ϵ = l, il existe α > 0 qui a la propriété suivante : 2 (x = x 0 et x x 0 α) f (x) l ϵ = l 2 Alors : l 2 f (x) l l 2 c est-à-dire : 3 l 2 f (x) l 2 < 0 Or f est positive...

102 Limite d une fonction positive Limites et ordre Théorème : Soit f une fonction et l un nombre réel. Si x, f (x) 0 et si lim x x0 f (x) = l, alors : l 0 Théorème applicable aussi, si lim f (x) = l ou si lim f (x) = l x + x

103 Limite d une fonction positive Limites et ordre Théorème : Soit f une fonction et l un nombre réel. Si x, f (x) 0 et si lim x x0 f (x) = l, alors : l 0 Théorème applicable aussi, si Attention : même si x, f (x) > 0, l 0 lim f (x) = l ou si lim f (x) = l x + x

104 Limites et ordre Limite d une fonction positive Corollaire : Soit f et g deux fonctions telles que : f g. Si : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l alors : l l

105 Limites et ordre Limite d une fonction positive Corollaire : Soit f et g deux fonctions telles que : f g. Si : lim x x0 f (x) = l et lim x x0 g(x) = l alors : l l Si f g, g f 0...

106 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Théorème :Soit f, g et h trois fonctions et l un nombre réel. Si f g h et si lim f (x) = lim h(x) = l alors : x x0 x x0 lim g(x) = l x x 0

107 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Théorème :Soit f, g et h trois fonctions et l un nombre réel. Si f g h et si lim f (x) = lim h(x) = l alors : x x0 x x0 ϵ > 0, α > 0 : lim g(x) = l x x 0 (x = x 0 et x x 0 α) ( f (x) l ϵ et h(x) l ϵ)

108 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Théorème :Soit f, g et h trois fonctions et l un nombre réel. Si f g h et si lim f (x) = lim h(x) = l alors : x x0 x x0 ϵ > 0, α > 0 : lim g(x) = l x x 0 (x = x 0 et x x 0 α) ( f (x) l ϵ et h(x) l ϵ) Si f g h : f (x) l g(x) l h(x) l

109 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Théorème :Soit f, g et h trois fonctions et l un nombre réel. Si f g h et si lim f (x) = lim h(x) = l alors : x x0 x x0 ϵ > 0, α > 0 : lim g(x) = l x x 0 (x = x 0 et x x 0 α) ( f (x) l ϵ et h(x) l ϵ) Si f g h : ϵ f (x) l g(x) l h(x) l ϵ

110 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Théorème :Soit f, g et h trois fonctions et l un nombre réel. Si f g h et si lim f (x) = lim h(x) = l alors : x x0 x x0 ϵ > 0, α > 0 : lim g(x) = l x x 0 (x = x 0 et x x 0 α) ( f (x) l ϵ et h(x) l ϵ) Si f g h : ϵ f (x) l g(x) l h(x) l ϵ g(x) l ϵ

111 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Corollaire : Si f g et si lim f (x) = + alors : x x0 lim g(x) = + x x 0

112 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Corollaire : Soit f et g deux fonctions. Si f est bornée et si lim g(x) = 0 alors : x x0 lim f (x).g(x) = 0 x x0

113 «Théorème des gendarmes» Limites et ordre Corollaire : Soit f et g deux fonctions. Si f est bornée et si M : f (x) M lim g(x) = 0 alors : x x0 f (x).g(x) M. g(x) lim f (x).g(x) = 0 x x0

114 Limites à gauche et à droite Limites à gauche et à droite

115 Limites à gauche et à droite Soit I =]a, b[ un intervalle, x 0 I et f une fonction définie sur la réunion : ]a, x 0 [ ]x 0, b[. Si pour x ]a, x 0 [, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à gauche.

116 Limites à gauche et à droite Soit I =]a, b[ un intervalle, x 0 I et f une fonction définie sur la réunion : ]a, x 0 [ ]x 0, b[. Si pour x ]a, x 0 [, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à gauche. Si pour x ]x 0, b[, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à droite.

