GgGenie Iinformatique ABD/APIB/TWCWwWE/JV++/JLW. Fonctions numériques de la variable réelle

Transcription

1 GgGenie Iinformatique ABD/APIB/TWCWwWE/JV++/JLW Fonctions numériques de la variable réelle Quelques eercices etraits des TD avec éléments de correction Eercice 5 La définition de la fonction cosinus hyperbolique est : " # $ ch() = e + e % 2 Soit la fonction f définie par : " #$ f () = % ln( ch() ) Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses? Justifier : P1 : la fonction f peut s écrire également : " #$ f () = ln(2) + ln 1+ e % ( ) P2 : f () = ln(2) " +# P3 : f () = +$ " # $ P1 fausse ; P2 : vraie, P3 : fausse Eercice 6 Déterminer les ites en -! et +! des fonctions : f 1 () = + sin f 4 () = "1 "6 + 5 ( ) f 2 () = sin( ) f 5 () = " f 3 () = " Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 1

2 " #$ f 1 ( ) = #$ f 1 ( ) = +$ " #$ f 2 ( ) = 0 f 2 ( ) = 0 " #$ f 3 ( ) =1 f 3 ( ) =1 " #$ f 4 ( ) = +$ f 4 ( ) = #$ " #$ f 5 ( ) = 0 f 5 ( ) = 0 Eercice 7 Etudier la continuité de la fonction s définie par les relations suivantes : % s(t) = 0 t < 0 ' ' s(t) = t "1+ e "t 0 # t <1 & ' s(t) = t " 3+ e "t ( 1+ 2e) 1# t < 2 ' ( s(t) = e "t ( 1+ 2e " e 2 ) t $ 2 S est continue sur les différents intervalles proposés car c est une composition de fonctions continues sur ces intervalles En t = 0 : s(t) = 0 = s(t) = s(0) = 0 t " 0# t " 0+ En t = 1 : t "1# s(t) =1/e = s(t) = s(1) =1/e t "1+ En t = 2 : s(t) = #1+ e #2 + 2e #1 = s(t) = s(2) = #2 +2e #1 #1 t " 2# t " 2+ donc s est continue sur R Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 2

3 Eercice 8 Montrer que la fonction f définie par : " #$ en +! la droite D d équation y = + 2 f () = %e % admet pour asymptote f est définie au voisinage de +!. ( ( )) = On peut montrer que f () $ $ 2 " +# % $ ( ' * = 0 donc D est bien asymptote " +# & ) e De plus, f() (+2) est du signe de donc f est au dessus de D si < 0 et en dessous de D si > 0 Eercice 10 Soit la fonction f définie par : % ' f () = " si # " $; 2 & ( ' f () = sin( " 2) +1 si # 2 ; + $ ] [ ] [ - A) Est-ce que la fonction f est continue sur ces deu intervalles? - B) f est-elle continue en = 2? Si oui, par quelle valeur peut-on la prolonger? - C) f est-elle dérivable en = 2? Si oui, par quelle valeur peut-on la prolonger? - D) Tracer le tableau de variation et la représentation graphique de f A) les deu epressions de la fonction sont des sommes, produits et compositions de fonctions continues, elles sont donc aussi continues. (on peut aussi montrer qu elles sont dérivables donc continues). B) f () =1 f () =1 La fonction est donc continue en = 2 et peut se " 2 # " 2 + prolonger par la valeur f(2) = 1 C) ] [ ] [ %' f '() = " 2 si # " $; 2 & (' f '() = cos( " 2) si # 2 ; + $ donc f '() = 0 f '() =1 " 2 # " 2 + La dérivée n est donc pas prolongeable en = 2 D) f () " #$ = + $. Sur le deuième intervalle, f est périodique et n admet donc pas de ite Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 3

4 en +!.!" #$%!&" #%!&" '"(" )" )"*"+,)" )"*"-+,)" )"*".+,)" /00" *"(" 2" *" 2" *" 1" 1" 1" 1" /00" )" )" 3" 1" Eercice 12 On considère la fonction h définie sur [6 ; +![ par : h(t) = 300(t " 6)e " 1 4 t a) Calculer la ite de h en +! b) Montrer que h'(t) = 75(10 " t)e " 1 4 t c) Etudier les variations de h sur l intervalle [6 ; +![ et donner son tableau de variation. d) Tracer la courbe représentative de h dans un repère orthogonal a) t " +# h(t) = 0 b) Calcul intermédiaire pour aide : h'(t) = 300 " (t # 6) " #1 4 e# 1 4 t + 300e # 1 4 t c) h est du signe de (10 - t )!" #$%!&" '" ()" +" )" *" +"1" #%!&" )" (,))"-./0, " )" Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 4

5 Eercice 13 Questionnaire à choi multiples : répondre par vrai ou fau à chaque item proposé. ( ) Soit la fonction f définie par : f () = ln + 1 " 2 a) le domaine de définition de f est D = [-1/2 ; 1] 1 " 2 " 2 b) on a : f '() = 1 " " 2 c) la dérivée de f s annule pour = 1 2 d) sur D, f prend toutes la valeurs de l intervalle ] -! ; ln(2) ] e) la représentation graphique de f admet une tangente verticale d équation = 1 a : fau, b : fau, c : vrai, D : fau, e : vrai Eercice 14 Etudier les fonctions suivantes : On étudiera : le domaine de définition les ites la dérivée Puis on donnera le tableau de variation la courbe représentative f () = ln,f () = ln,f () = ln ln,f () = ln! 1 Réponses : Les deu premières fonctions sont définies sur. et les deu dernières sur Remarque: il est possible de prolonger par continuité la fonction en. Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 5

6 " $ # ln ' % ' & = 1 - ln() 2 (pour le signe, il faut re dériver le numérateur est montrer que celui-ci est une fonction g() strictement positive) Le tableau de variations se déduit des courbes représentatives : Eercice 15 2 Calculer la ite suivante : 1 ln(1 + ) +.ln( )! 0 sin Réponses : DL en =0 à l ordre 2 de DL en =0 à l ordre 1 de d où donc Ainsi Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 6

7 Eercice 17 Etudier les fonctions suivantes : f () = + e On étudiera : le domaine de définition les ites la dérivée Puis on donnera la courbe représentative le tableau de variation!,f () = e,f () = e + 1! 1 2,f () = e sin() Réponses : Le tableau de variations se déduit des courbes représentatives: Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 7

8 Eercice appliqué au Génie Electrique Soit le montage suivant où Eg et Rg correspondent au paramètres intrinsèques d un générateur et Rc à une résistance de charge : On donne l epression de Vs : Vs = (Rc / ( Rg + Rc)) Eg On en déduit l epression de la puissance utile Pu : Pu = Vs! / Rc = Eg! * Rc / (Rg+Rc)! On pose =Rc/Rg. 1. Reécrire l epression de la puissance utile Pu en fonction de 2. Déterminer pour quelle valeur de la puissance Pu est maimale sachant que cela correspond à la valeur de où la dérivée de Pu() s annule. 3. En déduire alors la valeur de Pu ma. Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 8

9 Pu = E! * Rc / (Rg + Rc)! = E! * Rc / Rg ( 1+ Rc/Rg)! Pu = * E Rc / (1+)! Vs = Eg /(1+) Pu () = E Rc ( (1+)! 2 2!) /(1+)^4 Maimum pour : (1+)! - 2 2! = 0 soit! = 1 D où maimum en = 1 soit Rc = Rg Mathématiques Fonctions numériques de la variable réelle 9