Les manipulations algébriques et la résolution d équations

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1 Les manipulations algébriques et la résolution d équations Chapitre Entrée en matière En contexte Manuel p a) Revenu net de la chanteuse : 1,51 5n Revenu net du batteur :,17 5n Différence (D) entre leurs revenus : (1,51 5n - 7 5) - (,17 5n - 1 5) D 1,75n - 6 b) D ,75n - 6 n albums ont été vendus. Manuel p. 67. A (B + b) h A (x x - )x A (6x - )x A x - x. x - x,x x,x - x,x 15x - 5 Le nombre d équipes à former pour ratisser l île est 15x 5. A Québec A Canada La probabilité qu une météorite touche le sol québécois lorsqu elle tombe en sol canadien est de En bref Manuel p a) 5 b) 5 1 c) 5. 1 Le radical est équivalent à l exposant 1. On simplifie les bases des exposants. 5 6 Selon la loi des exposants «puissance d une puissance», le résultat est la base affectée du produit des exposants et selon la loi «puissance d un produit», le résultat est le produit des bases, chacune affectée de l exposant. Selon la loi des exposants «produit de puissances de même base», le résultat est la base affectée de la somme des exposants des puissances. On simplifie les exposants. On multiplie.. a) ab - c b) - a + cd c) b - c d) c - d ( - 1) - ( - ) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : a) x yz c) x + y + z b) x + yz d) x + y - z 5. a) x y d) x - 1 b) 6x + 5x - 1 e) - xy c) 6x - 5x + 6 f) x + 8x a) xy (x - z) b) x(15y - 8z + 1yz) c) 5x(x + 5x - 1y) d) - 5x y(x + xy + 6y ) 7. a) x 1 d) x - 18 b) x 7 e) x c) x - 1 f) x Section 1 Les opérations sur les polynômes L image de Gamache et fille Manuel p. 69 Soit x, la mesure du côté du carré initial (jaune). (voir au haut de la page suivante) Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 1 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

2 Réponses à la question du manuel, page 69 Voici les mesures de chacune des figures qui représentent les étapes de l élaboration du logo. x + x x + 1 x x + 1 x x x x + 1 x + x On détermine l aire de la région rouge : x + Comme cette fraction est très près de, on peut considérer que le monôme x est une bonne approximation du rapport des aires, ce qui représente le de la mesure initiale du côté du carré. x + 1 x + 1 x + 1 Activité d exploration 1 Manuel p. 7 Tomber dans le panneau x + Puisque la bande rouge a une largeur de 1 cm, l aire de chaque section de la bande est A rouge (Longueur 1) cm. A rouge (x) + (x + 1) + (x + 1) + (x + 1) + (x + ) + (x + ) A rouge 1x + 9 cm On détermine l aire de la région jaune : A jaune A totale - A rouge A jaune (x + ) - (1x + 9) A jaune 9x + 18x + 9-1x - 9 A jaune 9x + 6x cm A jaune A rouge 9x + 6x 1x + 9 A jaune x(x + ) A rouge (x + ) A jaune A rouge x x + x + Comme on cherche une fraction de x, on détermine cette fraction à partir de x + x +. A x B 1) (x + 1) et (x + x + 1) cm ) (x + 7) et (x + 1x + 9) cm ) (x - ) et (x - 8x + 16) cm ) (x - 1) et (x - x + 1) cm C 1) Le premier terme du trinôme est le carré du premier terme du binôme. ) Le dernier terme du trinôme est le carré du dernier terme du binôme. ) Le deuxième terme du trinôme est le double produit des deux termes du binôme. D Oui, car les deux produits partiels mixtes sont des termes semblables. E 1) 6x ) 5x ) 9 F (a + b) a + ab + b )v Le carré de la somme de a et de b est égal à la somme des carrés de a et de b, et du double produit de a par b. Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

3 G (a - b) a - ab + b Le carré de la différence de a et de b est égal à la somme des carrés de a et de b, de laquelle on soustrait le double produit de a par b. Manuel p. 71 H Non, car l aire du panneau rectangulaire est x 1. I 1) x 9 ) x 1 J (a + b) (a b) a + ab ab b a b. Le produit de (a + b) par (a b) est égal au carré de a moins le carré de b. K 1) ( + 1) ) ( + ) ) (1 + ) ) (1 ) ( - ) 9 6 5) (5 1) ( - 1) 1 L 1) 5 96 ) ) 891 Ai-je bien compris? 1. a) x + x + d) 6x 1x + 1 b) 9x + x + 5 e) x 16 c) x 8x + 16 f) x 1. 1 et 6, et, 8 et 9 Activité d exploration A Manuel p. 7 1) Degré Faire des choix efficaces ) Le polynôme a un terme constant. B A base (x + )(x + ) A base x + 1x + 8 ) (x 7)(x + ) x 5x 1 x 1 (x 5x 1) x 17x x + 7 ) (x 7) 9x x + 9 (9x² x + 9)(x + ) 9x x 5x + 98 ) (x 15)(x + ) 6x 7x 6 (6x 7x 6)(y + 6) 6x y + 6x 7xy x 6y 6 F 1) Le produit de binômes conjugués donne une différence de carrés. ) Le produit sans fraction est plus facile à manipuler. ) Le carré d un binôme se calcule facilement. ) Les binômes ont la même variable. Ai-je bien compris? 1. a) V prisme A base h V prisme (x + ) (x + ) V prisme x + 6x + 1x + 8 b) V prisme A base h V prisme (x + )(x ) x + 1 V prisme x + x 9x 9. a) 5x 5x 8x + b) x 7x 6 + 8x +. Lorsque tous les facteurs du produit ont un terme constant. Activité d exploration A Manuel p Avec ou sans reste C V prisme A base h V prisme (x + 1x + 8)(x 1) V prisme 8x + 8x + x 8 D Oui, car la multiplication est commutative. (x + )(x + )(x 1) (x + )(x 1)(x + ) B , E 1) (x + 5)(x 5) x 5 (x 5)(x 5) x 5x 5x Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

4 C Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : Nombre fractionnaire : réponse exacte, pas besoin d arrondir, la division est terminée lorsqu il n y a plus d entiers divisibles, etc. Nombre décimal : on peut utiliser la calculatrice, les règles de calcul sont les mêmes que pour les entiers, etc. D 15, car la division est sans reste (reste de ). E x + 7x + 5 x x + x x + 5 5x + 5 5x + 5 Le reste est. F Oui, car le reste de la division est. G x + 5 H 1 8x + reste x + 1 reste 7 x reste 5 5 reste x + 6 x + 1 I et 6, car le reste de la division est. Ai-je bien compris? 1. a) x +. b) x,5 reste 9,5 c) x x 1 d) y + 5y + 1 x + 8x 1 x x + 1x x - x x - 1 Le salaire horaire de Stephano est de (x ) $. Mise en pratique Manuel p Niveau de difficulté : faible a) x + 1x + 9 c) 9x + 1xy + y b) y 1y + 9 d) x 16 + x + 1. Niveau de difficulté : faible a) x 16 c) x + 5 b) y 1 9 d) x y 1. Niveau de difficulté : moyen a) 1 ( + 1) b) 5 (5 + ) c) 69 (7 1) d) 5 ( + 5) Niveau de difficulté : élevé a) 1) x + xy + y ) x + x y + xy + y b) Les nombres de chaque ligne correspondent aux coefficients de chaque terme lorsqu on élève (x + y) aux puissances, 1,, et. c) 1) x + x y + 6x y + xy + y ) m + m n + mn + n ) x + 8x + x + x + 16 d) a a b + 1 a b + 1 a b + 5 ab + b 5 5. Niveau de difficulté : moyen a) (x y x y + 1)(x + 5) 8x y x y + x + 1x y + 5 5x y x y x y + x + 1x y + 5 x y + x y + 1x y + x + 5 b) (x + )(x )(x + 8) (x + x 1)(x + 8) x + x x + 8x + 8x 96 x + 1x 16x 96 c) xy 1 (x y )(xy + x) x y xy x + y (xy + x) x y + x y 6x y 9x y x y x + 6xy + 9xy x y + x y x y x y x y x + 6xy + 9xy d) (x + y)(x y)(x y) (x y )(x - y) x x y xy + y Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