117 Limites à gauche et à droite Soit I =]a, b[ un intervalle, x 0 I et f une fonction définie sur la réunion : ]a, x 0 [ ]x 0, b[. Si pour x ]a, x 0 [, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à gauche. Si pour x ]x 0, b[, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à droite. Notation : lim f (x) = l x x 0 limite à gauche

118 Limites à gauche et à droite Soit I =]a, b[ un intervalle, x 0 I et f une fonction définie sur la réunion : ]a, x 0 [ ]x 0, b[. Si pour x ]a, x 0 [, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à gauche. Si pour x ]x 0, b[, lim f (x) = l on dit que f tend vers l x x0 quand x tend vers x 0 à droite. Notation : lim f (x) = l x x 0 f (x) = l lim x x + 0 limite à gauche limite à droite

119 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = x 1

120 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = ε 1 1 ε x 1

121 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = ε 1 1 ε α x 1

122 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = ε 1 1 ε α x 1

123 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = ε 1 ε 1 α x 1

124 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = β 1 + ε 1 1 ε x

125 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = β 1 + ε 1 1 ε x

126 Limites à gauche et à droite y f(x) = x x 2 ε = β x 1 + ε 1 1 ε

127 Formes indéterminées Formes indéterminées

128 Formes indéterminées Formes indéterminées On n a pas de critère pour : lim f (x) g(x) si : lim f (x) = lim g(x) = ± ( ) x x0 x x0 x x0

129 Formes indéterminées Formes indéterminées On n a pas de critère pour : lim f (x) g(x) si : lim f (x) = lim g(x) = ± ( ) x x0 x x0 x x0 lim f (x).g(x) si : lim f (x) = 0, x x0 x x0 lim g(x) = ± x x0 (0. )

130 Formes indéterminées Formes indéterminées On n a pas de critère pour : lim f (x) g(x) si : lim f (x) = lim g(x) = ± ( ) x x0 x x0 x x0 lim f (x).g(x) si : lim f (x) = 0, x x0 x x0 lim g(x) = ± x x0 (0. ) f (x) lim si : lim f (x) = 0, x x0 g(x) x x 0 lim x x0 g(x) = 0 ( 0 0 )

131 Formes indéterminées Formes indéterminées On n a pas de critère pour : lim f (x) g(x) si : lim f (x) = lim g(x) = ± ( ) x x0 x x0 x x0 lim f (x).g(x) si : lim f (x) = 0, x x0 x x0 lim g(x) = ± x x0 (0. ) f (x) lim si : lim f (x) = 0, x x0 g(x) x x 0 f (x) lim si : lim f (x) = ±, x x0 g(x) x x 0 lim x x0 g(x) = 0 ( 0 0 ) lim g(x) = ± ( x x0 )

132 Formes indéterminées Formes indéterminées On n a pas de critère pour : lim f (x) g(x) si : lim f (x) = lim g(x) = ± ( ) x x0 x x0 x x0 lim f (x).g(x) si : lim f (x) = 0, x x0 x x0 lim g(x) = ± x x0 (0. ) f (x) lim si : lim f (x) = 0, x x0 g(x) x x 0 f (x) lim si : lim f (x) = ±, x x0 g(x) x x 0 g(x) lim f (x) si : lim f (x) = 1, x x0 x x0 lim x x0 g(x) = 0 ( 0 0 ) lim g(x) = ± ( x x0 ) lim g(x) = ± (1 ) x x0

133 Formes indéterminées Formes indéterminées On n a pas de critère pour : lim f (x) g(x) si : lim f (x) = lim g(x) = ± ( ) x x0 x x0 x x0 lim f (x).g(x) si : lim f (x) = 0, x x0 x x0 lim g(x) = ± x x0 (0. ) f (x) lim si : lim f (x) = 0, x x0 g(x) x x 0 f (x) lim si : lim f (x) = ±, x x0 g(x) x x 0 g(x) lim f (x) si : lim f (x) = 1, x x0 x x0 lim x x0 f (x) g(x) si : lim x x0 f (x) = ±, lim x x0 g(x) = 0 ( 0 0 ) lim g(x) = ± ( x x0 ) lim g(x) = ± (1 ) x x0 lim x x0 g(x) = 0 ( 0 )

