Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes

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1 Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes Cours pour les életriiens Etudiants de iene Elèves de première année des Eoles d'ingénieurs B. DEMOUIN Professeur à l'université des Sienes et Tehnologies de ille TOME-I Généralités Propagation sur des Chaînes périodiques Théorie des ignes de Transmission Chapitres I, II, III, IV, V Edition de Septembre 3

2 SOMMAIRE INTRODUCTION p. CHAPITRE I : FORMUATION MATHEMATIQUE DES PHENOMENES DE PROPAGATION I Approhe intuitive des phénomènes de propagation p. 5 I Approhe intuitive du prinipe d'exitation harmonique p. 8 I 3 équation d onde exprimée dans le domaine temporel p. I 4 équation d onde harmonique p. I 5 a notion de longueur d onde p. 5 CHAPITRE II : PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX PERIODIQUES II Equation du mouvement de l osillateur méanique p. 8 II Equation du mouvement sur une haîne périodique de résonateurs méaniques p. II 3 Propriétés des ondes entretenues propagées dans les milieux périodiques oi de dispersion p. 4 II - 4 Disussion sur les onditions de propagation renontrées dans les milieux périodiques p. 8 II 5 Propagation d'une onde entretenue sur une haîne périodique de résonateurs életriques passifs p. 3 II 6 Impédane aratéristique d'un quadripôle élémentaire p. 34 II 7 Propagation sur une haîne périodique de quadripôles de dimension limitée onnetée sur une impédane quelonque p. 36

3 3 II 8 Analogies Eletro-méaniques p. 44 CHAPITRE III PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX CONTINUS ignes de transmission III Reherhe de l'équation d'onde des lignes de transmission p. 5 III - Prinipales propriétés physiques des lignes de transmission p. 54 III 3 Présentations des solutions de l'équation d'ondes des lignes de transmission p. 6 III - 4 Propagation des ondes dans les matériaux élastiques p. 68 III - 5 Propagation des ondes aoustiques dans les fluides ompressibles p. 7 CHAPITRE IV PROPRIETES DES ONDES STATIONNAIRES IV Formulation mathématique des phénomènes d'ondes stationnaires p. 78 IV Phénomènes de résonanes sur les lignes de transmission p. 86 IV 3 Propriétés de l'impédane d'entrée des lignes de transmission p. 89 CHAPITRE V PROPAGATION DES IMPUSIONS DANS ES IGNES V Solutions de l'équation d'ondes d'une ligne soumise à des phénomènes életriques transitoires p. V- Etude de la propagation d'un éhelon de fem sur une ligne de transmission p. 6 V-3 Propagation d'impulsions étroites p. 5 V-4Impédanes de harge omplexes p. 9 V-5 Effet de la dissipation d'énergie dans les lignes p. 4 V-6 Effets engendrés par l'impédane superfiielle des onduteurs p. 9

4 4 CHAPITRE VI INITIATION A A PROPAGATION DES ONDES EECTROMAGNETIQUES VI es équations de Maxwell et l'équation d'onde assoiée p. 49 VI- es ondes életromagnétiques planes p. 5 VI-3 'effet Doppler p. 57 VI-4 es ondes sphériques isotropes p. 64 VI-5 es ondes ylindriques p. 7 VI-6 Propagation des ondes életromagnétiques planes dans les milieux onduteurs p. 95 VI-7 e rayonnement du dipôle életrique élémentaire p. 7 VI-8 Réalisation d'antennes d'émission p. 6 VI-9 Diretivité életromagnétique des antennes p. 34

5 5 INTRODUCTION Si les phénomènes de propagation ont été identifiés depuis des temps très reulés, leur ompréhension physique n'a été élairie qu'après les travaux aomplis en méanique théorique et dans le alul différentiel. De nombreux phénomènes physiques tels que la transmission de la lumière, la transmission des sons dans les solides ou les fluides ompressibles font intervenir la propagation. Tous es méanismes ont pour point ommun une soure de signaux qui provoque suivant les as un déplaement mirosopique de la matière, une variation de pression ou une vibration de ourant ou de tension voire elle d'un hamp életromagnétique. Un milieu matériel ou immatériel va ontribuer à transporter dans l'espae la vibration initiale ommuniquée par la soure; 'est aux variations spatiaux temporelles de ette vibration qu'est attahé le onept d'ondes. a formulation mathématique des phénomènes de propagation est très ardue, aussi a-t-on l'habitude de les lassifier en fontion des diretions de l'espae suivant lesquelles une onde peut s'épanouir. a représentation mathématique la plus simple onerne la propagation unidimensionnelle définie suivant une seule diretion, la propagation agit parallèlement à l'axe d'un repère géométrique. a propagation bidimensionnelle ouvre deux diretions orthogonales de l'espae, à la transmission retiligne s'ajoute une propagation transversale. Il s'agit des ondes ylindriques appelées ainsi pare que leur formulation mathématique néessite bien souvent l'usage d'un système de oordonnées ylindriques. orsque la propagation est dispersée sur les trois diretions de l'espae il s'agit d'ondes sphériques justifiées par le fait qu'il faut les dérire dans un système de oordonnées sphériques. es ondes sphériques possèdent une propriété remarquable renontrée dans la plupart des phénomènes naturels ou provoqués. Si on fait abstration de la dissipation d'énergie qui peut aompagner la propagation d'une onde on raisonne ainsi: la soure ommunique à l'onde une puissane d'émission invariante sur la surfae de sphères onentriques ayant ette soure pour entre ommun. Puisque la puissane de l'onde transportée dépend du arré de son amplitude, ette amplitude évolue de façon inversement proportionnelle au rayon de haque sphère. Autrement dit un observateur situé à une distane donnée d'une soure d'onde