5 e) (6y - 1)(y ) (6y 1)(y y + ) 6y y + y y + y 6y 5y + 8y f) x + 5 (x + 1) x + 5 (x + x + 1) x + x + x + x + x + 5 x + 1x + 81x Niveau de difficulté : moyen a) x + 7x + 9x 9 b) 5x y + 1xy 5xy + 8y 16y 1 c) 6x yz + 18xy z xyz + xy xz + 1y 9yz + 15z Manuel p Niveau de difficulté : faible a) A carré (a + b + c) A carré (a + ab + ac + b + bc + c ) cm b) (x + y + 1) x + ( x y) + ( x 1) + 9y + ( y 1) + 1 x + 1xy + x + 9y + 6y Niveau de difficulté : moyen a) A x + (x + 1)(x ) A x + x x + x A x + x b) A (x y) + (x + y)(x + y) A x y + x + xy + xy + y A x + xy + x + y y 9. Niveau de difficulté : moyen a) 1,, 5 et 6 b) et 5 c) et 6 1. Niveau de difficulté : moyen a) A totale ((x )(x + ) + (x + )(x + 1) + (x )(x + 1)) A totale (x + x 1 + x + 7x + + x 6x ) A totale (8x + x 1) A totale (16x + 6x 6) cm V (x )(x + )(x + 1) V (x + x 1)(x + 1) V (x + 6x x 1) cm b) A totale (x + 1) x + + x x + + (x + 1)(x) A totale x + 9x + + x + 9x + 1x + x A totale 55x + 97x + A totale 55x + 97x + 6 cm V x(x + 1) x + V (1x + x) x + V x + 6x + 9x + x V x + 17x 11. Niveau de difficulté : faible a) b) c) d) e) + 9x cm x + 8x + 15 x + - x + x x + 5 5x x + 15 y - y - 1 y - - y - y y + y y - 1 t - t + - t + t t - - t t - e - e - e + e - - e - e e e e + m + m - m + - m + m m + m - m - - m + m - m m - Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 5 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

6 f) g) h) i) j) y - y - y + 8 y - - y - y y - Manuel p y y + 8 e - e - e + e - - e - e e e e + 1. Niveau de difficulté : moyen (voir au bas de la page) 1. Niveau de difficulté : faible x + 11x + 15 x x + 5x x + 6x x x + 1x - 15 x - - 8x - 6x x + 5 x x d + 15d + d + 6 5d + - 1d + d d + 15d d + 6 x - 11x - 6, car, lorsqu on le divise par x + 1, la réponse n a pas de reste. Réponses à la question 1, page Niveau de difficulté : faible a) b) c) d) e) f ) 15. Niveau de difficulté : élevé a) t + t + t + - t + t t reste w + w - w + - w + w w - reste - w w - 6 6m - 5m - 5 m - - 6m - 8m m + 1 reste - 1 m m n - 18n + 1 n - - 8n - 1n n - reste - 6n n + 9 y - 9 y y - 1y y + 5 reste - 1y - 9-1y - 5 9z + z - 1z - 1 z - - 9z - 1z z + 8 reste z z - x - x - k x + - x + x x - - x - k - - x - 1 si k 1 ou - k - 1 Dividende Diviseur x + x + x + 1 x + 11x + 6 x + x + x + 9 reste 8x - 6x - 9 x - 8x - reste 5 x - 5 reste - x - 11x - 6 x - 5 reste x - 15 reste x Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

7 b) c) d) 6t + t + k t - 1-6t - t t + t + k - t - si k - x - 9x + k x x + x x - 1 reste - 1x + k - - 1x - 1 si k - 1 x + 7x + 5x - k x x + x x + x + 1 reste Niveau de difficulté : moyen a) A triangle b h 6x + 5x - k - 6x + x x - k - x si k 6x - 5x - b (6x - 5x - ) x - b (x + ) cm b(x - ) 1x - 1x - 8 x - - 1x - 16x x + 6x - 8-6x - 8 b) A trapèze (B + b)h 1x - 11x + (x x - )h 1x - 11x + (8x - )h h 1x - 11x + x - 1 1x - 11x + x - 1-1x - x x - - 8x x + h (x - ) cm 17. Niveau de difficulté : moyen a) 1) ) ) x - 1 x x - x x + x + 1 b) x + 5x + 5 x x - x x x - 1 x - 1 x x - 1x x + 1x + 1 1x - 1-1x - 1x 1x - 1-1x - 1 x - 7 x - - x - x x + x + 9 x x - 9x 9x - 7-9x Niveau de difficulté : élevé Soit n + 1, un nombre impair, où n n. (n + 1) n + n + 1 (n + 1) (n + n) + 1 (n + n) est un nombre pair puisqu il est divisible par ; en ajoutant 1, on obtient bien un nombre impair. 19. Niveau de difficulté : moyen (a + b) (a + b)(a + b) (a + b) a + ab + ab + b (a + b) a + ab + b Explication visuelle : a b a a ab b ab b Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 7 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

8 Section La factorisation De l ordre sur l affiche! Manuel p. 79 (x + 1x + 9) (x + ) La mesure du côté du carré est représentée par le binôme x +. 8x + 1 (x + ) La hauteur de l espace publicitaire de la fabricante d équipement spécialisé est fois plus grande que celle de l espace de l institut de recherche. Comme ces deux espaces ont la même largeur, l espace publicitaire de la fabricante d équipement spécialisé est fois plus grand que celui de l institut de recherche Le prix suggéré est de 1 8 $. Activité d exploration 1 Manuel p. 8 De trois à quatre A (x + )(x + y) ou x + xy + x + y B Développer un polynôme signifie l exprimer comme une somme de termes (qui sont tous différents). Factoriser consiste à exprimer un polynôme sous la forme d un produit de facteurs. C (x + )(x + y) L ordre des termes peut changer, mais la factorisation donne le produit des mêmes facteurs. D 1) (7x + )(y + 1) ) (x + 6y)(x - ) ) (x + )(x + 6) ) (x + )(x + 6) Manuel p. 81 E Rectangle 1 : x + x + x + Rectangle : 6x + x + x + Rectangle : 5x + 5x + x + 15 F 1) (x + 1)(x + ) ) (x + 1)(x + ) ) (x + 5)(5x + ) G La somme des aires de chaque rectangle vert correspond au deuxième terme du trinôme associé. H Le produit des aires des rectangles bleus est égal au produit des aires des rectangles verts. I Le trinôme se décompose en un produit de deux binômes puisqu il est possible d exprimer 11x comme une somme de deux termes dont le produit est x 5 1x. J Il faut trouver deux nombres, m et n, dont la somme est égale à b (m + n b) et dont le produit est égal à ac (mn ac). Il faut remplacer le second terme par mx +nx et ensuite, effectuer une double mise en évidence. Ai-je bien compris? 1. a) (e + )(f + ) b) (x + 1)(y + ) c) (x - 1)(x + y) d) (m + n)(m + ). a) (x - )(x - ) b) (x + 1)(x - 18) c) (x + )(x + 5) d) (x + 1)(x + 6) Activité d exploration Manuel p. 8 A 1) x + x + ) x + 6x + 9 Produits remarquables B Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : 1) ) C 1) (x + ) ) (x + ) D Dans chacune des égalités, le premier terme du trinôme est le carré du premier terme du binôme, le dernier terme du trinôme est le carré du deuxième terme du binôme et le deuxième terme du trinôme est égal au double produit des termes du binôme. 8 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

