Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes

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1 Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes Cours pour les életriiens Etudiants de iene Elèves de première année des Eoles d'ingénieurs B. DEMOUIN Professeur à l'université des Sienes et Tehnologies de ille TOME-I Généralités Propagation sur des Chaînes périodiques Théorie des ignes de Transmission Chapitres I, II, III, IV, V Edition de Septembre 3

2 SOMMAIRE INTRODUCTION p. CHAPITRE I : FORMUATION MATHEMATIQUE DES PHENOMENES DE PROPAGATION I Approhe intuitive des phénomènes de propagation p. 5 I Approhe intuitive du prinipe d'exitation harmonique p. 8 I 3 équation d onde exprimée dans le domaine temporel p. I 4 équation d onde harmonique p. I 5 a notion de longueur d onde p. 5 CHAPITRE II : PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX PERIODIQUES II Equation du mouvement de l osillateur méanique p. 8 II Equation du mouvement sur une haîne périodique de résonateurs méaniques p. II 3 Propriétés des ondes entretenues propagées dans les milieux périodiques oi de dispersion p. 4 II - 4 Disussion sur les onditions de propagation renontrées dans les milieux périodiques p. 8 II 5 Propagation d'une onde entretenue sur une haîne périodique de résonateurs életriques passifs p. 3 II 6 Impédane aratéristique d'un quadripôle élémentaire p. 34 II 7 Propagation sur une haîne périodique de quadripôles de dimension limitée onnetée sur une impédane quelonque p. 36

3 3 II 8 Analogies Eletro-méaniques p. 44 CHAPITRE III PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX CONTINUS ignes de transmission III Reherhe de l'équation d'onde des lignes de transmission p. 5 III - Prinipales propriétés physiques des lignes de transmission p. 54 III 3 Présentations des solutions de l'équation d'ondes des lignes de transmission p. 6 III - 4 Propagation des ondes dans les matériaux élastiques p. 68 III - 5 Propagation des ondes aoustiques dans les fluides ompressibles p. 7 CHAPITRE IV PROPRIETES DES ONDES STATIONNAIRES IV Formulation mathématique des phénomènes d'ondes stationnaires p. 78 IV Phénomènes de résonanes sur les lignes de transmission p. 86 IV 3 Propriétés de l'impédane d'entrée des lignes de transmission p. 89 CHAPITRE V PROPAGATION DES IMPUSIONS DANS ES IGNES V Solutions de l'équation d'ondes d'une ligne soumise à des phénomènes életriques transitoires p. V- Etude de la propagation d'un éhelon de fem sur une ligne de transmission p. 6 V-3 Propagation d'impulsions étroites p. 5 V-4Impédanes de harge omplexes p. 9 V-5 Effet de la dissipation d'énergie dans les lignes p. 4 V-6 Effets engendrés par l'impédane superfiielle des onduteurs p. 9

4 4 CHAPITRE VI INITIATION A A PROPAGATION DES ONDES EECTROMAGNETIQUES VI es équations de Maxwell et l'équation d'onde assoiée p. 49 VI- es ondes életromagnétiques planes p. 5 VI-3 'effet Doppler p. 57 VI-4 es ondes sphériques isotropes p. 64 VI-5 es ondes ylindriques p. 7 VI-6 Propagation des ondes életromagnétiques planes dans les milieux onduteurs p. 95 VI-7 e rayonnement du dipôle életrique élémentaire p. 7 VI-8 Réalisation d'antennes d'émission p. 6 VI-9 Diretivité életromagnétique des antennes p. 34

5 5 INTRODUCTION Si les phénomènes de propagation ont été identifiés depuis des temps très reulés, leur ompréhension physique n'a été élairie qu'après les travaux aomplis en méanique théorique et dans le alul différentiel. De nombreux phénomènes physiques tels que la transmission de la lumière, la transmission des sons dans les solides ou les fluides ompressibles font intervenir la propagation. Tous es méanismes ont pour point ommun une soure de signaux qui provoque suivant les as un déplaement mirosopique de la matière, une variation de pression ou une vibration de ourant ou de tension voire elle d'un hamp életromagnétique. Un milieu matériel ou immatériel va ontribuer à transporter dans l'espae la vibration initiale ommuniquée par la soure; 'est aux variations spatiaux temporelles de ette vibration qu'est attahé le onept d'ondes. a formulation mathématique des phénomènes de propagation est très ardue, aussi a-t-on l'habitude de les lassifier en fontion des diretions de l'espae suivant lesquelles une onde peut s'épanouir. a représentation mathématique la plus simple onerne la propagation unidimensionnelle définie suivant une seule diretion, la propagation agit parallèlement à l'axe d'un repère géométrique. a propagation bidimensionnelle ouvre deux diretions orthogonales de l'espae, à la transmission retiligne s'ajoute une propagation transversale. Il s'agit des ondes ylindriques appelées ainsi pare que leur formulation mathématique néessite bien souvent l'usage d'un système de oordonnées ylindriques. orsque la propagation est dispersée sur les trois diretions de l'espae il s'agit d'ondes sphériques justifiées par le fait qu'il faut les dérire dans un système de oordonnées sphériques. es ondes sphériques possèdent une propriété remarquable renontrée dans la plupart des phénomènes naturels ou provoqués. Si on fait abstration de la dissipation d'énergie qui peut aompagner la propagation d'une onde on raisonne ainsi: la soure ommunique à l'onde une puissane d'émission invariante sur la surfae de sphères onentriques ayant ette soure pour entre ommun. Puisque la puissane de l'onde transportée dépend du arré de son amplitude, ette amplitude évolue de façon inversement proportionnelle au rayon de haque sphère. Autrement dit un observateur situé à une distane donnée d'une soure d'onde

6 6 sphérique perçoit une vibration dont l'intensité est inversement proportionnelle à l'éloignement de la soure. Il s'agit de la dispersion spatiale de la lumière bien onnue des astronomes lorsqu'ils observent les planètes les étoiles ou les galaxies. 'onde aoustique émise par le tonnerre obéit également à ette loi de dispersion. es ondes sismiques produites dans le sol lors des tremblements de terre représentent d'autres phénomènes plus omplexes où la dispersion spatiale des ondes réduit les effets destruteurs des séismes lorsqu'on s'éloigne de l'épi entre de leur soure. es ondes életromagnétiques émises par les petites antennes des téléphones portables suivent également e omportement. es exemples mettant en jeu des ondes ylindriques sont plus restreints, la transmission de la lumière dans les fibres optiques appartient à e type d'onde, les guides métalliques utilisés pour transporter l'énergie életromagnétique jusqu'aux antennes des radars puissants onernent un autre hamp d'appliation des ondes ylindriques. Quant à la propagation unidimensionnelle évoquée au début il faut onsidérer qu'il s'agit d'une représentation simplifiée ou idéalisée de ertains phénomènes. Ainsi une onde sphérique peut être onsidérée omme un phénomène à propagation unidimensionnelle à la ondition que le degré de liberté de l'observateur soit limité à un faible espae loalisé prés de la diretion radiale de propagation. es phénomènes provenant de soures très diretives relèvent aussi d'une adaptation loale des prinipes de propagation unidimensionnelle, la propagation des signaux életriques sur les lignes de transmission onerne également es phénomènes. Beauoup d'ouvrages traitant de la propagation mêlent les ondes unidimensionnelles au onept d'ondes planes, aussi nous utiliserons indifféremment es deux appellations. e onept d'ondes planes failite la formulation mathématique, en effet la rédution à une seule diretion de l'espae simplifie énormément les équations d'ondes et failite leur résolution, de plus les prinipales propriétés physiques assoiées aux ondes sphériques et ylindriques proviennent des représentations à une dimension. Pour es raisons le ours est surtout onsaré aux desriptions de ette approhe simplifiée, 'est ette restrition qui justifie le titre : Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes.

7 7 e premier hapitre introduit les bases du formalisme mathématique permettant de représenter et de aratériser les phénomènes de propagation à une dimension. e seond hapitre traite de la propagation dans les strutures périodiques appliquées aux systèmes méaniques omprenant des assoiations masses ressorts ou des réseaux életriques omposés d'indutanes et apaités. es notions de vitesse de phase et d'impédane aratéristique apparaissent dans e hapitre. 'appliation des prinipes d'équivalene entre représentation méanique ou életrique des phénomènes onlut ette étape importante du ours. e troisième Chapitre onerne la propagation dans les milieux ontinus où une plae très importante est dédiée à la théorie des lignes de transmission. es solutions des équations d'ondes sont reherhées afin de trouver les propriétés singulières des méanismes de réflexion des ondes. Deux appliations onernant la propagation d'ondes de ompression dans un métal et dans un fluide ompressible viennent onlure ette partie. e quatrième hapitre traite de la génération des ondes stationnaires. es prinipales propriétés de es ondes entretenues par des méanismes de réflexions suessives sont examinées. es méanismes de résonanes dépendant de la dimension des strutures et de la longueur d'onde sont abordés sur base d'exemples. 'étude du omportement de l'impédane d'entrée d'une ligne de transmission ahève e hapitre. e inquième Chapitre onerne deux volets. Tout d'abord la propagation des impulsions sur les lignes de transmission où le aratère transitoire du déplaement des fronts d'ondes est étudié attentivement. Ensuite on s'intéresse aux dissipations d'énergie dans les matériaux onduteurs qui omposent les lignes. a résolution des équations d'ondes est révisée pour tenir ompte de e phénomène additionnel. Des appliations numériques sont proposées afin d'appréier l'ampleur de l'atténuation des signaux transmis sur des lignes oaxiales dissipatives. e sixième hapitre le plus volumineux du ours omporte la desription des équations de Maxwell et des équations d'ondes életromagnétiques. Une première partie est onsarée à la théorie des ondes planes suivie de quelques éléments sur les ondes sphériques. Une seonde partie regarde la propagation des ondes életromagnétiques ylindriques à l'intérieur d'un tube

8 8 métallique. Une troisième traite de la propagation des ondes planes dans les milieux dissipatifs afin d'introduire les onepts d'atténuation linéique et de profondeur de pénétration des ondes. a dernière partie du ours est dédiée aux soures rayonnantes, l'étude des propriétés du dipôle életrique élémentaire est entreprise. es résultats de ette théorie sont utilisés pour aluler le hamp rayonné par des antennes résonantes et des antennes privilégiant l'émission dans une diretion de l'espae. Une part importante de e sixième hapitre est également onsarée à l'étude de l'impédane d'entrée des antennes.

9 9 CHAPITRE I FORMUATION MATHEMATIQUE DES PHENOMENES DE PROPAGATION Ce premier hapitre onerne la représentation mathématique des phénomènes de propagation. Une approhe intuitive basée sur quelques exemples introduit les onepts d'onde progressive et d onde rétrograde ainsi que le mode d'exitation harmonique de es ondes. Ensuite es onepts seront matérialisés par des expressions mathématiques provenant de la résolution des équations d'onde. Pour onlure e hapitre la vitesse de propagation des ondes est définie. I Approhe intuitive des phénomènes de propagation Considérons le shéma de la Figure (I-) illustrant une orde dont une des extrémités est rejetée à l'infini. 'extrémité aessible est soumise à un ho méanique qui la déforme, un observateur loalisé suffisamment loin de la soure où se manifeste le ho mesure la déformation subie par la orde. observateur est attahé au repère ox dans lequel l axe o est parallèle à la orde alors que la oordonnée ox permet de mesurer l'amplitude du déplaement vertial. Déplaement x Soure Corde x o Figure (I-)

10 A l instant t = o le ho méanique produit par la soure dévie la orde de sa position initiale x o,elle oupe maintenant la oordonnée x, le déplaement vertial s'exprime par la variable u donnée par la différene entre x et x : u = x - x o (I-) a déformation u dépend de la variable longitudinale qu'on relie à une fontion U() intimement liée aux aratéristiques physiques de la orde soit : u = U () (I-) a Figure (I-) illustre la position du phénomène à différents instants : a) en t = o. b) en t = t Entre es deux instants la déformation s'est déplaée dans la diretion o en parourant la distane Δ. a) t U() o () U b) t t Δ o

11 () U ) t t Δ o Figure (I-) a déformation perçue à l'instant t = t est représentée par la fontion U o () reliée à la variable Δ par l'expression: U ( ) U ( Δ) (I-3) Cette relation est établie dans l'hypothèse où le phénomène reste inhangé suivant l'axe o, et exemple illustre la propagation d'une onde sans atténuation ni dispersion. Nous reviendrons ultérieurement sur les définitions de l'atténuation et de la dispersion. Si on pose v la vitesse de propagation de l onde, Δ s exprime : Δ = v t (I-4) U peut alors s'érire de manière plus synthétique en faisant diretement apparaître la vitesse de propagation dans la fontion U() soit : U ( t ) U ( v ) (I-5) Considérons maintenant une onde se propageant vers la soure, la orde subit le déplaement u qu'on assoie à la fontion U () telle que :

12 U ( ) = U( + Δ) (I-6) Conformément à la notation (I-5) nous faisons apparaître dans ette relation la vitesse de propagation v, U () devient : U ( ) = U( + v t ) (I-7) a vitesse de propagation est dans e as orientée dans le sens opposé à l axe o. e qui explique la présene du signe plus dans les expressions (I-6) et (I-7). a fontion U () aratérise l'onde progressive (forward wave) alors que U () représente l'onde rétrograde (bakward wave), les ondes rétrogrades aompagnent les phénomènes de réflexion. e shéma de la Figure (I-) illustre l'onde rétrograde. I Approhe intuitive du prinipe d'exitation harmonique Considérons la surfae d'un la shématisée sur la Figure (I-3- a). Un projetile lané vertialement (Figure (I-3-b) ) provoque un ho sur le liquide dont l'effet immédiat est un déplaement vertial de l'eau, e phénomène enore appelé front d'onde se propage ensuite en surfae en dérivant un erle ayant pour entre le point d'impat. e front d'onde est suivi d'ondes entretenues par la hute du projetile vers le fond. En effet des turbulenes provoquées par le siage du projetile engendrent à la surfae de l'eau les mouvements d osillation vertiaux qui suivent le front propagé en surfae. e liquide ainsi perturbé entretient un mouvement ondulatoire aratérisé par des rides irulaires onentriques ayant le point d'impat pour entre (Figure (I-3-)). Un observateur situé à une distane suffisante de e point en voit la surfae ondulante se déplaer suivant une diretion radiale (Figure (I-3-d)). e déplaement vertial de l eau u par rapport à la position d équilibre peut don s érire au moyen d'une fontion où figurent deux variables, le temps t et la oordonnée radiale soit : u = x x o = U (t, ) (I-8)

13 3 x Surfae du liquide a) x o x Impat de l'objet b) o x ) o u d) o Figure (I-3)

14 4 Si on admet pour simplifier que les turbulenes provoquent un déplaement vertial qui suit en fontion de la variable temps une loi sinusoïdale enore appelée exitation harmonique, la fontion U ( génératrie du phénomène s'exprime : U ( U os ( ω (I-9) Où ω représente la pulsation de la soure qui provoque les ondes entretenues, la pulsation est reliée à la fréquene f par l'expression bien onnue : ω π f. (I-) f et ont pour unités respetives H et rd/s. Pour un observateur situé à une distane o du point d impat, les ondulations apparaîtrons ave un retard τ, pour dérire l'évolution spatio-temporelle des ondulations on introduit la fontion u(, des variables temps et espae soit : u(, Uo os ω( t τ) (I-) e retard τ est relié à la distane et à la vitesse v φ du déplaement de l'ondulation, soit le rapport : τ (I-) v φ a relation (I-) peut alors s érire : ω u(, U o os ( vφ (I-3) vφ Expression que nous pouvons onvertir au moyen la notation générale (I-5) introduite plus haut, soit :

15 5 u(, U ( v (I-4) φ vφ est appelée vitesse de phase puisqu'elle aratérise le déplaement du déphasage de la fontion harmonique génératrie d'un phénomène de propagation entretenue. Nous pouvons également faire orrespondre à (I-4) une onde rétrograde que nous exprimons ave la onvention : u(, U ( v (I-5) φ I 3 équation d onde exprimée dans le domaine temporel es développements du hapitre (III) montrent que la fontion u(, introduite au paragraphe préédent appartient aux solutions d une équation aux dérivées partielles du seond ordre qu'on exprime : u v o u o t (I-6) v est la vitesse de propagation de l'onde. es solutions générales de ette équation s'expriment alors par la superposition d'une onde progressive et d'une onde rétrograde soit : u(, A. U( v B. U( v (I-7) o o Relation dans laquelle les oeffiients A et B sont déterminés par l'appliation de onditions aux limites adéquates. a fontion U(ν) est déterminée par le type d exitation et par la nature physique du milieu dans lequel a lieu la propagation. a reherhe de ette fontion est en général diffiile. C est notamment le as des déformations subies par la orde ou la surfae de l eau. Déterminer les propriétés de la propagation des ondes sur une orde ou sur la surfae d'un liquide relève d'une analyse approfondie de la méanique des milieux ontinus ou de la méanique des fluides inompressibles. es exemples traités dans la suite sont heureusement plus simples. D'un point de vue pratique la plupart des phénomènes ondulatoires entretenus

16 6 sont gouvernés par des soures harmoniques, ette raison nous inite don à étudier les solutions dérivées de e type d'exitation. I 4 équation d onde harmonique Considérons un milieu de propagation entretenu par des osillations sinusoïdales. Pour plus de failités on fera usage de la représentation omplexe des fontions harmoniques qu'on exprime ave la onvention: j ( ωt φ) os( ωt φ) U e u ( U (I-8) U représente alors l'amplitude réelle (ou module). Cette relation peut aussi s'érire de manière plus ompate : u ( U os( ωt φ) U e (I-9) o jωt U représente une amplitude omplexe qui intègre le déphasage φ : o o jφ U U e (I-) es solutions u (, de l'équation d'onde (I-6) appartiennent également à la lasse des fontions harmoniques de la variable temps, on les exprime sous la forme : j ωt u (, u ( ) e (I-) u() onerne l'amplitude omplexe dépendant de la seule variable géométrique, dans e as l'équation d'onde (I-6) devient : d u d u o (I-)

17 7 γ s'appelle l'exposant linéique de propagation ou plus simplement onstante de propagation si nous adoptons la tradution du terme anglo-saxon propagation onstant, γ s'exprime: ω γ j (I-3) v φ 'exitation harmonique fait que v s'apparente à la vitesse de phase v φ. 'équation (I-) a pour solutions générales: γ u ( ) A e B e (I-4) γ Si on pose : γ j k (I-5) k représente le nombre d onde exprimé par le rapport entre la pulsation de la soure et la vitesse de phase de l'onde soit : ω k (I-6) v φ En introduisant le nombre d'onde la fontion u() devient : j k j k u ( ) A e B e (I-7) Si nous faisons apparaître la variable temps u (, s'exprime : j ( ωt k ) j ( ωt k ) u (, A e B e (I-8) A et B sont deux onstantes inonnues qui déterminent les amplitudes omplexes des ondes progressive et rétrograde attahées au phénomène de propagation.. Pour un milieu illimité (infini) il n'y a pas d'onde rétrograde la onstante B doit être forée à éro d'où : B=. Cette ondition trouvera sa justifiation dans la suite du ours, la solution se réduit alors à la seule onde progressive : j ( ωt k ) u (, A e (I-3) Cette relation peut aussi se représenter ave la notation (I-3) soit :

18 8 ω j ( vφ vφ u (, Ae (I-3) Si nous introduisons le nombre d'onde k et la phase de l'onde φ onformément aux relations: a relation (I-3) devient : ω k et φ k vφt (I-3) v φ j ( k φ) u (, A e (I-33) D'après le seond membre de (I-3) nous déduisons que la vitesse de phase est le produit de la dérivée première de la phase par rapport à la variable temps et de l'inverse du nombre d'onde : dφ v φ (I-34) k dt Il faut distinguer la vitesse de phase v φ et la vitesse de l'onde v apparue dans la relation intuitive (I-4) et l'équation d'onde (I-6), en effet dans le as général es deux vitesses ne prennent pas la même valeur. En effet si on regarde le omportement de la déformation d'une orde soumise à une exitation harmonique, l'onde qui se propage est la superposition de deux phénomènes. Un front d'onde qui se manifeste dés qu'apparaît le ho sur la orde, le front d'onde se déplae à la vitesse v, 'est un phénomène transitoire analogue à elui renontré sur les iruits életriques. Ensuite apparaît une onde entretenue aratérisée par une déformation sinusoïdale de la orde, la vitesse de défilement de l'ondulation orrespond alors à v φ e phénomène est équivalent au régime établi des iruits életriques. Nous allons justifier au seond hapitre que pour une propagation peu dispersive la vitesse de phase rejoint la vitesse du front d'onde, dans e as la vitesse de phase est indépendante de la fréquene de la soure d'exitation. es problèmes onsidérés par la suite onerneront ette hypothèse.