6 6 sphérique perçoit une vibration dont l'intensité est inversement proportionnelle à l'éloignement de la soure. Il s'agit de la dispersion spatiale de la lumière bien onnue des astronomes lorsqu'ils observent les planètes les étoiles ou les galaxies. 'onde aoustique émise par le tonnerre obéit également à ette loi de dispersion. es ondes sismiques produites dans le sol lors des tremblements de terre représentent d'autres phénomènes plus omplexes où la dispersion spatiale des ondes réduit les effets destruteurs des séismes lorsqu'on s'éloigne de l'épi entre de leur soure. es ondes életromagnétiques émises par les petites antennes des téléphones portables suivent également e omportement. es exemples mettant en jeu des ondes ylindriques sont plus restreints, la transmission de la lumière dans les fibres optiques appartient à e type d'onde, les guides métalliques utilisés pour transporter l'énergie életromagnétique jusqu'aux antennes des radars puissants onernent un autre hamp d'appliation des ondes ylindriques. Quant à la propagation unidimensionnelle évoquée au début il faut onsidérer qu'il s'agit d'une représentation simplifiée ou idéalisée de ertains phénomènes. Ainsi une onde sphérique peut être onsidérée omme un phénomène à propagation unidimensionnelle à la ondition que le degré de liberté de l'observateur soit limité à un faible espae loalisé prés de la diretion radiale de propagation. es phénomènes provenant de soures très diretives relèvent aussi d'une adaptation loale des prinipes de propagation unidimensionnelle, la propagation des signaux életriques sur les lignes de transmission onerne également es phénomènes. Beauoup d'ouvrages traitant de la propagation mêlent les ondes unidimensionnelles au onept d'ondes planes, aussi nous utiliserons indifféremment es deux appellations. e onept d'ondes planes failite la formulation mathématique, en effet la rédution à une seule diretion de l'espae simplifie énormément les équations d'ondes et failite leur résolution, de plus les prinipales propriétés physiques assoiées aux ondes sphériques et ylindriques proviennent des représentations à une dimension. Pour es raisons le ours est surtout onsaré aux desriptions de ette approhe simplifiée, 'est ette restrition qui justifie le titre : Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes.

7 7 e premier hapitre introduit les bases du formalisme mathématique permettant de représenter et de aratériser les phénomènes de propagation à une dimension. e seond hapitre traite de la propagation dans les strutures périodiques appliquées aux systèmes méaniques omprenant des assoiations masses ressorts ou des réseaux életriques omposés d'indutanes et apaités. es notions de vitesse de phase et d'impédane aratéristique apparaissent dans e hapitre. 'appliation des prinipes d'équivalene entre représentation méanique ou életrique des phénomènes onlut ette étape importante du ours. e troisième Chapitre onerne la propagation dans les milieux ontinus où une plae très importante est dédiée à la théorie des lignes de transmission. es solutions des équations d'ondes sont reherhées afin de trouver les propriétés singulières des méanismes de réflexion des ondes. Deux appliations onernant la propagation d'ondes de ompression dans un métal et dans un fluide ompressible viennent onlure ette partie. e quatrième hapitre traite de la génération des ondes stationnaires. es prinipales propriétés de es ondes entretenues par des méanismes de réflexions suessives sont examinées. es méanismes de résonanes dépendant de la dimension des strutures et de la longueur d'onde sont abordés sur base d'exemples. 'étude du omportement de l'impédane d'entrée d'une ligne de transmission ahève e hapitre. e inquième Chapitre onerne deux volets. Tout d'abord la propagation des impulsions sur les lignes de transmission où le aratère transitoire du déplaement des fronts d'ondes est étudié attentivement. Ensuite on s'intéresse aux dissipations d'énergie dans les matériaux onduteurs qui omposent les lignes. a résolution des équations d'ondes est révisée pour tenir ompte de e phénomène additionnel. Des appliations numériques sont proposées afin d'appréier l'ampleur de l'atténuation des signaux transmis sur des lignes oaxiales dissipatives. e sixième hapitre le plus volumineux du ours omporte la desription des équations de Maxwell et des équations d'ondes életromagnétiques. Une première partie est onsarée à la théorie des ondes planes suivie de quelques éléments sur les ondes sphériques. Une seonde partie regarde la propagation des ondes életromagnétiques ylindriques à l'intérieur d'un tube

8 8 métallique. Une troisième traite de la propagation des ondes planes dans les milieux dissipatifs afin d'introduire les onepts d'atténuation linéique et de profondeur de pénétration des ondes. a dernière partie du ours est dédiée aux soures rayonnantes, l'étude des propriétés du dipôle életrique élémentaire est entreprise. es résultats de ette théorie sont utilisés pour aluler le hamp rayonné par des antennes résonantes et des antennes privilégiant l'émission dans une diretion de l'espae. Une part importante de e sixième hapitre est également onsarée à l'étude de l'impédane d'entrée des antennes.

9 9 CHAPITRE I FORMUATION MATHEMATIQUE DES PHENOMENES DE PROPAGATION Ce premier hapitre onerne la représentation mathématique des phénomènes de propagation. Une approhe intuitive basée sur quelques exemples introduit les onepts d'onde progressive et d onde rétrograde ainsi que le mode d'exitation harmonique de es ondes. Ensuite es onepts seront matérialisés par des expressions mathématiques provenant de la résolution des équations d'onde. Pour onlure e hapitre la vitesse de propagation des ondes est définie. I Approhe intuitive des phénomènes de propagation Considérons le shéma de la Figure (I-) illustrant une orde dont une des extrémités est rejetée à l'infini. 'extrémité aessible est soumise à un ho méanique qui la déforme, un observateur loalisé suffisamment loin de la soure où se manifeste le ho mesure la déformation subie par la orde. observateur est attahé au repère ox dans lequel l axe o est parallèle à la orde alors que la oordonnée ox permet de mesurer l'amplitude du déplaement vertial. Déplaement x Soure Corde x o Figure (I-)

10 A l instant t = o le ho méanique produit par la soure dévie la orde de sa position initiale x o,elle oupe maintenant la oordonnée x, le déplaement vertial s'exprime par la variable u donnée par la différene entre x et x : u = x - x o (I-) a déformation u dépend de la variable longitudinale qu'on relie à une fontion U() intimement liée aux aratéristiques physiques de la orde soit : u = U () (I-) a Figure (I-) illustre la position du phénomène à différents instants : a) en t = o. b) en t = t Entre es deux instants la déformation s'est déplaée dans la diretion o en parourant la distane Δ. a) t U() o () U b) t t Δ o

11 () U ) t t Δ o Figure (I-) a déformation perçue à l'instant t = t est représentée par la fontion U o () reliée à la variable Δ par l'expression: U ( ) U ( Δ) (I-3) Cette relation est établie dans l'hypothèse où le phénomène reste inhangé suivant l'axe o, et exemple illustre la propagation d'une onde sans atténuation ni dispersion. Nous reviendrons ultérieurement sur les définitions de l'atténuation et de la dispersion. Si on pose v la vitesse de propagation de l onde, Δ s exprime : Δ = v t (I-4) U peut alors s'érire de manière plus synthétique en faisant diretement apparaître la vitesse de propagation dans la fontion U() soit : U ( t ) U ( v ) (I-5) Considérons maintenant une onde se propageant vers la soure, la orde subit le déplaement u qu'on assoie à la fontion U () telle que :