134 Exercices Fonction d une variable réelle Formes indéterminées lim x x x + et lim exp x x x +

135 Exercices Fonction d une variable réelle Formes indéterminées lim x x x + lim x + et lim exp x x x ln(x + 1) ln(x + 1)

136 Exercices Fonction d une variable réelle Formes indéterminées lim x x x + lim x + et lim exp x x x ln(x + 1) ln(x + 1) lim exp 1 x 0 + x et lim exp 1 x 0 x

137 Exercices Fonction d une variable réelle Formes indéterminées lim x x x + lim x + et lim exp x x x ln(x + 1) ln(x + 1) lim exp 1 x 0 + x et lim exp 1 x 0 x 1 + e x 1 + e x lim x + 1 e x et lim x 1 e x

138 Exercices Fonction d une variable réelle Formes indéterminées lim x x x + lim x + et lim exp x x x ln(x + 1) ln(x + 1) lim exp 1 x 0 + x et lim exp 1 x 0 x 1 + e x 1 + e x lim x + 1 e x et lim x 1 e x ln(x + 1) lim x + ln x

139 Continuité

140 Fonction continue Définition Soit A une partie de R et f une fonction définie sur A. Si x 0 A on dit que f est continue en x 0 si : lim x x 0 f (x) = f (x 0 ).

141 Fonction continue Définition Soit A une partie de R et f une fonction définie sur A. Si x 0 A on dit que f est continue en x 0 si : lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A.

142 Fonction continue Définition Soit A une partie de R et f une fonction définie sur A. Si x 0 A on dit que f est continue en x 0 si : lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A. ϵ > 0, il existe un nombre α > 0 ayant la propriété suivante : (x A et x x 0 α) f (x) f (x 0 ) ϵ

143 Continuité et opérations Continuité de la somme et du produit Soit f et g deux fonctions continues sur A et λ R Supposons que f et g sont continues en x 0 A (sur A), alors : La fonction f + g est continue en x 0 (sur A)

144 Continuité et opérations Continuité de la somme et du produit Soit f et g deux fonctions continues sur A et λ R Supposons que f et g sont continues en x 0 A (sur A), alors : La fonction f + g est continue en x 0 (sur A) La fonction f.g est continue en x 0 (sur A)

145 Continuité et opérations Continuité de la somme et du produit Soit f et g deux fonctions continues sur A et λ R Supposons que f et g sont continues en x 0 A (sur A), alors : La fonction f + g est continue en x 0 (sur A) La fonction f.g est continue en x 0 (sur A) La fonction λ.f est continue en x 0 (sur A)

146 Continuité et opérations Continuité de la somme et du produit Soit f et g deux fonctions continues sur A et λ R Supposons que f et g sont continues en x 0 A (sur A), alors : La fonction f + g est continue en x 0 (sur A) La fonction f.g est continue en x 0 (sur A) La fonction λ.f est continue en x 0 (sur A) Si g(x 0 ) = 0, la fonction f g est continue en x 0 (sur A)

147 Continuité de g f Continuité et composition Théorème : Soit f : A R et g : B R On suppose que f (A) B et que lim x x0 f (x) = l B Si g est continue en l, alors : lim x x0 g f (x) = g(l)

148 Continuité de g f Continuité et composition g est continue en l : ϵ > 0, α > 0 : (y B et y l α) g(y) g(l) ϵ

149 Continuité de g f Continuité et composition f a pour limite l en x 0 : α > 0 β > 0 : (x A, x = x 0, x x 0 β) f (x) l α

150 Continuité de g f Continuité et composition ϵ > 0, α > 0 : (y B et y l α) g(y) g(l) ϵ β > 0 : (x A, x = x 0, x x 0 β) f (x) l α ϵ > 0, β > 0 : (x A, x = x 0, x x 0 β) g(f (x)) g(l) ϵ

151 Continuité de g f Continuité et composition Corollaire 1 : La composée de deux fonctions continues est continue.

152 Continuité et composition Continuité de g f Corollaire 1 : La composée de deux fonctions continues est continue. Corollaire 2 : Soit f : I R une fonction et u n une suite définie par récurrence par : u 0, et u n+1 = f (u n ) 1. Si u n est convergente vers L I 2. Si f est continue Alors L vérifie : f (L) = L