19 9 I 5 a notion de longueur d onde a relation (I-3) réduite à la seule ontribution de l onde progressive peut s'exprimer autrement en faisant apparaître un terme de phase ψ : j ( ωt ψ) u (, Ae (I-35) Ce terme est relié au nombre d'onde k et à la variable géométrique par l'expression : ψ k (I-36) ψ peut aussi se représenter par le produit de π radians liant la position et une variable λ homogène à une dimension géométrique soit : ψ π (I-37) λ Ainsi deux relations équivalentes permettent d'exprimer le nombre d'onde k : ω π k (I-38) v λ φ λ représente la longueur d'onde déterminée par le rapport entre la vitesse de phase de l'onde et la fréquene d'exitation de la soure : vφ λ (I-4) f D'après l'expression de l'onde progressive donnée par (I-3) l'amplitude u (, retrouve la même valeur haque fois qu'un observateur se déplaçant suivant o franhit la distane Δ satisfaisant la ondition : n π Δ (I-4) k

20 n représente une valeur entière, la distane minimale Δ est déterminée lorsque n, soit une distane égale à la longueur d'onde : Δ π λ (I-4) k Dans la plupart des problèmes de propagation la longueur d onde joue un rôle très important dans la mesure où elle nous renseigne sur le omportement physique notamment lorsqu'il s'agit de aratériser les phénomènes apparaissant dans les milieux périodiques et les milieux ontinus.

21 CHAPITRE II PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX PERIODIQUES a propagation des ondes dans les milieux périodiques onerne prinipalement les phénomènes aoustiques évoluant dans les strutures ristallines. Nous distinguons dans un milieu ristallin deux types d onde. es ondes longitudinales pour lesquelles une soure disposée à la surfae d un matériau le soumet à des vibrations de ompression, un plan du ristal transmet son déplaement au plan qui lui est parallèle et ainsi de suite au moyen des fores élastiques qui lient les atomes distribués dans la diretion perpendiulaire au plan. S'il s'agit d'une soure produisant une exitation harmonique il peut ou non y avoir entretien de la propagation. Nous renontrons également des ondes transversales dont le déplaement de la matière s'effetue dans une diretion parallèle au plan ontenant les atomes, la diretion de propagation de e phénomène est omme préédemment perpendiulaire au plan. 'exemple de l'ondulation produite à la surfae d'un liquide forme une onde transversale alors que la propagation du déplaement le long des haînes périodiques omposées d'atomes et de fores élastiques s'apparente aux ondes longitudinales. a struture physique la plus élémentaire qui aompagne la propagation d'une onde longitudinale est don omposée d'un résonateur méanique assimilable à une masse reliée à une fore élastique matérialisée par un ressort. a première partie du hapitre II va don omporter l'étude de la propagation sur une haîne de résonateurs méaniques afin de déduire une équation de dispersion montrant le lien entre la vitesse de phase des ondes et la fréquene de la soure d'exitation. Ces onepts sont ensuite étendus au as de haînes omposées de résonateurs életriques ayant pour éléments une indutane et une apaité, nous aboutirons à une équation d'onde itérative identique à elle trouvée pour les haînes méaniques. Nous onsidérerons ensuite le onept d'impédane aratéristique dont les propriétés permettent de reproduire à l'extrémité d'une haîne les onditions de propagation d'une onde progressive semblable à elle renontrée dans un milieu de dimension infinie. a onnexion en extrémité d'impédanes quelonques mettra en évidene une onde rétrograde dont nous pourrons évaluer l'amplitude. Pour onlure le hapitre nous aborderons les analogies életroméaniques dont l'intérêt majeur permet

22 d'établir une dualité entre les paramètres physiques des milieux de propagation méanique ou életrique. II Equation du mouvement de l osillateur méanique Considérons une masse m reliée à un ressort de raideur point fixe onfondu ave l origine d un repère Figure (II-). k r, le ressort est attahé à un o olinéaire au déplaement représenté Ressort k r Masse m u o Figure (II-) représente la position de la masse à l équilibre et sa position hors équilibre. Si on pose : u (II-) u onerne la variable qui traduit le déplaement de la masse par rapport à sa position d'équilibre. Pour établir l'équation différentielle liant l'évolution de u en fontion du temps deux méthodes sont possibles. a) Composition des fores e ressort exere sur la masse une fore élastique proportionnelle au déplaement relatif u soit : f r que nous supposons

23 3 f r k r u (II-) a masse en mouvement est soumise à une fore d'inertie de vitesse par la loi de Newton : f m que nous relions aux variations d u fm m (II-3) dt a fore potentielle et la fore d'inertie s'équilibrent pour donner la relation : f r f (II-4) m Expression à laquelle nous assoions une équation différentielle dont les solutions fournissent le mouvement u ( : d u m dt k u (II-5) r b) Méthode de l équation de agrange Pour des systèmes méaniques omplexes il est plus faile d établir l'équation différentielle du mouvement à partir de l'équation de agrange en raisonnant sur les énergies. Nous définissons le agrangien donné par la différene entre l'énergie inétique T et l'énergie potentielle U, soit : T U (II-6) équation du mouvement de la masse se déduit de l équation de agrange : t u u o (II-7)

24 4 Equation dans laquelle : T mu U kr u (II-8) 'appliation de la relation (II-7) aboutit une équation différentielle tout à fait identique à la relation préédente (II-5) soit : mu kru o (II-9) Nous faisons usage dans les expressions (II-7), (II-8) et (II-9) des notations des dérivées premières et dérivées seondes adoptées en méanique : du d u u u (II-) dt dt ) Présentation de l équation du mouvement es développements exposés au prohain paragraphe seront failités en exprimant l'équation (II-5) au moyen de la pulsation de résonane ωo. du ouple masse ressort soit : Relation dans laquelle ωo. s'exprime: d u ωo u o (II-) dt k r ωo (II-) m

25 5 d) Exitation par une soure harmonique a masse m est soumise à une fore extérieure qui suit une évolution sinusoïdale fontion de la variable temps. Appelons f ette fore, l équation (II-4) devient : Si nous posons : f r f f (II-3) m f o Fo os ( ω (II-4) équation différentielle du mouvement prend pour forme: d dt u Fo ou os( (II-5) m u ( est don la somme d'une solution générale et d'une solution partiulière que nous pouvons exprimer : u ( Aos ( ω t φ) U os ( ω (II-6) A et représentent alors deux onstantes inonnues déterminées par les onditions initiales fixées à t =, U aratérise l amplitude des osillations forées entretenues données par la relation: U o F o (II-7) m o a dissipation d énergie inévitablement provoquée par le mouvement inite à introduire un terme d'amortissement dans la solution générale (II-6)que nous exprimons: αt u ( Ae os( Ω t φ) Uoos( ω o (II-8)

26 6 En respetant ette onvention α est une onstante d atténuation positive, Ω la pseudo pulsation de résonane elle-même fontion des variables l'exitation entretenue obtenue lorsque ω et α, dans les onditions de t u( prend pour expression limite: u ( U os ( ω (II-9) Cette relation omporte don uniquement le omportement du système masse ressort après extintion du transitoire introduit dans la solution générale de l'équation différentielle du mouvement masse ressort. Par la suite nous retiendrons uniquement la ontribution de la solution (II-9). Nous verrons au ours du inquième hapitre que des ondes entretenues peuvent également subir une atténuation provoquée par diverses dissipations d'énergie qui aompagnent la propagation des ondes. Il s'agit des frottements dans le as de systèmes méaniques ou de l'effet Joule pour les iruits ou les lignes életriques. II Equation du mouvement sur une haîne périodique de résonateurs méaniques Une haîne retiligne regroupant un nombre infini de masses et ressorts de aratéristiques physiques toutes identiques est représentée onformément aux notations de la Figure (II-). a n- n n+ n n n Figure (II-) a première masse à laquelle nous attribuons le repère n = sera onfondue ave l origine de l'axe o parallèle à la haîne. a position d équilibre de haque masse est séparée de la

27 7 suivante par la période a, si nous assimilons les masses aux atomes d'un ristal a représente l'espaement des plans ontenant les atomes. es positions d'équilibre des masses repérées au moyen des indies n-, n, n+ sont établies ave les onventions d'indies géométriques n n n,, elles sont reliées à la période a par les expressions : a n n a a n n n n ) ( ) ( (II-) orsque la première masse est soumise à un mouvement elle subit le déplaement u par rapport à sa position d équilibre = o, le mouvement se propage ensuite dans la diretion longitudinale, haque masse se déplae alors par rapport à sa propre position d'équilibre, les déplaements orrespondent aux exursions d'amplitudes n n n u u u,, reliées aux variables par les expressions: n n n n n n n n n u u u (II-) Considérons la masse n, dont on estime le mouvement influené uniquement par les deux masses qui lui sont adjaentes soit n- et n+. e agrangien assoié à ette masse n peut don s érire : n n n U T (II-) Dans e as partiulier les termes n n U T et du agrangien prennent pour formes : n u n m T (II-3) n n r n n r n u u k u u k U ) ( ) ( (II-4)

28 8 Nous remarquons que dans l'expression donnant l énergie potentielle il est tenu ompte uniquement du déplaement relatif engendré par la déformation élastique des deux ressorts attahés à la masse n. D'après la relation (II-7) du paragraphe préédent nous déduisons de l'équation de agrange l équation différentielle itérative suivante : d un dt o o ω u ω ( u u ) (II-5) n n n Dans ette relation o représente la pulsation de résonane de haque ouple masse ressort dont nous rappelons i dessous l'expression: k r ω m (II-6) II 3 Propriétés des ondes entretenues dans les milieux périodiques oi de dispersion Nous soumettons à une exitation harmonique la masse située à l'origine de la haîne de la Figure (II-) ( n ). e mouvement de l'ensemble des masses est supposé établi afin d'entretenir une propagation longitudinale. D'après la formulation adoptée au premier hapitre et plus spéialement la relation (I-3) le déplaement relatif de haque masse s'exprime ommodément au moyen de la fontion u(, des variables espae et temps : u (, U e j( ωt k ) (II-7) U représente l'amplitude omplexe appliquée par la soure harmonique, la haîne étant de dimension infinie il n y a pas d onde rétrograde, de plus la struture implique pour la fontion u (, les onditions de périodiité exprimées par les relations:

29 9 ), ( ), ( ), ( t a u u t a u u t u u n n n (II-8) Ces relations introduites dans l équation différentielle (II-5) aboutissent à une nouvelle équation uniquement dépendante de ), ( t u soit : t a u t a u ω u ω dt u d o o,, (II-9) Si nous faisons usage de la présentation de l'onde progressive à exitation harmonique donnée par (II-7), les relations (II-8) deviennent : ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( a k ωt j a k ωt j k ωt j e U t a u e U t a u e U t u (II-3) Il faut maintenant développer l'équation (II-9) en utilisant les formes trigonométriques d'euler soit : e e ka jk a k a j ) ( os (II-3) Une simplifiation apparaît si on fait usage de la relation : ka ka sin ) ( os (II-3) 'équation différentielle (II-9) se réduit alors à une expression analytique simple liant la pulsation de la soure ω au nombre d'onde k : ka 4ω ω o sin (II-33)

30 3 Relation dont il faut extraire la raine arrée : ω ω ka sin (II-34) e nombre d'onde peut don s'exprimer en inversant (II-34) soit : k a ω Ar sin (II-35) ω 'expression (II-34) s'appelle loi de dispersion dont le omportement en fontion du nombre π d'onde k est représenté sur la Figure (II-3). Cette fontion possède une période égale à, si a on réduit l intervalle de variation de k à l'intervalle : π π et, la ourbe orrespond à la a a première one de Brillouin représentée Figure (II-4). Nous avons montré au hapitre préédent que le nombre d'onde est relié à la pulsation et la vitesse de phase par l'expression: ω k (II-36) v φ Dans es onditions il est faile de tirer des relations (II-35) et (II-36) le lien entre la vitesse de phase de l'onde et la pulsation de la soure harmonique soit: v φ aω Ar sin ω ω (II-35) a longueur d'onde définie par la relation (I-4) du premier hapitre s'exprime alors : v f a Arsin (II-36)

31 3 ω ω π a k Figure (II-3) Figure (II-4) De es relations nous pouvons observer les propriétés suivantes: a longueur d'onde est proportionnelle à la période a. a vitesse de phase est fontion de la pulsation de la soure, ette seonde propriété provient de la propagation dispersive renontrée dans les milieux à struture périodique. Certaines hypothèses permettent ependant de rendre e paramètre indépendant de la fréquene.

32 3 II-4 Disussion sur les onditions de propagation renontrées dans les milieux périodiques - Propagation évanesente Considérons l'hypothèse où la pulsation de la soure ω est supérieure à ωo, dans e as la fontion sinus qui entre dans la relation (II-34) est supérieure à l'unité, l'argument ontenu dans ette fontion ne peut don être qu'une variable omplexe. Par onséquent nous attribuons au nombre d'onde k une valeur omplexe représentée ave la onvention suivante : où : j jk α j β (II-37) Afin de respeter le réalisme physique il ne peut y avoir aroissement de l'amplitude de l'onde progressive au ours de la propagation, par onséquent il faut assigner au oeffiient α une valeur positive. es démonstrations qui suivent vont montrer que les onditions de propagation dans un milieu périodique dépendent d'une pulsation de oupure la pulsation de résonane ω soit : ω double de ω ω (II-38) Si nous insérons ω dans la relation (II-34) le rapport ω / ω prend pour expressions: ω ω ka j ka sin jsh (II-39) ω étant une variable réelle positive non nulle, la seule valeur possible pour la onstante β ontenue dans (II-37) est : π β (II-4) a

33 33 En onséquene, α est ontenue dans la relation : ω ω α a h (II-4) Relation dont l'inversion permet d'exprimer l'atténuation reherhée: og (II-4) a onde progressive exprimée par (II-7) est don le produit d'une fontion harmonique et d'une fontion exponentielle amortie dont l'exposant est déterminé par le produit du oeffiient α et la position de l'observateur situé le long de la haîne soit : jt j e e e u(, U (II-43) a ontribution de la onstante d atténuation linéique α signifie qu il y a génération du onde évanesente dont la soure est inapable d entretenir la propagation, l'amplitude s atténue en fontion de l'éloignement, en effet : e α lorsque (II-44) D'après ette démonstration dés que la pulsation de la soure est supérieure à la pulsation de oupure ω la haîne entretient une onde évanesente, ette propriété se renontre également lors de la propagation des ondes életromagnétique dans des guides d'ondes et lors de la transmission des sons dans des tubes dont les dimensions transversales sont petites par rapport à la longueur d'onde.

34 34 - Propagation entretenue Considérons une soure dont la pulsation est inférieure à la pulsation de oupure, il y a entretien de la propagation, la vitesse de phase existe alors que α, si nous admettons en plus que la pulsation ω est très inférieure à ω ( approximation des basses fréquenes) : ω ω (II-45) a relation (II-33) peut être simplifiée en onfondant la fontion Ar sin ave son développement limité au premier ordre, nous arrivons à la relation approhée : ω ω ω Ar sin k ω (II-46) ω a ω a vitesse de phase et la longueur d'onde s'expriment alors : vφ a ω (II-47) a (II-48) D'autre part la relation (II-48) montre que sous la ondition des fréquenes basses la longueur d'onde est forément très supérieure à la période a de la haîne. Pour ette raison l'approximation basse fréquene s'appelle aussi ondition des grandes longueurs d'ondes, en pratique ette hypothèse est très souvent vérifiée, 'est notamment le as des phénomènes sismiques, de la transmission des signaux dans les lignes ou la propagation de vibrations dans les fluides ompressibles (propagation du son dans l'air). De plus la relation (II-47) indique qu'aux grandes longueurs d'onde la vitesse de phase est indépendante de la pulsation de la soure, il s'agit d'une propagation non dispersive.

35 35 - Comportements partiuliers des phénomènes de propagation Nous attribuons à la pulsation des valeurs limites respetivement égales à ω = et à la pulsation de oupure d'onde prennent les valeurs partiulières: ω, dans e as le nombre d'onde, la vitesse de phase et la longueur ω k, v aω φ, k, v a, a λ a (II-49) a ourbe de la Figure (II-5) préise l évolution de la vitesse de phase en fontion de la pulsation ω : v φ a ω ω ω ω Figure (II-5)

36 36 II 5 Propagation d'une onde entretenue sur une haîne périodique de résonateurs életriques passifs Une suite infinie de résonateurs életriques est représentée onformément au shéma de la Figure (II-6), il s'agit d'une assoiation périodique de quadripôles tous identiques. n a o Figure (II-6) Nous attahons le repère longitudinal o et la période géométrique a. Chaque quadripôle forme un résonateur omposé d une indutane et d une apaité C onnetés suivant la disposition de la Figure (II-7). n i n C Figure (II-7) e quadripôle d ordre n est don traversé par le ourant i n. Nous allons établir une équation différentielle itérative analogue à elle trouvée pour la haîne de résonateurs méaniques. e ourant i n est fontion des ourants sur les quadripôles jouxtant l'élément n. En suivant la représentation de la Figure (II-8) nous pouvons établir les lois de Kirhoff, soit :

37 37 v i i n C C v i i n n C v i i n n C (II-5) v n in in i C i C i n v C C C v C n - n n + Figure (II-8) a tension v n aux bornes de l'indutane est reliée au ourant i n par la loi d'auto indution : din v n (II-5) dt a ombinaison des relations (II-5) et (II-5) aboutit alors à l'équation différentielle itérative : d in dt ω i ω ( i i ) (II-5) n n n Equation dans laquelle ω orrespond à la pulsation de résonane du quadripôle, C soit : ω (II-53) C Cette équation est don tout à fait analogue à la relation démontrée au paragraphe (II-3), ainsi il existe ainsi une analogie entre la propagation sur un dispositif périodique méanique ou

38 38 életrique. A l'issue de e hapitre nous appliquerons ette propriété en vue d'établir des orrespondanes entre systèmes méaniques aux systèmes életriques et vie versa. II 6 Impédane aratéristique d'un quadripôle élémentaire A haque quadripôle élémentaire de la haîne de la Figure (II-7) nous pouvons adjoindre les notations onventionnelles de la théorie des iruits pour laquelle I, V et I, V représentent respetivement les ourants et tensions en entrée et en sortie du quadripôle illustré Figure (II-9). e e s s I e I s V e V s Figure (II-9) D'après la théorie des iruits es paramètres sont reliés par une matrie haîne (T) que nous exprimons : V I e e T V I s s t t t t V I s s (II-54) Ave ette représentation le quadripôle, C adopté au paragraphe préédent a pour matrie haîne: t t t t C ω j ω j Cω (II-55) Nous allons aluler l'impédane d'entrée Z e du quadripôle dont la sortie est onnetée sur une impédane quelonque Z indiquée Figure (II-).