12 U ( ) = U( + Δ) (I-6) Conformément à la notation (I-5) nous faisons apparaître dans ette relation la vitesse de propagation v, U () devient : U ( ) = U( + v t ) (I-7) a vitesse de propagation est dans e as orientée dans le sens opposé à l axe o. e qui explique la présene du signe plus dans les expressions (I-6) et (I-7). a fontion U () aratérise l'onde progressive (forward wave) alors que U () représente l'onde rétrograde (bakward wave), les ondes rétrogrades aompagnent les phénomènes de réflexion. e shéma de la Figure (I-) illustre l'onde rétrograde. I Approhe intuitive du prinipe d'exitation harmonique Considérons la surfae d'un la shématisée sur la Figure (I-3- a). Un projetile lané vertialement (Figure (I-3-b) ) provoque un ho sur le liquide dont l'effet immédiat est un déplaement vertial de l'eau, e phénomène enore appelé front d'onde se propage ensuite en surfae en dérivant un erle ayant pour entre le point d'impat. e front d'onde est suivi d'ondes entretenues par la hute du projetile vers le fond. En effet des turbulenes provoquées par le siage du projetile engendrent à la surfae de l'eau les mouvements d osillation vertiaux qui suivent le front propagé en surfae. e liquide ainsi perturbé entretient un mouvement ondulatoire aratérisé par des rides irulaires onentriques ayant le point d'impat pour entre (Figure (I-3-)). Un observateur situé à une distane suffisante de e point en voit la surfae ondulante se déplaer suivant une diretion radiale (Figure (I-3-d)). e déplaement vertial de l eau u par rapport à la position d équilibre peut don s érire au moyen d'une fontion où figurent deux variables, le temps t et la oordonnée radiale soit : u = x x o = U (t, ) (I-8)

13 3 x Surfae du liquide a) x o x Impat de l'objet b) o x ) o u d) o Figure (I-3)

14 4 Si on admet pour simplifier que les turbulenes provoquent un déplaement vertial qui suit en fontion de la variable temps une loi sinusoïdale enore appelée exitation harmonique, la fontion U ( génératrie du phénomène s'exprime : U ( U os ( ω (I-9) Où ω représente la pulsation de la soure qui provoque les ondes entretenues, la pulsation est reliée à la fréquene f par l'expression bien onnue : ω π f. (I-) f et ont pour unités respetives H et rd/s. Pour un observateur situé à une distane o du point d impat, les ondulations apparaîtrons ave un retard τ, pour dérire l'évolution spatio-temporelle des ondulations on introduit la fontion u(, des variables temps et espae soit : u(, Uo os ω( t τ) (I-) e retard τ est relié à la distane et à la vitesse v φ du déplaement de l'ondulation, soit le rapport : τ (I-) v φ a relation (I-) peut alors s érire : ω u(, U o os ( vφ (I-3) vφ Expression que nous pouvons onvertir au moyen la notation générale (I-5) introduite plus haut, soit :

15 5 u(, U ( v (I-4) φ vφ est appelée vitesse de phase puisqu'elle aratérise le déplaement du déphasage de la fontion harmonique génératrie d'un phénomène de propagation entretenue. Nous pouvons également faire orrespondre à (I-4) une onde rétrograde que nous exprimons ave la onvention : u(, U ( v (I-5) φ I 3 équation d onde exprimée dans le domaine temporel es développements du hapitre (III) montrent que la fontion u(, introduite au paragraphe préédent appartient aux solutions d une équation aux dérivées partielles du seond ordre qu'on exprime : u v o u o t (I-6) v est la vitesse de propagation de l'onde. es solutions générales de ette équation s'expriment alors par la superposition d'une onde progressive et d'une onde rétrograde soit : u(, A. U( v B. U( v (I-7) o o Relation dans laquelle les oeffiients A et B sont déterminés par l'appliation de onditions aux limites adéquates. a fontion U(ν) est déterminée par le type d exitation et par la nature physique du milieu dans lequel a lieu la propagation. a reherhe de ette fontion est en général diffiile. C est notamment le as des déformations subies par la orde ou la surfae de l eau. Déterminer les propriétés de la propagation des ondes sur une orde ou sur la surfae d'un liquide relève d'une analyse approfondie de la méanique des milieux ontinus ou de la méanique des fluides inompressibles. es exemples traités dans la suite sont heureusement plus simples. D'un point de vue pratique la plupart des phénomènes ondulatoires entretenus

16 6 sont gouvernés par des soures harmoniques, ette raison nous inite don à étudier les solutions dérivées de e type d'exitation. I 4 équation d onde harmonique Considérons un milieu de propagation entretenu par des osillations sinusoïdales. Pour plus de failités on fera usage de la représentation omplexe des fontions harmoniques qu'on exprime ave la onvention: j ( ωt φ) os( ωt φ) U e u ( U (I-8) U représente alors l'amplitude réelle (ou module). Cette relation peut aussi s'érire de manière plus ompate : u ( U os( ωt φ) U e (I-9) o jωt U représente une amplitude omplexe qui intègre le déphasage φ : o o jφ U U e (I-) es solutions u (, de l'équation d'onde (I-6) appartiennent également à la lasse des fontions harmoniques de la variable temps, on les exprime sous la forme : j ωt u (, u ( ) e (I-) u() onerne l'amplitude omplexe dépendant de la seule variable géométrique, dans e as l'équation d'onde (I-6) devient : d u d u o (I-)

17 7 γ s'appelle l'exposant linéique de propagation ou plus simplement onstante de propagation si nous adoptons la tradution du terme anglo-saxon propagation onstant, γ s'exprime: ω γ j (I-3) v φ 'exitation harmonique fait que v s'apparente à la vitesse de phase v φ. 'équation (I-) a pour solutions générales: γ u ( ) A e B e (I-4) γ Si on pose : γ j k (I-5) k représente le nombre d onde exprimé par le rapport entre la pulsation de la soure et la vitesse de phase de l'onde soit : ω k (I-6) v φ En introduisant le nombre d'onde la fontion u() devient : j k j k u ( ) A e B e (I-7) Si nous faisons apparaître la variable temps u (, s'exprime : j ( ωt k ) j ( ωt k ) u (, A e B e (I-8) A et B sont deux onstantes inonnues qui déterminent les amplitudes omplexes des ondes progressive et rétrograde attahées au phénomène de propagation.. Pour un milieu illimité (infini) il n'y a pas d'onde rétrograde la onstante B doit être forée à éro d'où : B=. Cette ondition trouvera sa justifiation dans la suite du ours, la solution se réduit alors à la seule onde progressive : j ( ωt k ) u (, A e (I-3) Cette relation peut aussi se représenter ave la notation (I-3) soit :

