S.Boukaddid Ondes électromagnétiques MP2

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1 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 Propagation du hamp életromagnétique dans le vide Table des matières 1 Onde életromagnétique Définitions Equation de propagation d une onde életromagnétique dans le vide Solution de l équation d Alembert Struture de l onde életromagnétique plane progressive Onde sphérique Ondes életromagnétiques planes progressives harmoniques OPPHou monohromatiques OPPM Définition Représentation omplee Relation de dispersion Relation de struture des OPPM Insuffisane du modèle de l OEMPPM : paquet d onde Vitesse de phase-vitesse de groupe Aspet énergétique Polarisation d une onde életromagnétique plane progressive monohromatique Définition Cas générale d une OEMPPM Cas partiuliers / 14

2 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 1 Onde életromagnétique 1.1 Définitions Onde : On appelle onde tout phénomène phsique dérit par une fontion SM,t dépendant des oordonées spatiales et du temps. Onde plane : Une onde,dérite par la fontion SM, t,est dite plane s il est possible de trouver un sstème de oordonnées artésiennes telle que SM, t ne dépend que d une seule oordonnée d espae et du temps. Onde plane progressive : Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans un sens bien déterminé. Surfae d onde : On appelle surfae d onde l ensemble des point M telle que SM, t est onstante. pour l onde plane aratérisée par S, t,la surfae d onde est telle que : S, t = te,don est un plan perpendiulaire à l ae O M π Onde életromagnétique : L onde életromagnétique est représenté par le hamp életromagnétique E M, t, B M, t. 1.2 Equation de propagation d une onde életromagnétique dans le vide les équations de Mawell dans le vide M G : di v E = 0 M φ : di v B = 0 M F : r ot E = B t M A : r ot B = 1 E 2 t les équations de M F et M A sont ouplées spatiotemporellement,pour les déoupler on utilise r ot r ot E r ot r ot E = r ot B t = g r ad r ot r ot E = 1 2 E 2 t 2 E di v E de la même manière on montre que = g r ad di v E E E E t 2 = 0 2 / 14

3 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 on note = t 2 B B t 2 = 0 les équations de propagation deviennent. s appelle opérateur d alembertien E = 0 et B = 0 Conlusion : l onde életromagnétique satisfait dans le vide à l équation de propagation d Alembert E E t 2 = 0 et B B t 2 = Solution de l équation d Alembert Considérons une onde plane S, t qui se propage suivant O,S, t satsfait à l équation de propagation d Alembert 2 S S t 2 = 0 u = t pour résoudre l équation d Alembert il est néessaire de poser : v = t + l équation de propagation devient : 1 t + 1 S, t = 0 t = u u + v v = 1 u + 1 v t = u u t + v v t = u + v 1 t = 2 u + 1 t = 2 v l équation de propagation s érit : 4 2 S 2 u v = 0 2 S u v = S u v = 0 S v 2 S u v = 0 = ϕv Su, v = S, t = f + t Interprétation phsique onsidérons la fontion S 1, t = f + t ϕvdv + f + u = f v + f + u + f t + 3 / 14

4 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 S 1 +, t + t = f + t + t = f + t + t S 1 +, t + t = S 1, t si = t S 1, t = f + t se propage sans déformation ave la élérité le long de l ae O S 1, t t = t t + t + f + t représente une onde plane progressive OPP se propageant ave la élérité le long de l ae O dans le sens des roissants f t + représente une onde plane progressive OPP se propageant ave la élérité le long de l ae O dans le sens des déroissants Conlusion : la solution générale de l équation d onde d Alembert à une dimension est la superposition de deu ondes planes se propageant à la élérité dans deu sens opposés. Cas d une diretion quelonque Dans le as de la propagation d une onde plane dans une diretion quelonque suivant u z M O u Remarque SM, t = f + t OM. u + f t + OM. u L onde plane ne présente pas une réalitée phsique ar les plans d ondes sont d etension infini e qui entraine une divergene en énergie,on dit qu elle est illimitée transversalement même valeur en tout point du plan d onde. 4 / 14