9 E Non, car le deuxième terme, soit 6x (6 moyennes dalles), n est pas égal au double produit des termes du binôme, soit x et 5. Manuel p. 8 F 1) (x + 1) ) (x - 1) ) Ce n est pas un trinôme carré parfait puisque le dernier terme est négatif alors qu il s agit du carré d un nombre (qui doit être positif). ) x - 5) (x + 1) 6) (5x - 11) G 1) x + 6x + 9 ) x + 7x + 9 ) x - x + 56 ) x - 9x + 81 Les termes ajoutés sont tous positifs. H Les deux termes correspondent respectivement aux carrés des termes des binômes qu on a multipliés. I 1) (y - 9)(y + 9) ) ( - y)( + y) ) C est une somme de carrés. ) (y - 1)(y + 1) 5) (y - 5)(y + 5) 6) y - 1 y + 1 Ai-je bien compris? 1. a) (x - 8) b) (y + 1) c) (t - 1) d) (m + 7n). a) (xy - )(xy + ) b) y y c) (9 - b)(9 + b) d) 1 - x 1 + x. L aire du rectangle est représentée par une différence de carrés. En factorisant cette différence de carrés, on obtient les dimensions du rectangle. a - 5b (a - 5b)(a + 5b) Les dimensions du rectangle sont (a - 5b) et (a + 5b). P rectangle (a - 5b) + (a + 5b) a - 1b + a + 1b 8a L expression algébrique qui représente le périmètre du rectangle est 8a. Activité d exploration Manuel p. 8 A 5 B A grand carré (x + 5) C A rectangle (x + 5) - 5 D 1) x + x + (x + ) ) x - 6x + 9 (x - ) E 1) (x + ) + 1 ) (x + ) + 7 ) (x + ) - 1 À la recherche de carrés F 1 Elle transforme le rectangle d aire x + 1 par un carré d aire (x + 6), mais elle doit retrancher la partie en trop, soit 6 6. Elle effectue la somme de 6 et. Elle exprime le résultat obtenu sous la forme d un carré et obtient une différence de carrés. Elle factorise la différence de carrés. G 1) x + 15x - (x + 7,5) - (7,5) - (x + 7,5) ,5 (x + 7,5) - (87,5) (x + 7,5-87,5)(x + 7,5 + 87,5) (x - 15)(x + 16) Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 9 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

10 ) x - 9x - 5 (x - 5) (x - 5) (x - 5) - 85 (x )(x ) (x - 1)(x + ) H Lorsque les coefficients sont de grands nombres ou des nombres rationnels. I En factorisant d abord le coefficient a pour obtenir la forme a x + b a x + c a. Ai-je bien compris? 1. a) (y - 9)(y - ) b) (y - )(y - 1) c) (x - )(x + 7) d) 6(x + 8) 1(x + ). a) x - 18x - 19 (x - 9) (x - 9) - 1 (x - 9) - (1) (x - 9-1)(x ) (x - 19)(x + 1) b) x - 19x + 8 (x - 9,5) - 9,5 + 8 (x - 9,5) -,5 (x - 9,5) - (6,5) (x - 9,5-6,5)(x - 9,5 + 6,5) (x - 16)(x - ) c) x - x - 6 (x - 6x - 16) ((x - ) ) ((x - ) - 5) ((x - ) - 5 ) (x - - 5)(x - + 5) (x - 8)(x + ) d) x - 8x - 5 x - x - 5 (x - 1) (x - 1) - 9 (x - 1) - x x x - 5 x + 1 (x - 1) x + 1 Mise en pratique Manuel p Niveau de difficulté : faible a) (f + )(e + ) b) (y + 7)(x - 5) c) (f - 7)(5e - ) d) (y - 1)(x + ) e) (y - )(x + 1) f) (y + x)( + x) g) (x - y )(x - ) h) (x + )(y + ) i) (x - n)(x + ) j) (5m + t)(t - ). Niveau de difficulté : faible a) (m + )(m - ) b) (r - 1)(r - ) c) (x - 8)(x + ) d) (y + 1)(y - ) e) (n - )(n + 11) f) (w + )(w + 1). Niveau de difficulté : moyen a) (x + )(x - ) b) (x + )(x - 1) c) (9x + )(x - ) d) (t + )(t +1) e) (y - )(y - ) Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

11 f) (r + )(r + 1) g) (x - )(5x - 1) h) (y + 5)(y + ) i) (x + )(x - 1) j) (y - )(y - 1). Niveau de difficulté : moyen a) (m + n)(m - n) b) (5x + y)(x - y) c) (6c + d)(c + d) d) (6x - y)(x - y) e) (y + 8x)(y - x) f) (x + y)(x + y) 5. Niveau de difficulté : moyen a) A 1x + 9x - Somme : 9 Produit : A 1x + 5x - 16x - A 5x(x + 5) - 8(x + 5) A (5x - 8)(x + 5) Les dimensions du billet de banque sont (5x - 8) mm sur (x + 5) mm. b) x mm (5x - 8) 5-8 (5x - 8) (x + 5) + 5 (x + 5) Les dimensions du billet de banque sont 15 mm sur 69 mm. Manuel p Niveau de difficulté : élevé x + kx + Somme : k Produit : Les valeurs entières de k pour lesquelles x + kx + se décompose en facteurs sont { - 1, - 6, 6, 1}. 7. Niveau de difficulté : élevé a) x + x + k Somme : Produit : k k {, -, - 5, - 7, -, - 1, - 9, - 5, -, 1} b) x - 8x + k k {, - 8, - 16, - 11, - 5, -, - } 8. Niveau de difficulté : moyen a) (y + )(y - ) b) (5e + 6)(5e - 6) c) (1 + 8t)(1-8t) d) (16 + 9y)(16-9y) e) (x + )(x - ) f) x(x + )(x - ) g) (5x + 8y)(5x - 8y) h) (t + s)(t - s) i) (1p + 11q)(1p - 11q) j) (15f + e)(15f - e) k) (7x + 11y)(7x - 11y) l) 5x(x + f)(x - f) 9. Niveau de difficulté : faible a) b) 5 c) 1 d) e) 1. Niveau de difficulté : faible a) 5-7 (5 + 7)(5-7) 1(6) 6 b) 5-5 (5 + 5)(5-5) 8(1) 8 c) 8-18 (8 + 18)(8-18) 1 (6) 6 Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 1 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

12 11. Niveau de difficulté : élevé a) x - 7x + 1 x - 7x x x x x (x - )(x - ) b) x + x - 1 x + x (x + ) - 5 (x + ) - (5) (x + + 5)(x + - 5) (x + 7)(x - ) c) y + 9y + y + 9y y y y y d) t - 6t - 7 t - 6t (t - ) - 6 (t - ) - (6) (t - + 6)(t - - 6) (t + )(t - 9) e) x + x - 6 (x - x - ) x - x x x x x (x + 1)(x - ) f) t - 8t + (t - 7t + 1) t - 7t t t t t (t - )(t - 5) g) t + 8t + 5 t + 8t + 5 t + 8t t t t t t + 5 (t + 1) h) m + 9m + m + 9m + m + 9m m m m m m + 1 (m - ) i) 6x - x - 6 x - x x x x x x + 1 x + Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