39 39 Z e Z Figure () Z e s'appelle également l'impédane itérative du quadripôle exprimée par le rapport tension ourant en entrée soit : Z e tz t (II-56) t Z t 'impédane aratéristique entrée l'impédane itérative Z est la valeur partiulière de l'impédane Z, e qui revient à satisfaire les relations: Z donnant en Z Z Z (II-57) e 'impédane aratéristique permet de réaliser la ondition d'adaptation des ondes. En effet, on allons montrer que la onnexion de Z à l'extrémité de la haîne élimine l'onde rétrograde, dans es onditions seule l'onde progressive se propage d'une manière tout à fait semblable à une haîne infinie. Des relations(ii-56) et (II-57) nous déduisons l'expression de relions aisément aux oeffiients de la matrie haîne : Z que nous Z t t t t 4 t t (II-58) t Appliquée au résonateur, C de la Figure (II-7) ette relation donne pour expression de Z :

40 4 j ω 4 Z (II-59) Cω Relation qu'il est plus ommode d'érire en faisant apparaître la pulsation de résonane du iruit soit : j ω ω Z 4 (II-6) ω Aux fréquenes inférieures à la fréquene de résonane ω, simplifiée : j ω ω ω ω Z j (II-6) ω Z prend pour expression Pour des raisons physiques ette expression ne peut omporter qu'une omposante réelle positive, il faut don hoisir la détermination ave le signe -, mathématique lorsque ω : Z prend don pour limite R ω (II-6) C Z Il s'agit de la résistane (ou impédane) aratéristique notée par la suite indifféremment ou R. Z II 7 Propagation sur une haîne périodique de quadripôles de dimension limitée onnetée sur une impédane quelonque a haîne omporte un nombre limité de N quadripôles identiques, le premier élément est onneté à une soure de ourant i ( alors qu'à l'extrémité la haîne est branhée sur une impédane Z rappelée par shéma de la Figure (II-).

41 4 i( n N Z a o N Figure (II-) e ourant en entrée du premier quadripôle s'exprime ave la notation des fontions harmoniques omplexes soit : j ωt i( I e (II-63) D'après les solutions générales de l'équation d'onde donnée par la relation (I-4) du premier hapitre le ourant i n ( sur le quadripôle d'ordre n représente la superposition d'une onde progressive et d'une onde rétrograde dont les amplitudes respetives sont déterminées par les onstantes A et B, leurs valeurs vont dépendre de l'impédane et de la pulsation de la soure soit : Z, du nombre de quadripôles j t k j t k i (, Ae Be (II-64) n A et B sont don pour l'instant deux paramètres inonnus que nous proposons évaluer en adoptant un raisonnement voisin de elui appliqué aux haînes de résonateurs méaniques. Nous exprimons le ourant dans le quadripôle d'ordre n en tenant ompte de la période a de la haîne, soit : i in a t (II-65) n, D'après la relation (II-64) in devient : i n i ωt k j ka j ωt k j ka Ae e B e e (II-66)

42 4 Il faut déterminer A et B en appliquant les onditions aux limites renontrées aux deux extrémités de la haîne, à l'origine nous obtenons : I A B (II-67) A l'extrémité opposée il faut tenir ompte de l'impédane Z en l'intégrant dans le réseau situé en extrémité de façon à introduire les ourants et tension portés sur la Figure (II-). in in i C vn C Z Figure (II-) D'après e shéma nous remarquons que le ourant in qui irule dans Z engendre la tension vn : v Z i N N (II-68) D'autre part vn est également la tension apparaissant en sortie du quadripôle qu'on peut relier au ourant i C par des expressions déduites de la loi des nœuds : v N i in i C N (II-69) j Cω j Cω En insérant les expressions (II-64) et (II-66) le numérateur de la relation (II-69) devient : i N j ωt k N j ka j ωt k N e B e j ka e in Ae (II-7) Par identifiation de onstantes A et B soit : (II-68) et (II-69) nous obtenons une seonde expression liant les

43 43 j CωZ Ae Ae j k N j k N a j k N a B e k a k k a e j B e j N e j (II-7) e ouple (II -67) et (II-7) représente un système linéaire ayant pour solutions A et B. Pour des raisons de simpliité nous limiterons leur reherhe aux as partiuliers des fréquenes basses 'est à dire de grandes longueurs d'onde par rapport à la dimension de la haîne. Solutions aux grandes longueurs d ondes équation différentielle itérative (II-5) est tout à fait analogue à l équation qui régit le mouvement de la haîne d osillateurs méaniques. En onséquene, il y a dualité entre le problème életrique et le problème méanique. Nous remarquons deux paramètres ommuns à es équations, la pulsation de résonane ω et le nombre d'onde : k r ω (II-7) m C ω k a ondition des basses fréquenes (grandes longueurs d'onde) implique que ω soit petite par rapport à la pulsation de résonane ω ω, d'autre part nous avons montré lors des développements du paragraphe (II-4) que le nombre d'onde s'exprime par le rapport entre la pulsation de la soure et de la vitesse de phase des ondes : ω k (II-73) v φ a vitesse de phase étant reliée à la période de la haîne et à la pulsation de résonane par l'expression approhée :

44 44 vφ aω (II-74) Nous appliquons es simplifiations au as de la haîne de quadripôles életriques e qui équivaut à dire que le produit du nombre d'onde et de la période est une quantité petite devant l'unité soit : ω ka (II-75) ω Cette ondition simplifie énormément la résolution puisque nous pouvons introduire dans l'expression (II-7) des développements limités : j k a e j ka (II-76) j k a e j ka Si nous supposons en plus que la haîne omprend un grand nombre de quadripôles la période a devient négligeable devant la oordonnée N définissant la position géométrique du dernier quadripôle soit l'approximation : N j k N a j k N e e (II-77) Dans es onditions l'équation (II-7) s exprime : Z j k N j k ka N k N N Ae Be Ae j Be j k Cω (II-78) Devant le seond membre de ette relation figure un rapport qui n'est autre que la résistane aratéristique définie au paragraphe (II-6) en effet : ka Cω R (II-79) C A et B sont don les solutions du système linéaire :

45 45 A B I A k N j k Z R e j B Z R e N (II-8) Nous en déduisons le oeffiient B de l onde rétrograde soit : B Z R j k A e N Z R (II-8) Nous utiliserons par la suite le oeffiient de réflexion défini par l'expression : ρ Z R (II-8) Z R ρ attribué à l'impédane Z, ρ est es oeffiients A et B s'expriment alors d'une manière très ompate : I A ρ (II-83) j k N e B j k N I ρ e (II-84) j k N ρ e Il faut rappeler que es solutions doivent respeter l'hypothèse des basses fréquenes (grandes longueurs d'ondes ) et qu'elles sont uniquement valables pour un grand nombre de quadripôles. Nous allons montrer au hapitre trois que les expressions (II-8) onvergent vers les solutions de l'équation d'onde des milieux ontinus. - Cas partiulier d une haîne adaptée Considérons le as partiulier de la haîne onnetée sur son impédane aratéristique soit : Z R (II-85)

46 46 e oeffiient de réflexion ρ s'annule ainsi que la onstante B, il n'y a pas d'onde rétrograde, le ourant se propageant sur la haîne orrespond à la seule onde progressive que nous exprimons : j ωt k i( I e (II-86) En onséquene une haîne périodique onnetée sur dimension infinie, nous dirons qu'elle est adaptée. R est équivalente à une haîne de - e temps de propagation (delay time) Soit i l amplitude du ourant à l entrée( ) de la haîne adaptée en sortie, à l instant arbitraire t t i s'exprime : j ωt i, t ) I e i ( (II-87) Pour un observateur plaé à l'extrémité de la haîne ( N )nous reherhons l'instant t t N pour lequel le ourant prend l'amplitude i, soit la ondition mathématique : I j ωtn k N e i (II-88) 'éart entre t N et t orrespond au temps de propagation θ donné par la relation: k N θ t N t (II-89) ω θ est également relié à la vitesse de phase, en effet si nous utilisons l'expression approximative du nombre d'onde k donnée par (II-73),la relation (II-89) devient :

47 47 N θ (II-9) vφ e temps de propagation peut s'érire autrement si nous faisons usage de la relation (II-74) établissant le lien entre la vitesse de phase, la pulsation de résonane ω du quadripôle et la période a de la haîne. Sahant que la dimension N prend pour valeur : Nous déduisons aisément l'expression de θ : N an (II-9) N θ (II-9) ω e temps de propagation est don indépendant de la période de la haîne, si nous introduisons la onstante de temps τ du quadripôle exprimée par l'inverse de la pulsation de résonane soit : τ (II-93) ω e temps de propagation θ est diretement proportionnel au nombre de quadripôles et à la onstante τ qui représente alors le retard élémentaire de haque quadripôle lors du passage de l'onde. Ce retard est indépendant de la période a, ette propriété résulte de l'hypothèse des basses fréquenes (grandes longueurs d'ondes)nous rappelons es onditions : a ω ω ka π λ a (II-94) λ En dehors de es simplifiations il faut entreprendre une résolution rigoureuse des équations (II-67) et (II-7).

48 48 II 8 Analogies Eletro-méaniques es lois d'équivalene que nous venons d'établir entre la propagation sur une haîne masse ressort et sur une haîne de quadripôles indutane apaité permettent de trouver des règles de orrespondane entre des paramètres életriques et des paramètres méaniques et vie versa. Ces équivalenes dépendent de onventions que nous proposons illustrer sur la base de deux exemples. - Correspondane établie sur la présentation des équations différentielles Nous avons montré au début de e hapitre que l équation différentielle qui régit le mouvement de l osillateur méanique s exprime : d dt u kr u où (II-95) m e ourant qui s établit dans un iruit C est régit par une équation analogue : d dt i i où (II-96) C Puisque la tension aux bornes de l'indutane est reliée à la variable temps par la loi d'auto indution à laquelle nous pouvons faire orrespondre l'analogie méanique donnée par le produit de la masse m et de la dérivée du déplaement u par rapport à la variable temps soit : di du v m (II-97) dt dt Ave e hoix il y a analogie entre la tension v et l'impulsion méanique p dont nous posons la définition : p m u (II-98)

49 49 Bien entendu la démarhe implique l'analogie entre le ourant i et le déplaement de la masse u soit : i u (II-99) De la même manière nous pouvons définir une impédane életrique et une impédane méanique en reherhant les rapports tension ourant et impulsion déplaement soit : Z v p Z (II-) i u Cette orrespondane est ensuite étendue à l'ensemble des paramètres életriques et méaniques ontenus dans le Tableau (II-) Paramètres életriques C Paramètres méaniques m k r ω C ω kr m i u v p Z v i Y i v Z p u Y u p Tableau (II-) - Correspondane établie sur les énergies Nous proposons faire orrespondre à l'énergie inétique T l'énergie magnétique donnée par la onvention : T mu W i (II-) W

50 5 Masse et indutane sont don équivalentes, nous pouvons poursuivre l'analogie en faisant orrespondre à l'énergie méanique potentielle U l'énergie életrostatique WC soit : U kr u WC q (II-) C Ainsi la raideur du ressort est équivalente à l'inverse de la apaité : k r (II-3) C Pour l'harmonisation du alul nous devons assoier au déplaement u la harge életrique q, à la vitesse u le ourant i, onditions impliquant qu'à la tension v orresponde la fore méanique f, impédanes életriques et méaniques sont don équivalentes aux rapports tension ourant et fore sur déplaement soit : v q u f Z Z k i r C i u u (II-4) 'équivalene établie sur les énergies est probablement la plus utilisée, elle est résumée dans le Tableau (II-) Paramètres életriques C Paramètres méaniques m k r q u i u v f Z v i Y i v Z f u Y u f Tableau (II-)

51 5 CHAPITRE III PROPAGATION DES ONDES DANS ES MIIEUX CONTINUS ignes de transmission Si nous exluons le transport des ondes hertiennes dans le vide il n'existe pas de milieu de propagation ontinu rigoureux. Au ours du hapitre préédent onsaré aux haînes périodiques de quadripôles nous avons simplifié le problème en nous limitant au as des grandes longueurs d'onde omparées à la période du milieu. Nous verrons qu'il existe une analogie entre un milieu de propagation ontinu et une ligne de transmission. Une ligne transportant des signaux életriques pouvant se réduire à un enhaînement de quadripôles de période infiniment petite nous déduirons une équation d'ondes dont la formulation mathématique a été présentée au premier hapitre du ours. a partiularité des équations d'onde spéifiques aux milieux ontinus réside dans l'existene d'un oeffiient de propagation dont la valeur est uniquement fontion des aratéristiques physiques qui omposent le milieu de propagation, pour les lignes il s'agit de la permittivité életrique du diéletrique primaire. a résolution de ette équation d'onde sera ensuite disutée pour aboutir à quelques représentations usuelles de leurs solutions. Pour onlure le hapitre nous appliquons les analogies életro-méaniques afin de aratériser la propagation des ondes sonores dans une barre métallique et dans un tube ontenant de l'air. Ces deux exemples mettront en évidene les démarhes à suivre pour reherher les équivalenes ave la théorie des lignes de transmission, nous ferons intervenir les notions d'élastiité des matériaux et les propriétés thermodynamiques des ga.

52 5 III Reherhe de l'équation d'onde des lignes de transmission a Figure (III-) représente une haîne de quadripôle dans laquelle les éléments et C sont remplaés par Δ et ΔC la raison de ette notation provient des variables infinitésimales qui sont utilisées par la suite. Nous assoions à ette haîne le repère longitudinal o. Δ Δ C o Δ Figure (III-) Un élément quelonque a pour période infinitésimale Δ. es ourants et tensions entrant et sortant du quadripôle élémentaire ont été représentés ave les onventions de la Figure (III-). i (, v Δ i ( Δ, Δ i ΔC v (, v ( Δ, ΔC Δ Figure (III-)

53 53 Pour des raisons justifiées à posteriori Δ s'exprime par le produit d'une indutane linéique et de la période Δ, il en va de même pour ΔC également reliée la apaité linéique C, les expressions (III-) rappellent es onventions. Δ Δ ΔC C Δ (III-) Ainsi et C ont pour unités respetives le H / m et le F / m, es unités étant bien trop grandes pour les linges de transmission usuelles on utilise de préférene le nh / m et le pf / m ( il ne faut ependant pas onfondre et C ave les symboles utilisés au hapitre prééden. D'après le shéma de la Figure (III-) l'appliation des lois de Kirhoff aboutit à deux relations exprimant la tension v sur l'indutane et le ourant i ΔC traversant la apaité ΔC : Δ v (, v ( Δ, v i (, i ( Δ, i ΔC Δ (III-) e aratère infinitésimal de Δ permet l'appliation du théorème des aroissements finis afin de faire apparaître les dérivées premières du ourant et de la tension: i i ( Δ, i (, Δ v v ( Δ, v (, Δ (III-3) Ce raisonnement suppose que i(, et v(, répondent aux ritères habituels des fontions ontinues. Une autre représentation de v et i onsiste à exploiter les lois d'indution magnétique et d'indution életrique appliables au iruit de la Figure (III-). Δ ΔC v i C i i t t v v C C t t (III-4)

54 54 Par identifiation des relations (III-) et (III-4) nous parvenons au système d'équations aux dérivées partielles : v i i t v C t (III-5) Ce ouple s'appellent équations des télégraphistes, la période Δ étant éliminée de es relations nous passons d'une haîne de quadripôle à une ligne de transmission. Par dérivation de haune des équations par rapport aux variables temps et espae nous arrivons aux équations d'ondes spatio-temporelles introduites au premier hapitre soit : i v v v t i v t (III-6) Dans es équations figure la vitesse de propagation v à laquelle nous attribuons l'expression : v (III-7) C - Présentation des équations d'ondes dans l'hypothèse de l'exitation harmonique 'hypothèse d'une soure de signal harmonique appliquée à l'entrée de la ligne permet d'adjoindre aux fontions i(, et v(, les notations omplexes du hapitre premier soit : i (, I ( ) e v (, V ( ) e j ωt j ωt (III-8) I ( ) et V ( ) deviennent des fontions omplexes dépendant de la seule variable géométrique et de la pulsation ω, (par onvention I ( ) et V ( ) sont représentés par

55 55 des lettres majusules, pour alléger l'ériture la pulsation est impliite). Dans es onditions le ouple des équations des télégraphistes (III-5) s'exprime : dv d d I d j ω I j CωV (III-9) Relations aux quelles il faut faire orrespondre les équations d'ondes harmoniques soit : d d d d I V γ γ I V (III-) Dans es expressions figure l'exposant linéique de propagation γ plus fréquemment appelé onstante de propagation que nous pouvons érire: γ j ω C (III-) D'autre part γ est reliée au nombre d'onde k par la variable omplexe j d'où : γ j k (III-) e nombre d'onde assoié à ette ligne est don relié aux indutanes et apaités linéiques ainsi qu'à la vitesse de propagation, soit: ω k ω C (III-3) v Nous allons montrer au prohain paragraphe que et C sont liées simplement à la vitesse de propagation et aux onstantes physiques μ, ε, ε r par les relations suivantes:

56 56 v (III-4) C μ ε ε r III- Prinipales propriétés physiques des lignes de transmission es lignes de transmission sont très utilisées pour transporter les signaux élaborés en téléommuniations, elles peuvent revêtir des strutures très diverses omprenant la ligne bifilaire torsadée limitée à la ouverture de faibles distanes et les âbles oaxiaux dont ertains assurent les liaisons transatlantiques. Ce paragraphe est onsaré au âble oaxial dont la struture géométrique simple permet d'exprimer ertaines propriétés physiques intéressantes. e âble représenté sur la Figure (III-3) omporte un onduteur intérieur de diamètre d et un onduteur extérieur de diamètre D que nous supposons pour l'instant infiniment mine, entre es deux onduteurs prend plae un isolant primaire homogène de permittivité életrique relative ε r, nous assoions au âble un repère longitudinal o. ε r Conduteur extérieur d Conduteur intérieur Isolant D o Figure (III-3) Nous alulerons l'indutane linéique du âble et sa apaité linéique C à partir de raisonnements empruntés à la magnétostatique et à l'életrostatique. Considérons tout d'abord l'effet du hamp magnétique engendré par deux ourants I d'amplitudes identiques mais de diretions opposées irulant respetivement dans le onduteur intérieur et dans le

