Les fonctions numériques

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1 CHAPITRE Les fonctions numériques A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Étude de fonctions. Fonctions de référence et 3. Connaître les variations de ces fonctions et leur représentation graphique. Il n a pas de commentaire spécifique. À noter que la composition des fonctions n est pas au programme. Dans le programme, on peut lire : «Le programme s inscrit, comme celui de la classe de Seconde, dans le cadre de la résolution de problèmes. Les situations proposées répondent à des problématiques clairement identifiées d origine purement mathématique ou en lien avec d autres disciplines. Un des objectifs de ce programme est de doter les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets. Ainsi, on consolide l ensemble des fonctions mobilisables, enrichi de deu nouvelles fonctions de référence, la fonction racine carrée et la fonction cube.» La notion de nombre dérivé et ses applications sont abordées au chapitres 4 et 5. B Notre point de vue L objectif de ce chapitre est d introduire deu nouvelles fonctions de référence, la fonction racine carrée et la fonction cube. Dans les Savoir-faire, on insiste sur les méthodes graphiques et sur l utilisation de la calculatrice. L étude des variations des fonctions s appuiera sur la définition et sur les propriétés des fonctions de référence en évoquant également des opérations élémentaires sur les fonctions. Des eercices simples permettront de travailler les Savoirfaire développés dans le cours, d autres, en se situant par eemple dans un contete plutôt économique, conduiront à de la modélisation. Les notions abordées dans le chapitre Fonctions de référence Sens de variation d une fonction Fonction racine carrée Fonction cube Résolution graphique d équations et d inéquations C Réactiver les savoirs Cette rubrique permet au professeur de faire une «évaluation diagnostique» sur les bases indispensables : images, antécédents, représentations graphiques et variation de fonctions. Ces éléments seront repris dans les eercices et problèmes avec les nouvelles fonctions de référence. Voir manuel page 83 et le site pour les corrigés détaillés. 4

2 D Activités Activité Un problème de coût Cette activité permet de réintroduire à partir d un eemple l écriture de différentes fonctions et l utilisation de la calculatrice. Fichier associé sur le site et sur le manuel numérique Premium : 733_chap_activite.ws (fichier Xcas). a. Pour jouets ( = ), on a : 45 ; pour objets ( = ), on a : 4 5. On a : A = 495 entrées supplémentaires. b. Les coûts de fabrication moens d un jouet sont respectivement de 4,5 et 4,5.. en centaines d objets et p en milliers d euros : p () = +,45. L epression de p tient compte des conversions. 3. Avec en centaines d objets et E en milliers d euros : E () =,55. L epression de E tient compte des conversions. 4. Avec en centaines d objets et T en milliers d euros : T () = p () + E () = Par définition de la moenne, si désigne en centaine le nombre d objets et T () le coût total de fabrication de centaines d objets alors la moenne M () pour centaines d objets fabriqués vaut : M () = T () d où le résultat. Remarque : comme on donne l epression de M (), on peut vérifier que : T () = M () ; avec M () = a Choisir la bonne fenêtre. On notera : fenêtre [ ; ] [ ; 6]. On remarque que la fonction est décroissante. b. On trace la droite d équation =4. À la calculatrice, on vérifie qu il faut au moins fabriquer centaines de jouets, soit 333 ou 334 jouets. 