153 Prolongement par continuité Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur ]a, b[ et l un nombre réel. Supposons que lim x a f (x) = l

154 Prolongement par continuité Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur ]a, b[ et l un nombre réel. Supposons que lim x a f (x) = l On définit la fonction g sur [a, b[ par : f (x) si x ]a, b[ g(x) = l si x = a

155 Prolongement par continuité Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur ]a, b[ et l un nombre réel. Supposons que lim x a f (x) = l On définit la fonction g sur [a, b[ par : f (x) si x ]a, b[ g(x) = l si x = a lim x a g(x) = lim f (x) = l = g(a) x a

156 Prolongement par continuité Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur ]a, b[ et l un nombre réel. Supposons que lim x a f (x) = l On définit la fonction g sur [a, b[ par : f (x) si x ]a, b[ g(x) = l si x = a lim x a g(x) = lim f (x) = l = g(a) x a g est continue en a

157 Prolongement par continuité Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur ]a, b[ et l un nombre réel. Supposons que lim x a f (x) = l On définit la fonction g sur [a, b[ par : f (x) si x ]a, b[ g(x) = l si x = a lim x a g(x) = lim f (x) = l = g(a) x a g est continue en a g est le prolongement par continuité de f en a.

158 Prolongement par continuité Exercices Utilisation des opérations Soit f une fonction définie sur ]1, + [ par : f (x) = f est continue sur ]1, + [ x + 1 x 1 x 2 + 1

159 Exercices Utilisation des opérations Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur R par : f (x) = ex sin x x 2 + 1

160 Exercices Utilisation des limites Prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur R par : f (x) = x3 + 8 si x = 2 x + 2 f ( 2) = 12

161 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : [a, b[ R une fonction croissante. Si f est majorée, alors :

162 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : [a, b[ R une fonction croissante. Si f est majorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers b

163 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : [a, b[ R une fonction croissante. Si f est majorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers b 2. lim f (x) = sup{y = f (x) x [a, b[} = sup f (x) x b x [a,b[

164 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : [a, b[ R une fonction croissante. Si f est majorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers b 2. lim f (x) = sup{y = f (x) x [a, b[} = sup f (x) x b x [a,b[ Si f n est pas majorée, alors lim x b f (x) = +

165 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : [a, b[ R une fonction croissante. Si f est majorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers b 2. lim f (x) = sup{y = f (x) x [a, b[} = sup f (x) x b x [a,b[ Si f n est pas majorée, alors lim x b f (x) = + Théorème valide si on remplace b par +

166 Fonctions croissantes Fonction croissante majorée, non minorée y 1 1 x f(x) = x 1 + x

167 Fonctions croissantes Fonction croissante majorée et minorée y 1 x f(x) = x 1 + x 1

168 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : ]a, b] R une fonction croissante. Si f est minorée, alors :

169 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : ]a, b] R une fonction croissante. Si f est minorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers a

170 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : ]a, b] R une fonction croissante. Si f est minorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers a 2. lim f (x) = inf{y = f (x) x ]a, b]} = inf f (x) x a x ]a,b]

171 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : ]a, b] R une fonction croissante. Si f est minorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers a 2. lim f (x) = inf{y = f (x) x ]a, b]} = inf f (x) x a x ]a,b] Si f n est pas minorée, alors lim x a f (x) =

172 Fonctions croissantes Théorème : Soit f : ]a, b] R une fonction croissante. Si f est minorée, alors : 1. f a une limite quand x tend vers a 2. lim f (x) = inf{y = f (x) x ]a, b]} = inf f (x) x a x ]a,b] Si f n est pas minorée, alors lim x a f (x) = Théorème valide si on remplace a par

173 Fonctions croissantes Fonction croissante minorée, non majorée y f(x) = 1 1 x 1 x

174 Fonctions croissantes Fonction croissante ni majorée, ni minorée y 1 1 x f(x) = x 1 x 2

175 Continuité sur un intervalle Proposition : Soit a et b deux nombres réels tels que a < b et f : [a, b] R une fonction continue. Si f (a) et f (b) sont non-nuls et de signes contraires, alors : il existe au moins un nombre c ]a, b[ tel que f (c) = 0.

