Géométrie et Problèmes

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1 1. Figures planes 1.1. Triangles Géométrie et Problèmes Une figure du plan qui possède trois côtés est un triangle ; il a 3 sommets et la somme de ses trois angles internes vaut 180. Si un de ses angles vaut exactement 90, l angle est dit droit et le triangle est dit rectangle. Si deux de ses côtés sont égaux, le triangle est dit isocèle ; si c est les trois, il est équilatéral Quadrilatères Une figure du plan qui possède quatre côtés est un quadrilatère ; il a 4 sommets et la somme de ses angles internes vaut 360. Un quadrilatère est un trapèze s il a deux côtés opposés parallèles. Il peut être isocèle, si ses deux côtés non parallèles sont de même longueur. Un quadrilatère est un parallélogramme, s il a deux paires de côtés parallèles. Dans ce cas, ses diagonales se coupe en leurs milieux. On peut aussi démontrer qu un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de longueurs égales est un parallélogramme. Un quadrilatère qui a quatre angles droits est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit ou ses diagonales de même longueur, c est un rectangle. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur ou ses diagonales perpendiculaires, c est un losange. Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et quatre angles droits est un carré ; il a toutes les propriétés du rectangle et du losange. Parallélogramme Losange Rectangle Carré AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 1 sur 12

2 Un cercle de centre O est l ensemble des points M équidistants au point O ; on dit que la longueur OM est égale au rayon du cercle. 2. Pythagore Théorème : Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : BC²=AC²+AB² ou encore a²=b²+c² Exemples : - Dans le triangle ABC rectangle en A, tel que AB=6 et AC=8 ; la longueur de BC est telle que : BC²=6²+8²=36+64=100 donc BC= 100 = Dans le triangle ABC rectangle en A, tel que BC=10 et AC=8 ; la longueur de AC est telle que : AC²=10²-8²=100-64=36 donc BC= 36 = 6. Réciproque : Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Exemples : - Soit un triangle ABC tel que AB= 12, AC=16 et BC=20, alors : BC²=20²=400 et AB²+AC²=12²+16²= =400, les résultats étant égaux, le triangle ABC est rectangle en A. - Soit un triangle ABC tel que AB=10, BC=7 et AC=5, alors : AB=10²=100 et BC²+AC²=49+25=74 100, les résultats sont différents, donc le triangle n est pas rectangle. Exercice 1 : 1/ Calculer la longueur manquante dans chacun de ces triangles rectangles : a/ ABC rectangle en B tel que AB=8 et BC=5 ; b/mur rectangle en U tel que MR= 7,3 et UM=4,8 ; 2/ Les triangles suivants sont-ils rectangles? Si oui, précisez le sommet de l angle droit. a/ TRI tel que TI=5,21, TR=4,40 et RI=2,79 ; b/ RED tel que RE=3, ED=8 et RD=6. 3. Thalès Le cercle de Thalès d un segment est le cercle ayant pour diamètre ce segment. Un triangle inscrit dans «son» cercle de Thalès est rectangle au 3 ème sommet sur le cercle, le diamètre du cercle est l hypoténuse du triangle. Théorème : Si deux droites (AB) et (A B ) sont sécantes en I et que les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles, alors on a l égalité de rapports suivante : IA = IB = AB IA IB A B («papillon» ou triangles emboités) AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 2 sur 12