3 Tension d une corde de guitare Activité L objectif est de découvrir la fonction racine carrée par l étude de la fréquence d une corde de guitare en fonction de sa tension. Fichiers associés sur le site et sur le manuel numérique Premium : 733_chap_activite.ls (Ecel) 733_chap_activite.ods (OpenOffice). a. Les calculs sont ci dessous : T 4 9 f (T) 3 b. Tableau de valeurs : T 3 5 f (T) T f (T) Représentation graphique : 5 3. a. Les antécédents de 5 et 6 sont respectivement 65 et 3 6. Pour une fréquence de 5 Hertz, la tension est de 65 N et pour une fréquence de 6 Hertz, la tension est de 3 6 N. b. Par le calcul, il faut résoudre les équations 5 = T et 6 = T, avec T >. c Le la 3 correspond à une tension T qui vérifie 44 = T d où T = 44² = 936 N. 4.a. La fonction f est une fonction croissante. b. Si la tension augmente, alors la fréquence augmente ; si la tension diminue, la fréquence diminue. 3 Le verre de champagne Activité Cette activité introduit la fonction cube en liaison avec un agrandissement. Fichiers associés sur le site et sur le manuel numérique Premium : 733_chap_activite3.ods (OpenOffice) 733_chap_activite3.ls (Ecel). π 4 = 67,5 cm 3, soit 6,8 Cl. 3. a. Le coefficient de réduction est de,5. Chapitre Les fonctions numériques Indice re ES-L 5

3 b. Le volume est multiplié par,5 3. Coralie va boire 6,8,5 =, cl. 3. Le coefficient de réduction est et V() = 3 6, V (),,,, 3,6 8,6, 6,8 5. a. La recette vaut 3 5, soit 35. b. La recette est une fonction affine, la représentation graphique passe par l origine et par le point (3 ; 35) ou le point (4 ; 6).. Les solutions sont q = 8 et q = (les abscisses des points d intersection des deu courbes représentatives), ce qui correspond respectivement à et 5. # 5 $ 6. Graphiquement, cl correspondent à environ 8,5 cm de hauteur (8,4 à, près par un éventuel calcul). On lit l abscisse du point d intersection de la courbe représentative de la fonction V avec la droite d équation =. Activité 4 Bénéfice d une entreprise Fichier associé sur le site et sur le manuel numérique Premium : 733_chap_activite4.ppt (PowerPoint) Cette activité introduit la fonction cube en liaison avec un agrandissement. 3. q est dans l intervalle [8 ; ]. L entreprise est bénéficiaire si elle produit entre 8 et hectolitres de produit. 4. Graphiquement, on lit la différence des ordonnées : 5. # $ E Eercices 6 Pour démarrer. 5 u () = 5² 4 + 5, u + v () = ² 7 et u v () = 3 9² a. f est une fonction affine croissante sur R car a = 3, c està-dire que a est positif. b. g est une fonction inverse : elle est décroissante sur l intervalle ] ; +`[. c. h est la fonction carré : elle est décroissante sur l intervalle ] ` ; ]. La fonction f est une fonction affine croissante sur R car a = 3 : < f () <. 3 La fonction g est une fonction affine décroissante sur R car a = : 3 < g () < Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. 5. f est décroissante sur l intervalle ] ` ; ].. 5 > f () > f est une fonction polnôme du second degré avec a = et b a = 4 =, donc f est une fonction croissante sur l intervalle [ ; +`[.. 3 et 5 sont dans cet intervalle : < f () < D après la courbe, on a le tableau : 4 f () Le maimum est et le minimum est.. Sur l intervalle [ 4 ; 3], on a f () < et sur l intervalle [ 3 ; ] on a f () >. La fonction f ne s annule que pour = 3 et =. 8 On écrira «b prend la valeur *a*a +» et «Afficher b». 9 4 < f () < 5. C est fau, il suffit de prendre un contre-eemple. On pourra rappeler que l on ne peut pas généraliser à partir d un eemple ; d autre part la croissance ou décroissance est définie sur un intervalle, or entre 4 et 5 il a la valeur qui est interdite, c est-à-dire que 4 et 5 sont dans deu intervalles distincts.