57 57 onduteur extérieur. a oupe transverse de la Figure (III-4) indique qu'on attahe au onduteur intérieur le repère ylindrique ρθ. 'appliation du théorème d'ampère à l'intérieur du âble permet de relier la omposante angulaire ourant I sur le onduteur intérieur au moyen de l'expression * : H θ de hamp magnétique et le π ρh θ I (III-5) ρ H θ I u θ -I Figure (III-4) Un élément de surfae S d de dimension longitudinale unité orientée dans la diretion angulaire θ s'exprime : ds dρ u θ (III-6) H θ produit sur et élément le flux magnétique élémentaire dφ : dφ μ H θ ds (III-7) * e ourant sur le onduteur extérieur ne produit pas de hamp magnétique intérieur Par intégration de la relation (III-7) sur la diretion radiale nous déterminons le flux total unitaire : μ D Φ og I (III-8) π d 'indutane linéique et le ourant sont reliés parla loi :

58 58 Φ I (III-9) 'appliation de ette relation permet d'attribuer à l'expression : μ D og (III-) π d Conduteur intérieur et onduteur extérieur sont maintenant soumis à une différene de potentiel V orientée ave la onvention Figure (III-5) imposée par la théorie des lignes. E ρ ρ V Figure (III-5) V produit un hamp életrique E ρ orienté dans la diretion radiale que nous exprimons : E ρ dv u ρ (III-) d ρ Une surfae ylindrique fitive de dimension longitudinale unité et de rayon ρ tel que : d / ρ D aumule des harges q qui produisent le flux életrique Ψ qu'on exprime onformément au théorème de Gauss : Ψ q ε (III-) ε r

59 59 e signe - est justifié par l'orientation de V, e flux ψ peut aussi s exprimer: Ψ π ρe ρ (III-3) Par identifiation des relations (III-) et (III-3) et après intégration du hamp életrique donné par (III-), la différene de potentiel V devient : V πε q ε r D og (III-4) d D'autre part nous savons que la apaité linéique et la harge linéique sont reliées à la tension V par la loi de Faraday : q CV (III-5) Ainsi des relations (III-4) et (III-5) il est faile de déduire la formule de la apaité linéique : πε εr C D og d (III-6) es résultats de ette démonstration permettent tout d'abord d'établir les onventions d'orientation des ourants I() et des tensions V() répartis sur la ligne en prenant le shéma de la Figure (III-6) pour référene. Ensuite la résolution de l'équation d'onde fera apparaître les liens entre les paramètres physiques du âble et la vitesse de propagation des ondes.

60 6 I() Conduteur intérieur V() Conduteur extérieur o Figure (III-6) - Résolution de l'équation d'ondes Nous reherhons les solutions en ourant de l'équation donnée par la première ligne du système (III-) soit : d I γ I (III-7) d Equation dont les solutions générales s'expriment : γ γ I( ) A e B e (III-8) a seonde équation des télégraphistes du ouple (III-9) permet d'érire les solutions en tension : d I V ( ) Z A e B e (III-9) jc d Relation dans laquelle il est ommode de faire apparaître l'impédane aratéristique de la ligne Z ou R : Z C

61 6 Dans le as partiulier d'une ligne de dimension infinie il n'y a pas d'onde rétrograde, il en résulte que B=, les solutions prennent alors les formes simplifiées : I( ) I V ( ) Z e γ I( ) (III-3) Nous remarquons que es expressions sont tout à fait analogues aux solutions déduites de la haîne périodique de quadripôles étudiée au seond hapitre. Nous rappelons que dans e as il s'agissit d'une exitation harmonique de pulsation bien inférieure à la pulsation de résonane propre du quadripôle (hypothèse basses fréquenes). - Propriétés de la onstante de propagation Nous avons établi plus haut les expressions (III-) et (III-6) donnant l'indutane et la apaité linéiques du âble oaxial, nous savons d'après la relation (III-) que la onstante de propagation est diretement liée au produit C e qui amène à érire: γ j ω C j ω μ (III-3) ε εr D'autre part le nombre d'onde k est donné par le rapport de la pulsation et de la vitesse de propagation, ondition qui implique d'après l'expression (III-3) que v dépend uniquement des onstantes physiques μ : ε ε r ω k ω C où v (III-3) v μ ε εr a vitesse de la lumière dans le vide ayant pour valeur approhée : 8 3 m / s (II-33) μ ε

62 6 Nous pouvons rapporter la vitesse de propagation dans le âble à la élérité et à la raine arrée de la permittivité életrique relative du matériau diéletrique homogène qui ompose l'isolant primaire soit : v (III-34) ε r Pour un isolant en polyéthylène de permittivité életrique égale à ε r, 35 la vitesse de propagation prend pour valeur: v 8 / m s. Ces développements montrent qu'une ligne de transmission possède deux propretés remarquables : la onstante de propagation est indépendante de la géométrie de la ligne alors que la vitesse de propagation est indépendante de la pulsation de la soure de signaux. Par onséquent la ligne satisfait les onditions d'une propagation non dispersive ( vitesse de phase et vitesse du front d'onde seront don les mêmes à ondition ependant que la ondutivité életrique des onduteurs qui omposent la ligne soit supposée infinie). a permittivité életrique des diéletriques usuels étant généralement omprise entre et 5 la vitesse de transmission des signaux sera voisine de elle de la lumière. Il faut préiser que des développements plus approfondis qui sortent du adre de e ours montrent que es deux propriétés restent valables pour des âbles autres que les oaxiaux, notamment les lignes bifilaires. a seule ondition requise suppose que l'espaement des onduteurs soit bien inférieur à la longueur d'onde, ette ondition est appelée approximation quasi TEM (Transverse Eletromagnétique). Cette limite physique tient au fait que le raisonnement adopté dans le ours est fondé sur une extension des propriétés életrostatiques et magnétostatiques illustrées lors alul de l'indutane linéique et de la apaité linéique. orsque les hypothèses de la propagation TEM sont inappliables nous devons reourir à un formalisme plus omplexe dans lequel il faut aluler les hamps életromagnétiques propagés au moyen du formalisme des ondes ylindriques. Une appliation numérique permet de situer la transition entre la théorie des lignes et elle des ondes ylindriques. Considérons un âble oaxial dont le diamètre extérieur est D mm, sahant que la vitesse de propagation est : 8 v m/ s la limite d'appliation de l'approximation quasi TEM suppose que la longueur d'onde soit bien supérieure au diamètre du âble λ D, si

63 63 nous aordons pour limite inférieure λ Dnous obtenons une fréquene de GH, en onséquene au dessus de ette fréquene les solutions (III-8) et (III-9) seront erronées. - Valeurs typiques des indutanes apaités linéiques et impédanes aratéristiques de âbles oaxiaux es valeurs typiques de l'impédane aratéristique des âbles oaxiaux sont généralement imposées par des normes internationales, suivant le domaine d'appliation des âbles on distingue deux valeurs Z 5 Ω ou Z 75 Ω la première onvient pour les âbles onnetant des appareils sientifiques (oaxiaux utilisés dans les travaux pratiques) la seonde orrespond aux âbles utilisés pour la transmission des signaux de téléommuniation (liaison entre antennes réeptries et téléviseurs). Des relations (III-) et (III-6) nous déduisons aisément le lien entre Z géométriques de la ligne: et les paramètres physiques et μ D Z og (III-37) C ε ε d r Si nous allouons aux onstantes μ et ε les valeurs μ à π l'impédane aratéristique devient : ε à μ 7 4π et ε soit 9 36π - Appliation numérique 6 D Z og (III-38) ε d r Sahant qu'un âble a pour aratéristiques d 3 mm, D mm, εr, 35 nous trouvons: Z 5 Ω, 4 nh / m, C 57 pf / m

64 64 III 3 Présentations des solutions de l'équation d'ondes des lignes de transmission Il existe différentes méthodes pour présenter les solutions des équations d'ondes, leur hoix est généralement guidé par la nature du problème physique onerné par la résolution, nous regarderons les formulations les plus usuelles. - Présentation ave les onstantes A et B impliites C'est la présentation la plus ommune qui onvient pour traiter la plupart des problèmes de propagation engendrée sur des lignes onnetées à des soures de tension ou de ourant idéales ( impédane interne de type ourt-iruit ou infinie). 'exemple illustré sur la Figure (III-7) montre l'intérêt de ette présentation. Il s'agit d'une ligne onnetée à une soure de ourant idéale et ourt-iruitée en extrémité. I () I V () o Figure (III-7) a ligne a pour dimension longitudinale, la soure de ourant a pour amplitude I. e ourant et la tension I( ) et V ( ) le long de la ligne vont don s'exprimer onformément aux solutions en ourant établies au préédent paragraphe : I( ) A e V( ) Z γ Ae B e γ γ Be γ (III-39) Pour e as partiulier les onditions aux deux extrémités de la ligne s'expriment :

65 65 I ( ) I V ( ) (III-4) Il est alors faile de tirer les valeurs analytiques des onstantes A et B, soit: γ B A e (III-4) I A γ e (III-4) Quelques transformations permettent ensuite d'exprimer I( ) et V ( ) sous la forme : h γ I( ) I (III-43) h γ γ h sh V ( ) Z I (III-44) γ es solutions que nous venons d'établir seront utilisées au Chapitre-IV pour aratériser les ondes stationnaires entretenues sur les lignes. - Solutions intégrant les oeffiients de réflexion de la soure et de l'impédane d'extrémité Une soure de f.e.m E possédant une impédane interne Z est onnetée à l'entrée d'une ligne branhée sur une impédane Z, la Figure (III-8) montre ette disposition. es onstantes A et B qui fixent les amplitudes des ondes progressive et rétrograde seront évaluées après appliation des onditions aux limites aux deux extrémités de la ligne, soit : V ( ) E V ( ) Z Z I( I( ) ) (III-45)

66 66 Z I () I ( ) + E - V () V ( ) Z o Figure (III-8) Relations que nous développons omme suit : Z Z A B E Z A B γ γ γ γ Ae Be Z Ae B e (III-46) Ces équations sont d'ailleurs identiques au système (II-8) obtenu pour des haînes périodiques de résonateurs soumis à des signaux de fréquenes très inférieures à leur oupure. Si nous insérons les oeffiients de réflexion impédanes Z et Z, ave les onventions suivantes: ρ et ρ attahés respetivement aux ρ Z Z Z Z ρ (III-47) Z Z Z Z I() et V () prennent alors pour expressions : γ γ γ E e ρ e e I ( ) (III-48) γ Z Z ρ ρ e γ γ γ Z e ρ e e V ( ) E (III-49) γ Z Z ρ ρ e 'intérêt prinipal de es relations onerne surtout leur aratère général et fontionnel.

67 67 - Solutions exprimant les réflexions suessives Exeption faite des as partiuliers de lignes onnetées sur ourts iruits ou bien ouvertes en extrémité les oeffiients de réflexion ρ et ρ prendront une valeur absolue inférieure à l'unité. D'autre part la onstante de propagation γ étant une quantité purement γ imaginaire la valeur absolue de la fontion e est égale à l'unité puisque : ω γ j k j (III-5) v En onséquene le développement du dénominateur ommun aux relations (III-48) et (III-49) amène à une série onvergente à progression géométrique : ρ γ ρ γ ρ e e ρ 4 γ ρ ρ e (III-5) En respetant e formalisme les solutions (II-48) et (III-49) deviennent : n γ γ γ e ρ e e ρ ρ e n γ E I( ) (III-5) Z Z n n γ γ γ e ρ e e ρ ρ n γ Z V ( ) E (III-53) e Z Z n Nous voyons apparaître dans haune de es relations le produit ρ ρ, un terme de γ propagation e et un nombre entier n dont la progression aratérise la superposition de fontions dont l'amplitude s'amortit au fur et à mesure que l'ordre n s'aroît. 'étude de es phénomènes ouramment appelés réflexions suessives sera approfondie au hapitre V du ours onsaré à la propagation des impulsions dans les lignes.

68 68 - Présentation suivant le formalisme des quadripôles Nous assimilons la ligne à un quadripôle onordant ave la matrie haîne définie au seond hapitre du ours. En appliquant les onventions d'usage données sur la Figure (III-9) nous appelons I e et Ve ourant et tension d'entrée s Vs faile de relier aux paramètres portés sur la Figure (III-8) : I et ourant et tension de sortie qu'il est I I e s I( ) I( ) V e V s V ( ) V ( ) (III-54) I e I s I e I s V e V s V e T V s o Figure (III-9) Après quelques transformations mathématiques qui ne seront pas détaillées mais qui prennent pour base les relations (III-39) nous parvenons à la relation matriielle : V I e e t t t t V I s s (III-55) Matrie dans laquelle nous attribuons aux oeffiients t les valeurs : i j t t h γ t Z shγ sh γ Z t h γ (III-56)

69 69 orsque la longueur d'onde est grande devant la dimension de la ligne soit : λ, nous adoptons les développements limités au premier ordre des fontions ontenues dans les relations (III-56), en effet : γ π (III-57) λ Si nous faisons intervenir les expressions liant Z et γ aux paramètres linéiques primaires indutane et apaité, les oeffiients de la matrie haîne prennent pour formes simplifiées : t t j Cω t t j ω (III-58) Il est faile d'assoier à es oeffiients simplifiés le shéma équivalent porté sur la Figure (III-). Ce shéma représente un quadripôle symétrique omprenant deux indutanes et une apaité prenant pour valeurs : et C I e I s Ve C V s λ Figure (III-)

70 7 III-4 Propagation des ondes dans les matériaux élastiques a Figure (III-) représente une barre métallique de setion uniforme S. S u, f f Δ o Figure (III-) 'extrémité de la barre est soumise à une fore f qui provoque une onde de ompression extension. Une portion élémentaire Δ du matériau subit un déplaement relatif u de matière auquel il faut adjoindre une vitesse de variation u. Soit ρ la densité volumique de la barre dont une portion de dimension unité a pour masse : m ρ S (III-59) ors de la propagation les deux faes de setion S de l'élément Δ sont soumises à des fores différentielles qui engendrent une déformation élémentaire Δu. a fore f est reliée au déplaement par une une onstante Y appelée le module d'young. Y représente une aratéristique du matériau traduisant son omportement aux efforts de ompression ou d'extension, 'est l'équivalent de la raideur du ressort k r introduite au seond hapitre. u f (III-6) Y S a Figure (III-) montre le détail de l'élément Δ sur lequel s'appliquent les fores et déplaements différentiels.

71 7 Figure (III-) Au shéma de la Figure (III-) nous pouvons assoier un ouple d'équations, la première exprime la ondition équilibrant la fore d'inertie et de ompression extension, la seonde ontient le lien entre le déplaement différentiel et la fore. t u Δ S ρ Δ f f ) ( ) ( (III-6) f S Y Δ Δ u u ) ( ) ( (III-6) Sahant que la dimension de l'élément est très petite, l'appliation du théorème des aroissements aboutit aux équations aux dérivées partielles suivantes: t f S Y u t u S ρ f (III-63) Ce système est à omparer aux équations des télégraphistes (III-5) : t v C i t i v (III-64) Δ ) (, ) ( u f ) (, ) ( Δ u Δ f o S

72 7 Nous pouvons don déduire les analogies eletro-méaniques rapportées dans le Tableau (III- ). De plus les relations (III-64) permettent de dérire deux équations d'ondes où figurent la répartition de la fore f () ou la répartition de la vitesse u () de déplaement de la barre par rapport à sa position d'équilibre, es équations s'expriment : u v f u t f v t (III-65) Dans les relations (III-65) apparaît la vitesse de propagation des ondes v qui dépend uniquement de la masse volumique ρ et du module d'young Y. Y v (III-66) ρ Paramètres életriques I Paramètres méaniques V F U ρ S C Y S Z V I Y I V Z F U Y U F Tableau (III-) - Propagation des vibrations exitées par une soure harmonique 'extrémité de la barre est soumise à des osillations sinusoïdales entretenues ayant pour pulsation ω, dans es onditions les équations (III-63) deviennent :

73 73 d F j ρ Sω U d du j ω F d Y S (III-67) Nous désignons par des lettres majusules les grandeurs omplexes rapportées aux variables fore f et vitesse de déplaement u. De es relations dérivent deux équations d'ondes harmoniques: d U γ d d F d γ U F (III-68) De es équations il est faile d'extraire la onstante de propagation γ, le nombre d'onde k, la vitesse de propagation v, la longueur d'onde λ, la pulsation ω et la fréquene f : ω π γ j k où k (III-69) v λ v λ (III-7) f - Solutions de l'équation d'onde en vibration a solution de l'équation d'onde des vitesses U s'exprime : γ γ ( ) A e B e (III-7) U De la seonde équation de (III-67) nous déduisons l'expression de la variable fore F : γ Y S γ γ F ( ) A e B e (III-7) j ω

74 74 - 'impédane aratéristique de la barre aratéristique 'analogie ave les lignes de transmission permet d'exprimer l'impédane Z sous la forme: γ Y S j ω ρ Y S (III-73) soit: Z ρy S (III-74) Nous obtenons alors la forme allégée de la solution (III-7): F γ γ ) Z Ae Be ( (III-75) En prenant l'expression (III-66) de la vitesse de propagation et la relation (III-74) que nous venons d'établir nous trouvons quelques propriétés physiques intéressantes: plus le module d'young est important moins la barre se déforme sous l'ation de la fore vibrante, il en résulte une impédane aratéristique onséquente et orrélativement une vitesse de phase arue des ondes. Par analogie ave la théorie des lignes aux indutanes et apaités linéiques orrespondent la masse volumique et le module d'young, les expressions de la vitesse de propagation ontiennent ette propriété v Y v (III-76) C ρ III-5 Propagation des ondes aoustiques dans les fluides ompressibles Un tube de setion uniforme S ontient un ga soumis à une pression statique P auquel nous attahons le repère o représenté sur la Figure (III-3). e ga est soumis à l'extrémité du tube à des perturbations de pression matérialisées par la variable p dont l'amplitude reste en valeur absolue petite par rapport à la pression statique P, un haut-parleur alimenté par une soure de signaux életriques disposé à l'entrée du tube peut produire de