3 Remarques : On partira TOUJOURS du point d intersection des deux droites sécantes (en I, ici). Les deux triangles sont images l un de l autre par une homothétie de centre I. Exemple : On sait que les droites (FA) et (CN) sont parallèles, calculer CN : Les droites (FN) et (AC) étant sécantes en O et (FA)//(CN), on a d après le théorème de Thalès : OF = OA = FA d où 6 = OA = 7 ON OC CN 4 OC CN Donc CN=4*7:6=28:6=14/3 soit environ 4,7 si on décide d arrondir au dixième. La réciproque du théorème permet de prouver le parallélisme (ou non) de deux droites. Exemple : Les droites (EP) et (BM) se coupent en H, on a : HB = 1,8 = 18 HE = 0,72 et = 1,2 = 12 = 3 = 0,75, les résultats n étant pas égaux, HM 2,5 25 HP 1, les droites (BE) et (PM) ne sont pas parallèles. Exercice 2 : 1/ Calculer les longueurs manquantes, sachant que : a/ Les droites (AD) et (CE) sont parallèles. b/ Les droites (BD) et (CE) sont parallèles. 2/ Les droites suivantes sont-elles parallèles? a/ (WZ) et (XY)? b/ (NM) et (BC)? 4. Droites remarquables d un triangle 4.1 Hauteur La hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Les hauteurs d un triangle se croisent en un unique point, appelé orthocentre (ici H). AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 3 sur 12

4 4.2 Médiane La médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet, elle partage un triangle en deux triangles de même aire. Les médianes d un triangle se croisent en un unique point, appelé centre de gravité (ici G). 4.3 Médiatrice La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistant aux deux extrémités du segment. C est une droite qui passe par le milieu d un côté et qui y est perpendiculaire. Les médiatrices d un triangle se croisent en un unique point, qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. Ce point peut se trouver à l extérieur du triangle!! 4.4 Bissectrice La bissectrice est une droite qui coupe en deux parties égales un angle. Les bissectrices d un triangle se croisent en un unique point qui est le centre du cercle inscrit au triangle (ici O ). Exercice 3 : 1/ Au compas et à la règle seulement, construire les quatre droites remarquables issues du sommet A ou relatif au côté BC dans le triangle suivant ABC suivant : AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 4 sur 12

5 2/ a/ Construire, au compas et à la règle, la demi-droite [AC) de l angle CAB sachant que [AI) est la bissectrice de cet angle ; b/ Placez C à 3 cm du sommet A ; c/ Tracez, au compas et à la règle, le cercle inscrit au triangle ABC. 5. Transformations 5.1. Translation Une translation comporte un vecteur comme élément de référence. Déplacer une figure par translation, c est la faire glisser selon le sens, la direction et la longueur du vecteur fourni sans la faire tourner, la figure conserve donc ses longueurs. AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 5 sur 12

6 5.2. Symétries Axiale Une symétrie axiale comporte une droite comme élément de référence, c est l axe de symétrie ; en pliant la feuille selon cette droite la figure initiale et son image se superposent. Le segment reliant un point et son image admet l axe de symétrie comme médiatrice Centrale Une symétrie centrale comporte un point comme élément de référence, c est le centre de symétrie. Le segment reliant un point et son image admet le centre de symétrie comme milieu. Déplacer une figure par une symétrie centrale, c est faire tourner d un demi-tour cette figure autour du centre, elle conserve donc ses longueurs. AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 6 sur 12

7 5.3. Rotation Une rotation comporte un centre et une mesure d angle comme élément de référence. Déplacer une figure par une rotation, c est faire tourner d un angle donné cette figure autour du centre, elle conserve donc ses longueurs Homothétie Une homothétie est constituée d un centre et d un rapport, c est une transformation qui conserve les formes et les directions (sens des angles), mais pas les longueurs en général. L image d une figure par une homothétie est un agrandissement (si la valeur absolue du rapport est supérieure à 1) ou une réduction (si la valeur absolue du rapport est inférieure à 1) de cette figure. La figure change de sens si le rapport est négatif et dans ce cas, l image se trouve de l autre côté du centre par rapport à la figure initiale. 6. Angle inscrit / Angle au centre Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle. Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. La mesure d un angle inscrit est la moitié de celle d un angle au centre du moment qu ils interceptent le même arc de cercle : COD = 2 CBD AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 7 sur 12