18 8 ω j ( vφ vφ u (, Ae (I-3) Si nous introduisons le nombre d'onde k et la phase de l'onde φ onformément aux relations: a relation (I-3) devient : ω k et φ k vφt (I-3) v φ j ( k φ) u (, A e (I-33) D'après le seond membre de (I-3) nous déduisons que la vitesse de phase est le produit de la dérivée première de la phase par rapport à la variable temps et de l'inverse du nombre d'onde : dφ v φ (I-34) k dt Il faut distinguer la vitesse de phase v φ et la vitesse de l'onde v apparue dans la relation intuitive (I-4) et l'équation d'onde (I-6), en effet dans le as général es deux vitesses ne prennent pas la même valeur. En effet si on regarde le omportement de la déformation d'une orde soumise à une exitation harmonique, l'onde qui se propage est la superposition de deux phénomènes. Un front d'onde qui se manifeste dés qu'apparaît le ho sur la orde, le front d'onde se déplae à la vitesse v, 'est un phénomène transitoire analogue à elui renontré sur les iruits életriques. Ensuite apparaît une onde entretenue aratérisée par une déformation sinusoïdale de la orde, la vitesse de défilement de l'ondulation orrespond alors à v φ e phénomène est équivalent au régime établi des iruits életriques. Nous allons justifier au seond hapitre que pour une propagation peu dispersive la vitesse de phase rejoint la vitesse du front d'onde, dans e as la vitesse de phase est indépendante de la fréquene de la soure d'exitation. es problèmes onsidérés par la suite onerneront ette hypothèse.

19 9 I 5 a notion de longueur d onde a relation (I-3) réduite à la seule ontribution de l onde progressive peut s'exprimer autrement en faisant apparaître un terme de phase ψ : j ( ωt ψ) u (, Ae (I-35) Ce terme est relié au nombre d'onde k et à la variable géométrique par l'expression : ψ k (I-36) ψ peut aussi se représenter par le produit de π radians liant la position et une variable λ homogène à une dimension géométrique soit : ψ π (I-37) λ Ainsi deux relations équivalentes permettent d'exprimer le nombre d'onde k : ω π k (I-38) v λ φ λ représente la longueur d'onde déterminée par le rapport entre la vitesse de phase de l'onde et la fréquene d'exitation de la soure : vφ λ (I-4) f D'après l'expression de l'onde progressive donnée par (I-3) l'amplitude u (, retrouve la même valeur haque fois qu'un observateur se déplaçant suivant o franhit la distane Δ satisfaisant la ondition : n π Δ (I-4) k

20 n représente une valeur entière, la distane minimale Δ est déterminée lorsque n, soit une distane égale à la longueur d'onde : Δ π λ (I-4) k Dans la plupart des problèmes de propagation la longueur d onde joue un rôle très important dans la mesure où elle nous renseigne sur le omportement physique notamment lorsqu'il s'agit de aratériser les phénomènes apparaissant dans les milieux périodiques et les milieux ontinus.

21 CHAPITRE II PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX PERIODIQUES a propagation des ondes dans les milieux périodiques onerne prinipalement les phénomènes aoustiques évoluant dans les strutures ristallines. Nous distinguons dans un milieu ristallin deux types d onde. es ondes longitudinales pour lesquelles une soure disposée à la surfae d un matériau le soumet à des vibrations de ompression, un plan du ristal transmet son déplaement au plan qui lui est parallèle et ainsi de suite au moyen des fores élastiques qui lient les atomes distribués dans la diretion perpendiulaire au plan. S'il s'agit d'une soure produisant une exitation harmonique il peut ou non y avoir entretien de la propagation. Nous renontrons également des ondes transversales dont le déplaement de la matière s'effetue dans une diretion parallèle au plan ontenant les atomes, la diretion de propagation de e phénomène est omme préédemment perpendiulaire au plan. 'exemple de l'ondulation produite à la surfae d'un liquide forme une onde transversale alors que la propagation du déplaement le long des haînes périodiques omposées d'atomes et de fores élastiques s'apparente aux ondes longitudinales. a struture physique la plus élémentaire qui aompagne la propagation d'une onde longitudinale est don omposée d'un résonateur méanique assimilable à une masse reliée à une fore élastique matérialisée par un ressort. a première partie du hapitre II va don omporter l'étude de la propagation sur une haîne de résonateurs méaniques afin de déduire une équation de dispersion montrant le lien entre la vitesse de phase des ondes et la fréquene de la soure d'exitation. Ces onepts sont ensuite étendus au as de haînes omposées de résonateurs életriques ayant pour éléments une indutane et une apaité, nous aboutirons à une équation d'onde itérative identique à elle trouvée pour les haînes méaniques. Nous onsidérerons ensuite le onept d'impédane aratéristique dont les propriétés permettent de reproduire à l'extrémité d'une haîne les onditions de propagation d'une onde progressive semblable à elle renontrée dans un milieu de dimension infinie. a onnexion en extrémité d'impédanes quelonques mettra en évidene une onde rétrograde dont nous pourrons évaluer l'amplitude. Pour onlure le hapitre nous aborderons les analogies életroméaniques dont l'intérêt majeur permet

22 d'établir une dualité entre les paramètres physiques des milieux de propagation méanique ou életrique. II Equation du mouvement de l osillateur méanique Considérons une masse m reliée à un ressort de raideur point fixe onfondu ave l origine d un repère Figure (II-). k r, le ressort est attahé à un o olinéaire au déplaement représenté Ressort k r Masse m u o Figure (II-) représente la position de la masse à l équilibre et sa position hors équilibre. Si on pose : u (II-) u onerne la variable qui traduit le déplaement de la masse par rapport à sa position d'équilibre. Pour établir l'équation différentielle liant l'évolution de u en fontion du temps deux méthodes sont possibles. a) Composition des fores e ressort exere sur la masse une fore élastique proportionnelle au déplaement relatif u soit : f r que nous supposons