176 Continuité sur un intervalle y f(a0) a0 b0 x f(b0)

177 Continuité sur un intervalle y m0 = a0 + b0 2 f(a0) a0 m0 b0 x f(b0)

178 Continuité sur un intervalle y m0 = a0 + b0 2 f(a0) a0 m0 b0 x f(m0)

179 Continuité sur un intervalle y f(a1) a0 = a1 b1 b0 x f(b1)

180 Continuité sur un intervalle y m1 = a1 + b1 2 f(a1) a0 = a1 m1 b1 b0 x f(b1)

181 Continuité sur un intervalle y m1 = a1 + b1 2 f(m1) a0 = a1 m1 b1 b0 x f(b1)

182 Continuité sur un intervalle y f(a2) a0 = a1 a2 b2 = b1 b0 x f(b2)

183 Continuité sur un intervalle y m2 = a2 + b2 2 f(a2) a0 = a1 a2 m2 b2 = b1 b0 x f(b2)

184 Continuité sur un intervalle y m2 = a2 + b2 2 f(a2) a0 = a1 m2 b2 = b1 b0 x f(m2) a2

185 Continuité sur un intervalle y f(a3) a0 = a1 b3 b2 = b1 b0 x f(b3) a2 = a3

186 Continuité sur un intervalle y m3 = a3 + b3 2 f(a3) a0 = a1 b3 b2 = b1 b0 x f(b3) a2 = a3 m3

187 Continuité sur un intervalle y f(a4) b4 = b3 a0 = a1 b2 = b1 b0 x f(b4) a2 = a3 a4

188 Continuité sur un intervalle y m4 = a4 + b4 2 m4 b4 = b3 a0 = a1 b2 = b1 b0 x a2 = a3 a4

189 Continuité sur un intervalle Proposition : Soit a et b deux nombres réels tels que a < b et f : [a, b] R une fonction continue. Si f (a) et f (b) sont non-nuls et de signes contraires, alors : il existe au moins un nombre c ]a, b[ tel que f (c) = 0.

190 Continuité sur un intervalle Soit a 0 et b 0 tels que f (a 0 ) > 0 et f (b 0 ) < 0. Soit m 0 = a 0 + b 0. 2

191 Continuité sur un intervalle Soit a 0 et b 0 tels que f (a 0 ) > 0 et f (b 0 ) < 0. Soit m 0 = a 0 + b 0. 2 Si f (m 0 ) = 0, c = m 0

192 Continuité sur un intervalle Soit a 0 et b 0 tels que f (a 0 ) > 0 et f (b 0 ) < 0. Soit m 0 = a 0 + b 0. 2 Si f (m 0 ) = 0, c = m 0 Si f (m 0 ) > 0, a 1 = m 0, et b 1 = b 0 donc f (a 1 ) > 0

193 Continuité sur un intervalle Soit a 0 et b 0 tels que f (a 0 ) > 0 et f (b 0 ) < 0. Soit m 0 = a 0 + b 0. 2 Si f (m 0 ) = 0, c = m 0 Si f (m 0 ) > 0, a 1 = m 0, et b 1 = b 0 donc f (a 1 ) > 0 Si f (m 0 ) < 0, a 1 = a 0, et b 1 = m 0 donc f (b 1 ) < 0

194 Continuité sur un intervalle Soit a 0 et b 0 tels que f (a 0 ) > 0 et f (b 0 ) < 0. Soit m 0 = a 0 + b 0. 2 Si f (m 0 ) = 0, c = m 0 Si f (m 0 ) > 0, a 1 = m 0, et b 1 = b 0 donc f (a 1 ) > 0 Si f (m 0 ) < 0, a 1 = a 0, et b 1 = m 0 donc f (b 1 ) < 0 a 0 < m 0 < b 0 a 0 a 1 < b 1 b 0