13 j) y + y - y + y - y + y y y (1) y y y + y Niveau de difficulté : moyen A totale 6c A totale 5x + 6x + 6 6c 5x + 6x + 6 c 9x + 6x + 1 c (x + 1) c x + 1 V c V (x + 1) V 7x + 7x + 9x Niveau de difficulté : moyen a) A grand cercle π (r + ) A grand cercle π (r + 6r + 9) cm A petit cercle πr cm A zone bleue π(r + 6r + 9) - πr A zone bleue π(r + 6r r ) A zone bleue π (6r + 9) A zone bleue π(r + ) L aire de la zone bleue est représentée par l expression algébrique π(r + ) cm. b) L aire de la zone bleue est de 1,5 cm. Manuel p Niveau de difficulté : faible b et d 15. Niveau de difficulté : moyen a) 5x + 5x + (5x + 1)(5x + ) P (5x + 1) + (5x + ) P x + 1 b) x + x + 6 (x + 6) P (x + 6) P 8x + c) x - x + 16 (x - 16)(x - 1) P (x - 16) + (x - 1) P 1x - d) 9x + 1x + (x + ) P (x + ) P 1x Niveau de difficulté : élevé V (x + 5x 16x - 8) h x + x 16x x + x x 8 x 8 A base x + x - A base (x + 5)(x - ) Les binômes représentant les dimensions de la boîte sont x + 5 et x Niveau de difficulté : moyen A losange D d D d x + 5x 16x 8 x + x + x x + x x + 5x + 5 D d x + 5x + 5 D d (x + 5)(x + 5) Les binômes représentant la mesure de chacune des diagonales de ce losange sont x + 5 et x Niveau de difficulté : moyen a) Piscine «de luxe»: x + 1x + (x + 6)(x + ) Piscine «populaire»: x + 9x + 18 (x + 6)(x + ) Le binôme représentant la longueur du côté qui est identique pour les deux piscines est x + 6. b) Piscine «de luxe» : x + Piscine «populaire» : x + c) x + 1x + 1 (x + )(x + 7) Seule la piscine «populaire» entre dans l espace rectangulaire d une aire représentée par x + 1x Niveau de difficulté : moyen A πr A π x + π x + π A π(x + x +1) A π(x + 1) r x + 1 Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

14 C πr C π(x + 1) C (πx + π) cm Le binôme qui représente la circonférence de ce cercle est πx + π.. Niveau de difficulté : élevé V C h V x + 6x + 9x V x(x + 6x + 9) V x(x + ) C h x(x + ) L expression algébrique qui représente la hauteur de la pyramide est x et celle qui représente la mesure du côté de la base carrée est (x + ). 1. Niveau de difficulté : moyen x - x - x - x - 1 x - x x - x - x Niveau de difficulté : élevé x - 6 (x + 6)(x - 6) 6 - x (6 - x)(6 + x) ou ( - x + 6)(x + 6) Un seul facteur en commun : (x + 6) x (6 - x ). Niveau de difficulté : moyen A rectangle 6x + 1x + 5 A rectangle (x + 5)(x + 1) base x + 5 hauteur x + 1 A triangle (x + 1)(x + ) A triangle x + 8x + A triangle x + x + L expression algébrique qui représente l aire du triangle bleu est x + x +. Section Les expressions rationnelles Les deux côtés de la médaille Manuel p. 91 Les prévisions de Marie Brunelle : 7x - 1 x x + x 7(x - ) x(x + ) (x + 6)(x + 6) 5 7(x - ) x(x + ) (x + ) (x - ) 5 7x 7x 5x 1 Dans 1 ans, la population de tortues représentera 5 % de la population actuelle. Selon ce modèle, 65 % des tortues disparaîtront. Les prévisions de Mark Cowan : x + 5 (x + ) - 1 x + x + 1 (x + 5) (x + )(x + ) 1(x + ) x x + 8x + 1(x + ) x + 1x + 1 1(x + ) (x + x + ) 1(x + ) (x + )(x + ) 1(x + ) (x + ) Dans 1 ans, la population de tortues représentera 5 % de la population actuelle (sans considérer la 1 tortue). Selon ce modèle, 75 % des tortues disparaîtront. Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Le cinéaste peut utiliser, dans son titre, la moyenne des deux pourcentages, c est-à-dire 7 %. Activité d exploration 1 Manuel p. 9 Démarche rationnelle A 1) 7 ) 7 ) 7 B x(6x + 15)(x + 9) x(x + 5)(x + ) C {x r x > } 1 7 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

15 Manuel p. 9 D Y x + x + x + x E F x et x - G On peut factoriser x + x : x + x x(x + ) Pour qu un produit de deux facteurs soit nul, un des deux facteurs doit être nul ou les deux facteurs doivent être nuls. Ainsi, pour que x(x + ), il faut que x ou que x +, c est- à-dire x -. H x + 1 x I Pour toutes les valeurs de x, sauf x - J K Y x + x Y 1 x + x + x(x + ) (x + 1)(x + ) (x + 1)(x + ) si x - et x - 1 x(x + ) (x + 1)(x + ) x x + 1 L x -, x - 5 et x x Y - - Aucune solution Aucune solution 1 Factoriser le numérateur et le dénominateur. Poser les restrictions, c est-à-dire trouver les valeurs des variables pour lesquelles le dénominateur est égal à. Simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Ai-je bien compris? 1. a) x c) y - 7 et y b) x et x d) y ± 1. a) x - 9 (x - )(x + ) x + 1x + 9 (x + ) (x + ) si x - (x - )(x + ) x - (x + ) x + b) y + y y + y - 1 y(y + ) (y - )(y + ) (y - )(y + ) si y - et y y(y + ) (y - )(y + ) y y - c) - z ( - z)( + z) z - z - (z + 1)(z - ) d) (z + 1)(z - ) si z - 1 et z ( - z)( + z) (z + 1)(z - ) - (z - )( + z) (z + 1)(z - ) - - z z + 1 πrh + πr πr h πr(h + r) πr h πr h si r et h πr(h + r) πr h Activité d exploration Manuel p. 9 h + r rh Probabilité rationnelle (voir au haut de la page suivante) Manuel p. 95 C 1) 6 (6 + x) D ) ( + x) (6 + x) ) 1 On additionne les numérateurs ensemble, et le dénominateur reste le même. E P(A) 1 (x + 6) + 1 (x + 6) + 1 (x + 7) P(A) (x + 6) + (x + 6) + (x + 7) P(A) + (x + 7) (x + 6)(x + 7) + (x + 7) (x + 6)(x + 7) (x + 6) (x + 6)(x + 7) P(A) P(A) P(A) 5(x + 7) + (x + 6) (x + 6)(x + 7) 5x x + (x + 6)(x + 7) 9x + 59 (x + 6)(x + 7) Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 5 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

