Proposition de corrigé

Transcription

1 Le sujet

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4 Proposition de corrigé Introduction. La notion d aire, introduite au CM2 à travers des situations empruntées à la vie courante, prend le sens de grandeur au collège et vient enrichir ainsi le répertoire des grandeurs rencontrées par les élèves, aussi bien en mathématiques que dans les autres disciplines scientifiques. Contrairement à beaucoup de grandeurs (Longueur, masse ), l aire n est pas directement mesurée à l aide d un appareil et les techniques de mesure de celle-ci nécessitent un apprentissage évolutif allant de la construction et l utilisation d un formulaire au collège à des techniques de calculs plus élaborées pour des surfaces plus complexes au lycée. Au collège comme au lycée, le calcul et la comparaison d aires sont un véritable outil de démonstration et de réinvestissement des connaissances acquises dans d autres thèmes des mathématiques. Travail demandé. 1. Proposition de solution pour l exercice ci-dessous. On admettra qu un tel carré existe et on note x la longueur de ses côtés. GDEH est un carré donc (DE) // (AB) et (DG) // (EH) La hauteur issue de C dans le triangle ABC coupe respectivement les segments [DE] et [AB] en I et J. Ainsi les angles EIC et BJC sont droits (car (DE) // (AB)) Le triangle ABC étant isocèle en C, cette hauteur est aussi la médiatrice du segment [AB] donc J est le milieu du segment [AB] ie AJ = JB = 6.

5 De plus, le triangle AJC est rectangle en J donc d après le théorème de Pythagore JC = 8. Puisque (DE) // (AB), on peut appliquer le théorème de Thalès - Au triangle ABC. On obtient les égalités CD CA = CE CB = DE AB - Au triangle AJC. On obtient les égalités CD CA = CI CJ = DI AJ Des égalités (1) et (2) on déduit que DE AB = CI CJ ie x 12 = 8 x 8 Finalement en résolvant la dernière équation on obtient x = 4,8 (1) (2) 2. Traduction de la solution proposée par Al-Khawarizmi a) La hauteur issue de C dans le triangle ABC coupe respectivement les segments [DE] et [AB] en I et J. Ainsi l angle BJC est droit et d après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle BJC rectangle en J on a JC = 8. On déduit de la question précédente que l aire du triangle ABC vaut 48 unités d aire. Cette aire est obtenue en multipliant la hauteur JC du triangle soit 8 par la moitié de la longueur de la base AB Soit 6. b) Soit x la longueur d un côté du carré GDEH et calculons l aire du triangle ABC en fonction de x. On a A (ABC) = A (GDEH) + A (AGD) + A (BHE) + A (CDE) Or A (GDEH) = x² Les deux triangles AGD et BHE sont isométriques et ont donc la même aire. Comme AGD est rectangle en G, son aire est égale à la moitié du produit de la longueur de la base AG par la longueur de la hauteur DG. Or AG = 12 x 2 = 6 x 2 et DG = x, donc A (AGD) = 1 2.x.(6 x 2 ) d où A (AGD) + A (BHE) = 6x x² 2 L aire du triangle CDE s obtient en calculons la moitié du produit de la base de ce triangle soit DE qui vaut x par la hauteur de ce triangle soit IC qui vaut 8 x. ie A (CDE) = 1 x².x.(8 x) = 4x 2 2 Finalement A (ABC) = x² + (6x x² x² ) + (4x 2 2 ) = 10x Par identification au résultat obtenu en a) on a 10x = 48 ie x = 4,8 3. Utilisation de cet exercice en classe. Connaissances requises pour les deux méthodes : Théorèmes de Pythagore Théorème de Thalès. Produit en croix

6 Produire une expression littérale Résolution d équations du premier degré Savoir calculer l aire d un carré et d un triangle. Savoir que dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal et la médiatrice du segment de base sont confondues Savoir que si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre Compte tenu des compétences mises en jeu et de la variété des méthodes de résolution, je proposerais cet exercice à des élèves de 3 ème dans le cadre du réinvestissement des connaissances. Cet exercice peut aussi être proposé en devoir maison mais il serait intéressant de le corriger en classe. Il serait peut être, selon le niveau des élèves, utile de proposer quelques questions intermédiaires afin de les guider dans la résolution de celui-ci. 4. Principaux points du programme faisant intervenir la notion d aire au collège. La notion d aire intervient à tous les niveaux du collège et dans les quatre grands thèmes du programme. La proportionnalité (Gestion de données), les quotients (Nombres et calculs) l agrandissement réduction (Géométrie) et enfin en tant que grandeur produit (Grandeurs et mesures) Le calcul et la comparaison d aires contribuent à la résolution de problèmes et offre l occasion de manipuler des formules et de transformer des expressions algébriques, elle permet également : - d envisager la variation d une grandeur en fonction d une autre. - de réinvestir et d entretenir les acquis des années précédentes. 5. Exercices de niveau collège sur la notion d aire. Exercice 1. (5 ème ) ABCD est un quadrilatère non croisé. Les points A et C sont situés sur deux droites (d) et (d ) parallèles distantes de 4 cm. B et D, distants de 7 cm, sont sur une troisième droite parallèle à (d) et (d ), située à une distance l de (d ). Quelle est l'aire du quadrilatère ABCD? Exercice2. Dans la figure ci-contre

7 1. À quelle fraction du grand disque correspond l aire des six petits disques? 2. À quelle fraction du grand disque correspond l aire de la partie colorée? Exercice 3. (4 ème ) Les lunules d Hippocrate ABC est un triangle rectangle en A. On a construit les demicercles de diamètres [AB], [AC] et [BC] comme le montre la figure ci-contre. 1) Exprimer l aire totale de la figure en fonction de AB, AC et BC. 2) a) Montrer que l aire du demi-disque bleu est égale à la somme des aires des demi-disques verts. b) En déduire que l aire totale de la figure est égale à la somme des aires du triangle ABC et du disque de diamètre [BC]. 3) Montrer que l aire des lunules (Les parties en orange dans la figure ci-contre) est égale à l aire du triangle ABC. Exercice Comparer l aire des deux parallélogrammes JAIM et MLCK. 2. Quelle fraction de l aire du parallélogramme ABCD représente l aire colorée? Exercice 5. (3 ème ) On envisage la construction d un réservoir ayant la forme d une pyramide surmontée d un cube comme l indique la figure ci-contre. On désigne par x la hauteur IM (exprimée en mètres) de la pyramide MEFGH.