4 [ 5 ; ] est inclus dans ] ` ; ], la fonction inverse est décroissante sur [ 5 ; ] donc le minimum est f ( ) =,5. Aucune des trois inégalités n est vraie. En effet, a et b sont choisis tels que a, b dans l intervalle I = ] ` ; ]. a. Sur I, la fonction carré est décroissante donc a². b². b. Sur I, la fonction inverse est décroissante donc a. b. c. Sur I, la fonction affine définie par f() = + est décroissante sur R donc a +. b +. Remarque : on peut se contenter uniquement de donner pour chacune des inégalités des contre-eemples. 3. Fenêtre standard (fenêtre [ ; ] [ ; ]).. Représentation de la fonction : auront tendance à faire une pointe (la justification viendra avec la dérivée). 7 Il faut construire le tableau de valeurs : f() f() 5,5,9 4,38,,348,8 3,74,,84,7 3,36,3,996,6,83,4,77,5,5,5,5,4,8,6,68,3,4,7,36,,86,8,74,,65,9,38,5 Écrans de la calculatrice : Il est difficile d observer ce qui se passe vers l origine (fenêtre : [ 6 ; 6] [ 3 ; 3]). 4. Représentation graphique à l aide de la calculatrice (fenêtre : [ ; 3] [ 3 ; 7]) :. Sur [ ; ], la fonction f est croissante 5. Représentation graphique à l aide de la calculatrice. (fenêtre : [ ; 3] [ 3 ; 7]) :. Sur [ ; ], la fonction est décroissante (de 5 à ). 6. Pour les valeurs de, le pas vaut. Avec une calculatrice Avec un tableur fenêtre : [ ;] [ ;3] À la main, on pourra prendre pour l ae des abscisses cm pour une unité et pour l ae des ordonnées cm pour une unité. On veillera à faire un «arrondi» à l origine car les élèves 8. =.. La fonction racine carrée est croissante sur [ ; +`[ (renvoer les élèves p. 38 du manuel). 3. Cf. p. 38 du manuel. 4. Les images sont respectivement 4 et. 5. L antécédent est 3. On fera remarquer au élèves que l on travaille avec les valeurs eactes et que l on n attend pas 3,6 pour 4 ou,73 pour 3. 9 Seuls les points C et F appartiennent à la représentation graphique. Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. Sur [ ; 4] Sur [ ; 5] On peut faire remarquer que la courbe représentative de la fonction f est la courbe smétrique de la représentation graphique de la fonction racine carrée par rapport à l ae des abscisses. 3 On peut faire remarquer que la courbe représentative de la fonction f s obtient à partir de la représentation graphique de la fonction racine carrée en ajoutant à # chaque ordonnée des points de la courbe représentative de la fonction racine carrée. Chapitre Les fonctions numériques Indice re ES-L 7

5 4. Cf p. 38 du manuel.. Cf p. 38 du manuel. 3.,5 3 =,5 et ( ) 3 = Les antécédents sont respectivement 3 et La fonction est strictement croissante sur l intervalle ] ` ; ]. 5 Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. 6. Cf p. 38 du manuel.. 3 =. La solution est. Si la question sur l unicité se pose, on pourra faire vérifier que : 3 = ( )(² + + ) et que le polnôme du second degré a un minimum 3 4 pour b a =. 3. Résolution graphique : la solution est Les solutions sont les abscisses des points d intersection des courbes # et #.. On peut dire que (en s orientant selon l ae des ordonnées) # est toujours strictement au-dessus de #. 3. Non. On peut donner un contre eemple : la fonction définie sur [ ; + `[ est croissante et est toujours au dessous de l ae des abscisses. On peut en construire d autres avec des fonctions affines b (a. ) définies sur un intervalle inclus dans ] ` ; a ]. 3. Courbes représentatives sur l intervalle [ ; ].. Les deu courbes ont un seul point d intersection : ses coordonnées sont ( ; ). 