( ) 2 = n( n 3 + 2n) +1. ( ) 2 et ( n 3 + 2n) sont premiers entre eux.

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1 Exercices : PGCD et nombres entiers premiers entre eux Exercice 1 Si on divise 4294 et 3521 par un même entier positif, on obtient respectivement 10 et 11 comme reste. Quel est cet entier? Exercice 2 Les quatre questions suivantes sont indépendantes. 1. n est un entier naturel non nul. Prouvez que a = 7n + 4 et b = 5n + 3 sont premiers entre eux. 2. n est un entier naturel non nul. a. Vérifier que n 2 +1 b. En déduire que n 2 +1 ( ) 2 = n( n 3 + 2n) +1. ( ) 2 et ( n 3 + 2n) sont premiers entre eux. 3. a et b sont deux nombres premiers entre eux. En est-il de même pour a + b et ab? 4. L entier naturel a non nul est premier avec les entiers naturels b et c. Démontrer qu'il est premier avec le produit bc. Exercice 3 Soit a et b deux entiers naturels. On appelle D le pgcd a;b ( ) et m le ppcm( a;b) (plus petit commun multiple). 1. On veut montrer que D m = ab. Notons M un multiple non nul de a et b. Alors M = pa et M = qb, avec p! *, q! *. D étant le pgcd( a;b), notons a' et b' les entiers naturels tels que a = Da', b = Db' avec ( ) = 1. pgcd a';b' a. Pourquoi a-t-on pa' = qb'? b. En déduire que b ' divise p, que a ' divise q et que les dividendes sont égaux. c. On note alors p = kb' et q = ka'. En déduire que M = kda'b', k! *. d. Pourquoi peut-on en conclure que m = Da'b' est le ppcm a;b 2. Résoudre dans! 2 les systèmes suivants : ab = 1512 a. b. ppcm( a;b) = 252 Exercice 4 ab = 300 ppcm a;b ( ) = 60 ( )? En déduire que md = ab. 1. a. Démontrer que, pour tout entier relatif n, les entiers 14n + 3 et 5 1 n + sont premiers entre eux. b. En déduire que pgcd 87;31 ( ) = 1. 1

2 2. En utilisant les résultats précédents, trouvez une solution particulière de l'équation 87u + 31v = 1. Exercice 5 On considère l'équation ( E) sur les triplets ( x; y; z) définie par : x 2 + y 2 = 5 2 z 2 Considérons un triplet ( x; y;z) d entiers relatifs vérifiant l équation ( E) : 1. Vérifier que le triplet A( 1;3;2 ) est solution de ( E). 2. Démontrer que z est divisible par 2 et x 2 + y 2 est divisible par l0. 3. Supposons que y = 3, montrer alors que x Déterminer un triplet x; y;z ( ) à valeur entières solutions de ( E) où y est un nombre impair. Exercice 6 1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n 3 11n + 48 = ( n + 3) ( 3n 2 9n +16). b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n 2 9n +16 est un entier naturel non nul. 2. Montrer que, pour tous les entiers naturels a, b et c, l égalité suivante est vraie : pgcd( a;b) = pgcd( bc a;b). 3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l égalité suivante est vraie : pgcd 3n 3 11n;n + 3 ( ) = pgcd 48;n + 3 ( ). 4. a. Déterminer l ensemble des diviseurs entiers naturels de 48. b. En déduire l ensemble des entiers naturels n tels que 3n3 11n soit un entier naturel. n + 3 Exercice 7 : Antilles - Guyane 99 ( )! ( ) et par C le point de l'axe ( O; j )!! Dans un plan muni d'un repère orthonormé direct O;i, j! On désigne par B un point de l'axe O;i!!"!!! ( " AB, AC) = π 2. On appelle x l'abscisse de B et y l ordonnée de C. 1. Démontrer que le couple x; y 2. On se propose de trouver tous les couples B;C, on donne le point A A( 12;18)., s'il existe, tel que : ( ) est solution de l'équation : ( E): 2x + 3y = 78. ( ) de points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs. a. Démontrer que l'on est ramené à l'équation (E) avec x et y appartenant à l'ensemble! des nombres relatifs. 2