75 75 telles perturbations de pression. Si on onsidère un élément de petite taille Δ du ga ontenu dans le tube les perturbations de pression réparties sur les deux faes latérales de l'élément vont équilibrer la fore d'inertie de la masse de ga. S p, u p o P Δ Figure (III-3) Si nous transposons pour les pressions les raisonnements du paragraphe préédent établi pour des fores en prenant des onventions identiques au shéma de la Figure (III- ), nous pouvons également appliquer le théorème des aroissements finis afin d'aboutir à la relation: u p ( ) p ( Δ ρ (III-76) t p ) Dans ette expression ρ représente la masse volumique du ga. Il faut ensuite reherher le lien entre la déformation de l'élément Δ et la pression différentielle exerée sur les deux faes de setion S. Pour obtenir ette relation il faut tenir ompte de la loi des ga parfaits sous onditions adiabatiques. En effet onsidérons un volume unitaire de ga V soumis à la pression statique P, la loi des ga parfaits s'exprime : γ P V R T (III-77) Relation dans laquelle T représente la température absolue ( K), R la onstante thermodynamique des ga parfaits, γ un oeffiient lié au rapport des haleurs spéifiques * et * v C p C soit :

76 76 * p C γ (III-78) C * v Une perturbation de pression Δp de faible amplitude omparée à la pression statique P appliquée au volume unitaire engendre une petite variation de volume Δv soit : Δ p P Δv V (III-79) Cette transformation supposée adiabatique transforme la relation (III-77) qui devient : γ P ΔpV Δv RT (III-8) Etant donné les faibles variations d'amplitude mentionnées par les relations (III-79) un développement limité au premier ordre de l'expression (III-8)est possible : V γ γ ΔvV γ RT P Δp P (III-8) a poursuite du développement limité appliqué au dénominateur de la relation (III-8) donne l'expression approhée : Δp P Δp P (III-8) Nous pouvons alors simplifier (III-8) pour ne retenir que la ontribution des variables de faible exursion d'amplitude soit : RT γ Δv Δp (III-83) γ P V

77 77 'insertion de la loi des ga parfaits (III-77)aboutit à l'expression : V Δv Δ p (III-84) γ P Si nous assimilons Δp à la perturbation de pression p appliquée sur l'élément Δ, la relation (III-84) s'érit : Δv V Δ p (III-85) γ P Pour d'alléger ette expression nous adoptons un oeffiient χ appelé oeffiient de ompression linéique extrait de la ombinaison des relations (III-85) et (III-86): soit : Δv Δ p (III-86) χ γ P χ (III-87) V Appliquée sur un élément de setion unitaire la relation (III-86) devient : Δ ( (III-88) χ u Δ) u ( ) p 'appliation du théorème des aroissements finis amène à l'équation : u χ p (III-89) Si nous dérivons (III-89) par rapport à la variable temps nous arrivons à l'équation aux dérivées partielles dans laquelle apparaissent les variables vitesse u et pression p : u p (III-9) χ t

78 78 Cette relation ouplée à l'équation (III-76) établie plus haut forme le système d'équations aux dérivées partielles: p u ρ χ u t p t (III-9) e système obtenu est tout à fait analogue aux équations des télégraphistes (III-5) ainsi qu'aux équations (III-67) établies pour la propagation des vibrations de ompression dans une barre métallique. Dans l'hypothèse d'une exitation harmonique nous transformons (III-9) en deux équations d'ondes: d u γ u d d p d γ p (III-9) Relations où figure la onstante de propagation : ω γ j k où k (III-93) v a vitesse de propagation des ondes aoustiques dans le ga prend alors pour expression : v (III-94) Habituellement la vitesse des ondes aoustiques dans les ga s'exprime en fontion de la température absolue du ga T et de la masse molaire M. En effet la loi des ga parfaits appliquée au volume molaire VM prend la forme lassique: P V M R T (III-95)

79 79 Sahant que la masse volumique est liée à la masse molaire et au volume molaire par la relation : M ρ (III-96) V M Pour le volume unité nous déduisons aisément de (III-87) et (III-94) l'expression de v soit : γ R T v (III-97) M Pour l'air M 9 g, γ 7 / 5, sahant que R 8, 3 J / K / mole, à la température ambiante de C on trouve : v 34 m / s. Nous remarquons que la vitesse de propagation du son dans l'air est indépendante de la pression statique. Des développements qui préèdent nous pouvons établir les analogies ave les paramètres életriques rassemblées dans le Tableau (III-). Paramètres életriques I Paramètres méaniques V p ρ u C χ Z V I Y I V Z p u Y u p Tableau (III-)

80 8 CHAPITRE IV PROPRIETES DES ONDES STATIONNAIRES es ondes stationnaires onernent la ohabitation d'ondes progressives et rétrogrades, elles sont à l'origine de phénomènes d'interférenes omprenant des ompositions onstrutives et destrutives qui se transforment en variations d'amplitude fontion de la position de l'observateur dans l'espae. es ondes stationnaires onnaissent de nombreuses appliations, les instruments de musiques utilisent les propriétés des ondes stationnaires aoustiques, les fours miro-ondes sont basés sur le fontionnement de avités életromagnétiques où sont générées des ondes stationnaires életromagnétiques en vue de soumettre des aliments à des hamps életriques hautes fréquenes. a première partie de e hapitre onerne des démonstrations destinées à produire les expressions mathématiques de es ondes, à ette oasion nous définissons le rapport d'onde stationnaire dans lequel il faut distinguer les ondes stationnaires pures des autres as où elles sont superposées à des ondes progressives. Une seonde partie traite des phénomènes de résonanes qui peuvent apparaître sous ertaines ironstanes liant les dimensions des strutures à la longueur d'onde. Pour onlure e hapitre nous regardons le omportement de l'impédane d'entrée des lignes de transmission onnetées sur des impédanes quelonques. Des propriétés remarquables liées aux méanismes de résonane mettront en évidene quelques singularités renontrées lorsque les lignes fontionnent en extrémité ouverte ou sur ourt-iruit. IV Formulation mathématique des phénomènes d'ondes stationnaires Nous limitons le raisonnement au as des lignes de transmission, ependant les analogies életro-méaniques introduites au hapitre préédent permettent d'étendre es propriétés à tout milieu de propagation ontinu. Nous rappelons l'expression du ourant sur une ligne donnée par la relation (III-48) du troisième hapitre, relation dans laquelle nous faisons ette fois figurer le nombre d'onde.

81 8 jk j k j k E e ρ e e I ( ) (IV-) j k Z Z ρ ρ e Cette expression peut être présentée sous une forme plus ompate en posant : j k( ) j k( ) I( ) I e ρ e (IV-) Dans ette relation I détermine l'amplitude de l'onde soit : I j k E e (IV-3) Z Z j k ρ ρ e a relation (IV-) peut aussi s'exprimer en faisant figurer une fontion d'onde Ψ () aratérisant la superposition de l'onde progressive et de l'onde rétrograde, l'onde rétrograde est pondérée par le oeffiient de réflexion attribué à l'impédane onnetée à l'extrémité de la ligne. j k ( ) j k ( ρ e ) Ψ ( ) e (IV-4) Ψ() aratérise les propriétés spatiales de l'onde. - Rapport d'ondes stationnaires (R.O.S) Pour failiter l'étude du omportement de la fontion d'onde il est préférable d'exprimer le oeffiient de réflexion ette quantité omplexe, soit : ρ en faisant figurer le module ρ et la phase φ de j φ ρ ρ e (IV-5)

82 8 S'il s'agit d'une impédane réelle soit : Z R, φ peut prendre deux valeurs possibles suivant que l'impédane est inférieure ou supérieure à l'impédane aratéristique de la ligne. R R Z Z φ φ π (IV-6) Cette propriété résulte de la définition du oeffiient de réflexion donnée par la relation (III- 47) du hapitre trois. Pour une impédane Z omplexe limites : φ π. a fontion d'onde Ψ() peut alors s'exprimer : φ sera don omprise entre les j k( ) j k φ Ψ( ) e ρ e (IV-7) : e but de la démonstration onsiste à reherher les positions longitudinales donnant à la fontion d'onde une amplitude maximale ou une amplitude minimale. a ondition permettant de trouver un maximum est réalisée lorsque les deux membres omplexes de la relation (IV-7) ont des signes opposés : e j k j k φ e (IV-8) Ces valeurs partiulières de vont don satisfaire la relation: k π k φ n π (IV-9) n n es positions partiulières moyen de l'expression : n sont reliées à la variable entière n et à la longueur d'onde λ au n λ φ λ n (IV-) 4 π 4 Des relations (IV-) et (IV-7) nous déduisons aisément l'amplitude des maximums :

83 83 I I ρ max i (IV-) e raisonnement préédent peut être transposé pour la reherhe des minimums d'amplitude, dans e as les deux membres omplexes de la relation (IV-7) possèdent le même signe, nous parvenons alors aux expressions : e I k j k p j k e (IV-) φ k φ p π (IV-3) p p λ φ λ p (IV-4) 4 π 4 I ρ min i (IV-5) e rapport d'onde stationnaire (ROS) défini par la variable S (standing wave ratio SWR) aratérise l'ampleur du phénomène d'onde stationnaire, il est donné par le rapport entre les amplitudes maximales et minimales de la fontion d'onde soit : S I I max i min i ρ ρ (IV-6) e ROS possède trois valeurs remarquables :. Pour une ligne adaptée : R Z ρ S. Pour une ligne extrémité sur ourt iruit ou ouverte : S ρ. Pour d'autres onditions imposées à R : S Un ROS infini orrespond à une onde stationnaire pure. Des relations établies auparavant il est faile de montrer que l'espaement entre deux maximums ou deux minimums suessifs n'est autre que la demi-longueur d'onde, soit :

84 84 n p p (IV-7) n Alors que l'espaement entre un maximum et un minimum suessifs prend le quart de la longueur d'onde. p n n (IV-8) 4 D'autre part la position p du minimum situé le plus prés de la harge d'extrémité est donnée par la relation : φ λ (IV-9) π 4 Une détermination préalable de la longueur d'onde ombinée à la mesure de permet d'évaluer φ, alors que la mesure du ROS donne le oeffiient ρ, ainsi la onnaissane de es deux paramètres et de l'impédane aratéristique de la ligne permet l'évaluation de Z. a mesure du ROS n'est ependant possible qu'à ondition que la dimension de la ligne soit au moins supérieure au quart de la longueur d'onde soit : λ (IV-) 4 - Comportement des ondes stationnaires en fontion de la variable temps Si nous introduisons la variable temps, la fontion d'onde (IV-4) devient: j ωt ψ (, Ψ ( ) e (IV-) Relation que nous développons onformément à l'expression : j k j ωt k j k j ωt k (, e e ρ e e (IV-) ψ

85 85 Pour simplifier la suite de la démonstration nous admettrons que Z est purement réelle et supérieure à l'impédane aratéristique de la ligne soit : Z Z, es onditions permettent d'exprimer ψ(, sous la forme : j k j ωt k j ωt ρ e e j ρ e sink ψ(, (IV-3) e premier terme de ette relation représente une onde progressive, le seond terme est aratéristique d'une onde stationnaire pure. orsque nous attribuons une valeur infinie à le oeffiient de réflexion est stritement égal à l'unité ρ, la fontion d'onde ψ(, se réduit alors à la seule onde stationnaire, soit : Z j ωt ψ (, j e sin k (IV-4) Il s'agit d'une loi sinusoïdale dont l'amplitude vue par un observateur situé en un point quelonque suit les variations temporelles de la fontion harmonique. Si nous supposons maintenant l'impédane d'extrémité Z, la fontion d'onde ψ(, s'exprime : Z Z inférieure à l'impédane aratéristique soit : j k j ωt k j ωt ρ e e ρ e osk ψ(, (IV-5) a omposante d'onde stationnaire pure de ette fontion est en quadrature par rapport aux positions de l'exemple préédent, ela signifie que les amplitudes maximales et minimales sont déalées du quart de la longueur d'onde. - Expression de l'amplitude de la fontion d'onde 'amplitude de la fontion d'onde est alulée à partir de l'expression (IV-7) que nous développons sous la forme : φ j φ Ψ ( ) ρ osk j ρ k e sin (IV-6) φ

86 86 Relation dont le module n'est autre que l'amplitude reherhée soit : φ k φ k S ρ Ψ sin os ) ( (IV-7) Dans ette expression figure le rapport d'onde stationnaire S. orsqu'il s'agit d'une ligne adaptée, onnetée sur un ourt-iruit ou bien ouverte en extrémité l'amplitude prend pour valeurs remarquables :. igne adaptée : S ρ Z Z Ψ ) (. igne ourt-iruitée : S π φ ρ Z k Ψ os ) (. igne ouverte : S φ ρ Z k Ψ sin ) ( IV Phénomènes de résonanes sur les lignes de transmission es phénomènes de résonanes d'une ligne se manifestent par un aroissement de l'amplitude I loalisé à ertaines fréquenes. Pour aluler les fréquenes de résonane d'une ligne il faut étudier la fontion donnant l'amplitude de I soit : k j k j e ρ ρ e Z Z E I (IV-8)

87 87 Il faut alors transformer ette relation en adoptant l'ériture omplexe du oeffiient de réflexion ρ du générateur : j ρ e φ ρ (IV-9) Ave ette présentation le dénominateur de la relation (IV-8) devient : j k φ φ D ρ ρ (IV-3) e e ourant I va atteindre une amplitude maximale lorsque D est minimum 'est à dire pour la ondition : e j k φ φ (IV-3) Des valeurs partiulières du nombre d'onde k n vont don satisfaire ette relation : φ φ n π k n (IV-3) Nous pouvons en déduire les fréquenes de résonane : kn v v f n n (IV-33) f n de la ligne (IV-3), elles s'expriment 'amplitude maximale du ourant I lors des résonanes prend don pour expression: I j k E n e Omax i (IV-34) Z Z ρà ρ Nous envisageons par la suite plusieurs onfigurations de l'impédane interne de la soure pour lesquelles nous reherhons les onditions de résonane de la ligne.

88 88. Cas partiulier d'une soure adaptée : Z ρ Z I E (IV-35) j k e Z Auune résonane ne peut se produire puisque I est indépendant de la fréquene.. Cas d'une soure de f.e.m. pure : ρ φ π Z es résonanes interviennent aux fréquenes satisfaisant la ondition : v f n n (IV-36) 'amplitude maximale de I prend alors pour valeur : I j k E e max i (IV-37) Z ρ Si l'extrémité de la ligne est ouverte, les résonanes se produiront aux fréquenes : v f n n (IV-38) 'amplitude du ourant est dans e as infinie. orsque la ligne est sur un ourt-iruit les fréquenes de résonanes sont déalées par rapport aux préédentes puisque : f p v p (IV-39)

89 89 'amplitude du ourant lors des résonanes est également infinie. Cependant les dissipations d'énergie en ligne vont ontribuer à limiter l'amplitude de es phénomènes. Nous reonnaissons généralement trois auses de dissipation énergétique : - Une dissipation introduite dans le générateur onneté à la ligne, en effet, il n'existe pas de générateurs de tension ou de ourant parfait leur impédane ou admittane interne résiduelle impose au oeffiient de réflexion ρ une valeur forément inférieure à l'unité. - Il y a dissipation d'énergie à ause de la ondutivité életrique finie des onduteurs qui omposent la ligne. Ce phénomène est matérialisé par l'atténuation linéique aratérisée par un oeffiient réel ajouté à la onstante de propagation soit : γ α j k - A es deux auses s'ajoute le rayonnement életromagnétique produit par la ligne, e phénomène intervient généralement aux fréquenes très élevées (au- dessus du GH), il est négligeable pour le âble oaxial mais signifiatif pour les strutures ouvertes assimilable à des lignes bifilaires, le rayonnement peut influener fortement l'amplitude des résonanes.. Cas d'une soure de ourant pure ρ φ Z es résonanes se produisent pour les fréquenes partiulières données par la relation : v f n n (IV-4) orsque la ligne est onnetée en extrémité sur un ourt-iruit es fréquenes deviennent : v f n n (IV-4) Inversement s'il s'agit d'une ligne ouverte elles s'expriment :

90 9 v f p p (IV-4) es dissipations d'énergie ont également pour effet de limiter l'amplitude des résonanes. IV 3 Propriétés de l'impédane d'entrée des lignes de transmission Considérons une ligne de transmission onnetée sur une impédane quelonque nous attahons à ette ligne les ourants et tension d'entrée sortie adoptant les onventions de présentation de la Figure (IV-). Z, I e I s Z e Ve V s Z Figure (IV-). 'impédane d'entrée ourant d'entrée I e soit : Z e de la ligne est définie par le rapport entre la tension d'entrée Ve et le Ve Z e (IV-43) I e - Formule de l'impédane et de l'admittane d'entrée d'une ligne hapitre, Si nous assimilons la ligne au quadripôle présenté sur la Figure (III-9) du troisième Z e s'exprime : Z e t t Z Z (IV-44) t tz

91 9 En faisant usage des expressions (III-56) du hapitre préédent donnant les paramètres relation (IV-44) devient : t i j la Z e Z Z th ( γ ) Z (IV-45) Z Z th ( γ ) 'impédane d'entrée est don fontion de quatre paramètres: l'impédane onnetée en sortie Z, l'impédane aratéristique Z, la dimension de la ligne et la onstante de propagation γ. orsqu'on néglige les dissipations il est plus ommode d utiliser une relation où figure seulement le nombre d'onde k, soit : Z e Z j Z tg ( k ) Z (IV-46) Z j Z tg ( k ) Bien entendu, il est toujours possible d'adjoindre à (IV-46) une relation donnant l'admittane d'entrée Ye de la ligne soit : Y e Y j Y tg ( k ) Y (IV-47) Y j Y tg ( k ) Où : Y e Z e Y Z Y (IV-48) Z 'usage des expressions de l'impédane ou de l'admittane d'entrée des lignes intéresse surtout leur omportement en fontion de la fréquene. Nous pouvons alors déterminer l'impédane d'entrée de deux manières: soit effetuer un alul analytique à l'aide des formules qui viennent d'être démontrées ou proéder à une évaluation graphique basée sur une transformation onforme de es expressions onnue sous le nom d'abaque de Smith, ette seonde méthode ne sera pas dérite ar elle relève du ours approfondi de propagation examiné dans l'enseignement spéialisé en hyper fréquenes. Pour illustrer le omportement de la ligne nous allons regarder les expressions analytiques de l'impédane et de l'admittane quant aux extrémités figurent les onditions d'un ourt-iruit ou d'un iruit ouvert.

