TRIGONOMETRIE 1 GENERALITES: LE TRIANGLE

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1 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 GENERALITES: LE TRIANGLE TRIGONOMETRIE GENERALITES: LE TRIANGLE. Définition Trois points A, B et C non onfondus du plan eulidien forment un triangle ABC. A α C α, β et γ sont les angles internes du triangle γ on a : α + β + γ = 80 β B AB, BC et AC sont les ôtés du triangle. Aire ou surfae d un triangle h h a a La surfae S du triangle est donnée par: S = a h où a est la base du triangle et h est la hauteur du triangle. Des triangles de même base et de même hauteur ont même surfae.. Cas spéiaux.. triangle isoèle B β β' α A propriétés : ôtés égaux : AC = BC angles égaux : β = β' C

2 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE.. triangle équilatéral C α'' propriétés : ôtés égaux : AB = BC = AC angles égaux : α = α' = α' ' = 60 α α' A B.. triangle retangle propriété : un angle est droit (90 ) LE TRIANGLE RECTANGLE. Définition Un triangle est dit retangle lorsqu il ontient un angle droit (90 ). On appelle hypoténuse le ôté opposé à l angle droit. C est toujours le ôté le plus long du triangle retangle... Propriétés α et β sont des angles aigus ( α < 90 et β < 90 ) On a: α + β = 90 Si on prend un ôté adjaent à l angle droit omme base du triangle retangle alors l autre ôté adjaent à l angle droit est la hauteur du triangle retangle.

3 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE. Le théorème de Pythagore ( av. J.C.) Pour un triangle retangle, la somme des arrés des ôtés adjaents à l angle droit est égale au arré de l hypoténuse. a + b =.. Démonstration b a a b b a L aire du grand arré (de ôté a + b) est égale à la somme des aires des 4 triangles de base b et de hauteur a et du petit arré de ôté. Alors : ( a + b) = 4 ( a b + a + b + a b = a b + a + b = ) QED a b.. Réiproque Si pour un triangle de ôtés a, b et, où est le ôté le plus grand, on a triangle est retangle. a = + b, alors le.. Exemple Le triangle de ôtés, 4, 5 est retangle. m 5 m 4 m On a en effet : a + b = ( m) + (4m) = 9 m + 6m = 5 = 5 (5m) 5 m

4 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE 4. Exeries.. Exerie Vérifier que les triangles suivants, définis par les longueurs de leurs ôtés, sont tous retangles: 5, 6,,, 5, 8, 7.. Le mur et l éhelle La hauteur du mur est 5 m et la longueur de l éhelle 5,0 m. De ombien le pied de l éhelle s éarte-t-il du mur?.. Diagonale d un arré Soit un arré de ôté a. Trouver la valeur de sa diagonale. Appliation numérique : a = 0 m...4 Hauteur d un triangle équilatéral Soit un triangle équilatéral de ôté a. Trouver la valeur de son hauteur. Appliation numérique : a = 0 m...5 Corde Tu disposes d une orde ave une longueur d environ 7 m, d une règle de m et d un moreau de raie. Comment peux-tu proéder pour traer un arré ave des ôtés de,8 m sur le sol? Explique!

5 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE 5.4 Trigonométrie dans le triangle retangle.4. Cosinus, sinus et tangente d un angle Dans un triangle retangle on définit les rapports de ôtés suivants: ôté opposé àα sinα = hypoténuse SINUS de l angle α ôté adjaent àα osα = hypoténuse COSINUS de l angle α ôté opposé àα tan α = ôté adjaent àα TANGENTE de l angle α.4. Remarques sinα On a : tan α = os α démonstration :. opp.. opp.. hyp sinα tan α = = = sinα =. adj.. hyp.. adj. osα osα On a toujours : os α + sin α = démonstration : a os α + sin α = a = b + = ( a + b ) = 44 = b + = QED

6 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE 6.4. Valeurs remarquables de os, sin et tan De telles valeurs sont à onnaître par oeur. On les établit en onsidérant le arré et le triangle équilatéral. On a: (Rappel: diagonale du arré de ôté a: d = a ) (Rappel: hauteur du triangle équilatéral de ôté a: h = a ) os 45 = = = os 0 = = sin 45 = = = sin 0 = = sin45 tan 45 = = = os 45 sin0 tan 0 = = = = os0 os 60 = = sin 60 = = sin60 tan 60 = = = os60