7 7 Sur [ ; 4] Sur [ ; ] Sur [ 3 ; 3] Cf eercice n 3. On peut faire remarquer que la courbe représentative de la fonction g s obtient à partir de la représentation graphique de la fonction cube en enlevant à chaque ordonnée des points de la courbe représentative de la fonction cube. # 3 3. Les solutions sont 3, et 4.. Il a trois solutions qui sont respectivement dans les intervalles [ 4 ; 3], [ ; ] et [3 ; 4]. 3. L équation f () = a trois solutions puisque l on voit trois points d intersection. 9 On peut faire remarquer que la courbe représentative de la fonction h est la courbe smétrique de la représentation graphique de la fonction cube par rapport à l ae des abscisses. Remarque : on l obtient ici par la smétrie par rapport à l ae des ordonnées car la courbe représentative de la fonction cube est smétrique par rapport à l origine. Pour s entraîner 33 On ne peut répondre que graphiquement.. Deu solutions : 3 et.. S = [ 4 ; 3] < [ ; 4]. 3. Le minimum est 7, il est atteint pour = 4. 8

6 34. Trois solutions : 5, et.. S = [ 5 ; ] < [ ; 4] 3. Le maimum est, il est atteint pour = D après le graphique, le bénéfice est positif si le nombre de moteurs est compris entre 3 et 6.. Le bénéfice maimal correspond à la différence maimale entre le bénéfice et le coût. Sur le graphique, c est le segment repéré par une flèche. On peut estimer qu il est de l ordre de 5 euros. (en milliers) # 8 $ La solution est dans l intervalle [,3 ;,33]. 3. D après le graphique, on peut construire le tableau de variation ci-dessous : a b f () On peut évaluer que a = b,5 ( 3 3 ) en utilisant la dérivée. 4. On construit deu graphiques dans la fenêtre standard Nombre de moteurs 36 Eercice résolu, voir p. 4 du manuel. 37 On note c la fonction coût. Sens de variation : 7,5 c () 4 Le minimum du coût de fabrication est de 3 correspondant à une fabrication de paires. 38 Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. 39. Fau : on a 3,, et f ( 3). f ( ), alors que f ( ), f ().. Fau : on a f ( ) = qui n est pas dans [3 ; 4]. 4 Fau : d après la calculatrice, sur l intervalle [ ; ], la fonction f est croissante et f (), donc sur l intervalle [ ; ] : f (),. 4. À la calculatrice dans la fenêtre standard : 3 8. L équation f () = 4 a une solution dans l intervalle [ ; ]. f () f () 6,8 4,3,9 5,59,79 4,55,8 4,3,78 4,8,7 3,53,77 4,5,6,896,76 3,93,5,375,75 3, D après le graphique, on peut construire le tableau de variation ci-dessous : a b f () On peut évaluer que a = b (,8 3 ). 43. La fenêtre standard ne donne rien.. L équation f () = a une solution dans l intervalle [ ; ]. f () f (),3,3,,769,3,6,,47,3,,3,3,33,3,4,344,34,66,5,875,35,,6,496,36,55 Tableau de variation : b f (),5,5 44. On construit deu graphiques (fenêtre standard). Le graphique de gauche permet de voir que l équation f () = 3 a trois solutions.. L équation f() = a une solution dans l intervalle [,76 ;,77]. Chapitre Les fonctions numériques Indice re ES-L 9

7 3. L équation f () = 3 a une solution dans l intervalle [,4 ;,5], elle en a une dans l intervalle [,5 ;,4] et la dernière est la valeur car f () = On peut avoir un doute si on observe la représentation dans la fenêtre standard, mais si on prend une fenêtre Y min = et Y ma =, c est-à-dire : [ ; ] [ ; ], on répond vrai. Remarque : on voit que la calculatrice ne montre pas les mêmes aspects suivant la fenêtre choisie : elle montre les points d intersection avec l ae des abscisses ou bien elle décrit le sens de variation. 46 Avec la calculatrice, on fait un tableau de valeurs : on voit une solution dans l intervalle [,3 ;,4]. 4 Remarque : en fait les deu solutions sont ± 3. On rappelle que la notion de fonction composée n est pas au programme. 