92 9 - Comportement des lignes ouvertes ou ourt iruitées en extrémité orsque la ligne est ourt-iruitée Z, l'impédane d'entrée s'exprime très simplement, en effet d'après la relation (IV-46) on obtient : Z e j Z tg ( k ) (IV-49) De manière à mieux faire apparaître le rôle imparti à la dimension longitudinale il est préférable d'introduire dans ette expression la longueur d'onde, soit : Z e j Z tg π (IV-5) λ Si nous estimons que la fréquene est suffisamment basse pour que la longueur d'onde soit grande devant la dimension, soit λ ondition que nous exprimons ave le nombre d'onde k, il peut être fait usage du développement limité de la fontion tangente : tg ( k ) k (IV-5) Z e prend alors pour expression : Z j Z k (IV-5) e Sahant que l'impédane aratéristique et le nombre d'onde sont reliés à l'indutane linéique et à la apaité linéique C par les expressions établies au hapitre trois que nous rappelons: Z k ω C (IV-53) C Z e prend pour expression approhée :

93 93 Z j ω (IV-54) e Il s'agit d'une impédane purement réative dont l'indutane équivalente est égale au produit de l'indutane linéique de la ligne et de sa dimension soit :. Aux fréquenes élevées ette approximation n'est plus aeptable, il faut tenir ompte de la ontribution du terme tg ( k ) dans lequel nous ferons apparaître la vitesse de propagation et la pulsation soit : ω tg ( k ) tg (IV-55) v Cette fontion devient infinie lorsque la pulsation satisfait la ondition : ω n v π n (IV-56) Ce qui orrespond aux valeurs partiulières de la fréquene données par la relation : f n n v (IV-57) 4 Ces fréquenes déterminent des valeurs remarquables de la longueur d'onde telles que : λ n 4 (IV-58) n a fréquene la plus basse pour laquelle l'impédane d'entrée devient infinie est don obtenue pour n soit : f v (IV-59) λ 4 4 Sous ette ondition de fontionnement nous dirons que la ligne résonne en quart d'onde. orsque la fréquene est supérieure à f l'impédane d'entrée s'apparente à une réatane de valeur négative. 'étude attentive du omportement de la fontion (IV-55) montre qu'en

94 94 fontion de la fréquene l'impédane d'entrée de ette ligne passe par des valeurs périodiquement infinies puis nulles et ainsi de suite. a ourbe de la Figure (IV-) illustre e omportement lorsque l'intervalle de variation de k est ompris entre et π. D'après ette ourbe nous trouvons que la première singularité donnant Z e infinie orrespond à k π /, au-dessus l'impédane d'entrée passe par éro haque fois que la fréquene prend la valeur f p déterminée par la relation : p v f p (IV-6) Z e Ω Z 5 Ω k Figure (IV-) Considérons un exemple pour lequel la dimension est égale à m, la vitesse de propagation est telle que d'onde se manifeste à la fréquene 8 v m/ situera lorsque dans la relation (IV-6) s, d'après la relation (IV-59) la résonane quart f 5 MH, la fréquene la plus basse où Z e s'annule se p soit f MH. Si nous supposons maintenant l'extrémité de la ligne ouverte soit : Y e l'expression (IV-47) attribue à l'admittane d'entrée Y e la valeur :

95 95 Ye j Y tg ( k ) (IV-6) Expression dont la forme limite aux grandes longueurs d'ondes se simplifie pour devenir : Y j Cω (IV-6) e Sous les onditions basses fréquenes la ligne est équivalente à une apaité identifiable au produit de la apaité linéique et de la dimension soit : C du omportement dual de elui observé sur la ligne ourt-iruitée.. Nous remarquerons qu'il s'agit - Propriétés de l'impédane d'entrée d'une ligne onnetée sur faible ou grande impédane e qualifiatif faible signifie que l'impédane onnetée en extrémité est de valeur très inférieure à l'impédane aratéristique, soit : Z Z (IV-63) Si nous admettons la fréquene suffisamment basse pour que l'hypothèse des grandes longueurs d'ondes soit appliable le numérateur et le dénominateur de l'expression (IV-46 ) se simplifient omme suit : Z j Z tg ( k ) Z j Z k Z j Z tg ( k ) Z (IV-64) en effet: Z Z et k 'expression de Z e se réduit alors à la relation : Z e Z j ω (IV-65)

96 96 D'après e développement l'impédane d'entrée de la ligne onnetée sur faible impédane est équivalente à Z mise en série ave une indutane de valeur égale à. Par un raisonnement dual du préédent on montre qu'une ligne onnetée sur une admittane de faible valeur omparée à l'admittane aratéristique soit : Y Y, orrespond aux fréquenes basses (grande longueur d'onde) à l'admittane d'entrée approhée : Y e Y j Cω (IV-66) a ligne est don équivalente à un dipôle omprenant Z onnetée en parallèle ave une apaité égale au produit de la apaité linéique et de la dimension, soit: C. Ces propriétés sont fréquemment utilisées pour aratériser des iruits faisant intervenir des lignes de propagation sous la ondition des grandes longueurs d'onde. - Usage de l'impédane d'entrée d'une ligne pour le alul des ourants et tensions Considérons le shéma de la Figure (IV-3) représentant un générateur onneté à une ligne hargée sur l'impédane Z. Z I() I ( ) + E - V () V ( ) Z Figure (IV-3) Nous proposons évaluer le ourant I ) et la tension V ) à l'extrémité de la ligne, Pour ( mener e alul le plus simplement possible il faut préalablement déterminer le ourant I() et la tension V () en entrée. Pour tenir ompte de la ontribution du générateur auquel nous (

97 97 attribuons la fem E et l'impédane interne Z nous devons établir le shéma de la Figure (IV-4). Ainsi le ourant I() à l'origine s'exprime : E I( ) (IV-67) Z Z e Nous déterminons ensuite I ) et V ) en utilisant le formalisme des quadripôles dans ( ( lequel la tension V () à l'origine de la ligne s'exprime à l'aide des paramètres de la matrie haîne soit : V ) t V ( ) t I( ) (IV-68) ( + E - Z I() V () Z e Figure (IV-4) Pour réduire le nombre d'inonnues il faut appliquer la loi d'ohm reliant I ) et V ) : ( ( V ) Z I( ) (IV-69) ( a mise en plae de l'expression de I ) est alors immédiate, puisque : ( V ( ) I( ) (IV-7) t Z t Nous arrivons à l'expression analytique de I( ) en substituant aux oeffiients t et tles valeurs données par les relations (III-56) du troisième hapitre :

98 98 I( V ( ) ) (IV-7) Z os ( k ) j Z sin ( k ) - Condition de résonane d'une ligne alimentée par une soure d'impédane interne apaitive e shéma de la Figure (IV-5) représente une ligne ourt-iruitée en extrémité alimentée par un générateur de tension de fem E possédant une apaité interne C. a ondition de résonane est déterminée par la fréquene la plus basse pour laquelle le ourant I () et la tension V () en sortie du générateur prennent une amplitude maximale. Dans le but d'élargir les propriétés de l'impédane d'entrée des lignes onsidérons un exemple numérique appliqué aux paramètres physiques suivants : 8 Z 5 Ω v m/ s m C nf + E - C I() V () Figure (IV-5) e ourant I() en sortie du générateur s'exprime par une relation dans laquelle figure l'impédane d'entrée Z e de la ligne soit : E I( ) (IV-7) j Z e C ω

99 99 a ondition d'amplitude maximale de I () est donnée pour la pulsation ω telle que : Z e j ( ω ) (IV-73) C ω Pour une ligne ourt-iruitée nous avons montré plus haut que Z e (ω) s'exprime : Z e ω ( ω) j Z tg (IV-74) v a pulsation de résonane est don solution de l'équation : Z ω tg v (IV-75) C ω Dans le as général 'est une équation transendante à solutions multiples, nous faisons l'hypothèse qui doit être vérifiée à posteriori que la fréquene de résonane est suffisamment basse pour satisfaire les onditions des grandes longueurs d'ondes. Dans e as l'impédane d'entrée de la ligne s'exprime onformément à la relation simplifiée (IV-54), soit : Z j ω (IV-76) e Pour trouver l'indutane linéique on utilise la relation liant l'impédane aratéristique à la vitesse de propagation soit : Z v nh / m Ces simplifiations amènent à la pulsation de résonane ω.

100 7 ω rd / s C 7 8, 5 Il faut vérifier que la ondition des grandes longueurs d'ondes est satisfaite en montrant que le produit du nombre d'onde et de la dimension du âble reste une quantité bien inférieure à l'unité. k 7 ω, 8 v a ondition est satisfaite e qui permet d'attribuer à la fréquene de résonane la valeur : f 3, 8 MH Ave une apaité interne plus faible 8 / C pf on aboutit à : ω rd s soit : k. 'approximation des grandes longueurs d'ondes n'est plus satisfaite, dans e as il faut résoudre l'équation (IV-75) par approximations suessives (méthode numérique).

101 CHAPITRE V PROPAGATION DES IMPUSIONS DANS ES IGNES 'équation d'ondes spatio-temporelle des lignes de transmission peut être résolue de diverses façons. a méthode proposée dans e hapitre s'inspire du alul symbolique dont le prinipal avantage est de failiter la reherhe des phénomènes de réflexions suessives provoqués aux extrémités des lignes. En effet, dés qu'une ligne est soumise à une exitation transitoire la propagation s'aompagne d'effets transitoires seondaires aratérisés par l'apparition de nombreuses impulsions retardées dont l'amplitude est généralement amortie. e but du hapitre est de fournir une aide à la ompréhension de es phénomènes. Une première partie omportant la résolution mathématique de l'équation d'onde appuyée par quelques exemples mettra en évidene d'intéressantes informations ontenues dans la réponse transitoire d'une ligne. D'après l'examen de la signature temporelle il est montré que ertaines régions du signal permettent d'évaluer la vitesse de propagation en ligne ainsi que la nature des impédanes onnetées aux extrémités.. a seonde partie du hapitre traite des phénomènes de dissipation d'énergie. a résolution direte dans le domaine temporel s'avérant peu ommode nous préférons transposer le raisonnement en l'appliquant au as d'une exitation harmonique. Des onsidérations tout d'abord simpliste onfondant la résistane linéique des onduteurs ave elle donnée pour le ourant ontinu aboutissent à l'expression de l'atténuation linéique. a démarhe est ensuite perfetionnée pour faire intervenir l'impédane de surfae des onduteurs. A ette oasion nous disernerons deux omportements étroitement reliés à la valeur de la profondeur de pénétration du hamp életromagnétique dans le matériau onduteur. Ces domaines respetivement appelés Basses fréquenes et Hautes fréquenes fournissent des formules analytiques asse simples de l'impédane de surfae. Des appliations numériques permettront d'appréier l'influene de l'impédane de surfae sur l'atténuation en ligne et de onnaître l'impat de e phénomène sur la vitesse de propagation des ondes sur ligne dissipative.

102 V Solutions de l'équation d'ondes d'une ligne soumise à des phénomènes életriques transitoires Nous onsidérons une ligne de transmission onnetée à une soure de fem transitoire e ( dont l'impédane interne R est réelle, la ligne est onnetée en extrémité sur une impédane réelle R, la Figure (V-) donne les onventions de représentation des ourants et tensions. Des lettres minusules seront adoptées pour désigner les solutions dans le domaine temporel. R i (, i (, i (, + ( e - v(, v(, v (, R o Figure (V-) - Résolution direte de l'équation d'ondes Considérons tout d'abord l'équation d'onde spatio-temporelle en ourant (III-6) établie au hapitre trois : i v t i (V-) Elle a pour solutions générales la forme (I-7) introduite au premier hapitre soit : i (, A I( v B I( v (V-) Au moyen d'une méthode numérique itérative basée sur un éhantillonnage de la variable temps nous pouvons onstruire les solutions numériques à partir de la desription du signal fem e ( assortie des onditions aux limites adéquates renontrées aux extrémités de

103 3 la ligne, la résolution est grandement failitée si nous négligeons les dissipations d'énergie dans la ligne e qui est présentement le as. - Résolution par le alul symbolique Nous reherhons le ourant symbolique I (, p) obtenu après appliation de la transformation de aplae soit : I(, p) T i(, (V-3) es onditions initiales étant nulles aussi bien sur la fontion i(, et sur sa dérivée première, l'équation d'onde spatio-temporelle transformée en équation d'ondes symbolique s'exprime : d I I (V-4) d Relation dans laquelle γ représente la onstante de propagation symbolique que nous érivons: p p C (V-5) v a démarhe est ensuite tout à fait identique à elle utilisée pour reherher les solutions sous exitation harmonique, ependant nous ferons usage de notations majusules pour désigner les variables symboliques. - Résolution par transposition des solutions harmoniques hapitre soit : Considérons la solution en ourant donnée par la présentation (III-48) du troisième E e e e I( ) (V-6) Z Z e

104 4 Dans ette relation figure le nombre d'onde. Sahant que les impédanes onnetées à la ligne sont réelles les oeffiients de réflexion s'exprime : ρ et ρ j (V-7) v sont également réels. e nombre d'onde a transposition onsiste à faire orrespondre à la variable omplexe symbolique p soit : j ω la variable j ω p (V-8) Dans e as la solution symbolique prend la forme générale: p p p v v v E ( p) e ρ e e I(, p) (V-9) R Z p v ρ ρ e Relation dans laquelle E ( p) n'est autre que la transformée de aplae de e ( soit : E ( p) T e ( (V-) a reherhe de la fontion originale sera failitée en prenant le formalisme des réflexions suessives établies par la relation (III-5) du troisième hapitre. Cette relation transposée dans le domaine symbolique s'exprime: p p p n E np ( p) v v v v I(, p) e ρ e e ρ ρ e R Z (V-) n R et R étant des quantités réelles les oeffiients de réflexions seront indépendants de la variable symbolique p, la reherhe de la fontion originale i(, s'en trouve alors simplifiée,

105 5 en effet par appliation de la règle du alul symbolique liant une fontion e( à son équivalente retardée de τ nous posons : T - p τ E( p) e e( t τ) (V-) a solution originale i(, est don la somme de fontions élémentaires retardées que nous exprimons de manière ompate en faisant apparaître dans la relation (V-) le temps de propagation en ligne θ que nous exprimons: θ (V-3) v Ainsi la solution symbolique du ourant I(, p) à l'origine de la ligne devient : n p θ npθ ρ e ρ ρ e E ( p) I(, p) (V-4) R Z n a transposition dans le domaine temporel donne l'expression suivante de i (, : (, θ R Z ρ ρ e ( t n θ) ρ e ( t n θ ) i n n (V-5) Pour alléger ette relation nous allons introduire une fontion élémentaire i ( liant la fem e ( et son équivalente retardées de θ pondérée par le oeffiient ρ et par les impédanes R et nous obtenons : Z e ( ρ e ( t θ) i ( (V-6) R Z Cette ériture allégée donne à la relation (V-5) une forme failement exploitable :

106 6 n n i (, ρ ρ i ( t n θ) (V-7) e ourant à l'origine de la ligne se résume don à la superposition de ourants élémentaires retardés de θ et pondérés par le produit des oeffiients de réflexions renontrés aux deux extrémités de la ligne. Si nous estimons que la valeur absolue des oeffiients de réflexion est inférieure à l'unité la série à progression géométrique donnée par la relation (V-7) onverge, ela signifie que l'amplitude du ourant tend à long terme vers une limite qui orrespond d'ailleurs à la solution triviale faisant totalement abstration de la propagation. V- Etude de la propagation d'un éhelon de fem sur une ligne de transmission a soure représentée Figure (V-) produit un éhelon de fem d'amplitude E que nous représentons ave les notations onventionnelles : e ( E γ( (V-8) Relation dans laquelle γ( orrespond à la fontion éhelon soit : γ( γ( t t (V-9) a Figure (V-) donne l'allure du signal fem. Nous envisagerons différentes onditions de propagation déterminées par la nature des impédanes renontrées aux deux extrémités de la ligne. - Impédane interne de la soure adaptée a résistane R est dans e as égale à l'impédane aratéristique de la ligne, soit: ρ.

107 7 ( e E t Figure (V-) e ourant élémentaire i ( prend alors pour expression : e ( ρ e ( t θ) i ( (V-) Z Puisque ρ, nous déduisons de la relation (V-7) un ourant à l'origine identique au ourant élémentaire : i (, i ( (V-) Nous regardons ensuite l'influene de la résistane suivant que R, trois exemples seront examinés R s'assimile à l'impédane aratéristique, qu'elle présente un ourt iruit ou que la ligne est ouverte en extrémité. Extrémité adaptée : R Z ρ e ourant à l'origine de la ligne est homothétique du signal fem soit : C'est un éhelon d'amplitude : e ( i(, (V-) Z

108 8 E I (V-3) Z a signature temporelle est représentée sur la Figure (V-3). i (, I Figure (V-3) t Extrémité en ourt iruit : R ρ i ( s'exprime : e ( e ( t θ) i ( (V-4) Z e ourant à l'origine de la ligne est représenté Figure (V-4). i (, I I θ Figure (V-4) t Il se ompose de la superposition de deux éhelons de ourant d'amplitude I le seond est retardé de θ. Nous remarquons pour la ondition t que l'amplitude du ourant tend vers

109 9 la solution statique exprimée par la théorie des iruits en ourant ontinu (soure branhée sur le ourt irui soit : E i(, t I (V-5) Z Extrémité ouverte : R ρ e ourant élémentaire devient : e ( e ( t θ) i ( (V-6) Z Dans ette relation il est plus simple de faire apparaître la fontion impulsion (window) w( définie par la différene de deux éhelons retardés de θ : w( γ( γ( t θ) (V-7) e ourant à l'origine de la ligne s'apparente don à une impulsion dont l'amplitude est égale à I soit : E w( i(, (V-8) Z a signature du ourant est représentée Figure (V-5) i (, I θ t Figure (V-5)

110 Ces trois exemples montrent qu'au-dessous de l'intervalle de temps θ l'amplitude du ourant à l'origine de la ligne est indépendante des onditions renontrées à l'extrémité puisque égale à I. Nous interprétons e omportement par l'analyse de la propagation du front d'onde émis par la soure, e phénomène parvient à l'extrémité de la ligne à l'instant t θ il subit alors une réflexion qui le propage vers l'origine de la ligne, e front d'onde réfléhi parvient à l'origine à l'instant t θ, ainsi l'amplitude du ourant à l'origine aux instants supérieurs à θ omportera l'empreinte de la harge d'extrémité. Par ontre aux instants inférieurs à θ la ligne apparaît de dimension infinie e qui explique que l'amplitude du ourant est invariante et de plus égale à E / Z son impédane aratéristique., l'impédane d'entrée d'une ligne de dimension infinie orrespond à - Cas d'une soure désadaptée Pour la failité de l'interprétation nous supposons la ligne ouverte en extrémité soit : R. Nous attribuons à l'impédane interne de la soure une valeur très supérieure à l'impédane aratéristique de la ligne soit : R 9Z, ondition qui onfère au oeffiient de réflexion de la soure une valeur voisine de ρ, 8. e ourant élémentaire i ( s'exprime alors : E i ( w( (V-9) Z Relation dans laquelle w( représente la fontion impulsion définie par l'expression (V-7). Ainsi le ourant à l'origine de la ligne se ompose d'une suite infinie d'impulsions produites par des phénomènes de réflexions suessives intervenant aux deux extrémités soit : i n, 8 i ( t n ) (, θ n (V-3)