16 Réponses de la page 9 A Le calcul de la probabilité Calcul P(A) P(A) P(A) P(A) Étape On additionne la probabilité de piger une bille rouge dans le sac 1, la probabilité de piger une bille rouge dans le sac et la probabilité de piger une bille rouge dans le sac. On effectue le produit des fractions en multipliant les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. On trouve le plus petit dénominateur commun et on calcule les fractions équivalentes. Pour ce faire, on observe les facteurs des dénominateurs. Comme les fractions ont été mises sur un dénominateur commun, on effectue la somme en additionnant les numérateurs ensemble. P(A) On obtient la probabilité cherchée. B Sac 1 Sac Sac Bille rouge Bille bleue Bille verte (6 + x) (6 + x) (7 + x) (6 + x) (6 + x) (7 + x) x (6 + x) x (6 + x) x (7 + x) F G Il faut mettre les expressions rationnelles sur un même dénominateur. En exprimant les dénominateurs sous forme de produit de facteurs, on trouve plus facilement un plus petit dénominateur commun. Celui-ci s obtient en faisant le produit de tous les facteurs des dénominateurs, un facteur qui se répète est pris une seule fois et affecté du plus grand exposant. (x + 6)(x + 5)(x + 7) H P(B) (5x + 9) (x + 5)(x + 6)(x + 7) I Toutes les restrictions sont négatives, alors que les valeurs possibles pour la variable x sont nécessairement positives. En effet, x est le nombre de billes. Ai-je bien compris? 1. a) (x + )(x - ) b) (x + 1)(x - 5) c) (x - ). a) Restriction : x x + x - x b) Restrictions : n 1 et n 1 9 n - 1 c) Restrictions : x - 1 et x 5 x(x + 5) (x + 1)(x - 5) d) Restrictions : m et m 6 6m(m - ) (m - ) (m - 6) Activité d exploration Manuel p. 96 Zéro dessus, zéro dessous? A L expression rationnelle A : x - L expression rationnelle B : x - 5 et x - L expression rationnelle C : x - et x - 1 L expression rationnelle D : x - 6 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

17 B 1) A B (x + 6x + 5)(x + 1) (x + )(x + 9x + ) (x + 1) ) B C (x + 9x + )(x + 5x + ) C 1) A B x + 1 si x - et x - 5 x + 1 ) B C (x + ) (x + 5) si x - 5, x - et x - 1 D Lorsqu on effectue des transformations sur des expressions rationnelles, certains facteurs du dénominateur sont simplifiés. C est alors qu on perd la «trace» de la restriction. E x - 5, x - et x - F x + 6x + 5 x + (x + 5)(x + 1)(x + ) x + x + 5 (x + )(x + 5) (x + 1)(x + ) x + G L expression «supérieur ou égal» signifie qu il y a «plus de restrictions» ou «le même nombre de restrictions» qui s appliquent aux variables d un quotient d expressions rationnelles. Ai-je bien compris? a) Restrictions : x, x - 1 et x - x x - b) Restrictions : x -, x et x 5 (x + 5) x - c) Restrictions : x - 6, x - 5, x -1 et x 1 x + 6 d) Restrictions : x - 5, x, x et x (x + 1)(x + 5) x(x - ) Mise en pratique Manuel p Niveau de difficulté : moyen et 5. Niveau de difficulté : faible a) 6 si t 6 b) 5 si x - 1 c) x + x + si x - et x - d) y - y + 5 si y 5 et y - 5 e) si x et x -1 f) x - 1 x + 1 si x et x - 1 g) x - x - 6 si x 6 h) t + 1 si t 1 et t t - y(x + ) i) si x et x 1 (x - 1) 5x j) y si y et y - k) x - x + si x - z - l) z - 1 si z 1. Niveau de difficulté : faible Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : a) x + 1 x - 1 (y - 1) b) y(y + ) c) d) 5 t - 1 t - v + 5 v -. Niveau de difficulté : faible Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : 5 ; x 8 ; (x + x + 1) 5 5. Niveau de difficulté : moyen a) 8 5 si x 1 et x - 1 b) y(y - ) si y -, y et y c) - 1 y si y - et y d) x + si x -1 et x e) y + y + si y -, y - et y f) 1 si x -1, x 5 et x g) y - 5 y + si y -, y 1 et y h) y + 1 si y - 5, y, y et y y 6. Niveau de difficulté : moyen c x + 1 V c (x + 1) A totale 6c 6(x + 1) V (x + 1) A totale 6(x + 1) x + 1 si x Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 7 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

18 Manuel p Niveau de difficulté : moyen a) 5x + 7 (x + 1)(x + ) si x - 1 et x - b) 8x - si x et x 1 x(x - 1) c) d) - x(x - 1) (x + )(x - ) si x - et x (y + 1)(y - 5) 6(y - )(y + 5) si y et y - 5 e) y - y - si y 1 et y (y - 1)(y - ) f) g) h) i) j) - x - x - (x + )(x + 1) si x - et x (y - )(y + )(y - 1) si y -, y - 1 et y 5y - 11y + 5 (y + )(y + 1)(y - ) si y -, y - 1 et y (x - 5) x - 5 si x 5-5x - 8 (x + ) si x - 8. Niveau de difficulté : moyen A carré 1x A trapèze 1x + 8 1x 1x + 8x A carré 1x A trapèze 1x + 8x 1x 1x + 8 5x 5x + si x - 5 et x 9. Niveau de difficulté : moyen a) {x r x > } b) A ABC A DEF (6x - 9)(x + ) (x - )(x + 6) si x - et x 1. Niveau de difficulté : moyen a) A rép A but x(x + 7) x (x + 1,5) (x - ) (x + ) (x - ) (x + ) A rép (x + 7) A but x + si x - et x Le rapport des aires de la surface de réparation et (x + 7) de la surface de but est si x et x. (x + 1,5) b) Calcul de la valeur de x : (x + 7) x + 9(x + 7) x + 18x + 6 x + - x - Les dimensions de la surface de réparation du terrain sont les suivantes : Largeur : x 16,5 m Longueur : (x + 7) + 7 m Manuel p Niveau de difficulté : moyen A piscine x(x + 5) A piscine x + 5x A piscine + trottoir (x + 11)(x + 6) A piscine + trottoir x + 17x + 66 A trottoir x + 17x (x + 5x) A trottoir 1x + 66 A trottoir 1x + 66 A piscine x si x - 5 et x + 5x 1. Niveau de difficulté : élevé Cette façon de procéder est valable puisque Abbie a bien simplifié, étant donné le symbole de division. La méthode est efficace parce qu Abbie simplifie les numérateurs et les dénominateurs à l aide de facteurs communs. 1. Niveau de difficulté : élevé V guépard V zèbre + 1 v d t, donc t d v 5 V zèbre V zèbre + 1 (V zèbre + 1) 5V zèbre V zèbre + 6 5V zèbre 6 V zèbre V zèbre 18 m/s V zèbre ,8 km/h V guépard V zèbre + 1 m/s V guépard km/h 8 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

19 La résolution d équations Section du second degré Le juste prix Manuel p. 1 Soit x, le nombre de fois qu on applique la réduction de 1,5 $ et P, le montant que rapportent les ventes du troisième tome. P (5 + 5x)( - 1,5x) Les ventes du premier tome ont rapporté 15 $ La maison d édition souhaite que les ventes rapportent au moins 18 $ de plus : 168 (5 + 5x)( - 1,5x) 168 (5 + 5x)( - 1,5x) x - 7 5x - 75x x - 75x 75x - 7 5x x - 7 5x (x - 1x + ) x - 1x + (x - )(x - 6) x ou x 6 Lorsqu on applique ou 6 réductions, les ventes rapportent exactement 18 $ de plus. (x - )(x - 6) Lorsqu on applique moins de réductions ou plus de 6 réductions, les ventes ne rapportent pas 18 $ de plus. Lorsqu on applique 5 réductions, les ventes rapportent un montant supérieur à 18 $ de plus, soit $. - (5 1,5),5 Puisque les ventes pourraient rapporter $ avec 5 réductions, le prix de vente du troisième tome devrait être fixé à,5 $. Activité d exploration 1 Manuel p. 1 A Degré Un habitat, plusieurs solutions B De 1 à, on a développé le produit de binômes et soustrait par 5 de chaque côté de l égalité. De à, on a factorisé le trinôme du côté gauche de l égalité. D (x + )(x + 5) 5 x + 8x - (x + 1)(x - ) E x - 1 et x F Comme x représente une longueur, on ne peut retenir - 1, un nombre négatif. G L ancien habitat des lynx était un carré de m de côté et avait une superficie de m. Manuel p. 15 H 1) (x - 15)(x - 1) Ensemble-solution : {1, 15} x(x - 1) ) x(x - 6) Ensemble-solution :, 1 ) (x + 1) Ensemble-solution : -1 I Non. Par exemple, x ne peut être transformé en un produit nul. J L - x K ( - x)x 1 L - x + x (x - 15x + 5 ) x - 15x + 5 (x - 1)(x - 5) Ensemble-solution : {5, 1} L habitat a une largeur de 5 m sur une longueur de m ou il s agit d un carré dont le côté mesure 1 m. Non, parce qu il est impossible de trouver deux nombres entiers dont le produit est de 5 5 et la somme, de La recherche de la somme et du produits s avère ainsi très difficile. Ai-je bien compris? 1. a) Ensemble-solution : -, 1 b) Ensemble-solution : {, } c) Ensemble-solution : {, 1} d) Ensemble-solution : 5 e) Ensemble-solution : -, 5 C f) Ensemble-solution : - 1, 5 Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 9 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