8 Exercice 5 : 1/ Déterminer la mesure de l angle CAB, sachant que le point O est le centre du cercle auquel appartiennent les points A, b et C. 2/ Démontrer que le triangle ABC est rectangle en utilisant les informations fournies sur la figure. 7. Périmètres, Aires et Volumes Le périmètre d une figure est la longueur de son pourtour, pour un polygone c est la somme des longueurs de ses côtés. L aire d une figure est la mesure de sa surface. Aires principales : Rectangle = Base*hauteur ; Trapèze= Disque=π Rayon² (son périmètre est 2π Rayon) Grande Base+petite base 2 hauteur ; Triangle= base hauteur 2 ; Le volume d un solide est sa contenance. Volumes principaux : Aire de sa base hauteur Pyramide/ Cône= ; Boule= 4π Rayon3 3 3 Parallélépipède/ Prisme/ Cylindre=Aire de sa base hauteur ; Exercice 6 : 1/ Calculer le volume des deux solides suivants : a/ ; b/ les longueurs pour le tunnel sont : a=4m, b=5m et c=12km. 2/ Quelle hauteur faut-il donner au cône pour que son volume soit le même que celui de la demi-sphère, si r =10 cm? AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 8 sur 12

9 Exercice 7 : 1/ [Ax) et [Ay) sont deux demi-droites. B est un point de la demi-droite [Ax) et C de la demi-droite [Ay). I est le milieu du segment [AC], (d) est la perpendiculaire en I à la droite (AC). (d) coupe la droite (AB) en E et la droite (BC) en F. Le cercle C ayant pour diamètre le segment AE, coupe en J le cercle C ayant pour centre F et passant par le point I. Faire une figure codée de cet énoncé. 2/ C est un cercle de diamètre [AB] ; M est un point de C distinct de A et de B. Le symétrique de A par rapport à M est le point R. a/ Faire une figure. b/ Démontrer que (MB) est la médiatrice du segment [AR]. 3/ Construire un triangle ABC tel que AB=12cm, BC=16cm et CA=8cm. (Laisser les traits de construction). Placer E sur le segment [AB) tel que AE=9cm. La parallèle à (BC) passant par E coupe[ac] en F. a/ Calculer AF en justifiant. b/ La parallèle à (AB) menée par F coupe [BC] en K. Réaliser le tracer sur la figure précédente. c/ Calculer BK. d/ Quelle est la nature du quadrilatère EFKB? En déduire la longueur de EF. 4/ C est un cercle de diamètre [AB]. C est un autre cercle qui passe par les points B et C ; notons O son centre. Une droite (d) qui passe par B recoupe C en I et C en A. Le point M est le milieu du segment [AB]. a/ Faire une figure. b/ Démontrer que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires. c/ Que peut-on dire du triangle BIC? Pourquoi les droites (CI) et (OM) sont-elles parallèles? 5/ Trace une droite (d) horizontalement, au centre de ta feuille. Place les points A et B sur la droite (d), distants de 6 cm. Place le point 0, milieu de [AB]. Trace la droite (d1), perpendiculaire à (d), passant par O. Place les points C et D, sur (d1) situés à 3 cm de chaque côté du point O. Trace les 4 cercles de centres A, B, C et D et de rayon 3 cm. Place les points E et F sur la droite (d), situés à 1,5 cm de chaque côté du point A. Trace le demi-cercle de centre E et de rayon 1, 5 cm, au-dessus de (d) et le demi-cercle de centre F et de rayon 1, 5 cm, en dessous de (d). Place les points G et H sur la droite (d), situés à 1,5 cm de chaque côté du point B et trace les demi-cercles sur le même modèle. Place les points I et J sur la droite (d1), situés à 1,5 cm de chaque côté du point C. Trace le demi-cercle de centre I et de rayon 1,5 cm, à droite de (d1) et le demi-cercle de centre J et de rayon 1,5 cm, à gauche de (d1). Place les points K et L sur la droite (d1), situés à 1,5 cm de chaque côté du point D et trace les demi-cercles sur le même modèle. Ta figure doit représenter une croix du Pays Basque : AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 9 sur 12