111 Au fur et à mesure de la progression dans le temps l'amplitude des impulsions diminue pour devenir nulle lorsque : t i(, 'est la ondition donnée par le raisonnement statique assimilant le âble à un iruit d'impédane d'entrée infinie. Entre la solution rigoureuse dérite par la série (V-3) et le omportement statique nous pouvons envisager une représentation intermédiaire pour laquelle l'impédane d'entrée du âble ouvert en extrémité est omparable à une apaité prenant pour valeur : C C (V-3) es onditions d'appliation du modèle simplifié sont détaillées au paragraphe IV-3 du hapitre quatre. Pour résumer nous dirons que le modèle quasi statique n'est valable qu'à ondition que la longueur d'onde soit bien supérieure à la dimension de la ligne. Dans le ontexte de ette appliation la ondition n'est pas vérifiée puisque nous aratérisons les phénomènes sur des intervalles de temps bien inférieurs au temps de propagation en ligne e qui équivaut à dire que les longueurs d'ondes explorées par les signaux seront bien inférieures à. En dépit de ette restrition il est toutefois instrutif de omparer la solution quasi statique à la solution exate. Nous proposons d'attribuer à la ligne le shéma quasi statique de la Figure (V-7) dans lequel e représente la fem de la soure, R sa résistane interne et C la apaité de la ligne déterminée onformément à la relation (V-3). Dans e as i a ( n'est autre que le ourant de harge de la apaité qu'on exprime : i a t E ( e τ γ( (V-3) R Où τ orrespond à la onstante de temps du iruit que nous exprimons lassiquement par le produit de la résistane et de la apaité figurant sur le shéma, ependant afin de mieux oordonner e paramètre ave la théorie des lignes de transmission nous préférons l'exprimer en faisant apparaître le temps de propagation et l'impédane aratéristique, soit : R τ R C θ (V-33) Z Nous proposons omparer les valeurs numériques des deux solutions en normalisant l'amplitude du ourant par rapport à I (amplitude exate du ourant à t= ) soit :

112 E I (V-34) Z ( i a + e - R C Figure (V-7) es valeurs numériques obtenues sont rassemblées dans le Tableau (V-). es hiffres montrent que la solution quasi statique est voisine de la solution exate. Sur Figure (V-8) sont omparées les signatures de la solution exate et de la solution quasi statique, nous remarquons également l'asse bon aord entre les deux aratéristiques. Inrément temporel Solution exate Solution quasi statique t I, I t θ, 8 I, 88 I t 4θ, 64 I, 74 I t 6θ, 5I, 6I t 8θ, 4 I, 48I.. Tableau (V-) Nous onsidérons maintenant le as d'une soure dont l'impédane interne est très inférieure à l'impédane aratéristique de la ligne soit : R, Z e qui orrespond à un oeffiient de réflexion de valeur absolue identique à l'exemple préédent mais prenant un signe opposé : 8. Dans e as le ourant à l'origine de la ligne s'exprime:,

113 3 I θ Figure (V-8) n, 8 i ( t n ) i n (, θ n (V-35) Relation dans laquelle l'impulsion de ourant élémentaire prend pour amplitude : I E (V-36), Z Dans le Tableau (V-) figurent les valeurs normalisées du ourant à l'origine de la ligne. 'évolution du ourant devient une fontion qui prend alternativement des amplitudes positives et négatives, la solution exate suit don un omportement très différent du modèle quasi statique établi sur la harge de la apaité. Sur la Figure (V-9) est représentée l'évolution du ourant alulé par l'expression (V-35). Il s'agit d'une suite infinie d'impulsions de durée θ dont les polarités sont alternées et les amplitudes amorties. Ce omportement s'explique par le rôle imparti aux signes opposés des oeffiients de réflexion renontrés aux deux extrémités de la ligne, 'est un phénomène osillant amorti. Dans le as idéal où la soure de fem aurait une impédane interne stritement nulle le produit des oeffiients de réflexion prendrait pour valeur ρ ρ, il y aurait des osillations entretenues, ependant

114 4 diverses raisons prinipalement dues à l'existene de dissipations d'énergie ontribuent à l'amortissement du signal. Inrément temporel Solution exate t I t θ,8 I t 4θ, 64 I t 6θ,5I t 8θ, 4 I. Tableau (V-) I θ Figure (V-9)

115 5 V-3 Propagation d'impulsions étroites Du point de vue de la théorie des lignes une impulsion étroite possède une durée bien inférieure au temps de propagation en ligne θ. Si on se reporte au shéma de prinipe de la Figure (V-), la fem de la soure d'impulsions étroites s'exprime : e ( E w( (V-37) Où w( représente une fontion impulsion qu'on définit ave les onventions habituelles : w( t ou w( t t (V-38) Si nous regardons la tension à l'origine de la ligne v (,, la méthode de résolution exposée au paragraphe préédent aboutit à l'expression : ρ ρ v ( t n ) v (, θ n n (V-39) Relation dans laquelle nous entrons la fontion v ( appelée par la suite tension élémentaire: v Z ( E w( ρ w( t θ) (V-4) R Z es résultats portés sur la Figure (V-) indiquent que v ( omporte deux impulsions l'une d'amplitude V la seonde retardée de θ et pondérée par le oeffiient de réflexion l'impédane d'extrémité, V prend pour valeur : V Z E (V-4) R Z ρ de

116 6 ( v V ρ V θ t Figure (V-) a réponse à l'entrée de la ligne forme don une série d'impulsions amorties espaées de θ qu'on exprime : n ρ ρ w( t n θ) ρ w( t θ n θ n v (, V ) (V-4) Cette présentation permet une desription séquentielle du signal, ainsi à haque pas temporel multiple de θ orrespond une impulsion dont l'amplitude figure dans le Tableau (V-3). Inrément temporel Amplitude de v(, t V t θ ( ρ ) ρ V t 4θ t 6θ t nθ ( ρ ) ( ρ ) ρ ρ V 3 ρ ρ V ( ρ ) n n ρ ρ V Tableau (V-3)

117 7 S'agissant maintenant des tensions parvenant à l'extrémité de la ligne v(,, nous devons attribuer à la tension élémentaire v ( l'expression : v ( V ( ρ ) w( t θ) (V-43) Dans le Tableau (V-4) figurent les amplitudes séquentielles de v(,. Inrément temporel Amplitude de v(, t θ ( ρ ) V t 3θ ( ρ ) ρ ρ V t 5θ ( ρ ) ρ ρ V.. t n θ n ( ρ ) ρ ρ V Tableau (V-4) Nous allons ensuite regarder les amplitudes de v(, et v(, sous deux onfigurations de l'impédane d'extrémité suivant qu'elle est ou non adaptée, dans haque as l'impédane interne de la soure est adaptée. - Soure adaptée, extrémité non adaptée orsque la soure est adaptée, Z ρ, v (, et v(, s'expriment : R v(, V v(, V w( w( t ) (V-44)

118 8 - Soure et extrémité adaptées Nous retrouvons les paramètres préédents aux quels il faut adjoindre: R Z ρ. v (, et v(, s'expriment alors : v(, V v(, V w( w( t θ) (V-45) 'examen des relations (V-44) et (V-45) montre que la ondition totale d'adaptation aux deux extrémités maintient l'amplitude de l'impulsion au ours de la transmission sur la ligne alors qu'un défaut d'adaptation en extrémité modifie l'amplitude. Ce omportement a des onséquenes pratiques importantes lorsqu'il s'agit de transmettre sur des iruits életroniques des signaux logiques rapides. En effet les défauts d'adaptation hangeant l'amplitude des signaux perçus à l'origine ou à l'extrémité des lignes, il peut en résulter des erreurs de traitement logique. Ce phénomène enore appelé intégrité du signal intervient prinipalement lors de la oneption des alulateurs rapides, en effet pour les unités entrales très performantes la durée des signaux logiques peut être omparable et dans ertains as inférieure au temps de propagation propres des iruits életroniques. V-4 Impédanes de harge omplexes orsqu'une des impédanes Z ou Z est omplexe seule une résolution numérique itérative ou l'usage de la transformée disrète de Fourier permet dans le as le plus général de résoudre l'équation d'onde. En effet, les oeffiients de réflexion deviennent omplexes e qui omplique sérieusement la reherhe des fontions originales des solutions aux réflexions suessives. Cependant dans quelques onfigurations simples des solutions analytiques sont possibles. 'exemple qui suit onerne e as de figure, la ligne est onnetée en extrémité sur une impédane Z omportant une résistane R et une indutane soit : Z R j ω (V-46)

119 9 a simplifiation majeure provient de l'adaptation de la soure, une hypothèse simplifiatrie dans laquelle la résistane R s identifie à l'impédane aratéristique de la ligne, soit: R R Z Z ( a) ( b) (V-47) a ondition (a) a pour but d'éliminer les réflexions suessives afin d'atteindre une solution analytique, la ondition (b) failite l'interprétation physique du résultat. Pour reherher le ourant à l'origine de la ligne nous proéderons en trois étapes: nous exprimons tout d'abord le spetre fréquentiel du ourant, ensuite nous transposons le spetre dans le domaine symbolique de façon à déterminer la fontion originale du ourant. En effet, le spetre I(, ω) du ourant s'exprime sous la forme: E ( ω) j k I(, ω) ρ ( ω) e (V-48) Z Dans ette relation figurent la pulsation ω, le oeffiient de réflexion omplexe ρ (ω) et le spetre E (ω) e ( : de la fem délivrée par la soure qui n'est autre que la transformée de Fourier de e ( j ωt E ( ω) TF e ( e dt (V-49) ρ (ω) prend pour expression omplexe : ρ R j ω Z ( ω) (V-5) R j ω Z a ondition (V-47-b) imposée à la omposante réelle de ette relation: Z a pour onséquene d'alléger

120 ρ j ω ( ω) (V-5) Z j ω Cette expression ombinée à (V-48) donne la solution symbolique du ourant : E ( p) p p θ I(, p) e (V-5) Z Z p a fem transitoire e ( étant assimilée à un éhelon d'amplitude E, sa transformée symbolique s'exprime : E E ( p) (V-53) p 'expression (V-5) prend alors pour développement : E E p θ I(, p) e (V-54) Z p Z Z p Relation que nous pouvons érire d'une manière plus ompate : I E p I(, p) e (V-55) p Z p Nous reonnaissons dans ette expression l'amplitude du front de ourant I généré au début du transitoire, soit: E I (V-56) Z représente la onstante de temps aratérisant l'indutane onnetée à l'extrémité de la ligne soit

121 (V-57) Z De l'expression symbolique (V-55) nous déduisons aisément la fontion originale suivante:: t - i(, T I(, p) I ( e ( t ) (V-58) a Figure (V-) représente une simulation théorique montrant l'évolution de i (, lorsqu'on la onstante de temps τ prend la valeur partiulière : (V-59) I θ Figure (V-) 'examen de ette ourbe permet de dissoier les ontributions respetives des deux membres omposant la relation (V-58). En effet, tant que t est inférieur à θ le ourant à l'origine de la ligne s'apparente à un éhelon d'amplitude I, à l'instant t=θ le front d'onde réfléhi sur l'extrémité de la ligne parvient à l'origine. Ce front orrespond aux omposantes hautes fréquenes du spetre, en onséquene l'indutane onnetée en extrémité équivaut durant le transitoire à un iruit ouvert qui envoie vers la soure un front de ourant d'amplitude opposée à I, e phénomène porte l'amplitude instantanée du ourant à éro. Aux instants un

122 peu supérieurs à θ nous entrons dans les omposantes plus basse fréquene du spetre du front d'onde l'impédane présentée par l'indutane diminue e qui explique la remontée du ourant. Aux temps très supérieurs à l'hypothèse statique, 'est à dire : θ la solution tend vers l'amplitude prévue par E t i(, I (V-6) Z Une alternative à ette méthode onsiste à exprimer diretement la transformée de Fourier inverse de la relation (V-48) que nous présentons au moyen du produit de onvolution de fontions : - I(, ω) I γ( I γ( t )* ρ ( t )* δ( t θ) i(, TF (V-6) Dans e as ρ ( représente la transformée de Fourier inverse du oeffiient de réflexion, soit: - ρ ( TF ) π ρ ( ω j ω e Z j ω j ωt dω (V-6) En faisant usage de la transformée de Fourier de la fontion harmonique nous obtenons la fontion remarquable: j k j ωt k e e TF - dω δ( t θ ) π (V-63) Il s'agit de la mesure de Dira retardée de θ. En étendant ette propriété au alul de la transformée de Fourier du oeffiient de réflexion nous obtenons l'expression analytique : ρ t ( δ( e τ γ( (V-64) τ 'expression (V-6) établie plus haut peut alors se développer omme suit :

123 3 γ( * ρ ( * δ( t θ) γ( υ ρ ( υ) dυ * δ( t θ) (V-65) Expression qui prend pour forme analytique : t θ γ( υ ρ ( υ) dυ * δ( t θ) e γ( t θ) (V-66) 'insertion de ette fontion dans (V-6) permet de retrouver une solution tout à fait identique à la préédente (V-58) déterminée ave le alul symbolique. V-5 Effet de la dissipation d'énergie dans les lignes Dans les développements qui préèdent abstration était faite des dissipations d'énergie dans les lignes, il existe généralement trois soures de dissipations réparties de la manière suivante : ) Dissipation par la résistane des onduteurs ) Pertes dans les diéletriques d'isolement primaire des lignes 3) Fuite d'énergie par rayonnement Nous regarderons plus partiulièrement la dissipation dans les onduteurs, en effet bien que omposé de matériaux possédant une ondutivité életrique très élevée la irulation des ourants dans les onduteurs engendre une dissipation d'énergie ayant pour onséquene une atténuation des signaux transportés par la ligne. Dans e as la onstante de propagation devient une quantité omplexe dans laquelle figure une omposante réelle homogène à une atténuation linéique. A ette première ause de dissipation d'énergie s'ajoutent des phénomènes d'indution dans le diéletrique omposant l'isolement primaire de la ligne. es pertes dans le diéletrique ont pour origine des ontraintes moléulaires mirosopiques introduites par les osillations entretenues du hamp életrique. Ces phénomènes de

124 4 dissipation sont habituellement ontenus dans la omposante imaginaire '' ε r de la permittivité életrique relative omplexe * ε r que nous exprimons: ε * r ' r '' r ε j ε (V-67) Il faut préiser que la omposante réelle déplaement que nous définissons au sixième hapitre du ours. a omposante imaginaire '' ε r va don ' ε r onerne uniquement l'ation des ourants de '' ε r partiiper à l'atténuation des signaux, ependant on estime en pratique que son influene n'est pereptible qu'à des fréquenes élevées supérieures à MH. es fuites produites par le rayonnement onernent seulement les strutures ouvertes illustrées par les lignes bifilaires pour lesquelles une partie de l'énergie életromagnétique transportée se trouve dispersée dans une diretion perpendiulaire à l'axe de propagation (o). Inversement dans un âble oaxial la propagation de l'énergie est onfinée uniquement suivant o, il ne peut don y avoir dispersion d'énergie autrement que par effet Joule ou diffration par des ouvertures qui seraient situées sur la périphérie du onduteur extérieur. a perte d'énergie engendrée dans les lignes bifilaires se aratérise également par une atténuation dont les propriétés ne sont plus assimilables à une onstante linéique. En pratique sur les lignes bifilaires utilisées pour les besoins de téléommuniation les phénomènes de rayonnement sont rarement pereptibles, ils jouent aux fréquenes supérieures au GH. Afin d'introduire la ontribution des dissipations par effet Joule et par indution diéletrique nous devons aménager la tehnique de résolution des équations d'onde en révisant tout d'abord la omposition des shémas équivalents des lignes. - Equation d'onde tenant ompte des dissipations d'énergie Pour introduire les phénomènes de dissipation d'énergie nous ajoutons deux éléments au shéma la Figure (III-) du troisième hapitre, il s'agit de la résistane ΔR et de la ondutane ΔG indiquées sur la Figure (V-). a résistane et la ondutane s'expriment au moyen de la résistane linéique R et de la ondutane linéique G de la ligne réunies dans les onventions de présentation habituelles.

125 5 ΔR R Δ ΔG G Δ (V-68) i (, ΔR Δ i ( Δ, v (, ΔG v ( Δ, ΔC Δ Figure (V-) 'adoption de e nouveau shéma onduit aux équations des télégraphistes modifiées: dv ( R j ω ) I d d I ( G j Cω) V d (V-69) Equations que nous pouvons présenter de manière plus ompate en insérant l'impédane linéique Z et de l'admittane linéique Y données par les relations: Z R Y G j ω j Cω (V-7) Sous es onditions les équations préédentes (V-69) deviennent : dv Z I d d I Y V d (V-7)

126 6 Relations aux quelles nous ferons orrespondre les équations d'onde suivantes: d I γ d d V γ d I (V-7) V a onstante de propagation intervenant dans es expressions s'exprime sous la forme d'une quantité omplexe possédant une partie réelle et une partie imaginaire. γ Z Y (V-73) Nous attribuons don à la première équation d'onde du ouple (V-7) les solutions générales suivantes: I γ γ ( ) A e B e (V-74) γ V( ) Z Ae Be (V-75) γ Nous remarquerons que l'impédane aratéristique qui figure dans es relations s'exprime également sous la forme d'une quantité omplexe: Z Z (V-76) Y γ et Z s'expriment à l'aide de formules ompliquées qui heureusement se simplifient lorsque la fréquene des signaux et suffisamment grande et qu'en plus la ligne possède une ondutane linéique négligeable. es développements proposés juste au-dessous apportent le prinipe de es simplifiations.