7 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE Tableau réapitulatif α os α sin α 0 tan α 0 / 0.5 Exeries.5. Caluls dans le triangle retangle Soit le triangle retangle représenté sur la figure i-dessous : b Dans haque as, aluler les ôtés et angles manquants. a. a = 6 m, α = 60 b. a = 8 m, β = 0. a = 0 m, b = 6m d. = m, α = 5 e. = m, a = 0 m f. α = 55, β = 5, = 0 m g. a = 4 m, b = m, = 5m a.5. Perimètre d un retangle Caluler le périmètre d un retangle sahant que ses diagonales ont pour longueur 8 m et qu elles forment un angle aigu de Exerie Quel est l angle aigu formé par les diagonales d un retangle de longueur m et de largeur 8 m?

8 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 LE TRIANGLE RECTANGLE La hauteur de la tour Caluler la hauteur h de la tour ave les données portées sur la figure..5.5 Exerie Soit ABC un triangle retangle en A et H le pied sur [BC] de la hauteur issue de A. AH AC AH AB a. Montrer que = et que =. BH AB CH AC b. En déduire que AH = HB HC..5.6 Le puits Voii une tehnique utilisée dans l Antiquité pour mesurer la profondeur d un puits. En plaçant son oeil à,50 m de hauteur et à m d un puits de,0 m de diamètre, le bord du puits ahe juste la ligne de fond. Quelle est la profondeur du puits?.5.7 Hauteur d une montagne Les points A et B sont distants de 600 m (à vol de l oiseau) et situés à une altitude de 50 m. a. Caluler BH en fontion de h. b. h En déduire que h est solution de l équation : h = 600 tan 40 + tan 40.. Donner une valeur approhée de h. d. Quelle est l altitude du sommet S?

9 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 9 CERCLE TRIGONOMETRIQUE. Le radian.. Définition L angle plat mesure radians (notation: rad). La mesure d un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés... Tableau de onversion Pour onvertir 0 en radians, on proède de la manière suivante. radians x degrés 80 0 e qui donne 80 x = 0 et 0 x = =, 7rad 80.. Formules de onversion α rad = α deg 80 α deg α = rad Angles remarquables angle plat plein droit fig. a fig. b fig. b mesure en degrés mesure en radians / / 4 / / a. triangle retangle isoèle b. triangle équilatéral

10 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 0..5 Exerie Convertir en radians : 6 ; 45 ; 5 ;5 ; 0 ; 50 ; 7 ;,5 ; 54 Convertir en degrés : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;, Longueur d un ar Un ar de erle de rayon R et d angle au entre α (en radians) a pour longueur L = α R R L = α R..7 Exerie Caluler la longueur d un ar de erle de rayon 4 m et d angle / rad 50. Le erle trigonométrique Fixons un repère (O, I, J) du plan. Le erle C de entre O et de rayon, orienté dans le sens diret (de I vers J par le plus ourt hemin), est appelé erle trigonométrique. J O I C sens diret Remarque : le sens diret (ou positif) orrespond au sens inverse des aiguilles d une montre.

11 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE.. Mesure d un ar orienté B A O Considérons, sur le erle trigonométrique, un ar d extrémités A et B et de longueur α ; l angle au entre AOB qui l interepte a don pour mesure α en radians. L intérêt se porte sur les longueurs des trajets reliant A à B le long du erle trigonométrique. On onvient de noter es longueurs : C sens diret positivement si les trajets sont effetués dans le sens diret négativement si les trajets sont effetués dans le sens indiret Ces trajets ont pour longueurs possibles, en effetuant éventuellement une ou plusieurs fois le tour du erle α, α +, α + 4, α + 6, (sens diret) α, α -, α - 4, α - 6, (sens indiret) Remarque : est la longueur d un tour supplémentaire Soient A et B deux points du erle trigonométrique. Si α est une mesure de l ar orienté AB, toutes les autres mesures sont de la forme α + k ( k Z ). Une seule de es mesures appartient à l intervalle ], ]. Elle est appelée mesure prinipale de l ar orienté AB... Exerie B C O A Trouver les mesures prinipales pour les ars suivants : AB BC CB AC CA