20 . On pose x, la longueur (en mètres) de la largeur du bassin. La longueur est représentée par l expression algébrique x x(x + 16) 8 x + 16x - 8 (x + 8x - ) x + 8x - (x - 1)(x + ) Ensemble-solution : { -, 1} Compte tenu du contexte, la solution - doit être rejetée. Le bassin a une largeur de 1 m et une longueur de m. Activité d exploration Manuel p. 16 À bout de toute équation A 1 Ensemble-solution : { -, } Ensemble-solution : { - 5, 5} Ensemble-solution : { -, } B Chaque équation résolue en A possède deux solutions : la racine positive et la racine négative de chaque nombre. C On a seulement remplacé la variable par un binôme. D 5 Ensemble-solution : { - 6, } 6 Ensemble-solution : - 1, Ensemble-solution : { - 8, } 8 Ensemble-solution : { - 7, 1} E u(x + v) - w u(x + v) w (x + v) w u F x + v ± w u On obtient deux solutions : - (voir au bas de la page) w u - v et w u - v Ensemble-solution : - 1, 1 Réponses de la question F, page 17 F Conjecture A Conjecture B 9 x + 6x + 11 (x + ) (x + ) + 1 x + 7x + x + 7 x + x + 7 x + S : 7 P : 11 Impossible de trouver deux nombres entiers dont la somme donne 6 et le produit, 11. On ne peut donc pas factoriser ce polynôme par cette technique. En observant la réponse obtenue par la méthode de la complétion du carré, on remarque que (x + ) + n est pas une différence de deux carrés. Il est donc impossible d écrire x + 6x + 11 sous la forme (rx + s)(tx + u). S : 7 P : 1 x + x + x + x(x + ) + (x + ) (x + 1)(x + ) x x x x - x + 1 (x - x + 5) ((x - 1) ) ((x - 1) + ) (x - 1) + 8 S : - P : Impossible de trouver deux nombres entiers dont la somme donne - et le produit,. On ne peut donc pas factoriser ce polynôme par cette technique. En observant la réponse obtenue par la méthode de la complétion du carré, on remarque que (x - 1) + 8 (ou (x - 1) + ) n est pas une différence de deux carrés. Il est donc impossible d écrire x - x + 1 sous la forme (rx + s)(tx + u). 5 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

21 G 9 Aucune solution 1 Ensemble-solution : -, Aucune solution Manuel p. 17 H (voir au bas de la page) I 1 x - 7 ± 7 - x - 7 ± x - 7 ± 1 6 x - 7 ± 1 6 Ensemble-solution : -, - 1 J Lorsque le discriminant est strictement positif, deux solutions réelles satisfont à l équation. Lorsque le discriminant est nul, une seule solution réelle satisfait à l équation. Lorsque le discriminant est strictement négatif, l équation ne possède aucune solution réelle. Ai-je bien compris? 1. a) Ensemble-solution : - 1, 1 b) Ensemble-solution : { - 6, + 6} c) Ensemble-solution : { - 6-1, }. a) -, l équation ne possède aucune solution. b) -, l équation ne possède aucune solution. c), l équation possède une solution. Réponses de la question H, page 17 H Étape Démarche algébrique a( ) 1. Mettre a en évidence. bx c x + + a a b. Compléter le carré avec ( a) afin bx b b c a( x + + ( ) ( ) + a a a a) d obtenir un trinôme carré parfait.. Factoriser le trinôme carré parfait. b b c a ( x + + a) a a. Additionner les termes constants. 5. Diviser par a chaque membre de l équation. 6. Isoler le carré du binôme. a ( ) b b + ac (( a ) a ) x + + ( ) b b c x a a a ( ) b b ac x + a a 7. Extraire la racine carrée de chaque b b ac membre de l équation sans oublier le ±. x + ± a a 8. Extraire la racine carrée du numérateur et du dénominateur car la racine d un quotient équivaut au quotient des racines carrées. 9. Isoler x. x + b ± b a c a a b b ac x ± a a 1. Additionner les expressions pour obtenir les solutions de l équation. x b ± b ac a Remarque : Aux étapes 7 à 1, pour que les manipulations soient valables, il faut considérer que le discriminant est nul ou positif (b - ac ). Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 51 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

22 Mise en pratique Manuel p Niveau de difficulté : faible a) 1 b) c) 6 d) 5 e) f). Niveau de difficulté : moyen a) n + 7n + 1 (n + )(n + ) Ensemble-solution : { -, - } b) x - x - 6 (x - )(x + ) Ensemble-solution : { -, } c) m - m - (m - )(m +1) Ensemble-solution : - 1, d) m - 7m 18 m - 7m - 18 (m - 9)(m + ) Ensemble-solution : { -, 9} e) 1y - 16y - 6 1y - 16y + 6 (1y - 6)(y - 1) Ensemble-solution : 5, 1 f) x - 11x x - 11x - x - 1x + x - x(x - ) + 1(x - ) (x + 1)(x - ) Ensemble-solution : - 1, g) 9z - z z + z + 16 (z + ) Ensemble-solution : - h) p 15 - p p + p - 15 p + 9p - 5p - 15 p(p + ) - 5(p + ) (p - 5)(p + ) Ensemble-solution : -, 5 i) r + 9 1r r - 1r + 9 (r - ) Ensemble-solution : j) t + 1t 1 t + 1t - 1 t + 15t - t - 1 t(t + 5) - (t + 5) (t - )(t + 5) Ensemble-solution : - 5, k) - y - 17y - y - 17y - - y - 16y - y - - y(y + ) - 1(y + ) ( - y - 1)(y + ) Ensemble-solution : -, -1 l) y - - 6y 6y + y - 6y - y + y - y(y - 1) + (y - 1) (y + )(y - 1) Ensemble-solution : -, 1 m) 5z + z 6 5z + z - 6 5z + 5z - 6z - 6 5z(z + 1) - 6(z + 1) (5z - 6)(z + 1) Ensemble-solution : - 1, 6 5 n) - x x x + 1x + 18 x + 1x + 18 (x + 6x + 9) (x + ) Ensemble-solution : { - }. Niveau de difficulté : élevé a) x + 6x + x + 6x (x + ) (x + ) - 5 (x + ) 5 x + ± 5 Ensemble-solution : { - - 5, - + 5} 5 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