23 3 f r k r u (II-) a masse en mouvement est soumise à une fore d'inertie de vitesse par la loi de Newton : f m que nous relions aux variations d u fm m (II-3) dt a fore potentielle et la fore d'inertie s'équilibrent pour donner la relation : f r f (II-4) m Expression à laquelle nous assoions une équation différentielle dont les solutions fournissent le mouvement u ( : d u m dt k u (II-5) r b) Méthode de l équation de agrange Pour des systèmes méaniques omplexes il est plus faile d établir l'équation différentielle du mouvement à partir de l'équation de agrange en raisonnant sur les énergies. Nous définissons le agrangien donné par la différene entre l'énergie inétique T et l'énergie potentielle U, soit : T U (II-6) équation du mouvement de la masse se déduit de l équation de agrange : t u u o (II-7)

24 4 Equation dans laquelle : T mu U kr u (II-8) 'appliation de la relation (II-7) aboutit une équation différentielle tout à fait identique à la relation préédente (II-5) soit : mu kru o (II-9) Nous faisons usage dans les expressions (II-7), (II-8) et (II-9) des notations des dérivées premières et dérivées seondes adoptées en méanique : du d u u u (II-) dt dt ) Présentation de l équation du mouvement es développements exposés au prohain paragraphe seront failités en exprimant l'équation (II-5) au moyen de la pulsation de résonane ωo. du ouple masse ressort soit : Relation dans laquelle ωo. s'exprime: d u ωo u o (II-) dt k r ωo (II-) m

25 5 d) Exitation par une soure harmonique a masse m est soumise à une fore extérieure qui suit une évolution sinusoïdale fontion de la variable temps. Appelons f ette fore, l équation (II-4) devient : Si nous posons : f r f f (II-3) m f o Fo os ( ω (II-4) équation différentielle du mouvement prend pour forme: d dt u Fo ou os( (II-5) m u ( est don la somme d'une solution générale et d'une solution partiulière que nous pouvons exprimer : u ( Aos ( ω t φ) U os ( ω (II-6) A et représentent alors deux onstantes inonnues déterminées par les onditions initiales fixées à t =, U aratérise l amplitude des osillations forées entretenues données par la relation: U o F o (II-7) m o a dissipation d énergie inévitablement provoquée par le mouvement inite à introduire un terme d'amortissement dans la solution générale (II-6)que nous exprimons: αt u ( Ae os( Ω t φ) Uoos( ω o (II-8)

26 6 En respetant ette onvention α est une onstante d atténuation positive, Ω la pseudo pulsation de résonane elle-même fontion des variables l'exitation entretenue obtenue lorsque ω et α, dans les onditions de t u( prend pour expression limite: u ( U os ( ω (II-9) Cette relation omporte don uniquement le omportement du système masse ressort après extintion du transitoire introduit dans la solution générale de l'équation différentielle du mouvement masse ressort. Par la suite nous retiendrons uniquement la ontribution de la solution (II-9). Nous verrons au ours du inquième hapitre que des ondes entretenues peuvent également subir une atténuation provoquée par diverses dissipations d'énergie qui aompagnent la propagation des ondes. Il s'agit des frottements dans le as de systèmes méaniques ou de l'effet Joule pour les iruits ou les lignes életriques. II Equation du mouvement sur une haîne périodique de résonateurs méaniques Une haîne retiligne regroupant un nombre infini de masses et ressorts de aratéristiques physiques toutes identiques est représentée onformément aux notations de la Figure (II-). a n- n n+ n n n Figure (II-) a première masse à laquelle nous attribuons le repère n = sera onfondue ave l origine de l'axe o parallèle à la haîne. a position d équilibre de haque masse est séparée de la

27 7 suivante par la période a, si nous assimilons les masses aux atomes d'un ristal a représente l'espaement des plans ontenant les atomes. es positions d'équilibre des masses repérées au moyen des indies n-, n, n+ sont établies ave les onventions d'indies géométriques n n n,, elles sont reliées à la période a par les expressions : a n n a a n n n n ) ( ) ( (II-) orsque la première masse est soumise à un mouvement elle subit le déplaement u par rapport à sa position d équilibre = o, le mouvement se propage ensuite dans la diretion longitudinale, haque masse se déplae alors par rapport à sa propre position d'équilibre, les déplaements orrespondent aux exursions d'amplitudes n n n u u u,, reliées aux variables par les expressions: n n n n n n n n n u u u (II-) Considérons la masse n, dont on estime le mouvement influené uniquement par les deux masses qui lui sont adjaentes soit n- et n+. e agrangien assoié à ette masse n peut don s érire : n n n U T (II-) Dans e as partiulier les termes n n U T et du agrangien prennent pour formes : n u n m T (II-3) n n r n n r n u u k u u k U ) ( ) ( (II-4)

28 8 Nous remarquons que dans l'expression donnant l énergie potentielle il est tenu ompte uniquement du déplaement relatif engendré par la déformation élastique des deux ressorts attahés à la masse n. D'après la relation (II-7) du paragraphe préédent nous déduisons de l'équation de agrange l équation différentielle itérative suivante : d un dt o o ω u ω ( u u ) (II-5) n n n Dans ette relation o représente la pulsation de résonane de haque ouple masse ressort dont nous rappelons i dessous l'expression: k r ω m (II-6) II 3 Propriétés des ondes entretenues dans les milieux périodiques oi de dispersion Nous soumettons à une exitation harmonique la masse située à l'origine de la haîne de la Figure (II-) ( n ). e mouvement de l'ensemble des masses est supposé établi afin d'entretenir une propagation longitudinale. D'après la formulation adoptée au premier hapitre et plus spéialement la relation (I-3) le déplaement relatif de haque masse s'exprime ommodément au moyen de la fontion u(, des variables espae et temps : u (, U e j( ωt k ) (II-7) U représente l'amplitude omplexe appliquée par la soure harmonique, la haîne étant de dimension infinie il n y a pas d onde rétrograde, de plus la struture implique pour la fontion u (, les onditions de périodiité exprimées par les relations:

29 9 ), ( ), ( ), ( t a u u t a u u t u u n n n (II-8) Ces relations introduites dans l équation différentielle (II-5) aboutissent à une nouvelle équation uniquement dépendante de ), ( t u soit : t a u t a u ω u ω dt u d o o,, (II-9) Si nous faisons usage de la présentation de l'onde progressive à exitation harmonique donnée par (II-7), les relations (II-8) deviennent : ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( a k ωt j a k ωt j k ωt j e U t a u e U t a u e U t u (II-3) Il faut maintenant développer l'équation (II-9) en utilisant les formes trigonométriques d'euler soit : e e ka jk a k a j ) ( os (II-3) Une simplifiation apparaît si on fait usage de la relation : ka ka sin ) ( os (II-3) 'équation différentielle (II-9) se réduit alors à une expression analytique simple liant la pulsation de la soure ω au nombre d'onde k : ka 4ω ω o sin (II-33)