12 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE. Cosinus, sinus et tangente J S sin x M Soit x un nombre réel et M le point du erle trigonométrique assoié à x (x est une mesure de l ar de erle IM). I O x os x C I On appelle osinus de x et sinus de x les oordonnées de M dans le repère (O, I, J). On les note os x et sin x. Ainsi M (os x, sin x). Si os x 0, on appelle tangente de x le réel défini par : tan x = sin x / os x. J En effet, on a (dans le triangle retangle CMO): OC OC os x = = OC = os x OM CM OS OS sin x = = = OS = sin x OM OM.. Valeurs de os x, sin x, tan x x = 0 x = x = x = L examen du erle trigonométrique permet d étendre les notions de osinus, sinus et tangente à des angles supérieurs à 90 : x 0 / / os x 0-0 sin x tan x 0 non déf. 0 non déf.

13 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE.. Relations élémentaires os( x + k ) = os x et sin( x + k ) = sin x os x et sin x os x + sin x =.. Signes de os x, sin x et tan x Les signes sont aisément déterminés par leture direte sur le erle trigonométrique: tan x 0 os x 0 sin x 0 J os x 0 sin x 0 tan x 0 I I tan x 0 os x 0 sin x 0 os x 0 sin x 0 tan x 0 J.4 Cosinus et sinus des angles assoiés Les angles, ou nombres assoiés à x, sont x, x et +x. Leur osinus et leur sinus se retrouvent par une leture effiae des onfigurations du retangle et des angles omplémentaires. Configuration du retangle M' ( os( x ),sin( x )) J M( os x,sin x) M M x + x I x I x N N ( os( + x ),sin( x )) N ' + J N ( os( x ),sin( x ))

14 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 4 On a: os( x ) = os x sin( x ) = sin x os( + x ) = os x sin( + x ) = sin x os( x ) = os x sin( x ) = sin x Configuration des angles omplémentaires J x M M' os( x ),sin( x ) y=x M M( os x,sin x) x O I Deux points de C assoiés à des angles omplémentaires sont symétriques par rapport à la droite y =x. De e fait leurs oordonnées sont éhangées : si l un a pour oordonnée (a, b), l autre a pour oordonnées (b, a). Voilà qui explique les relations suivantes : os x = sin x sin x = os x

15 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 CERCLE TRIGONOMETRIQUE 5.5 Exeries a. Un ar AB d un erle de entre O a une longueur égale au rayon du erle. Evaluer l angle AOB en radians, puis en degrés. b. Caluler le périmètre et la surfae de la partie oloriée dans la figure i-dessous : B m O m. Le mille marin, unité utilisée en navigation, orrespond à la distane de deux points de la surfae terrestre situés sur le même méridien et dont les latitudes diffèrent d une minute d angle. En estimant que la sphère terrestre a un rayon moyen de 6 67 km, déterminer la valeur (en mètres) d un mille marin. d. Donner la mesure prinipale des angles dont une mesure est : e. 4,,,,, 4, 6 5 f. Déterminer la valeur exate du osinus, du sinus et de la tangente des réels suivants : g. 4,,,, 4 5,, ,, 6 7 8,, 6 A, 6 4

16 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 FONCTIONS SINUS ET COSINUS 6 4 FONCTIONS SINUS ET COSINUS 4. Rappels Une fontion f définie sur un intervalle I assoie à haque nombre x de et intervalle un nombre réel et un seul, noté f(x). Le plan est muni d un repère orthonormé (O, x, y). Soit f une fontion définie sur I. Lorsque x dérit I, l ensemble de tous les points M du plan, de oordonnées (x, f(x)), est la ourbe représentative de f sur I. Exemple Soit f définie sur I = [-, ] par f (x) = x x Traer la ourbe représentative. x - -0,5 0 0,5,5 f (x) y - O x Courbes représentatives de sin x et os x Traer les ourbes en question sur l intervalle I = [ -, 4 ]. (Utiliser les valeurs remarquables onnues.)

17 PS - TRIGONOMETRIE P. Rendulić 007 FONCTIONS SINUS ET COSINUS 7 sin x os x O O y y x x