23 b) t + 8t - 7 t + 8t (t + ) (t + ) - (t + ) t + ± Ensemble-solution : { - -, - + } c) d - 7d + 9 d - 7d d d d d d - 7 ± 1 Ensemble-solution : 7-1, d) x + x - x + x x x x x x + 1 ± 1 Ensemble-solution : - 1-1, e) w - w - 11 w - w (w - ) (w - ) - 15 (w - ) 15 w - ± 15 Ensemble-solution : { - 15, + 15} f) y - y + y - y (y - 1) (y - 1) - 96 (y - 1) 96 y - 1 ± 96 6 Ensemble-solution : {1-6, 1 + 6) g) 6n - n n n n n n n n n n + 5 (n - 1) 6 Ensemble-solution : -5 6, 1 h) m + 9m - 5 m + 9 m - 5 m + 9 m m m m m (m + 5) m - 1 Ensemble-solution : - 5, 1 i) x - x - 15 (x - x - 5 x - x x x x x x + 5 (x - ) Ensemble-solution : -5, j) x - x - 11 x - x - 11 x - x (x - 1) (x - 1) - 1 (x - 1) - 1 (x - 1) 1 x - 1 ± 1 x 1 ± 1 Ensemble-solution : 1-1, Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 5 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

24 . Niveau de difficulté : faible a) (x + ) 9 (x + ) 9 x + ± Ensemble-solution : { - 6, } b) Ensemble-solution : { - 1, } c) Ensemble-solution : -5, d) Ensemble-solution : {9, 11} e) Ensemble-solution : { - 1, 9} f) Ensemble-solution :, Manuel p Niveau de difficulté : faible a) x - 1x + 5 a, b - 1, c 5 b - ac ( - 1) - ()(5) b - ac 1-8 b - ac 6 Δ 6 >, donc l équation a deux solutions réelles. b) m - m + 15 a, b - 1, c 15 b - ac (-1) - ()(15) b - ac 1-1 b - ac Δ <, donc l équation n a pas de solution réelle. c) z - 5z + a, b - 5, c b - ac ( - 5) - ()() 5-1 Δ 1 >, donc l équation a deux solutions réelles. d) 5x - x + a 5, b -, c b - ac ( - ) - (5)() - Δ, donc l équation a une solution réelle. e) y + 5y + 8 a, b 5, c 8 b - ac 5 - ()(8) - 11 Δ - 11 <, donc l équation n a pas de solution réelle. 6. Niveau de difficulté : moyen a) x - 1x + 15 x - 9x - 5x + 15 x(x - ) - 5(x - ) (x - 5)(x - ) Ensemble-solution : 5, b) z + 5z + 8 z + 5z z z Aucune solution c) (x + 1) (x + 1) 1 (x + 1) 7 x + 1 ± 7 Ensemble-solution : { - 1-7, } d) x x x(x + 1) 6 x + x x + x - 6 x + x - x - 6 x(x + ) - (x + ) (x - )(x + ) Ensemble-solution : { -, } e) n - n + n - n n n - + Aucune solution 5 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

25 f) -y + y - 9 y - y + 9 y - y y y Aucune solution g) m - m - m - m + m - m + m - m + m - m m m Aucune solution h) - (x + ) + 15 (x + ) - 15 (x + ) 15 x + ± 15 Ensemble-solution : { , } i) x - 7 x - 15 x - x x(x - 7) (x - 15)(x - ) x - 7x x - 8x - 15x + 6 x - 7x x - x + 6 x - 16x + 6 (x - 6)(x - 1) Restrictions : x et x 15 Ensemble-solution : {6, 1} 7. Niveau de difficulté : élevé P base b + h P base m A base b h A base m b + h b h b h + h h h + h 15h h + h 15h h - 15h + (h - 11)(h - ) Ensemble-solution : {11, } Les dimensions de la base sont de 11 m sur m. 8. Niveau de difficulté : moyen A 1 8 m A ( + x)( + x) 1 6 m x + 6x x + 6x - 8 x + 6x (x + ) (x + ) 1 7 x solution à rejeter x On doit ajouter ou 11, m à chaque côté de la patinoire. 9. Niveau de difficulté : faible n + n 5 1 5n 1 + n 1 1 7n 1 n ± 1 7 n ±,79 1. Niveau de difficulté : faible 1) (d) - d 8 d - d 8 d 8 d 16 d - solution à rejeter d cm ) (s) - s 7 9s - s 7 8s 7 s 9 s - solution à rejeter s cm Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 55 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

26 11. Niveau de difficulté : moyen On cherche la valeur de x. A 1 5 m A (7 + x)(5 + x) A x + 1x + 5 A - A 1 6,5 x + 1x ,5 x + 1x - 6,5 (x + 6) - 6-6,5 (x + 6) -,5 (x ,5)(x + 6-6,5) (x + 1,5)(x -,5) x - 1,5 solution à rejeter x,5 La plate-bande peut avoir une largeur de,5 m. Manuel p Niveau de difficulté : élevé n n n + (n + 6) 16 n + 1n n + 1n - 11 n + 6n - 55 (n + 11)(n - 5) n - 11 solution à rejeter, car n n. n 5 Les nombres sont 5 et Niveau de difficulté : moyen x + (x + 7) 17 x + 1x - x + 7x - 1 (x + 15)(x - 8) x - 15 solution à rejeter, car une dimension ne peut être négative. x 8 cm x cm Les cathètes du triangle rectangle mesurent respectivement 8 cm et 15 cm. 1. Niveau de difficulté : faible n - n n - n - 88 (n - 11)(n + 8) n 11 n - 8 solution à rejeter, car n est une quantité. Le polygone régulier qui possède diagonales a 11 côtés. 15. Niveau de difficulté : moyen A 16 m Longueur x Largeur 5 - x 5 - x 16 x(5 - x) 16 - x - 5x x + 5x + 16 Δ - 15 < Le rectangle ayant un périmètre de 5 m et une aire de 16 m n existe pas, car il n y a aucune solution pour ces dimensions. 16. Niveau de difficulté : élevé A grand triangle b h A grand triangle 8 6 A grand triangle cm A petit triangle cm (6 - x)(8 - x) (6 - x)(8 - x) x - 1x + 8 x - 1x + 8 (x - 7) - 1 (x - 7) 1 x - 7 ± 1 x 7-1,6 x , solution à rejeter, car les valeurs de b et de h deviennent négatives. Les mesures de la base et de la hauteur du petit triangle sont de 7, cm et de 5, cm respectivement. 56 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

27 17. Niveau de difficulté : faible Première façon : par factorisation d une différence de carrés (x + + 6)(x + - 6) (x + 1)(x - ) Ensemble-solution : { - 1, } Deuxième façon : résolution d équation du second degré (x + ) 6 x + 6 x + ± 6 Ensemble-solution : { - 1, } 18. Niveau de difficulté : faible A cm Largeur x Longueur x + 1 x + 1x x + 1x - (x + 1)(x - ) x - 1 solution à rejeter, car x est une dimension. x Les dimensions de la planche sont de 1 cm sur cm. Manuel p Niveau de difficulté : faible A rectangle 15 A rectangle 8x + x A carré x 8x + x 15 8x + x - 15 (x - 5)(8x + ) x 5 x - solution à rejeter, car x est une dimension. 8 A carré 5 5 cm. Niveau de difficulté : élevé a) Soit x, la mesure d un côté d un carré découpé. A base 875 cm ( - x)(5 - x) 875 x - 18x x - 18x x x x (x - 7,5)(x - 7,5) x 7,5 x 7,5 solution à rejeter, car les mesures des côtés seraient négatives. La mesure du côté de chaque carré découpé est de 7,5 cm. b) V A base h V 875 7,5 V 6 56,5 cm 1. Niveau de difficulté : élevé a) Il y a trois cas possibles. 1 er cas : Le triangle est isocèle si : x x 9 cm Vérification pour l autre côté : 9 - ( 9) - 5 Ce cas doit être rejeté puisqu il est impossible de former un triangle dont les côtés mesurent 1 cm, 1 cm et 5 cm. e cas : Le triangle est isocèle si : x - x - x + 5 x - x - 9 x ± 5 x - 1 solution à rejeter, car les mesures des côtés seraient négatives. x + 1 5,6 cm Vérification 5,6 - ( 5,6) - 5, ,6 cm Ce cas est retenu puisqu il est possible de former un triangle dont les côtés mesurent 1 cm, 1,6 cm et 1,6 cm. Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 57 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