30 3 Relation dont il faut extraire la raine arrée : ω ω ka sin (II-34) e nombre d'onde peut don s'exprimer en inversant (II-34) soit : k a ω Ar sin (II-35) ω 'expression (II-34) s'appelle loi de dispersion dont le omportement en fontion du nombre π d'onde k est représenté sur la Figure (II-3). Cette fontion possède une période égale à, si a on réduit l intervalle de variation de k à l'intervalle : π π et, la ourbe orrespond à la a a première one de Brillouin représentée Figure (II-4). Nous avons montré au hapitre préédent que le nombre d'onde est relié à la pulsation et la vitesse de phase par l'expression: ω k (II-36) v φ Dans es onditions il est faile de tirer des relations (II-35) et (II-36) le lien entre la vitesse de phase de l'onde et la pulsation de la soure harmonique soit: v φ aω Ar sin ω ω (II-35) a longueur d'onde définie par la relation (I-4) du premier hapitre s'exprime alors : v f a Arsin (II-36)

31 3 ω ω π a k Figure (II-3) Figure (II-4) De es relations nous pouvons observer les propriétés suivantes: a longueur d'onde est proportionnelle à la période a. a vitesse de phase est fontion de la pulsation de la soure, ette seonde propriété provient de la propagation dispersive renontrée dans les milieux à struture périodique. Certaines hypothèses permettent ependant de rendre e paramètre indépendant de la fréquene.

32 3 II-4 Disussion sur les onditions de propagation renontrées dans les milieux périodiques - Propagation évanesente Considérons l'hypothèse où la pulsation de la soure ω est supérieure à ωo, dans e as la fontion sinus qui entre dans la relation (II-34) est supérieure à l'unité, l'argument ontenu dans ette fontion ne peut don être qu'une variable omplexe. Par onséquent nous attribuons au nombre d'onde k une valeur omplexe représentée ave la onvention suivante : où : j jk α j β (II-37) Afin de respeter le réalisme physique il ne peut y avoir aroissement de l'amplitude de l'onde progressive au ours de la propagation, par onséquent il faut assigner au oeffiient α une valeur positive. es démonstrations qui suivent vont montrer que les onditions de propagation dans un milieu périodique dépendent d'une pulsation de oupure la pulsation de résonane ω soit : ω double de ω ω (II-38) Si nous insérons ω dans la relation (II-34) le rapport ω / ω prend pour expressions: ω ω ka j ka sin jsh (II-39) ω étant une variable réelle positive non nulle, la seule valeur possible pour la onstante β ontenue dans (II-37) est : π β (II-4) a

33 33 En onséquene, α est ontenue dans la relation : ω ω α a h (II-4) Relation dont l'inversion permet d'exprimer l'atténuation reherhée: og (II-4) a onde progressive exprimée par (II-7) est don le produit d'une fontion harmonique et d'une fontion exponentielle amortie dont l'exposant est déterminé par le produit du oeffiient α et la position de l'observateur situé le long de la haîne soit : jt j e e e u(, U (II-43) a ontribution de la onstante d atténuation linéique α signifie qu il y a génération du onde évanesente dont la soure est inapable d entretenir la propagation, l'amplitude s atténue en fontion de l'éloignement, en effet : e α lorsque (II-44) D'après ette démonstration dés que la pulsation de la soure est supérieure à la pulsation de oupure ω la haîne entretient une onde évanesente, ette propriété se renontre également lors de la propagation des ondes életromagnétique dans des guides d'ondes et lors de la transmission des sons dans des tubes dont les dimensions transversales sont petites par rapport à la longueur d'onde.

34 34 - Propagation entretenue Considérons une soure dont la pulsation est inférieure à la pulsation de oupure, il y a entretien de la propagation, la vitesse de phase existe alors que α, si nous admettons en plus que la pulsation ω est très inférieure à ω ( approximation des basses fréquenes) : ω ω (II-45) a relation (II-33) peut être simplifiée en onfondant la fontion Ar sin ave son développement limité au premier ordre, nous arrivons à la relation approhée : ω ω ω Ar sin k ω (II-46) ω a ω a vitesse de phase et la longueur d'onde s'expriment alors : vφ a ω (II-47) a (II-48) D'autre part la relation (II-48) montre que sous la ondition des fréquenes basses la longueur d'onde est forément très supérieure à la période a de la haîne. Pour ette raison l'approximation basse fréquene s'appelle aussi ondition des grandes longueurs d'ondes, en pratique ette hypothèse est très souvent vérifiée, 'est notamment le as des phénomènes sismiques, de la transmission des signaux dans les lignes ou la propagation de vibrations dans les fluides ompressibles (propagation du son dans l'air). De plus la relation (II-47) indique qu'aux grandes longueurs d'onde la vitesse de phase est indépendante de la pulsation de la soure, il s'agit d'une propagation non dispersive.

35 35 - Comportements partiuliers des phénomènes de propagation Nous attribuons à la pulsation des valeurs limites respetivement égales à ω = et à la pulsation de oupure d'onde prennent les valeurs partiulières: ω, dans e as le nombre d'onde, la vitesse de phase et la longueur ω k, v aω φ, k, v a, a λ a (II-49) a ourbe de la Figure (II-5) préise l évolution de la vitesse de phase en fontion de la pulsation ω : v φ a ω ω ω ω Figure (II-5)

36 36 II 5 Propagation d'une onde entretenue sur une haîne périodique de résonateurs életriques passifs Une suite infinie de résonateurs életriques est représentée onformément au shéma de la Figure (II-6), il s'agit d'une assoiation périodique de quadripôles tous identiques. n a o Figure (II-6) Nous attahons le repère longitudinal o et la période géométrique a. Chaque quadripôle forme un résonateur omposé d une indutane et d une apaité C onnetés suivant la disposition de la Figure (II-7). n i n C Figure (II-7) e quadripôle d ordre n est don traversé par le ourant i n. Nous allons établir une équation différentielle itérative analogue à elle trouvée pour la haîne de résonateurs méaniques. e ourant i n est fontion des ourants sur les quadripôles jouxtant l'élément n. En suivant la représentation de la Figure (II-8) nous pouvons établir les lois de Kirhoff, soit :