47. La fonction inverse est décroissante sur ] ; +`[, donc si, a, b alors f (a). f (b) d où : +` f (). f () > f () > f (4), soit 3 > f () > La fonction carré est décroissante sur ] ` ; ] donc en particulier sur [ 4 ; ]. Si on multiplie par et on ajoute 3, alors si a, b,, on a f (a). f (b) d où : 4 35 f () 3. 3 < f () < a. f () = 5 b. g () = 4 ` 4 +` ` +` On a f () = + donc comme dans l eercice 47 on montre que la fonction f est décroissante sur ] ; +`[. 5. La fonction f est une fonction polnôme du second degré avec a = (a ) et b = 4 alors b = d où la conclusion a en application du cours car [ ; ] est inclus dans ] ` ; ] et [ ; 5] est inclus dans [ ; +`[.. Comme [3 ; 4] est inclus dans [ ; 5], on en déduit que 3 > f () >. 5 Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. 53. Sur l intervalle [ ; 5], f est croissante donc 4 < f (a) < 6 et 4 > f (a) > 6.. Si 5 < a <, alors < a < 5 or f est croissante sur [ ; 5] donc 4 < f( a) < Vrai : c est l application de la définition au cas particulier a = et b = 3.. Si f () < f (3), alors f est croissante sur l intervalle [ ; 3]. C est fau : il suffit de prendre f () strictement inférieur à f (), alors < < 3 et f (). f () et f(), f (3). 55. Fau : la fonction f définie sur [ ; ] par f () = est croissante et les images f () et f () sont de signes contraires.. Il eiste une fonction croissante sur l intervalle [ ; ] qui n est pas positive sur l intervalle [ ; ]. La négation est vraie. À la question précédente, on a trouvé une telle fonction. 56 Fau : elle change de sens de variation au point d abscisse b a = 57 Vrai. Comme dans l eercice 47, la fonction f est décroissante sur ] ; +`[ et on vérifie que f () = 7 et f (3) = Renvoi au cours.. Si 4 <, 7, alors < f () < La solution est S = [9 ; +`[. 59. Le segment bleu représente la fonction f qui est définie à l aide d une fonction affine ; la fonction racine carrée est l autre.. La solution est 4. 6 Il faut que 3 > ; la fonction g est définie sur l intervalle ] ` ; ]. 6 On vérifie que ² + > puisqu un carré est toujours positif. La fonction h est définie sur R. 6. Vrai, car la fonction racine carrée est croissante. La réciproque est vraie car la fonction carré est croissante sur l intervalle [ ; +`[, donc sur l intervalle [ ; ].. Vrai car [ ; 3] est inclus dans [ ; 4]. La réciproque s énonce comme suit : si < <, alors < < 3. Elle est fausse comme le montre le contre-eemple avec =,9, ce qui donne = 3,6. 63 Eercice résolu, voir p. 45 du manuel. 64. La fonction racine carrée est croissante sur [ ; +`[ donc si < a, b, alors 4 + a, 4 + b donc f (a), f (b).. La courbe représentative de la fonction f s obtient à partir de la représentation graphique de la fonction racine carrée en ajoutant 4 à chaque ordonnée des points de la courbe représentative de la fonction racine carrée.

8 4 4 On pourra faire remarquer que la fonction f est définie sur l intervalle ] ` ; ]. 73. Renvoi au cours, cf p La solution est. 3. La solution est l intervalle [ ; +`[. 74. La fonction f est strictement croissante sur R car la fonction cube l est.. et 3. Voir le graphique ci dessous. # 65. La fonction racine carrée est croissante sur [ ; +`[ donc si < a, b alors a + 3. b + 3 donc f (a). f (b).. On ne peut que la construire point par point : # Il faut que + 5 >, d où est dans l intervalle ] ` ; 5].. Si a, b < 5, alors a + 5. b + 5 > et comme la fonction racine carrée est croissante, alors f (a). f (b). Donc la fonction est strictement croissante sur l intervalle ] ` ; 5]. 3. On construit point par point : 4. La courbe représentative de la fonction f s obtient à partir de la représentation graphique de la fonction cube en soustraant à chaque ordonnée des points de la courbe représentative de la fonction cube. 75 Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. 