28 e cas : Le triangle est isocèle si : x - x - 1 x - x - 18 (x + )(x - 6) Ensemble-solution : { -, 6} Il y a donc deux possibilités : Possibilité 1 : vérification pour l autre côté : Ce cas est retenu puisqu il est possible de former un triangle dont les côtés mesurent 1 cm, 1 cm et cm. Possibilité : vérification pour l autre côté : cm Ce cas est retenu puisqu il est possible de former un triangle dont les côtés mesurent 1 cm, 1 cm et 11 cm. Les valeurs de x pour lesquelles le triangle est isocèle sont d environ 5,6, exactement - et 6. b) e cas : a + b c 1,6 + 1,6 1 e cas : a + b c 1) ) Dans les trois cas, le triangle isocèle n est pas rectangle.. Niveau de difficulté : moyen On cherche la valeur de x. A vert 8 m A totale 8(x - 1) A totale x - 8 A rectangles gris (8 - x)(x x) A rectangles gris (8 - x)(x - 1) A rectangles gris - x + 17x - 8 A totale - A rectangles gris A vert x ( - x + 17x - 8) 8 x + 15x 8 x + 15x - 8 (x + 19)(x - ) x - 9,5 solution à rejeter, car une dimension ne peut être négative. x Largeur du H : () La largeur du H est de 7 m. Consolidation Manuel p Multiplication de polynômes, division d un polynôme par un trinôme Niveau de difficulté : faible a) x + x - 1x - 18 b) 16x + 8x - 15x - 9 c) x - 5 d) x + 1. Multiplication de polynômes Niveau de difficulté : faible Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : a) (x + 1) et (x - 1) b) (x + 1) et (x + ) c) (x + 1) et (x + ). Factorisation d un trinôme carré parfait Niveau de difficulté : faible A πr A π(x - 8x + 16) A π(x - ) r x -. Factorisation par la double mise en évidence, factorisation de trinômes, factorisation d un trinôme carré parfait, factorisation d une différence de carrés Niveau de difficulté : moyen a) (x + 5)(x - ) b) (x + 5y )(y + 7) c) (x + 5)(x - 5)(x + 5) d) (x + )(x - ) e) (x - 5)(x + ) f) x (x + 1)(x + 1) g) (5x - 9) h) (x + 1)(x + 1)(x - 1) 58 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.

29 5. Addition et soustraction d expressions rationnelles, multiplication et division d expressions rationnelles Niveau de difficulté : élevé a) x - x - 5x + 1 x - x - x x - x x x + 6x - - 6x + 1-6x + 1 b) x -, x - 1 et x 1 x + 6 x + x + x - 1 x + 6 x + x - 1 x + (x + ) (x + 1) c) x 1 et x (x + 1)(x - 1) x + (x - 1) x + 1 x (x + 1)(x - ) + (x - )(x - 1) (x - )(x - 1) x - x - + (x - )(x - 1) x - x - (x - )(x - 1) d) x -, x 1 et x x + (x - )(x + ) - x (x - 1)(x - ) (x + )(x - 1) - x (x + ) (x - )(x - 1)(x + ) x + x - - x - x (x - )(x - 1)(x + ) - (x - )(x - 1)(x + ) e) x -, x 1 et x (x - 5)(x - 1) (x + )(x - ) x - x - 1 x - 5 x + f) x - 1, x -, x, x 1 et x 1 x + 1x - 5x x + 7x + 8x + x - 6x - x x(x - 1) (x + 5) (x + )(x + 1) (x + 5)(x - 1) (x + 1) 6. Multiplication de polynômes Niveau de difficulté : faible V x (x + 6)(x - 6) V x (x - 6) V (x - 7x) cm (x + )(x - 1) x(x - 1) Manuel p Résolution d équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : faible a) x { -, 1} d) x { - } b) x -, e) x { - 5,,5} c) x { -, } f) x, 8. Résolution d équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : moyen a) x { - 6-1, } b) Ø c) x { -, + } d) x { -, } e) x - 5, 5 f) x - 1, 1 g) x 1 h) x -, 5 9. Quel est le rapport? Simplification d expressions rationnelles, multiplication de polynômes Niveau de difficulté : moyen a) 1) x, x - x + 1 x ) x -, x - 1 (x + ) (x + ) ) x - 1, x - (x + )(x + 1) (x + 1)(x + ) b) A vert x + 6x + A vert (x + )(x + 1) Il y a deux possibilités : (x + )(x + 1) ou (x + )(x + ) Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc. 59 Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

30 1. Jusqu aux arrière-petits-souriceaux Multiplication de polynômes Niveau de difficulté : élevé La variable x représente le nombre de souriceaux de Scarlett. Première génération : chacune des x souris a eu x + souriceaux, soit un total de x(x + ) souriceaux. Deuxième génération : chacune des x(x + ) souris a eu x - 1 souriceaux, soit un total de x(x + )(x - 1) souriceaux. Le polynôme qui représente la descendance de Scarlett est x + x(x + ) + x(x + )(x - 1) x + x + x. Manuel p Quel volume? Multiplication et addition de polynômes Niveau de difficulté : moyen a) V total V demi-sphère + V cylindre V total πr + πr h V total π x + π x (x + 6) V total 5π x + 6π x b) V total V cube + V pyramide V total c + b h x V total (x + ) + (x + ) (x - 1) V total x + 7x + 1x + 1. Triangle en vue Multiplication et addition de polynômes, résolution d équations quadratiques par factorisation Niveau de difficulté : élevé c (1x - ) + (5x - 1) c 1x - 576x x - 1x + 1 c 169x - 676x c (1x - 6) c ± (1x - 6) P c (1x - 6) P (5x - 1) cm 1. Touché! Multiplication et addition de polynômes, simplification d expressions rationnelles Niveau de difficulté : moyen a) P(zones rouges) A zones rouges A grand carré (x + ) + (x + ) + (x + ) + x (x + ) x x + + x + + x x + 16x x + 16 x + 16x + 16 x + x + x + b) P(zones rouges) A zones rouges A grand cercle π(x + 5) - π x + π(x + 16) - π(x + 1) π(x + 16) π(x + 1x x + x + x x - x - 1) π(x + x + 56) x x + x Mur à peindre Division d un polynôme par un binôme Niveau de difficulté : faible - x - 7x - 1x + 8 x - x - 1x x - 7-7x + 8-7x + 8 Le polynôme qui représente le nombre de mètres carrés couverts est 1(x - 7) ou (x - 7). Manuel p Le toit du clapier Multiplication et addition de polynômes Niveau de difficulté : élevé Largeur du toit a + 16, où a est la mesure du côté oblique du trapèze de la face latérale du clapier. a (x + ) + (x + ) a (5x + 5) a 5x + 5 Longueur du toit 6x Largeur du toit 5x Corrigé du manuel Intersection SN Guide A Reproduction autorisée Les Éditions de la Chenelière inc.