37 37 v i i n C C v i i n n C v i i n n C (II-5) v n in in i C i C i n v C C C v C n - n n + Figure (II-8) a tension v n aux bornes de l'indutane est reliée au ourant i n par la loi d'auto indution : din v n (II-5) dt a ombinaison des relations (II-5) et (II-5) aboutit alors à l'équation différentielle itérative : d in dt ω i ω ( i i ) (II-5) n n n Equation dans laquelle ω orrespond à la pulsation de résonane du quadripôle, C soit : ω (II-53) C Cette équation est don tout à fait analogue à la relation démontrée au paragraphe (II-3), ainsi il existe ainsi une analogie entre la propagation sur un dispositif périodique méanique ou

38 38 életrique. A l'issue de e hapitre nous appliquerons ette propriété en vue d'établir des orrespondanes entre systèmes méaniques aux systèmes életriques et vie versa. II 6 Impédane aratéristique d'un quadripôle élémentaire A haque quadripôle élémentaire de la haîne de la Figure (II-7) nous pouvons adjoindre les notations onventionnelles de la théorie des iruits pour laquelle I, V et I, V représentent respetivement les ourants et tensions en entrée et en sortie du quadripôle illustré Figure (II-9). e e s s I e I s V e V s Figure (II-9) D'après la théorie des iruits es paramètres sont reliés par une matrie haîne (T) que nous exprimons : V I e e T V I s s t t t t V I s s (II-54) Ave ette représentation le quadripôle, C adopté au paragraphe préédent a pour matrie haîne: t t t t C ω j ω j Cω (II-55) Nous allons aluler l'impédane d'entrée Z e du quadripôle dont la sortie est onnetée sur une impédane quelonque Z indiquée Figure (II-).

39 39 Z e Z Figure () Z e s'appelle également l'impédane itérative du quadripôle exprimée par le rapport tension ourant en entrée soit : Z e tz t (II-56) t Z t 'impédane aratéristique entrée l'impédane itérative Z est la valeur partiulière de l'impédane Z, e qui revient à satisfaire les relations: Z donnant en Z Z Z (II-57) e 'impédane aratéristique permet de réaliser la ondition d'adaptation des ondes. En effet, on allons montrer que la onnexion de Z à l'extrémité de la haîne élimine l'onde rétrograde, dans es onditions seule l'onde progressive se propage d'une manière tout à fait semblable à une haîne infinie. Des relations(ii-56) et (II-57) nous déduisons l'expression de relions aisément aux oeffiients de la matrie haîne : Z que nous Z t t t t 4 t t (II-58) t Appliquée au résonateur, C de la Figure (II-7) ette relation donne pour expression de Z :

40 4 j ω 4 Z (II-59) Cω Relation qu'il est plus ommode d'érire en faisant apparaître la pulsation de résonane du iruit soit : j ω ω Z 4 (II-6) ω Aux fréquenes inférieures à la fréquene de résonane ω, simplifiée : j ω ω ω ω Z j (II-6) ω Z prend pour expression Pour des raisons physiques ette expression ne peut omporter qu'une omposante réelle positive, il faut don hoisir la détermination ave le signe -, mathématique lorsque ω : Z prend don pour limite R ω (II-6) C Z Il s'agit de la résistane (ou impédane) aratéristique notée par la suite indifféremment ou R. Z II 7 Propagation sur une haîne périodique de quadripôles de dimension limitée onnetée sur une impédane quelonque a haîne omporte un nombre limité de N quadripôles identiques, le premier élément est onneté à une soure de ourant i ( alors qu'à l'extrémité la haîne est branhée sur une impédane Z rappelée par shéma de la Figure (II-).

41 4 i( n N Z a o N Figure (II-) e ourant en entrée du premier quadripôle s'exprime ave la notation des fontions harmoniques omplexes soit : j ωt i( I e (II-63) D'après les solutions générales de l'équation d'onde donnée par la relation (I-4) du premier hapitre le ourant i n ( sur le quadripôle d'ordre n représente la superposition d'une onde progressive et d'une onde rétrograde dont les amplitudes respetives sont déterminées par les onstantes A et B, leurs valeurs vont dépendre de l'impédane et de la pulsation de la soure soit : Z, du nombre de quadripôles j t k j t k i (, Ae Be (II-64) n A et B sont don pour l'instant deux paramètres inonnus que nous proposons évaluer en adoptant un raisonnement voisin de elui appliqué aux haînes de résonateurs méaniques. Nous exprimons le ourant dans le quadripôle d'ordre n en tenant ompte de la période a de la haîne, soit : i in a t (II-65) n, D'après la relation (II-64) in devient : i n i ωt k j ka j ωt k j ka Ae e B e e (II-66)

42 4 Il faut déterminer A et B en appliquant les onditions aux limites renontrées aux deux extrémités de la haîne, à l'origine nous obtenons : I A B (II-67) A l'extrémité opposée il faut tenir ompte de l'impédane Z en l'intégrant dans le réseau situé en extrémité de façon à introduire les ourants et tension portés sur la Figure (II-). in in i C vn C Z Figure (II-) D'après e shéma nous remarquons que le ourant in qui irule dans Z engendre la tension vn : v Z i N N (II-68) D'autre part vn est également la tension apparaissant en sortie du quadripôle qu'on peut relier au ourant i C par des expressions déduites de la loi des nœuds : v N i in i C N (II-69) j Cω j Cω En insérant les expressions (II-64) et (II-66) le numérateur de la relation (II-69) devient : i N j ωt k N j ka j ωt k N e B e j ka e in Ae (II-7) Par identifiation de onstantes A et B soit : (II-68) et (II-69) nous obtenons une seonde expression liant les

43 43 j CωZ Ae Ae j k N j k N a j k N a B e k a k k a e j B e j N e j (II-7) e ouple (II -67) et (II-7) représente un système linéaire ayant pour solutions A et B. Pour des raisons de simpliité nous limiterons leur reherhe aux as partiuliers des fréquenes basses 'est à dire de grandes longueurs d'onde par rapport à la dimension de la haîne. Solutions aux grandes longueurs d ondes équation différentielle itérative (II-5) est tout à fait analogue à l équation qui régit le mouvement de la haîne d osillateurs méaniques. En onséquene, il y a dualité entre le problème életrique et le problème méanique. Nous remarquons deux paramètres ommuns à es équations, la pulsation de résonane ω et le nombre d'onde : k r ω (II-7) m C ω k a ondition des basses fréquenes (grandes longueurs d'onde) implique que ω soit petite par rapport à la pulsation de résonane ω ω, d'autre part nous avons montré lors des développements du paragraphe (II-4) que le nombre d'onde s'exprime par le rapport entre la pulsation de la soure et de la vitesse de phase des ondes : ω k (II-73) v φ a vitesse de phase étant reliée à la période de la haîne et à la pulsation de résonane par l'expression approhée :