8 Première partie. 1. Montrer que le volume (en m3) du réservoir est donné par la formule R(x) = x. 2. Calculer ce volume pour x = Pour quelle valeur de x le volume du réservoir est-il de 240 m3? Deuxième partie. 1. On s intéresse à la surface latérale du réservoir (les quatre faces latérales et le fond pyramidal). Le graphique ci-dessous est celui de la fonction A qui à x associe l'aire, en m 2, de cette surface. Lire approximativement A (3,6). 2. Pour des raisons de coût, on souhaite limiter la surface latérale à 208 m². Quelle est, dans ce cas, la hauteur approximative de la pyramide du fond? 3. En remarquant la forme particulière du réservoir dans le cas où x = 0, calculer l aire de la surface latérale et retrouver ainsi le résultat donné par le graphique.

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12 Fiche d exposé. 1. Rédaction d un exercice relatif au thème choisi. 2. Résolution de l exercice donné en annexe. Réponses 1) On considère le triangle BCD et on note x, y et z les aires des triangles CDK, IDK et CKJ comme l indique la figure ci-dessous. Remarquons que I et J sont les milieux respectifs des segments [DB] et [DE] car ABCD et DBEC sont des parallélogrammes. On se place dans le triangle BCD, d une part (CI) est la médiane issue de C donc A (DCI) = A (CIB) ce qui se traduit par x + y = z + 2, d autre part (DJ) est la médiane issue de D donc A (DBJ) = A (DJC) ie x + z = y + 2 On en déduit que x, y et z sont solution du système x + y = z + 2 qui est équivalent x + z = y + 2 au système x + y = z + 2 ayant pour unique solution (en fonction de z fixé) le x y = z + 2 couple (2 ; z). En effet la somme membre à membre de ces deux équations fournit x = 2 et la différence y = z.

13 Remarque : La méthode de résolution d un système de deux équations à deux inconnues dite «Par combinaison des lignes» est au programme des troisièmes. 2) Déterminons en fonction de y les aires des triangles AID ; AIB ; CJE et BJE. On se place dans le triangle ACD et par un raisonnement analogue à celui de la question 1) on obtient A (AID) = y + 2 De même en se plaçant successivement dans les triangles ABD, CDE et BDE on déduit que A (AIB) = A (CJE) = A (BJE) = y + 2 3) On note L le point d intersection de la droite parallèle à (AC) passant par B et de la droite (DE). a) Montrons que K est le milieu du segment [DL]. Remarquons d abord que les points D, K, J, L et E sont alignés. Dans le triangle BCD, les droites (CI) et (DJ) sont les médianes issues respectivement des sommets C et D, elles se coupent en K. K est alors le centre de gravité de ce triangle, il est donc situé au deux tiers de la longueur DJ en partant de D. Autrement dit : DK = 2KJ (*)

14 Par ailleurs les droites (CB) et (KL) sont sécantes en J, de plus les droites (KC) et (BL) sont parallèles. Ces quatre droites forment une configuration de Thalès, de laquelle on peut déduire que JL JK = JB (1) JC Or J est le milieu du segment [BC] (Car J est le centre de symétrie du parallélogramme BDCE) d où JB = JC et JB JC = 1 (2) Des égalités (1) et (2) on déduit que JL = 1 ie JL = JK ou encore que J est le milieu JK du segment [KL] Conclusion : KL = KJ + JL = 2KJ = DK (d après (*)) ie K est le milieu du segment [DL]. b) Montrons que L est le milieu du segment [EK]. BDCE est un parallélogramme dont le centre de symétrie est J. Nous avons montré dans la question précédente que J est le milieu du segment [KL], On en déduit que L est le symétrique de K par rapport à J. De plus on sait que E est le symétrique de D par rapport à J donc [LE] est le symétrique du segment [KD] par rapport à J. Or la symétrie centrale conserve les longueurs d où LE = DK = KL ce qui signifie que L est le milieu du segment [EK]. On en déduit que DK = 1 3 DE 4) Soit r = A (CKD). Exprimons r en fonction de y. A (CKE) Les triangles CKD, CKL et CLE ont la même aire car ils ont tous pour hauteur celle issue de C dans le triangle CDE et pour bases des segments situés sur la même droite et de même longueur (d après la question 3.b) On en déduit que A (CKE) = 2A (CKD) d où r = A (CKD) A = 1 (CKE) 2 D après les questions 1 et 2, A (CKD) = 2 et A (CKE) = A (CKJ) + A (CJE) = 2y + 2 D où r = A (CKD) A = 2 (CKE) 2y + 2. y est alors solution de l équation du premier degré 2 2y + 2 = 1 ie y vaut 1. 2

15 Conclusion. A (AID) = A (AIB) = A (CJE) = A (BJE) = 3 A (KDI) = A (KJC) = 1 A (CKD) = 2