5 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 L onde plane a une diretion priviligie,alors que les ondes élétromagnétiques emises à partir d une soure pontuelle se propagent dans toutes les diretions de l espae. 1.4 Struture de l onde életromagnétique plane progressive Soit une OEMPP dépendant de z et de t E M, t = E z, t et B M, t = B z, t les équations de propagation : les solutions E M, t = E + t z + E t + z 2 E z E t 2 = 0 et 2 B z B t 2 = 0 et B M, t = B + t z + B t + z on s interesse dans la suite de e paragraphe à l onde életromagnétique plane progressive se propgeant suivant Oz dans le sens des z roissants E M, t = E + t z et B M, t = B + t z Calulons f f t z t z = f e z = z don on peut érire f t z t z z e z = 1 1 = e z t f t t t z e z = 1 f e z t M-G : di v E = 0. E = 0. E = 0 1 E e z E. e z = 0 E. e z = ψm = te t t ψm est un hamp salaire indépendant du temps don il n intervient pas dans le phénomène de propagation d où la néessité de hoisir ψm = 0 l OMPP qui se propage suivant Oz vérifie E. e z = 0 et B. e z = 0 Définitions une onde életromagnétique plane progressive est transverse életrique TE si le hamp életrique est pependiulaire à la diretion de propagation. une onde életromagnétique plane progressive est transverse magnétique TM si le hamp magnétique est pependiulaire à la diretion de propagation. si le hamp életrique E est perpendiulaire à la diretion de propagation,on dit que le hamp életrique est transversal 5 / 14

6 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 si le hamp magnétique B est perpendiulaire à la diretion de propagation,on dit que le hamp magnétique est transversal dans notre as E. e z = 0 et B. e z = 0,l OEMPP est transverse életrique et magnétique TEM Conlusion : l onde életromagnétique plane progressive dans le vide est transverse életrique et magnétique TEM M F : r ot E = B E e z = B t t M A : r ot B = µ 0 ε 0 E t t E = B t 1 e z t E = B t B = e z E E = B e z Généralisation : pour une onde életromagnétique plane progressive se propageant suivant la diretion u on a : B = u E et E = B u don E, B, u est un trièdre diret E u B Remarque : E B = >> 1,d où l idée de onstruire des déteteurs életriques basée sur E et non B l oeil,déteteur photoéletrique 1.5 Onde sphérique Définition : Une onde sphérique est une onde dérite par une fontion Sr, t qui ne dépend que du temps et de la distane r = OM entre M et l origine O. l équation de propagation d Alembert : S S t 2 = 0 en oordonnées sphériques : = 1 r 2 r 2 r. 6 / 14

7 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 l équation de propagation s érit : 1 r 2 r 2 r S S t 2 = 0 on pose F = r S l équation devient : 2 F r F la solution de ette équation est : F = F + t r 1 r f + 1 r f f r, t = 1 r f + t 2 = 0 + F t + r t r + 1 r f t + r t r : onde sphérique divergente de 0 ave atténuation t + r : onde sphérique onvergente vers 0 ave atténuation 1 r f + t r atténuation Les surfaes d ondes d une onde sphérique sont des sphères. t 1.6 Ondes életromagnétiques planes progressives harmoniques OPPHou monohromatiques OPPM Définition Définition : Une onde plane progressive SM, t est dite monohromatique harmonique s elle s érit sous la forme SM, t = S 0 os ωt k. r + ϕ 0 S 0 : amplitude ω : pulsation ou la fréquene angulaire k = k u : veteur d onde u : veteur unitaire suivant la diretion de propagation de l onde ϕ 0 : phase à l origine la grandeur φm, t = ωt k. r + ϕ 0 représente la phase de l onde à l instant t au point M on appelle plan équiphase l ensembe des points M vérifiant : φm, t = te 7 / 14