195 Continuité sur un intervalle Soit a 0 et b 0 tels que f (a 0 ) > 0 et f (b 0 ) < 0. Soit m 0 = a 0 + b 0. 2 Si f (m 0 ) = 0, c = m 0 Si f (m 0 ) > 0, a 1 = m 0, et b 1 = b 0 donc f (a 1 ) > 0 Si f (m 0 ) < 0, a 1 = a 0, et b 1 = m 0 donc f (b 1 ) < 0 a 0 < m 0 < b 0 a 0 a 1 < b 1 b 0 b 1 a 1 = b0 m 0 = b 0 a 0+b 0 = b 0 a (si f (m 0 ) > 0) m 0 a 0 = a 0+b 0 a 2 0 = b 0 a 0 2 (si f (m 0 ) < 0)

196 Continuité sur un intervalle Soit m 1 = a 1 + b 1. 2

197 Continuité sur un intervalle Soit m 1 = a 1 + b 1. 2 Si f (m 1 ) = 0, c = m 1

198 Continuité sur un intervalle Soit m 1 = a 1 + b 1. 2 Si f (m 1 ) = 0, c = m 1 Si f (m 1 ) > 0, a 2 = m 1, et b 2 = b 1 donc f (a 2 ) > 0

199 Continuité sur un intervalle Soit m 1 = a 1 + b 1. 2 Si f (m 1 ) = 0, c = m 1 Si f (m 1 ) > 0, a 2 = m 1, et b 2 = b 1 donc f (a 2 ) > 0 Si f (m 1 ) < 0, a 2 = a 1, et b 2 = m 1 donc f (b 2 ) < 0

200 Continuité sur un intervalle Soit m 1 = a 1 + b 1. 2 Si f (m 1 ) = 0, c = m 1 Si f (m 1 ) > 0, a 2 = m 1, et b 2 = b 1 donc f (a 2 ) > 0 Si f (m 1 ) < 0, a 2 = a 1, et b 2 = m 1 donc f (b 2 ) < 0 a 1 < m 1 < b 1 a 0 a 1 a 2 < b 2 b 1 b 0

201 Continuité sur un intervalle Soit m 1 = a 1 + b 1. 2 Si f (m 1 ) = 0, c = m 1 Si f (m 1 ) > 0, a 2 = m 1, et b 2 = b 1 donc f (a 2 ) > 0 Si f (m 1 ) < 0, a 2 = a 1, et b 2 = m 1 donc f (b 2 ) < 0 a 1 < m 1 < b 1 a 0 a 1 a 2 < b 2 b 1 b 0 b 2 a 2 = b 1 m 1 = b 1 a 1 = b 0 a (si f (m 1 ) > 0) m 1 a 1 = b 1 a 1 = b 0 a (si f (m 1 ) < 0)

202 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0

203 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0 f (a n ) > 0 et f (b n ) < 0

204 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0 f (a n ) > 0 et f (b n ) < 0 par construction a n est croissante et b n est décroissante

205 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0 f (a n ) > 0 et f (b n ) < 0 par construction a n est croissante et b n est décroissante b n a n = b 0 a 0 2 n donc : lim n (b n a n ) = 0

206 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0 f (a n ) > 0 et f (b n ) < 0 par construction a n est croissante et b n est décroissante b n a n = b 0 a 0 2 n donc : lim n (b n a n ) = 0 Les suite a n et b n sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite : c.

207 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0 f (a n ) > 0 et f (b n ) < 0 par construction a n est croissante et b n est décroissante b n a n = b 0 a 0 2 n donc : lim n (b n a n ) = 0 Les suite a n et b n sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite : c. f est continue, donc : lim f (a n n ) = lim f (b n n ) = f (c)

208 Continuité sur un intervalle Par récurrence on construit deux suites a n et b n telles que : a 0 a 1 a n < b n b 1 b 0 f (a n ) > 0 et f (b n ) < 0 par construction a n est croissante et b n est décroissante b n a n = b 0 a 0 2 n donc : lim n (b n a n ) = 0 Les suite a n et b n sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite : c. f est continue, donc : lim f (a n n ) = lim f (b n n ) = f (c) f (a n ) > 0 f (c) 0 donc f (c) = 0 f (b n ) < 0 f (c) 0

209 Continuité sur un intervalle Corollaire : Un polynôme de degré impair à coefficients réels possède au moins une racine réelle.