76. Sur R la fonction cube est croissante, donc si a, b alors a 3, b 3 d où a 3. b 3 ; on en déduit que la fonction f est décroissante.. Représentation graphique ci dessous : 67 Eercice résolu, voir p. 45 du manuel. 68 a. S = {36} b. S = c. S = { 6 } 69 a. S = { 64 9 } b. S = {4} c. S = { 7 Variable Entrée 5} a et b sont des réels Saisir a Traitement Si a et sortie Alors b prend la valeur a ; afficher b Sinon "pas de solution" Fin si 7 Fau. On peut rappeler que «la racine carrée d une somme est différente de la somme des racines carrées» ou donner un contre eemple avec = par eemple. 7 Fau. On a f ( ) = : donc elle est définie pour d autre valeur que.,6 3. Graphiquement, on a,6. 4. S = ] ` ; ]. Remarque : ce que l on attend ici c est plus l eplication pour résoudre graphiquement l équation et l inéquation que la valeur proprement dite. 77. Avec «Il eiste deu nombres réels» : a. Vrai : si m > alors m et m sont les deu nombres cherchés. b. Fau : il en eiste un seul car la fonction cube est strictement croissante. c. Fau : il en eiste un seul car la fonction racine carrée est strictement croissante (par définition de la fonction racine carrée, on a l eistence d un tel nombre).. Avec «Il eiste au moins un nombre réel», les trois énoncés sont vrais. Chapitre Les fonctions numériques Indice re ES-L

9 78. et. a. Voir le graphique ci-dessous : # 3 b. Les points de coordonnées ( ; ) ( ; ) et ( ; ) sont des point de la courbe. La fonction polnôme du second degré dont la courbe représentative 3 contient les trois points précédents est la fonction carrée. Or (,5 ;,5) est un point de 3 mais c est le point (,5 ;,5) qui est un point de. # 3 ce qui donne juste un peu moins de Beaufort (9,9 Beaufort) (voir graphique ci-dessus). 8 Vrai d après la règle des signes. Pour aller plus loin, on peut dire que ( ) 3 = et que ( ) 3 = ( ) 3 = ( ) 3 () 3 = 3. 8 Fau. Le contre-eemple : ( + ) 3 = 8 et =. D où ( + ) Remarque : l identité remarquable n est pas un objectif. 8. Les coordonnées du point d intersection sont ( ; ).. Si, <, alors f (). g () car est au-dessus de. Si <, alors f (), g () car est au-dessous de 3. Comme = ( + ) ( ) = et que., le signe de g () f () est le même que celui de ; d où le résultat. 83. Représentation graphique : # 3 # 3 Remarque : on peut se contenter aussi d une simple observation du graphique en ajoutant la représentation de la fonction carré. Attention l étude de la position est vu à l eercice n Calcul de f (3) = 9 nœuds.. a. Si < a, b, alors 3a 3, 3b 3 car la fonction cube est croissante donc f (a), f (b) car la fonction racine carrée est croissante. b. Tableau de valeurs : f (),,7 4,9 9, 3,9 9,4 5, f () 3, 39, 46,8 54,8 63, 7, 54. # 3 est au-dessus de # si. et elle est au dessous si,,. 3. On a 3 ² = ²( ). Donc le signe de g () f () est le même que celui de. D où une comparaison algébrique conforme à la position des courbes représentatives. 84. Voir la représentation graphique ci-dessous.. a. D après le graphique, on a : si est dans ] ` ; ] < [ ; ], alors > 3 ; si est dans [ ; ] < [ ; +`[, alors < 3. b. On déduit de la question précédente le signe de f () g (). 3. On a 3 = ( + )( ). Avec un tableau de signes : ` +` On conclut de la même façon que la question. 3 # 3. a. Pour une vitesse de 3 nœuds, le Beaufort est de 7. b. km/h correspondent à 54 nœuds ( nœud =,85 km/h), # 3