8 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 la quantité σ = k 2π = 1 λ pour l onde életromagnétique : E = E 0 os ωt k. r + ϕ 0 représente le nombre d onde,ave λ : longueur d onde et B = B 0 os ωt k. r + ϕ Représentation omplee en notation omplee SM, t = S 0 e j ωt k. r ωt = S 0 e j k. r +ϕ 0 S 0 = S 0 e j ϕ 0 : amplitude omplee SM, t = Rel SM, t l onde életromagnétique E = E 0 e j ωt k. r et B = B 0 e j ωt k. r en notation omplee on a : E = j ω E t di v E = j k. E r ot E = j k E E = k 2 E Relation de dispersion l équation de propagation : S S t 2 = 0 si l onde életromagnétique se propage suivant O : k = k e et SM, t = S 0 e j ωt k,alors t = j ω et = j k 2 = k 2 l équation de propagation s érit : k 2 S + ω2 2 S = 0 représente la relation de dispersion k = ω Définition : un milieu est dit dispersif si la relation de dispersion ω = f k n est pas linéaire. dans le vide k = ω est une relation linéaire,don le vide est un milieu non dispersif on montre que dans le plasma paragraphe suivante : k 2 = ω2 ω 2 p le plasma est un milieu dispersif 2 non linéaire,don 8 / 14

9 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP Relation de struture des OPPM M F : r ot E = B t j ω B = j k E don B = k E ω B = k E ω Insuffisane du modèle de l OEMPPM : paquet d onde L onde plane progressive monohromatique n est qu une solution rigoureuse de l équation d Alembert,elle n a pas de réalité phsique : l OPPM est une onde plane : etension transversale infini infini dans l espae l OPPM est monohromatique : etension longitudinale infini infini temporellement Pour surmonter e problème,il est néessaire d introduir le paquet d onde. Définition : Un paquet d onde est la superposition des ondes planes progressives monohromatiques Remarque : en optique le paquet d onde est remplaé par le train d onde Vitesse de phase-vitesse de groupe Vitesse de phase v ϕ Définition : la vitesse de phase orrespond à la vitesse de propagation de la phase d une omposante monohromatique. Elle n a auune réalité phsique, est-à-dire ne orrespond pas à un transport d énergié. pour l OPPM qui se propage suivant O : φ +, t + t = φ, t ωt + t k + + φ 0 = ωt k + φ 0 t = ω k = v ϕ la vitesse de phase est v ϕ = ω k dans le vide la vitesse de phase d une OEMPPM : v ϕ = ω k = Vitesse de groupe v g Remarque Définition : la vitesse de groupe représente la vitesse de propagation de l enveloppe de l onde,elle s identifie à la vitesse de propagation de l énergieou de l information. v g = dω dk 9 / 14

10 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 la vitesse de phase peut être supérieur à la vitesse de la lumière,alors que la vitesse de groupe est inférieur à si v ϕ v g : l enveloppe se déplae par rapport à la porteuse e qui donne une déformation du paquet d onde Aspet énergétique le veteur de Ponting attention : le veteur de Ponting moenne ave B : le onjugué omplee de B π = Re E Re B µ 0 π Re E B µ 0 < π >= 1 2µ 0 Re E B densité volumique de l énergie életromagnétique attention : Re 2 E = Re E de même : Re 2 B = Re B u = 1 2 ε 0.. Re E Re B Re 2 1 E + Re 2 B 2µ 0 E Re. E B. B Re densité volumique moenne de l énergie életromagnétique < u >= 1 E 4 ε 0 Re. E + 1 B Re. B 4µ 0 < u >= 1 4 ε 0 E B 4µ 0 2 Polarisation d une onde életromagnétique plane progressive monohromatique 2.1 Définition Définition : Une OEMPPM est dite polarisée si l etrimité du veteur MA = E M, t,dérit une ourbe fermée invariante dans le temps 10 / 14

11 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 2.2 Cas générale d une OEMPPM Considérons une OEMPPM se propageant dans le vide ρ = 0, j = 0,dans le sens des z roissants : E = E 0 osωt kz + ϕ E E = E 0 osωt kz + ϕ E z = 0 On pose α = ωt kz + ϕ et ϕ = ϕ ϕ E = E 0 osα E E = E 0 osα + ϕ E z = 0 E = E 0 osαosϕ sinαsinϕ et osα = E E 0 E E = osϕ sinαsinϕ E 0 E 0 E osϕ E sinα = E 0 sinϕ 1 ave sinϕ 0 E 0 sinϕ 2 sin 2 α + os 2 E E osϕ α = 1 + E 0 E 0 sinϕ 2 2 E E os 2 ϕ 2 E + E 0 E 0 sin 2 ϕ + 1 E 0 sin 2 ϕ 2 E E 0 2 E + E 0 E 1 E 0 E E E 0 sinϕ E 0 2 = 1 osϕ sin 2 ϕ = 1 2 E E 2 osϕ = sin 2 ϕ E 0 E 0 X = X 0 osα X = E X 0 = E 0 on pose et don Y = E Y 0 = E 0 Y = Y 0 osα + ϕ X X 0 2 Y 2 X Y + 2 osϕ = sin 2 ϕ Y 0 X 0 Y 0 est l équation artésienne d une ellipse. Ainsi dans le as général l OEMPPM est polarisée élliptiquement v E 0 A u 2Y 0 M ϕ E 0 2X 0 le point AX,Y dérit une ellipse ontenue dans retangle de dimension 2X 0 et 2Y 0 u, v repèrent les aes de l ellipse ϕ : repère la pente de l ellipse 11 / 14