210 Continuité sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f : [a, b] R une fonction continue. Soit k un nombre strictement compris entre f (a) et f (b), alors : il existe un nombre c, a < c < b tel que : f (c) = k.

211 Continuité sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f : [a, b] R une fonction continue. Soit k un nombre strictement compris entre f (a) et f (b), alors : il existe un nombre c, a < c < b tel que : f (c) = k. Supposons : f (a) < k < f (b), on pose : x [a, b], g(x) = f (x) k

212 Continuité sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f : [a, b] R une fonction continue. Soit k un nombre strictement compris entre f (a) et f (b), alors : il existe un nombre c, a < c < b tel que : f (c) = k. Supposons : f (a) < k < f (b), on pose : x [a, b], g(x) = f (x) k g(a) = f (a) k < 0 et g(b) = f (b) k > 0 c ]a, b[: g(c) = 0

213 Continuité sur un intervalle Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f : [a, b] R une fonction continue. Soit k un nombre strictement compris entre f (a) et f (b), alors : il existe un nombre c, a < c < b tel que : f (c) = k. Supposons : f (a) < k < f (b), on pose : x [a, b], g(x) = f (x) k g(a) = f (a) k < 0 et g(b) = f (b) k > 0 c ]a, b[: g(c) = 0 = f (c) k

214 Continuité sur un intervalle Corollaire : Si une fonction f est continue sur un intervalle I, alors f (I) est un intervalle.

215 Continuité sur un intervalle Corollaire : Si une fonction f est continue sur un intervalle I, alors f (I) est un intervalle. x, y f (I), si x < k < y, c I : f (c) = k

216 Continuité sur un intervalle fermé et borné Théorème : Soit a et b deux nombres réels et f : [a, b] R une fonction continue définie sur l intervalle fermé et borné [a, b].

217 Continuité sur un intervalle fermé et borné Théorème : Soit a et b deux nombres réels et f : [a, b] R une fonction continue définie sur l intervalle fermé et borné [a, b]. 1. La fonction f est bornée sur [a, b]

218 Continuité sur un intervalle fermé et borné Théorème : Soit a et b deux nombres réels et f : [a, b] R une fonction continue définie sur l intervalle fermé et borné [a, b]. 1. La fonction f est bornée sur [a, b] 2. f [a, b] = [m, M] où : m = inf x [a,b] f (x), M = sup f (x) x [a,b]

219 Continuité sur un intervalle fermé et borné Théorème : Soit a et b deux nombres réels et f : [a, b] R une fonction continue définie sur l intervalle fermé et borné [a, b]. 1. La fonction f est bornée sur [a, b] 2. f [a, b] = [m, M] où : m = inf x [a,b] f (x), M = sup f (x) x [a,b] Théorème admis

220 Fonctions monotones Proposition : Soit I un intervalle et f : I R une fonction strictement monotone. Alors : f est injective.

221 Fonctions monotones Proposition : Soit I un intervalle et f : I R une fonction strictement monotone. Alors : f est injective. Soit x = y, en supposant f strictement croissante : x < y f (x) < f (y) x > y f (x) > f (y) f (x) = f (y)

222 Fonctions monotones Théorème : Soit I un intervalle et f : I R une fonction continue et strictement monotone. 1. f (I) est un intervalle.

223 Fonctions monotones Théorème : Soit I un intervalle et f : I R une fonction continue et strictement monotone. 1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I).

224 Fonctions monotones Théorème : Soit I un intervalle et f : I R une fonction continue et strictement monotone. 1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I). 2. Si a et b sont les bornes de l intervalle I, alors : lim x a f (x) et lim f (x) sont les bornes de l intervalle f (I). x b

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226 Fonctions monotones Théorème : Soit I un intervalle et f : I R une fonction continue et strictement monotone. 1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I). 2. Si a et b sont les bornes de l intervalle I, alors : lim x a f (x) et lim f (x) sont les bornes de l intervalle f (I). x b 3. La bijection réciproque de f est continue, strictement monotone et de même sens de variation que f. f bijective : f 1 ; si f strictement croissante : x = f 1 (x ) > f 1 (y ) = y x = f (x) > f (y) = y

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