127 7 - Expressions analytiques simplifiées de : γ et Z es relations (V-73) et (V-76) expriment la onstante de propagation et l'impédane aratéristique sous les formes générales valables quelque soit la fréquene que nous érivons: R j ωg j Cω α j β γ (V-77) Z R j ω R j X (V-78) G j Cω α représente l'atténuation linéique de la ligne et β la onstante de phase linéique, R la omposante réelle de l'impédane aratéristique, X sa omposante réative. Si nous onsidérons le as d'une ligne adaptée en extrémité, les solutions de l'équation d'onde se réduisent à la seule onde progressive que nous exprimons : I( ) A e V ( ) Z α e I( ) j β (V-79) α doit prendre une valeur positive puisque l'atténuation du ourant (ou de la tension) ne peut que roître ave l'éloignement par rapport à la soure. β s'apparente au nombre d'onde k utilisé préédemment pour les lignes non dissipatives. Il faut maintenant mentionner que dans la plupart des appliations la ontribution de la ondutane linéique peut être négligée, ette hypothèse sera onsidérée pour la suite des développements : G (V-8) En pratique les expressions (V-77) et (V-78) peuvent être simplifiées à ondition que la fréquene des signaux soit suffisamment grande, le ritère retenu suppose que la réatane linéique soit très supérieure à la résistane linéique de la ligne, soit:

128 8 ω R (V-8) Pour entreprendre les simplifiations nous présentons l'expression (V-77) sous la forme: R γ j ω C j (V-8) ω a ondition (V-8) permet l'usage d'un développement limité que nous exprimons: R γ j ω C j... (V-83) ω Ainsi α et β prennent pour valeurs approhées : R k α (V-84) ω β k (V-85) Ave e protoole de présentation l'expression de l'impédane aratéristique (V-78) devient: Z R j (V-86) C ω Relation que nous pouvons simplifier après développement au premier ordre: R Z j... (V-87) C ω De ette formule nous pouvons extraire les valeurs approhées de R et X soit :

129 9 R (V-88) C X R R (V-89) Cependant l'usage attribue à α et X des présentations différentes dans lesquelles figurent la résistane aratéristique aux relations: R et le nombre d'onde k des lignes non-dissipatries, e qui amène R α (V-9) R X R (V-9) k Etant donné qu'aux fréquenes onsidérées X est très inférieure à R l'usage inite à ignorer la ontribution de ette omposante réative, par ontre la ontribution de α ne peut être éliminée. - Evaluation de l'atténuation d'une ligne de transmission Considérons une ligne de transmission de dimension onnetée à une soure de fem pure E, la ligne est adaptée en extrémité. Nous définissons l'atténuation A de l'onde progressive par les rapports des valeurs absolues des ourants (ou tensions) déterminé(e)s respetivement à l'entrée et à l'extrémité de la ligne, soit: A I( ) I( ) V ( ) V ( ) e α (V-9) Par le biais de la relation (V-9) nous pouvons relier l'atténuation linéique α et l'atténuation omplète A au moyen de l'expression:

130 3 α og A (V-93) 'intervention du logarithme népérien dans la relation (V-93) détermine l'unité adoptée pour la onstante linéique α qu'on désigne par des Neper / m, A peut être également onvertie en déibell, soit A db: A log (V-94) db A Expression que nous pouvons érire sous la forme alternative: db α e 8, 68 α A log... (V-95) De ette expression nous déduisons l'atténuation linéique exprimée en db / m : α AdB 8 68 α (V-96) db, - Appliation numérique Une ligne possède pour paramètres physiques primaires: Indutane linéique Capaité linéique Résistane linéique 5 nh / m C pf / m R mω / m D'après la relation (V-88) nous alulons une impédane aratéristique (omposante réelle) dont la valeur se situe à : R 5 Ω. Nous devons déterminer la fréquene minimale à partir de la quelle les simplifiations (V-8) adoptées plus haut restent valables, soit : R f 6, 3 kh (V-97) π

131 3 Par préaution nous hoisissons une limite voisine de dix fois ette fréquene, soit: f 63 kh min dans e as nous avons la ertitude que les expressions analytiques approhées s'appliquent ave une préision aeptable. Pour l'exemple onsidéré les atténuations linéiques déduites des relations (V-9) et (V-96) prennent pour valeurs respetives : α α db 4 8, 68 Neper / m 4 db / m (V-98) Ces données numériques peuvent paraître très faibles, toutefois nous allons montrer que pour appréier l'effet de l'atténuation il faut tenir ompte de la dimension du âble. es valeurs numériques des rapports A et A db donnés par les expressions (V-9) et (V-9) sont rassemblées dans le Tableau (V-5) pour un âble dont la dimension varie de m à km. Dimension du âble Rapport A Rapport A db m, 3 8, 68 db m, 8, 68 db km, 5, 86 db km, 78 8, 6 db km 4, 86 db Tableau (V-5) Ces hiffres indiquent que l'ation sur a un impat onsidérable sur l'atténuation globale de la ligne, pour l'appliation onsidérée α intervient surtout lorsque la dimension du âble dépasse le kilomètre l'atténuation est enore amplifiée aux fréquenes élevées à ause de l'aroissement de la résistane linéique des onduteurs due au méanisme de diffusion des ourants dans les matériaux à grande ondutivité életrique e point sera étudié au ours du prohain paragraphe. Nous regardons maintenant l'évolution de la omposante réative X de l'impédane aratéristique de la ligne pour des fréquenes variant de kh à GH dont les données numériques sont rassemblées dans le Tableau (V-6).

132 3 Fréquene R X kh 5 Ω -4,7 Ω MH 5 Ω -,47 Ω MH 5 Ω -,47 Ω MH 5 Ω -,47 Ω GH 5 Ω -,47 Ω Tableau (V-6) 'exemple onfirme don que la ontribution de la omposante réative de l'impédane aratéristique est tout à fait négligeable dés que la ondition (V-8) sur la fréquene est satisfaite. V-6 Effets engendrés par l'impédane superfiielle des onduteurs Au ours du paragraphe préédent nous avons attribué à la résistane des onduteurs la valeur alulée pour le ourant ontinu. En réalité dés que la fréquene des signaux transportés par la ligne dépasse quelques entaines de kilohert la résistane s'aroît, e phénomène est provoqué par l'impédane superfiielle des onduteurs. En effet, à la résistane s'ajoute une omposante réative qui suivent toutes deux une évolution roissante ave la fréquene. 'étude de l'impédane de surfae les onduteurs filiformes relève de la propagation des ondes hertiennes ylindriques dans les milieux onduteurs, toutefois les développements qui suivrent seront basés sur l'usage de simplifiations failitant l'exploitation de formules appliables dans la plupart des problèmes pratiques. Considérons un âble oaxial auquel nous attahons le repère ylindrique o,ρ,φ, de la Figure (V-3).

133 33 ρ φ D ext d I V o e Figure (V-3) es théories életrostatiques et magnétostatiques exposées au paragraphe (III-) du troisième hapitre montrent qu'à la propagation de l'onde dans le âble s'assoient une omposante magnétique angulaire H φ due au ourants I irulant dans les onduteurs et une omposante de hamp életrique radiale E ρ due à la tension transverse V appliquée entre le onduteur intérieur et le onduteur extérieur. Du point de vue életromagnétique les omposantes H φ et E ρ transportent l'énergie dans la diretion longitudinale o, à ause de la ondutivité életrique ertes très importante mais non infinie des onduteurs une partie de l'énergie longitudinale diffuse dans la diretion radiale, e phénomène provoque une propagation transversale de l énergie. A la surfae de es onduteurs va don apparaître une omposante de hamp életrique orientée parallèlement à l'axe o, elle est notée par la suite t E, l'indie t signifie qu'il s'agit d'une omposante tangentielle dont l'amplitude est bien inférieure à la omposante radiale E : ρ t E E (V-99) ρ 'impédane linéique de surfae est don définie par le rapport de la omposante tangentielle de hamp életrique et du ourant traversant la setion du onduteur onsidéré.

134 34 a) Expressions générales des impédanes de surfae d'un âble oaxial - Conduteur intérieur 'impédane linéique de surfae Z S int du onduteur intérieur est donnée par l expression i dessous dans laquelle trouvé en surfae: t E int orrespond bien évidemment au hamp életrique Z S t E int int (V-) I En toute rigueur pour mener le alul nous devons résoudre l'équation d'onde ylindrique des hamps se propageant dans le onduteur intérieur. Des développements qui ne seront pas démontrés indiquent que ette équation possède pour solutions des fontions de Bessel de première espèe amenant à l'expression suivante de Z S int : j ωμ J ( γm a) Z S int (V-) πa γ J ( γ a) m m Dans ette relation a représente le rayon du onduteur intérieur soit : d a (V-) J et J sont les fontions de Bessel de première espèe d'ordre éro et d'ordre un, σ la ondutivité életrique du onduteur exprimée S / m, ondes életromagnétiques alulée dans le milieu onduteur: γm la onstante de propagation des γ m j ωμ σ (V-3) 'évaluation de Z S int peut s'effetuer à l'aide des fontions de Bessel tabulées ou au moyen des formules approhées démontrées aux sous paragraphes b) et ).

135 35 - Conduteur extérieur Pour déterminer l'impédane de surfae du onduteur extérieur nous pouvons rigoureusement exprimer les hamps életromagnétiques par les solutions de l'équation des ondes ylindriques en parvenant à une formule bien plus omplexes que la relation (V-). Pour simplifier nous admettrons que l'impédane de surfae s'assimile dans e as à la pénétration d'ondes planes à travers un plan onduteur dont l'épaisseur doit être bien plus petite que le diamètre du onduteur extérieur: e D ext (V-4) En pratique ette ondition géométrique étant amplement satisfaite nous exprimerons Z S ext à l'aide des théories exposées au sixième hapitre du ours (paragraphe VI-6) l'expression obtenue tient ompte du oeffiient ρ m a déterminant la réflexion des ondes életromagnétiques sur l'interfae métal air : Z S γm e γ ρ m m a e ext (V-5) γm e πd σ ext ρm a e e oeffiient unidimensionnelles: ρ m a provient de la définition usuelle des méanismes de réflexion d'ondes planes ou Z w Z w m ρm a (V-6) Z Z w w m Dans ette expression Z et Z représentent respetivement les impédanes d'onde du w m w matériau onduteur et de l'air données par les relations: j ωμ Z w m (V-7) σ

136 36 Z w μ π 377 Ω (V-8) ε e ontenu du Chapitre-VI préise que es deux paramètres physiques sont tout à fait l'analogue de l'impédane aratéristique des lignes de transmission. Ainsi l'exploitation de la relation (V-5) permettra de trouver des formules alternatives valables aux fréquenes basses ou au fréquenes hautes. b) Expressions de l'impédane de surfae valables aux basses fréquenes - Conduteur intérieur es démonstrations seront failitées par l'introdution de la profondeur de pénétration δ Que nous relions très simplement à l'argument des fontions de Bessel de la relation (V-): a γ m a (V-9) δ a profondeur de pénétration est don homogène à un fateur dimensionnel aratérisant la diffusion des ondes életromagnétiques à travers un matériau onduteur, nous pouvons lui adjoindre l'expression: (V-) a profondeur de pénétration aratérise aussi l'atténuation de l'onde propagée dans le métal, ainsi les démonstrations trouvées au Chapitre-VI montrent que tout se passe omme si l'énergie életromagnétique entrant dans le métal était onentrée dans une ouhe fitive d'épaisseur égale à δ. D'après la relation (V-) nous voyons que la diffusion du hamp dans le matériau est d'autant plus faible que la fréquene de l'onde est élevée. Un exemple numérique nous aidera à estimer l'ordre de grandeur de δ pour une onde pénétrant dans le uivre dont la ondutivité életrique a pour valeur : σ 5, 8 7 S / m, les données numériques figurant dans le Tableau (V-6) montrent la diminution de δ lorsque la fréquene évolue de kh à GH. Ces hiffres indiquent qu'au-

137 37 dessus d'une diaine de MH la pénétration des hamps et ourants dans le uivre est inférieure à une diaine de μm. Si nous revenons aux simplifiations envisagées pour la relation (V-), le domaine des basses fréquenes va orrespondre à une profondeur de pénétration très supérieure au rayon du onduteur: δ a (V-) Il en résulte que l'argument ontenu dans les fontions de Bessel devient très inférieur à l'unité, nous pouvons don onfondre es fontions mathématiques ave leur développement limité au premier ordre: γ m a (V-) J ( γ J ( γ m m a) a) γ m a (V-3) Z S int prend don pour expression approhée: Z S int (V-4) πa σ Relation qui n'est autre que la résistane en ourant ontinu du onduteur.

138 38 Fréquene Profondeur de pénétration δ kh,66 mm kh, mm MH 66 µm MH µm MH 6,6 µm GH µm GH 666 nm Tableau (V-6) - Conduteur extérieur a profondeur de pénétration étant très supérieure à l'épaisseur du onduteur l'argument ontenu dans les fontions exponentielles de la relation (V-5) se situe très au-dessous de l'unité : γ m e ou δ e (V-5) Ces onditions initent à prendre le développement limité au premier ordre de es fontions: γ e e m γ m e (V-6) De plus il apparaît que l'impédane d'onde des matériaux bons onduteur se situe très audessous de 377 Ω la valeur de l'impédane d'onde de l'air, e qui permet d'érire sur les valeurs absolues une inégalité génératrie de simplifiations: Z Z (V-7) w m w En onséquene nous pouvons établir l'approximation pour les basses fréquenes de la relation (V-5) :

139 39 Z S ext (V-8) πd e σ ext Expression qui n'est autre que la résistane en ourant ontinu du onduteur tubulaire. ) Expressions de l'impédane de surfae aux fréquenes hautes - Conduteur intérieur a profondeur de pénétration devenant très inférieure au rayon du onduteur l'argument faisant intervenir la onstante de propagation dans le métal est très supérieur à l'unité: γ m a ou δ a (V-9) Il est don légitime d'exprimer les fontions de Bessel de la relation (V-) sous la forme de développements asymptotiques disponibles dans les traités mathématiques: π J ( γm a) osγm a (V-) π γ a 4 m π J ( γm a) sin γm a (V-) π γ a 4 m a onstante de propagation γ m étant une variable omplexe il en sera de même pour l'argument, es onsidérations amènent à exprimer les développements sous des relations enore plus ompates que les préédentes: m γm e e j J ( γm a) e (V-) π γ a π 4 m γm e π j 4 e J ( γm a) e (V-3) π γ a j

140 4 'entrée de es expressions dans la formule (V-) aboutit à l'impédane de transfert approhée valable pour les hautes fréquenes: Z S int ω μ j RS int j X S int (V-4) π a σ Nous voyons qu'il s'agit d'une valeur omplexes omportant deux omposantes identiques dont le omportement suit une loi proportionnelle à la raine arrée de la fréquene: R S ω μ int X S int (V-5) π a σ Dans la plupart des ouvrages d'életriité les éléments de es relations sont exprimés en fontion de la profondeur de pénétration δ : R S int X S int (V-6) π a δ σ Une présentation alternative à es formules onsiste à introduire la ontribution de la résistane de surfae RS int et de l'indutane de surfae S int onformément à la onvention suivante: Z S int R j ω (V-7) S int S int De la relation (V-5) il est don faile d'extraire la valeur de : S int μ S int (V-8) π a ω σ

141 4 Ainsi la résistane RS int et l indutane de surfae S int sont équivalentes à elles présentées par un onduteur tubulaire fitif de diamètre a qui aurait pour épaisseur la profondeur de pénétration δ. - Conduteur extérieur 'argument des fontions devenant très supérieur à l'unité la ontribution de l exponentielle peut être négligée: γ m e δ e e γ m e (V-9) D'après la relation (V-5) nous déduisons aisément l'expression asymptotique de Z : S ext Z S j ωμ ext (V-3) πd σ ext Si nous adoptons une présentation semblable à l'équation (V-4) nous parvenons à des omposantes omplexes également identiques: Z S extt ω μ j RS ext t j X S ext t (V-3) πd σ ext a résistane R S ext et de l'indutane de surfae S ext permettent également d établir le lien ave la profondeur de pénétration retrouvé dans les expressions : R S ext (V-3) πd δ σ ext S μ ext (V-33) πd ω σ ext En utilisant la formulation préédente nous obtenons:

142 4 Z S ext R j ω (V-34) S ext S ext Ainsi aux fréquenes élevées l'impédane de surfae du onduteur extérieur est équivalente à l'impédane d'un onduteur tubulaire de diamètre à la profondeur de pénétration δ. D ext possédant une épaisseur fitive égale d) Impat de l'impédane de surfae sur l'atténuation linéique des lignes S'il est tenu ompte de l'impédane de surfae l'expression (V-9) donnant l'atténuation linéique de la ligne doit être aménagée, elle devient : R Z S int Z S ext α (V-35) Z e symbole "R" signifie qu'il s'agit de la omposante réelle, il faut aussi signaler que dans la plupart des as nous pourrons onfondre Z ave sa omposante réelle R. - Appliation numérique Considérons un âble oaxial ayant pour aratéristiques géométriques : d 3 mm Dext mm e mm Pour aratéristiques physiques : εr, 35 σ 5, 8 S / m 7 Nous obtenons pour paramètres linéiques primaires: 4 nh / m C 57 pf / m Pour paramètres seondaires (impédane aratéristique et vitesse de propagation) : Z 5 Ω v m/ s Pour les résistanes en ourant ontinu : R,4 mω m R, 45 mω / m int 8 / ext Quantités aux quelles nous attribuons des atténuations linéiques exprimées en Neper par mètre et en db par mètre:

143 43 α, 8 5 Neper / m α db, 5 4 db / m e âble oaxial onsidéré dans et exemple possède don une résistane de surfae et une indutane de surfae dont le Tableau (V-7) rassemble les variations pour des fréquenes omprises entre kh et GH. Fréquene RS S kh 3, 46 mω / m 55 nh / m kh mω / m 7 nh / m MH 34 mω / m 5, 5 nh / m MH O mω / m, 7 nh / m MH 34 mω / m, 55 nh / m GH Ω / m, 7 nh / m GH 3, 4 Ω / m, 55 nh / m Tableau (V-7) Dans es aluls nous pouvons aepter l'hypothèse des hautes fréquenes étant donné qu'à la fréquene de kh la profondeur de pénétration dans le uivre est égale à,66 mm, 'est à dire inférieure à l'épaisseur du onduteur extérieur et au rayon du onduteur intérieur du âble. 'aroissement de la résistane de surfae révélé par ette appliation va engendrer une augmentation de l'atténuation linéique du âble. D'autre part la vitesse de propagation des ondes est aussi influenée par l'indutane de surfae S, en effet e terme s'ajoute à l'indutane linéique enore appelée indutane externe e qui donne l'indutane totale exprimée i dessous: tle S (V-36) a variation de l'indutane engendrée par e phénomène va jouer sur la vitesse de propagation ' v dans le âble que nous exprimons:

144 44 ' v (V-37) C tle Relation que nous pouvons aussi érire en faisant apparaître la vitesse de propagation des ondes v dans un âble dépourvu de dissipation, soit: v ' v S (V-38) Pour l'appliation numérique envisagée les données reproduites dans le Tableau (V-8) omportent l'atténuation orrigée par l'aroissement de la résistane de surfae, la omposante réative de l'impédane aratéristique tenant ompte de l'impédane de surfae ainsi que la vitesse de propagation des ondes rapportée à v. es hiffres illustrés par et exemple montrent que la ontribution de la résistane de surfae intervient prinipalement sur l'atténuation linéique, en ne onsidérant que la ontribution des résistanes alulées pour le ourant ontinu l'atténuation est invariante et se situe à, 5 4 db / m, alors qu'à la fréquene de MH la partiipation de la résistane de surfae engendre une atténuation 3, 4 db / m soit 4 db de plus! D'autre part ette appliation numérique onfirme que la omposante réative de l'impédane aratéristique reste négligeable et que la variation de la vitesse de propagation est dans le as le plus défavorable % inférieure à elle estimée sans dissipation. Nous remarquerons que 'est aux fréquenes basses que le ralentissement des ondes est le plus sensible puisque le ourant se réparti sur la presque totalité de la setion des onduteurs.

145 45 Fréquene Atténuation db/m X v' kh 4 3, 4 db / m Ω, 9v kh 4 8, 6 db / m MH 3 3, 4 db / m MH 3 8, 6 db / m MH 3, 4 db / m GH 8, 6 db / m 3 Ω, 966 v Ω, 988 v 3 mω, 996 v mω, 998 v 3 mω, 999 v GH, 34 db / m mω v Tableau (V-8)

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147 47 Référenes bibliographiques [] S.A. Shelkunoff «The eletromagneti theory of oaxial transmission lines and ylindrial shields» Bell Sytems Tehnial Journal, pp , Otober 934 [] R.E. Collin «Field theory of guided waves» Ed. Ma Graw-Hill, New York, 96 [3] R.F. Harrington «Time harmoni eletromagneti fields» Ed. Ma Graw-Hill, New York, 96 [4] P. Grivet «Physique des lignes de hautes fréquenes et d ultra hautes fréquenes» Tome I Edition Masson, 969 [5] R. Gabillard «Vibrations et phénomènes de propagation» Editions Dunod, 97 [6] G. Metger et J.P. Vabre «Eletronique des impulsions», Tome II Editions Masson, 97