12 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 Pour dérire le sens de polarisation il a deu méthodes [ d ] MA k Méthode n 1 : Déterminer le signe de la quantité MA dt si le signe de la quantité est positif,la polarisation est elliptique gauhe k polarisation elliptique gauhe si le signe de la quantité est négatif,la polarisation est elliptique droite k polarisation elliptique droite pour l eemple préédent E = X = E 0 osα E = E = Y = E 0 osα + ϕ E z = Z = 0 d on montre que MA MA = ωe 0 E 0 sinϕ e z dt [ d ] MA MA. k = ωe 0 E 0 sinϕ dt si 0 < ϕ < π : l onde est polarisée elliptiquement droite si π < ϕ < 2π : l onde est polarisée elliptiquement gauhe Méthode n 2 : Caluler la quantité dy dt en un point A 0 où α = 0 si Ẏ > 0 : l onde est polarisée elliptiquement gauhe si Ẏ < 0 : l onde est polarisée elliptiquement droite Y = Y 0 osα + ϕ Ẏ = ωy 0 sinα + ϕ en un point A 0 on a : Ẏ = ωy 0 sinϕ si 0 < ϕ < π : l onde est polarisée elliptiquement droite si π < ϕ < 2π : l onde est polarisée elliptiquement gauhe 12 / 14

13 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 0 < ϕ < π/2 elliptiquement droite π/2 < ϕ < π elliptiquement droite π < ϕ < 3π/2 elliptiquement gauhe E = E 0 oskz ωt + ϕ Remarque : si E = E 0 oskz ωt + ϕ E z = 0 3π/2 < ϕ < 2π elliptiquement gauhe α = kz ωt + ϕ et ϕ = ϕ ϕ Ẏ = ωy 0 sinα + ϕ en A 0 où α = 0 on a : Ẏ = ωy 0 sinϕ si 0 < ϕ < π : l onde est polarisée elliptiquement gauhe si π < ϕ < 2π : l onde est polarisée elliptiquement droite 2.3 Cas partiuliers Polarisation irulaire si ϕ = π 2 et E 0 = E 0 = E 0, l équation devient : E 2 +E2 = E2 0, est d un erle,en plus on a pour l eemple de l étude Ẏ = ωy 0 < 0 don l onde est polarisée irulaire droite si ϕ = 3π 2 et E 0 = E 0 = E 0, l équation devient : E 2 + E2 = E2 0, est d un erle,en plus on a pour l eemple de l étude Ẏ = ωy 0 > 0 don l onde est polarisée irulaire gauhe 13 / 14

14 S.Boukaddid Ondes életromagnétiques MP2 irulaire droite ϕ = π/2 irulaire gauhe ϕ = 3π/2 Polarisation retiligne si ϕ = 0 : E = E 0 E 0 E : polarisation retiligne si ϕ = π : E = E 0 E 0 E : polarisation retiligne ϕ = 0 ϕ = π si E 0 = 0;E 0 0 alors E = 0 et E 0 : l OEMPPM est polarisée suivant O si E 0 0;E 0 = 0 alors E 0 et E = 0 : l OEMPPH est polarisée suivant O Ellipse oïnidant ave les aes O et O si E 0 E 0 et ϕ = π 2 : E 2 E 2 + E2 0 E 2 0 si E 0 E 0 et ϕ = 3π 2 : E 2 E 2 + E2 0 E 2 0 = 1 : polarisation elliptique droite = 1 : polarisation elliptique gauhe ϕ = π/2 ϕ = 3π/2 14 / 14