3 b. À partir de la définition de B et C, trouver une solution particulière ( x 0 ; y 0 ) de ( E) avec x 0 et y 0 appartenant à!. ( ) si, et seulement si, il est de la ( ) où k!. ( ) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs c. Démontrer qu'un couple d'entiers relatifs est solution de E forme : k;18 2k d. Combien y a-t-il de couples B;C tels que : 6 x 21 et 5 y 14? Exercice 8 : Métropole 11 Partie A : Restitution organisée des connaissances Prérequis Théorème de Bézout. Deux entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe un couple u;v ( ) d'entiers relatifs vérifiant au + bv = 1. Théorème de Gauss. a, b, c sont des entiers. Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. 1. En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss. 2. Soient p et q sont deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux. Déduire du théorème de Gauss que si a est un entier relatif tel que a 0 p et a 0 q, alors a 0 pq. Partie B On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n tels que : 1. Recherche d'un élément de S On désigne par u;v ( ) un exemple d'entiers tels que : 17u + 5v = 1. ( ). a. Justifier l'existence d'un couple u;v b. On pose n 0 = 17u v. Démontrer que n 0 appartient à S. c. Donner un exemple d'entier n 0 appartenant à S. 2. Caractérisation des éléments de S a. Soit n S. Démontrer que n n n 9 17 n 3 5 b. En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si, et seulement si, il peut s'écrire sous la forme n = k avec k!. 3. Application 3

4 Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17, il lui en reste 9. Si elle fait des tas de 5, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons? Exercice 9 : Antilles - Guyane On considère l'équation ( E):11x 7 y = 5 où x et y sont des entiers relatifs. a. Trouver un couple u;v ( ) d'entiers relatifs solution de l'équation 11x 7 y = 1. ( ), puis la solution générale. b. En déduire une solution particulière de E c. d est la droite d'équation, 11x 7 y 5 = 0 dans le plan rapporté à un repère orthonormé. On note C l'ensemble des points de d pour lesquels x et y appartiennent à l'intervalle 0;50. Déterminer les points de d dont les coordonnées sont entières et appartiennent à l'intervalle 0; On considère l'équation ( F ):11x 2 7 y 2 = 5 où x et y sont des entiers relatifs. a. Démontrer que si le couple ( x; y) est solution de ( F ), alors x 2 2y 2 5. b. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x 2 et 2y 2 par 5? c. En déduire que si le couple x; y ( ) est solution de ( F ), alors x et y sont des multiples de 5. ( ) n'est pas solution de 3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple x; y ( F ). Que peut-on en déduire pour l'équation F ( )? Exercice 10 : Polynésie 05 On considère la suite( u n ) d'entiers naturels définie par : u 0 = 14 pour tout entier naturel n. u n+1 = 5u n 6 1. Calculer u 1, u 2, u 3 et u 4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de u n? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u n+2 u n 4. En déduire pour tout entier naturel k, u 2k 2 4 et u 0 4 2k+1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u n 5 n b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2u n Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de u n suivant les valeurs de n. 4. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite u n Préciser sa valeur. ( ) est constant. 4

5 Exercice 11 : Liban 09 Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel n dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c est-à-dire tel que n mod Partie A 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de par l6. 2. En déduire que mod 16. Partie B On considère la suite ( u n ) définie sur! par : ( ) 5 1. u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n a. Démontrer que u 0 est divisible par 5. b. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n, u n+1 = u n u 4 n + 5( u 3 n + 2u 2 n +1). c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n est divisible par 5 n a. Vérifier que u 3 = puis en déduire que mod 625. b. Démontrer alors que mod 625. Partie C 1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que est divisible par l Conclure, c est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par Exercice 12 : Extrait du bac x et y sont des entiers relatifs. On note A = x + y et B = 2x + 3y. 1. Démontrer que tout diviseur commun à x et y divise A et B. 2. a. Exprimer x et y en fonction de A et B. b. En déduire que tout diviseur commun à A et B divise x et y. 3. Pourquoi pgcd A; B ( ) = pgcd( x; y)? 4. Application. Démontrer que a = 2 n + 3 n et b = 2 n n+1 sont premiers entre eux. Exercice 13 : Extrait du bac 28 personnes participent à un repas. Le prix normal est de 26 euros sauf pour les étudiants et les enfants qui paient respectivement 17 et 13 euros. La somme totale recueillie est de 613 euros. Le but de l'exercice est de trouver le nombre d'étudiants et d'enfants qui ont participé au repas. 5

6 1. Démontrer que le problème se ramène à la résolution de l'équation : E ( ):9x +13y = 115, où x et y sont des entiers naturels. 2. a. Trouver une solution particulière de l'équation 9x +13y = 1. b. En déduire une solution particulière de E c. Conclure. ( ) puis la solution générale. 6