44 44 vφ aω (II-74) Nous appliquons es simplifiations au as de la haîne de quadripôles életriques e qui équivaut à dire que le produit du nombre d'onde et de la période est une quantité petite devant l'unité soit : ω ka (II-75) ω Cette ondition simplifie énormément la résolution puisque nous pouvons introduire dans l'expression (II-7) des développements limités : j k a e j ka (II-76) j k a e j ka Si nous supposons en plus que la haîne omprend un grand nombre de quadripôles la période a devient négligeable devant la oordonnée N définissant la position géométrique du dernier quadripôle soit l'approximation : N j k N a j k N e e (II-77) Dans es onditions l'équation (II-7) s exprime : Z j k N j k ka N k N N Ae Be Ae j Be j k Cω (II-78) Devant le seond membre de ette relation figure un rapport qui n'est autre que la résistane aratéristique définie au paragraphe (II-6) en effet : ka Cω R (II-79) C A et B sont don les solutions du système linéaire :

45 45 A B I A k N j k Z R e j B Z R e N (II-8) Nous en déduisons le oeffiient B de l onde rétrograde soit : B Z R j k A e N Z R (II-8) Nous utiliserons par la suite le oeffiient de réflexion défini par l'expression : ρ Z R (II-8) Z R ρ attribué à l'impédane Z, ρ est es oeffiients A et B s'expriment alors d'une manière très ompate : I A ρ (II-83) j k N e B j k N I ρ e (II-84) j k N ρ e Il faut rappeler que es solutions doivent respeter l'hypothèse des basses fréquenes (grandes longueurs d'ondes ) et qu'elles sont uniquement valables pour un grand nombre de quadripôles. Nous allons montrer au hapitre trois que les expressions (II-8) onvergent vers les solutions de l'équation d'onde des milieux ontinus. - Cas partiulier d une haîne adaptée Considérons le as partiulier de la haîne onnetée sur son impédane aratéristique soit : Z R (II-85)

46 46 e oeffiient de réflexion ρ s'annule ainsi que la onstante B, il n'y a pas d'onde rétrograde, le ourant se propageant sur la haîne orrespond à la seule onde progressive que nous exprimons : j ωt k i( I e (II-86) En onséquene une haîne périodique onnetée sur dimension infinie, nous dirons qu'elle est adaptée. R est équivalente à une haîne de - e temps de propagation (delay time) Soit i l amplitude du ourant à l entrée( ) de la haîne adaptée en sortie, à l instant arbitraire t t i s'exprime : j ωt i, t ) I e i ( (II-87) Pour un observateur plaé à l'extrémité de la haîne ( N )nous reherhons l'instant t t N pour lequel le ourant prend l'amplitude i, soit la ondition mathématique : I j ωtn k N e i (II-88) 'éart entre t N et t orrespond au temps de propagation θ donné par la relation: k N θ t N t (II-89) ω θ est également relié à la vitesse de phase, en effet si nous utilisons l'expression approximative du nombre d'onde k donnée par (II-73),la relation (II-89) devient :

47 47 N θ (II-9) vφ e temps de propagation peut s'érire autrement si nous faisons usage de la relation (II-74) établissant le lien entre la vitesse de phase, la pulsation de résonane ω du quadripôle et la période a de la haîne. Sahant que la dimension N prend pour valeur : Nous déduisons aisément l'expression de θ : N an (II-9) N θ (II-9) ω e temps de propagation est don indépendant de la période de la haîne, si nous introduisons la onstante de temps τ du quadripôle exprimée par l'inverse de la pulsation de résonane soit : τ (II-93) ω e temps de propagation θ est diretement proportionnel au nombre de quadripôles et à la onstante τ qui représente alors le retard élémentaire de haque quadripôle lors du passage de l'onde. Ce retard est indépendant de la période a, ette propriété résulte de l'hypothèse des basses fréquenes (grandes longueurs d'ondes)nous rappelons es onditions : a ω ω ka π λ a (II-94) λ En dehors de es simplifiations il faut entreprendre une résolution rigoureuse des équations (II-67) et (II-7).

48 48 II 8 Analogies Eletro-méaniques es lois d'équivalene que nous venons d'établir entre la propagation sur une haîne masse ressort et sur une haîne de quadripôles indutane apaité permettent de trouver des règles de orrespondane entre des paramètres életriques et des paramètres méaniques et vie versa. Ces équivalenes dépendent de onventions que nous proposons illustrer sur la base de deux exemples. - Correspondane établie sur la présentation des équations différentielles Nous avons montré au début de e hapitre que l équation différentielle qui régit le mouvement de l osillateur méanique s exprime : d dt u kr u où (II-95) m e ourant qui s établit dans un iruit C est régit par une équation analogue : d dt i i où (II-96) C Puisque la tension aux bornes de l'indutane est reliée à la variable temps par la loi d'auto indution à laquelle nous pouvons faire orrespondre l'analogie méanique donnée par le produit de la masse m et de la dérivée du déplaement u par rapport à la variable temps soit : di du v m (II-97) dt dt Ave e hoix il y a analogie entre la tension v et l'impulsion méanique p dont nous posons la définition : p m u (II-98)

49 49 Bien entendu la démarhe implique l'analogie entre le ourant i et le déplaement de la masse u soit : i u (II-99) De la même manière nous pouvons définir une impédane életrique et une impédane méanique en reherhant les rapports tension ourant et impulsion déplaement soit : Z v p Z (II-) i u Cette orrespondane est ensuite étendue à l'ensemble des paramètres életriques et méaniques ontenus dans le Tableau (II-) Paramètres életriques C Paramètres méaniques m k r ω C ω kr m i u v p Z v i Y i v Z p u Y u p Tableau (II-) - Correspondane établie sur les énergies Nous proposons faire orrespondre à l'énergie inétique T l'énergie magnétique donnée par la onvention : T mu W i (II-) W