10 Exercice 1 : 1/ a/ ABC rectangle en B, d après Pythagore on a : AC²=AB²+BC²=8²+5²=64+25=89 donc AC = 89 ; b/mur rectangle en U, d après Pythagore on a : UR²=MR²-UM²=7,3²+4,8²=76,33 donc UR= 76,33 ; 2/ a/ TI²=5,21²=27,1441 et TR²+RI²=4,40²+2,79²=27,1441, les résultats sont égaux donc le triangle TRI est rectangle en R ; b/ ED²=8²=64 et RE²+RD²=²+6²=9+36=45, les résultats sont différents donc le triangle RED n est pas rectangle. Exercice 2 : 1/ a/ Les droites (AD) et (CE) sont parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : BA BD = AD d où 8 = donc CE = = 7,875. BC CE 7 CE 8 b/ Les droites (BD) et (CE) sont parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : AB 3 3+BC = 2 5 donc BC= = 4,5. = AD = BD AC AE 2/ a/ WZ = 2 = 1 VZ et = 3 = 1 1 donc les droites (WZ) et (XY) ne sont pas parallèles. XY 6 3 VY BE = CE d où b// AB = 5.4 AC = 0,6 et = 10.5 = 0,6 donc les droites (NM) et (BC) sont parallèles. AM 9 AN 17.5 Exercice 3 : 1/ AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 10 sur 12

11 Un premier arc de cercle permet d obtenir les points K et M à égal distance du sommet A, on garde le même rayon et on trace deux arcs de cercle l un de centre K et l autre de centre M, on obtient un point O à l intersection : la droite (AO) est la bissectrice cherchée. Deux arcs de cercle de même rayon, l un centré en B et l autre en C, permettent d obtenir les points E et G, la droite (EG) obtenue est la médiatrice cherchée. En reliant le sommet A et le point H, intersection de la médiatrice (EG) du segment [BC], on obtient la médiane issue du sommet A. La hauteur (traits non visibles) est obtenue à l aide du compas en traçant le quatrième sommet E du rectangle AEHE, on a reportée la longueur AE depuis le point H et la longueur EH depuis le point A, le point E est à l intersection de ces deux arcs de cercle. 2/ On trace le symétrique E du point B par rapport à la droite (AI), la demi-droite [AE) porte le point C cherché, que l on place alors à 3cm. Avec la même méthode des arcs de cercle qu au 1/, on trace la bissectrice de l angle C (ou celle de B) et on obtient ainsi le point F à l intersection des deux bissectrices, c est le centre du cercle cherché. On trace le symétrique F du pont F par rapport à la droite (AC), la droite (FF ) intercepte le segment [AC) au point G, on obtient ainsi un rayon FG du cercle inscrit, et on peut le tracer. Exercice 5 : 1/ Le triangle OCB est isocèle en O donc l angle COB mesure 180-2*68= =44. L angle inscrit CAB intercepte le même arc de cercle quel angle au centre COB donc il en mesure la moitié, ainsi CAB= 44/2=22. 2/ L angle ABC intercepte le même arc que l angle AEC donc ils sont égaux à 50, de ce fait, l angle BAC mesure =90. Ainsi le triangle ABC est rectangle en A. AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 11 sur 12

12 Exercice 6 : 1/ a/ Le solide est formé d un prisme droit de volume : V1=a*b*d=3*2*10=60dm 3 et d une pyramide de volume : V2= (c b) a d = (5 2) 3 10 = 45dm 3, ainsi le volume du solide vaut 2 2 V=V1+ V2=105dm 3 b/ Le tunnel est formé d un prisme droit de volume : V1=a*b*c=4*5*12 000= m 3 et d un demicylindre de volume : V2=0,5 π ( a 2 )2 c = 0,5π = πm m 3. Donc le volume du tunnel vaut V=V1+V m 3. 2/ Le volume du cône vaut V 1= 1 3 π102 h, celui de la demi-sphère vaut V 2= π103. On veut donc résoudre 1 3 π102 h = 2 3 π103 d où h=2*10=20cm. AUF-DEH Objectifs de base_géométrie Page 12 sur 12

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