10 85. Courbes représentatives : # 9 Fau : si =,5 alors 3 =,5 d où 3,. 9. À la calculatrice dans [ ; ] [ 3 ; ] : #. a. Pour répondre, on vérifie que f () = g () =. b. On vérifie en développant le second membre de l égalité. c. f () g () = ( + 3) = 3 + d où : ( )( ) f () g () =. Trouver les points d intersection des courbes revient à résoudre l équation f () g () =. S = { ; }, ce que l on retrouve sur la représentation graphique. 86. Remarque : la fenêtre standard de la calculatrice ne permet pas de voir. f () 6. est une solution, l autre est entre et. En utilisant la table de la calculatrice : La solution non entière est dans l intervalle [,5 ;,6]. 9. Avec la calculatrice dans la fenêtre [ 3 ; 3] [ 6 ; ], on a : 8 # 3. f () > g () si est dans l intervalle ] ` ; ] < [ ; ]. f () < g () si est dans l intervalle [ ; ] < [ ; +`[. 93 On vérifie facilement l égalité proposée. Dans l intervalle, la fonction inverse est décroissante donc si, a, b, alors a. b on multiplie par donc a, b et. Le graphique montre une seule solution comprise dans l intervalle [ 3 ; ]. 87. À la calculatrice dans [3 ; 5] [ ; 3] : en ajoutant 3, on a f (a), f (b). La fonction f est croissante sur l intervalle ] ; + `[. 94. Avec la calculatrice dans la fenêtre [ ; ] [ ; ] : 35. À l aide du graphique on trouve que le pri est de 4 pour une demande de Eercice corrigé, voir p. 83 du manuel. 89 Fau : Si =,5, alors =,5 et =,75 donc.. C est un contre-eemple. 5 # d 9 f (). Avec la calculatrice, dans la fenêtre [ ;] [ ;], on a : On ne voit que deu points d intersection dont les coordonnées sont ( ; ) et ( ; 3). Chapitre Les fonctions numériques Indice re ES-L 3

11 95 Représentation graphique : inverse que , 48, donc la fonction g est a b croissante : le nombre de boites fabriquées augmente quand le pri unitaire augmente. B. Pri d équilibre. Graphique : Xcas Calculatrice f ():= * + 56 ; Fenêtre g ():=48 4/; [3 ; 6] [5 ;85] graphe ([f (),g ()], =3..6); Les deu courbes se coupent au point d abscisse. L ensemble S des solutions de l inéquation 3, 6 est S = ] ` ; [. 96. La fonction cube est croissante donc si 4,,, alors 64, 3,.. L équation revient à résoudre 3 =,5 ; sur le graphique on lit environ :,4. 3 Remarque : on a,36, 5,,35. # 3,5,5,5 Travau pratiques TP Étude de marché Fichiers associés sur le site www. bordas-indice.fr : 733_chap_TPprof.ws (Xcas) Fichiers associés sur le manuel numérique Premium : 733_chap_TPprof.ggb (GeoGebra) 733_chap_TPprof.ws (Xcas) Utiliser un logiciel de calcul formel pour aider à la résolution de problèmes. A. Variation de l offre et de la demande. # est un segment de droite, c est donc la représentation de la fonction f qui est affine. # est, par défaut, la représentation de la fonction g.. a. La fonction f est décroissante : le nombre de boîtes vendues diminue lorsque le pri unitaire augmente. b. Si 3 < a, b < 6, on démontre en utilisant la fonction a. f (3,) = 49,6 et g (3,) = 3. L offre est supérieure à la demande. b. f (5) = 46 et g (5) = 68. L offre est inférieure à la demande. 3. a. D après le graphique, l équilibre se fait pour p = 4. b. resoudre(f()=g(),). Le logiciel donne deu solutions : 5 et 4. Seule 4 est dans l intervalle [3 ; 6]. c. 4 8 boîtes sont alors fabriquées car g (4) = f (4) = 48. d. La recette est : = 9. [*(4 )*( + 5)] 4. a. factoriser(f() g()) donne comme réponse. Ainsi dans l intervalle [3 ; 6], le signe de f () g () est le même que celui de 4 : si 3 < < 4, alors f () > g () avec l égalité pour = 4 ; si 4, < 6, alors f (), g (). b. Si le pri unitaire est inférieur à 4, l offre est ecédentaire. c. Si le pri unitaire est supérieur à 4, la demande est ecédentaire. C. Aléas de production. a. f () = f () +. b. Le nouveau pri d équilibre est 4,4 au centime près. Avec le logiciel resoudre(f()+ =g(),).. a. g () = b. Le nouveau pri d équilibre est 4,4 au centime près. Avec le logiciel resoudre(f()=g(),). Pour le graphique, on saisit : graphe([f(),f()+,g(),g() ], =3..6)

12 TP Les forfaits «week end» d un voagiste Fichiers associés sur le site et sur le manuel numérique Premium : 733_chap_TPprof.ls (Ecel) 733_chap_TPprof.ods (OpenOffice) Utiliser un tableur pour aider à la recherche d etremum d une fonction. A. À l aide d un tableur. Bénéfice pour 3 : = 5. Bénéfice pour 3 : = 5.. a. C : =A*B ; D : =B*36 ; E : =C D. b. A3 : =A+ ; B3 : =B 5. c. On recopie les cellules C, D et E vers le bas. d. Remarque : pour cette question, il faut lire : «Quel est le bénéfice réalisé pour un forfait vendu 7?». Le bénéfice pour 7 est de 7. e. Le bénéfice maimal apparaît être pour 58 : il est de 4 (ce qui correspond à la vente de forfaits). 3. a. Voir le graphique ci-après. b. La courbe représentant la recette est au dessous de la courbe représentant le coût pour un pri d un forfait inférieur à 36. c. Coût Bénéfice Recette B. Etude mathématique. a. Graphique : Nombre de forfaits Pri (en ) b. Le graphique obtenu est un ensemble de points alignés et on a : n = 4 p. c. En multipliant par n la valeur p on obtient : r (p) = 4p p d où le résultat. En multipliant 36 par la valeur p, on obtient : C (p) = 44 8 p. 5. a. B (p) = r (p) c (p) = p + 58p 44. b. B est une fonction polnôme du second degré : a =, et b = 58 d où b a = 58. On déduit qu en 58, on atteint un maimum qui vaut B (58) = 4, ce qui est conforme à l observation de la partie A. G Pour approfondir 97. Lecture graphique : Coût Quantité fabriquée (en tonnes) a. milliers d euros. b. 9 tonnes.. Par le calcul : a. le coût de 4 tonnes est de 99 milliers d euros ; b. le coût de 6 tonnes est de 79 milliers d euros, ce qui correspond à un coût moen de : 79 = 46,5 milliers d euros 6 pour une tonne. 3. a. La recette pour 5 tonnes est égale à : 5 6 = 3 milliers d euros. b. R () = 6 où R est eprimé en milliers d euros. c. À la calculatrice avec la fenêtre [ ; ] [ ; 7] : C est la fonction coût et R la fonction recette. Avec la calculatrice, il semble que l entreprise fait un bénéfice si on fabrique entre 3 et 8 tonnes d alliage. Pour toute production comprise entre 3 tonnes et 8 à 8,5 tonnes, le coût est inférieur ou égal à la recette. Il a un bénéfice. 98. a. La fonction polnôme du second degré qui définit la fonction coût est croissante sur l intervalle [ b ; + a `[ soit [,5 ; +`[. Le minimum du coût est donc en : il vaut euros. b. Voir le graphique page suivante. Chapitre Les fonctions numériques Indice re ES-L 5

13 . a et b. R () = 5 et R () = 6. 5 # # R # R c. Avec l option R, la potière ne réalise jamais de bénéfice sauf si elle produit eactement saladiers et dans ce cas le gain est nul. Avec l option R, elle réalise un bénéfice en 5 et saladiers. 3. a. B () = R () C () = ² + 5. C est une fonction polnôme du second degré où b =,5, d où le tableau de a variation suivant : 4,5 5,5 f () 5 Remarque : on a B (5) = B () =. c. Le nombre de saladiers à fabriquer est soit, soit 3. Pour les deu, le bénéfice est de. Remarque : la fabrication de 3 saladiers demande plus de temps que la fabrication de saladiers. 99. a. C () = 6 + pour dans l intervalle [ ; ]. b. La fonction C est affine, elle est croissante sur l intervalle [ ; ].. a. Soit M le coût moen de fabrication de litre d eau de parfum pour litres fabriqués : M () = + 6 pour dans l intervalle ] ; ]. b. Si, a, b sachant que la fonction inverse est décroissante sur ] ; +`[ on peut dire que :. et donc que f(a). f (b). a b Le pri moen diminue quand la quantité augmente : cela peut se comprendre car les coûts fies sont par définition constants donc en moenne leur poids est de moins en moins important pour un litre fabriqué. 6